ECON 213 EKSAMEN 26 VÅR SENSORVEILEDNING Oppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å vee lke mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet nn mellom <<, >>, Oppgave 1 I en by med 1 stemmeberettgete nnbyggere pågår en heftg debatt om det skal etableres en bomrng (dvs bommer på alle nnfartsveene der hver passerng mot byen med bl koster en avgft) for å fnansere dverse trafkkprosjekter. På slutten av et debattprogram på lokal-tv ble seerne anmodet om å rnge nn ( løpet av programmet) og stemme for eller mot bomrng. Av 5 nnrngere var 5 (altså 9%) mot bomrng. For enkelthets skyld antar v at tallet 1 bare omfatter byens stemmeberettgete og at bare stemmeberettgete rngte nn tl programmet. V antar også at alle de stemmeberettgete har en menng for eller mot. La M betegne motstander og T tlhenger av bomrng. La S betegne det å delta telefonavstemnngen TV og S det å kke delta. Anta at de 1 stemmeberettgete er fordelt de fre kombnasjonene av menng og stemmedeltagelse som angtt tabell 1. Tabell 1 T (for) M (mot) S (avgr stemme) 5 5 S (avgr kke stemme) 2 3 a. For en tlfeldg valgt stemmeberettget, la begvenhetene T, M og S stå for at vedkommende er tlhenger, motstander eller deltok TV-avstemnngen henholdsvs. () Fnn sannsynlghetene PM ( ), PM ( S), PM ( S ) og PM ( S) () Er M og S uavhengge? Begrunn svaret dtt. << () 75 5 3 PM ( ) = =, 75, PM ( S) = =,9, PM ( S) = =, 6 1 5 5 8 PM ( S) = =,8 () Ne sden PM ( ) ` PM ( S) >> 1
2 b. Anta v trekker to personer rent tlfeldg fra populasjonen av stemmeberettgete. La X være antall blant de to som er M (dvs. motstander av bomrng). Anta X er bnomsk fordelt. () Begrunn antakelsen at X er bnomsk fordelt hvert fall tlnærmet. Hva blr forventnngen tl X? () Beregn sannsynlgheten for at de er enge (dvs. begge for eller begge mot bomrng). << () X ~ bnomsk (n = 2, p =,75). E(X) = 1,5. () 2 2 P( enge) = P( X = ) + P( X = 2) = (,25) + (,75) =,625 >> c. (Mer krevende). Tallene første rad tabell 1 (5 og 5) er kjente fra TVavstemnngen, som mplserer at PM ( S ) =,9. Tallene annen rad (2 og 3) er mdlertd bare gjetnnger for regneeksemplets skyld. De er vrkelgheten ukjente. Sett p= PM ( ) som er ukjent og av spesell nteresse. Hvlke tall måtte det ha stått annen rad tabell 1 (stedenfor 2 og 3) hvs TV-avstemnngen hadde vært representatv betydnngen p= PM ( S) =,9? << La a være tallet celle S M. V må da ha a = 5 (og dermed 5 = 5 5 celle S T 5 + a,9 = PM ( ) =, som gr 1 ). >> Oppgave 2 For å måle graden av over- eller undervekt hos mennesker brukes ofte 2 kroppsmassendeksen (KMI), som defners som ( vekt) /( høyde ) der vekt er målt klo (kg) og høyde meter (m). Normalområdet for KMI regnes fra 2 tl 25 under 2 regnes som undervekt og en KMI over 25 som overvekt. 2 kg / m. En KMI
3 I denne oppgaven betyr ung kvnne en kvnne aldersgruppen 2 29 år. a. La X være KMI for en tlfeldg valgt kvnne fra populasjonen av unge kvnner Norge. V antar at X er normalfordelt med forventnng µ = 22, og standardavvk σ = ( dvs. X~ N (22,, 3,) ), der parameterverdene er hentet fra en norsk kostholdsundersøkelse fra 1997. () Vs at sannsynlgheten for at en tlfeldg valgt ung kvnne er undervektg (KMI < 2), er,239. () Fnn nedre desl ( d 1 ) defnert ved PX ( d1) =,1. 2 22, << () PX ( < 2) = PX ( 2) = G = G(, 71) =, 2389 d1 22, Q1 22, () PX ( < d1) = G,1 1, 28 ( 1, 282) = = d 1 = 22, 1, 28 = 18, >> b. Betrakt et tlfeldg utvalg av unge norske kvnner, og la X være KMI for kvnne nr. utvalget. Anta at X1, X2, X3, X er uavhengge og dentsk fordelte med samme fordelng som X punkt a.. () Fnn PX< ( 2) der 1 X = X. n = 1 () Hva er sannsynlgheten for at mnst tre av de fre kvnnene utvalget har KMI < 2? << () X ~ N(22,, 2) = N(22,, 1,7) som gr 2 22, PX ( < 2) = G = G( 1, 1) =.793 1, 7 () U = antall utvalget med KMI < 2, er ~ Bn(, p =,239). 3 PU ( = 3) = p (1 p) =, 2, PU ( = ) = p =, 3, som gr PU ( 3) =, 5 >>
c. En gruppe på 15 kvnnelge studenter ved en drettshøyskole dskuterer om det er et urmelg slankepress på kvnnelge drettsutøvere. Tl å begynne med regstrerte de sn egen KMI og fant gjennomsnttet for gruppen, x = 21,5, og emprsk standardavvk, s = 3,9. Gruppen tar utgangspunkt følgende modell: X1, X2,, Xn er uavhengge og dentsk fordelte med X ~ N ( µσ, ), der n = 15, og der µσ, begge antas ukjente. Her representerer X KMI for person nr. gruppen. Beregn et 95% konfdensntervall for µ under dsse betngelsene. Drøft kort rmelgheten av modellen og eventuelt tlleggsforutsetnnger som trengs for å kunne tolke µ som gjennomsnttlg KMI populasjonen av yngre kvnnelge drettsutøvere Norge. << t-ntervall med 1 frhetsgrader. Et 95% KI blr S 3,9 X ± t,25,1 = 21,5 ± 2,15 = 21,5 ± 2, 2 = [19,3, 23, 7]. Man må naturlgvs 15 15 forutsette at utvalget er representatvt som om det var et tlfeldg utvalg trukket fra populasjonen. Også forutsetnngen om uavhengghet kan være fare om det har vært en sterk gjensdg påvrknng nnen gruppen. >> d. Gruppen ønsker å teste H : µ µ mot H 1: µ < µ der µ = 22, som er brukt punkt a. I håp om å øke utsagnskraften, fnner gruppen å kunne forutsette at σ er kjent lk 3,. Forøvrg er forutsetnngene som punkt c. Sett opp en test med sgnfkansnvå 5% som utnytter at σ er kjent. Gjennomfør testen med dataene gtt punkt c. og formuler en konklusjon. Beregn også testens p-verd. << Alternatve ekvvalente formulernger tabellen Testobservator Krtsk verd Observert Konklusjon X 22, 1, 65 = 2,96 x = 21,5 Ikke forkast H 15 X 22, Z = 15 z,5 = 1.65 z o = 1,25 Ikke forkast H
5 P-verd: ˆ α = P ( Z z) = PZ ( 1,3) =,1515 >> µ o e. Gtt testen punkt d., der antall observasjoner er 15. Hva blr sannsynlgheten for fel av type I og sannsynlgheten for fel av type II hvs µ = µ = 22,? Hva blr de to felsannsynlghetene hvs µ = 21,5? << µ = 22, P(fel I) =,5 og P(fel II) = µ = 21,5 P(fel I) = og 2,96 21,5 P(fel II) = 1 P(forkast H ) = 1 Pµ ( X 2,96) = 1 G 15 = = 1 G(, 61) = 1, 7257 =, 273 >> f. La nå antall observasjoner, n, være vlkårlg. For øvrg la modell (med kjent σ ) og hypoteser være som punkt d. Sett opp testobservator og forkastnngområde når n er vlkårlg, der sgnfkansnvået fortsatt er 5%. Sett også opp et uttrykk for styrkefunksjonen, γ ( µ ). Hvor stor må n være for at styrkefunksjonen for testen skal ha en verd på mnst,95 hvs den sanne verden av µ er 21,5? << Krterum: Forkast H hvs X µ 1,65 ( = k) n Styrkefunksjonen: µ 1.65( n) µ µ µ γ ( µ ) = Pµ ( X k) = G = G n 1.65 n og,9 λ(21,5),95 G n 1, 65,95,9 2(1, 65)() n 1, 65 1, 65 n = 12, 3 n 15,5,9 dvs. n 155 >>