Jon Vislie ECO 360/460 høsten 0 Veiledning til seminaroppgae uke 37 I de første forelesningene har i sett på følgende problemstilling (modell): Velg den allokering a arbeidskraft til fremstilling a to arer (i en lukket økonomi) og som maksimerer nyttefunksjonen c (, c ), hensyn tatt til de realøkonomiske mulighetene gitt ed: () x = F( ) () x = G( ) (3) (4) (5) + = c c = x = x (Alle funksjonene har de egenskaper som er antatt i læreboka.) a) Vis at med de egenskapene disse funksjonene antas å oppfylle, il den indre løsningen, kjennetegnet ed F ( ) = G ( ), ære et c * * c maksimumspunkt. (tled.ordensbetingelsen for et maksimum.) Ha krees i ord - for indre løsning? Sar: Planleggers maksimeringsproblem kan da, siden problemet har én frihetsgrad, skries som: Max ( F ( ), G ( - )). La den nye målfunksjonen ære W ( ). Et 0 indre maksimumspunkt har i i * = Î, om W ( ) = 0 og W < 0 i * (0, ) omegnen a stasjonærpunktet. Vi har direkte, slik det er utledet i boka og på * * * forelesningen, at W ( ) = F ( )- G ( ) = 0, som kan gis en grei c c tolkning: Den nyttemessige erdsettingen a den siste timen skal ære den samme i begge anendelser. Vi skal se at med åre antakelser; positie og atakende grenseproduktiiteter, samt atakende marginal substitusjonsbrøk
(«indifferenskurene krummer mot origo»), il.ordensbetingeslen ære oppfylt, i hert fall i omegnen a stasjonærpunktet. Vi finner da ed å deriere W ( ) = ( F( ), G( - )) F ( ) - ( F( ), G( - )) G ( - ) en gang til, der i skrier : = : j c j W ( ) = F + F é F ( G ) ù ( G ) G é F ( G ) ù ê ë + - úû - - - êë + - úû = F + G + é ( F ) FG ( G ) ù ê - + ë úû Bruker i førsteordensbetingelsen, ser i at i kan skrie.ordensderierte som: W ( ) = F + G + é ( F ) F G ( G ) ù ê - + ë úû é G G ù = F + G + ( F ) - + ( ) ê F F ú ë û é ù = F + G + ( F ) ê - + ( ) ú êë úû F ( ) é + ù < 0 êë úû - - = F + G + - Med åre forutsetninger, om atakende grenseproduktiiteter og indifferenskurer som krummer mot origo, il denne ære oppfylt i omegnen a optimum; derfor har i et lokalt maksimum. (Fra konsumentteorien et i at krumningsbetingelsen er oppfylt om innholdet i den siste hakeparentesen er negati; se Strøm&Vislie: Økonomisk atferd,.; side 6 7.) Kraet til indre løsning er at W (0) > 0 ; ds. at den nyttemesige erdsettingen a den første time brukt i produksjonen a are oerstiger den nyttemessige erdsettingen a å redusere timebruken i produksjonen a are når hele arbeidsstyrken brukes i denne sektoren (den marginale alternatikostnaden). I tillegg må i ha W ( ) < 0; ds. den nyttemessige erdsettingen a den første time anendt i produksjonen a are oerstiger den marginale alternatikostnaden.
3 b) tled analytisk irkningen på den optimale allokeringen a at samlet tilgang arbeidskraft går ned. Sar: Vårt maksimeringsproblem oer kan egentlig skries som: Max { w ( ; ) : = ( F ( ), G ( - ))}. Løsningen på årt problem fra 0 w ( ; ) foregående punkt er da bestemt a: W ( ) = = 0. For enher indre løsning, il den optimale bruken a arbeidstimer i sektor da ære en funksjon a hor mange arbeidstimer som totalt er tilgjengelig i økonomien; gitt ed den eksogene størrelsen. («Bredden i badekaret.») Dermed har i at den optimale løsningen kan * skries som = ( ). Spørsmålet er da: Ha er fortegnet på d ( ) d? To (ekialente) eier å gå frem på er: w ( ( ); ) Fra = 0, finner i: w w d w d. (- ) + = 0 = d d w w Siden neneren (inkl. fortegnet) er positi, idet i fra tidligere har W º < 0, d som følge a.ordensbetingelsen, ser i at fortegnet på d er det samme som fortegnet på uttrykket i telleren. Vi finner da, fra.ordensbetingelsen, og ed bruk a G =, at F w = é ( F( ), G( )) F ( ) ( F( ), G( )) G ( ) ù ê ë - - - - úû eller w é G = F G -G - G G =- G + FG - ê F é ù =- G + FG ê - úû + ë û ê + ë ù ú d Dersom det siste leddet i uttrykket oer er ikke-negatit, da il 0 d ³. Vi kan ta dette som en «realøkonomisk definisjon a fullerdighet». Økt rikdom gjennom mer
4 ressurser, il gi økt produksjon og konsum a are i en lukket økonomi. Ha sier det andre leddet oss? Jo, innholdet i hakeparentesen er relatert til hordan MSB sel ( c, c ) arierer ed en partiell økning i konsumet a are ;, som ikke må c ( c, c ) 0 ( c, c ( c ; )) 0 (, ( ; )) d foreksles med krumningsbetingelsen [ ]. Vi har at dc c c c - - = =, som i gjenfinner telleren i hakeparentesen 3 c oer. En tilstrekkelig betingelse for at are er fullerdig, «realøkonomisk sett», er ( c, c ) at ³ 0 - ³ 0. Da il selsagt produksjonen a are øke c ( c, c ) når i får mer ressurser, eller det il produseres mindre a are om går ned; med d 0 d >. Siden i må ha d d = -, ha er da den tilsarende betingelsen for at d d d > 0? Jo, at i har følgende sammenheng mellom MSB og en partiell økning i d ( c, c ) konsumet a are ; = 3 [ - ] 0. Det kan ises, forsøk dette, c( c, c) at krumningsbetingelsen er ekialent med at - < 0, som betyr at c c om begge arene er fullerdige i denne forstand, da il den marginale substitusjonsbrøk sel ære atakende langs en gitt indifferenskure. Den andre eien å gå er å deriere gjennom hele førsteordensbetingelsen med hensyn på, når i skrier denne som ( F( ( )), G( - ( ))) F ( ( )) - ( F( ( )), G( - ( ))) G ( - ( )) = 0 Det gir selsagt akkurat samme resultat som oer, når en bruker optimumsbetingelsen. Anta nå at alle husholdningene i denne økonomien sel kan bestemme hor mye de il jobbe. Vi utstyrer dem med nyttefunksjonen Vc (, c, ), som er oksende i c-ene, men atakende i.
5 c) Horfor krees det nå to betingelser utoer () (5) for å karakterisere V (-V ) V optimum, nå gitt ed: F ( ) = G ( ) =, der V : =. Ha j V V j uttrykker disse betingelsene? Tolk! Sar: Husholdningen har nå mulighet gjennom eget alg til å bestemnme hor mye de il jobbe, med nytten atakende i arbeidstid. Da er ikke lenger gitt, men en endogen ariabel. Fremdeles gjelder relasjon (3), men er ikke lenger gitt. Dermed er handlingsrommet utidet. Planleggeren har fått enda en frihetsgrad i og med at i nå har 5 relasjoner mellom 7 ariable. Da må i ha to nye betingelser for å få en entydig Max V( F( ), G( - ), ): = (, ), idet i antar allokering. Problemet er: { } (, ) indre løsning. For enher gitt (optimal) må: V V = F - G = 0, som tidligere og med c c V samme tolkning (for gitt ). Eller F G V =, der enstre side angir den marginale erdsettingen i enheter a are a å bruke en time ekstra i produksjonen a are. Ha bør sel ære, for fastholdt (optimal) erdi a? Jo da ser i på: V V -V = G + = 0 = G. Denne sier at det antall enheter c V konsumentene må ha i kompensasjon a are for å ære illig til å jobbe en time til, akkurat skal motsares a det antall enheter a are den siste arbeidstimen faktisk kan frembringe. Samlet sett kan den optimale fordelingen a den optimale ressurstilgangen da skries som i teksten. (His i hadde, for et ilkårlig niå på, at VF = VG >- V, med - V sel stigende i, da il det ære ønskelig å «utide badekaret». Dette kan lett illustreres.) Gå tilbake til situasjonen med gitt tilgang på arbeidskraft og nyttefunksjonen c (, c ), men anta nå at det innføres en ny (og bedre) produksjonsteknikk ed fremstillingen a are, der det i tillegg til arbeidskraft også brukes noe a are som innsatsfaktor. (Den marginale tekniske substitusjonsbrøk i produksjonen a are er positi, men sel strengt atakende isokantene er fallende, men krummet mot origo i faktordiagrammet.) Vi har da følgende modell:
6 () x = f(, ) () x = G( ) (3) + = (4) c = x (5) x = c + d) Forklar ha slags aeininger en elmenende planlegger står oerfor. Sar: En kan elge å bruke mye (eller lite) arbeidskraft til å produsere are og dermed mindre (mer) til å produsere are som da i «mindre grad» (eller større grad) il bli brukt som innsatsfaktor i produksjonen a are. Spørsmålet er hordan den gitte tilgangen på arbeidskraft bør fordeles og hor mye som skal produseres a de to arene. e) Vis og begrunn horfor en allokering som maksimerer c (, c ) gitt () (5) G f må oppfylle = =, der f : = os. Ha er tolkningen a disse f f betingelsene? Sar: Modellen har 7 ariable og 5 likninger ds. to frihetsgrader. Problemet er da hor mye som bør produseres a de to arene og hordan. Allokeringsproblemet er dermed: Max (( f,), G( - )- ) der 0 og 0 G( - )., Anta indre løsning som følge a konsumentene ønsker noe a begge arer, samtidig som begge produksjonsfaktorer er essensielle i sektor. f d f Vi antar at G 0, G > < 0, f : = > 0, f > 0 og [ ] 0 < 0 (atakende x = x d f marginal teknisk substitusjonsbrøk eller isokanter som er krummet mot origo). Vidre antar i at nyttefunksjonen er strengt oksende i her are og med indifferenskurer som krummer mot origo. La målfunksjonen eller nyttefunksjonen «på redusert form» ære W (, ): = f ( (, ), G ( -)- ). Et indre maksimum må da oppfylle:
7 W = f - 0 G = W = f - = 0 Den første a disse sier at for optimalt alg a, skal den gitte arbeidskraften fordeles mellom de to aktiitetene slik at den nyttemessige erdsettingen a en marginal arbeidstime er den samme i begge anendelser jfr. åre tidligere G utledninger. Fra denne kan i alede = ; marginal substitusjonsbrøk mellom de f to arene på brukersiden skal ære lik den marginale transformasjonsbrøk mellom de to arene på produsentsiden ha gjelder arbeidskraft. Skal produksjonen a are øke med en enhet ed bruk a arbeidskraft, må f flere timer tilføres sektor. Disse G timene må tas fra sektor, slik at samlet produksjonsnedgang i sektor da er, f som nå er den releante grensekostnaden. Denne grensekostnaden astemmes mot den marginale betalingsiljen for are (i enheter a are ). For optimal fordeling a den gitte arbeidskraften mellom de to sektorene, sier den andre betingelsen at den nyttemessige erdsettingen a å bruke en enhet a are som innsatsfaktor i produksjonen a are skal ære lik nyttetapet a en enhet mindre til direkte konsum a are. Denne kan også ordnes til =. Om i skal f øke produksjonen a are med en enhet ed hjelp a areinnsats, trengs flere f enheter a. Denne må «hentes» direkte fra konsum a are, når bruken a arbeidskraft er optimalt fordelt. Dermed er det antall enheter i må redusere forbruket a are nettopp gitt ed som er den releante grensekostnaden eller f marginal transformasjonsbrøk mellom de to arene når produksjonsøkningen for are skjer ed økt innsats a are. For en effekti allokering skal igjen det marginale bytteforholdet på brukersiden ære lik grensekostnaden. Samler i disse betingelsene, får i at grensekostnaden i produksjonen a are skal ære den samme uansett om produksjonsøkningen skjer ed økt arbeidsinnsats eller ed økt areinnsats. I
8 optimum skal denne (felles) grensekostnaden ære lik det marginale bytteforholdet på brukersiden. Likhet i grensekostnad finner en ed: Maksimer c = G( )- for f ( -, ) = x (gitt). Lagrangefunksjonen for dette problemet er L = G( )- + l éf(, ) x ù êë - - úû. En (indre) produksjonseffekti allokering må da oppfylle: L L =- + lf = 0 og = G -lf, som gir: G = = l, med l som f f f tolkning a grensekostnad. (Alternatit: MTSB = = G. Denne sier at det antall f enheter a are som direkte frembringes a å bruke ytterligere en time i sektor, skal ære lik arbeidskraftens alternatikostnad gitt ed det antall enheter a are (som areeinnsats) som må brukes per enhets reduksjon i timebruken i sektor. En kan sel forsøke å skrie betingelsene som: f G = og f = Den første a disse sier: Øker i bruken a arbeidstid med en time i sektor, il i få økt produksjon a are lik f. Her ny enhet a are il nyttemesssig bli erdsatt til MSB enheter a are enstre side gir da den samlede erdsetting i enheter a are om i øker timebruken i sektor med time (marginal betalingsilje i enheter a are ). Denne skal i optimum astemmes eller balanseres mot det direkte produksjonstapet: Siden økt timebruk i sektor med en time må skje på bekostning a en time brukt i sektor, il produksjonstapet i sektor ære gitt ed grenseproduktiiteten G. Den andre betingelsen uttrykker at om areinnsatsen øker med en enhet i sektor, for uendret arbeidsinnsats, il produksjonen a are øke med f enheter. (Da er samlet tilgang a are gitt og spørsmålet er hordan denne gitte tilgangen skal brukes til direkte konsum eller som areinnsats her kan en bruke badekar.) Verdsettingen a disse enhetene i enheter a are (marginal betalingsilje) er da f som må astemmes mot ha denne økningen i med en enhet fortrenger. Den releante marginalkostnaden er da det antall enheter konsum a are som dermed fortrenges; nemlig en enhet sel, gitt ed ett-tallet på høyre side i den andre betingelsen.