ECON 3610/4610 høsten 2012 Veiledning til seminaroppgave 2 uke 37

Like dokumenter
ECON 3610/4610 høsten 2017 Veiledning til seminaroppgave 2 uke 38. a) Avtakende MSB mellom de to godene er forklart i boka; antakelsen om at

Veiledning oppgave 3 kap. 2 i Strøm & Vislie (2007) ECON 3610/4610 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk

Løsningsforslag seminar 1

ECON3610 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Forelesning 5

Sensorveiledning ECON 3610/4610 høsten 2005

Veiledning til enkelte oppgaver i ECON2200 Matematikk 1/Mikroøkonomi 1, Våren 2012

Vårt utgangspunkt er de to betingelsene for et profittmaksimum: der vi har

Løsningsforslag til eksamen i ECON 2200 vår løsningen på problemet må oppfylle:

Sensorveiledning ECON 3610/4610 høsten 2006

ECON 3610/4610 høsten Veiledning til seminarsett 3 uke 39

Den realøkonomiske rammen i denne økonomien er gitt ved funksjonene (1) (3). Siden økonomien er lukket er c1 x1. (4), og c2 x2

Seminar 7 - Løsningsforslag Econ 3610/4610, Høst 2013

Supplement til kap i Varian s Intermediate Microeconomics (HV)

Løsningsveiledning, Seminar 10 Econ 3610/4610, Høst 2014

Sensorveiledning ECON 3610/4610: Høst 2007

Veiledning oppgave 2 kap. 4.2

Løsningsveiledning, Seminar 9

ECON3610 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk. Om kurset

Obligatorisk innleveringsoppgave - Veiledning Econ 3610, Høst 2013

Lukket økonomi (forts.) Paretooptimum Markedet

Veiledning til Obligatorisk øvelsesoppgave ECON 3610/4610 høsten 2009

Obligatorisk innleveringsoppgave Econ 3610/4610, Høst 2014

ECON2200 Obligatorisk Oppgave

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

A-BESVARELSE I ECON3610

ECON3610 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Forelesning 6

ECON 3610/4610 Veiledning til oppgaver seminaruke 43. Planleggingsproblemet for en planlegger med en utilitaristisk velferdsfunksjon er her

ECON3610 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Forelesning 3

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

Seminar 7 - Løsningsforslag

Veiledning oppgave 3 kap. 2

Seminar 6 - Løsningsforslag

Løsningveiledning for obligatorisk oppgave

Forelesning i konsumentteori

Sensorveiledning. Econ 3610/4610, Høst 2016

Forelesning nr.2 INF 1411 Elektroniske systemer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

Hva er samfunnsøkonomisk effektivitet?

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

Veiledning til seminaroppgave uke 46 ECON 3610/4610: Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk

, alternativt kan vi skrive det uten å innføre q0

c) En bedrift ønsker å produsere en gitt mengde av en vare, og finner de minimerte

Mikroøkonomien med matematikk

Så deriverer jeg denne funksjonen på hensyn av hver av de tre variablene jeg sitter igjen med.

b) Gjør rede for hvilke forutsetninger modellen bygger på og gi en økonomisk tolkning av ligningene.

Seminaruke 4, løsningsforslag.

Sensorveiledning Eksamen, Econ 3610/4610, Høst 2013

Obligatorisk øvelsesoppgave ECON 3610/4610 HØST 2007 (Begge oppgaver bør fortrinnsvis besvares individuell besvarelse.)

Fasit ekstraoppgaver (sett 13); 10.mai ax x K. a a

ECON3610 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Forelesning 1

Konsumentteori. Kjell Arne Brekke. Mars 2017

Løsning 1 med teori, IM3 høst 2012.

ECON2200: Oppgaver til for plenumsregninger

Løsning 1med teori, IM3 høst 2011.

Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel 14 (12).

Sensorveiledning ordinær eksamen Econ 3610/4610, Høst 2014

Econ1220 Høsten 2006 Forelesningsnotater

Løsningsforslag til eksamen i REA Fysikk,

Mer om generell likevekt Åpen økonomi, handelsgevinster

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

Veiledning til obligatorisk øvelsesoppgave ECON 3610/4610 HØST Betrakt en lukket økonomi der det produseres en vare, i mengde x, kun ved

ECON3610 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Forelesning 4

Econ 2200 H04 Litt om anvendelser av matematikk i samfunnsøkonomi.

Før vi starter. Forelesning 9. Markedssvikt: Fellesgoder. Engelsk bok:

SØK400 våren 2002, oppgave 9 v/d. Lund

Enkel Keynes-modell for en lukket økonomi uten offentlig sektor

Offentlig sektor i en blandingsøkonomi

Sensorveiledning eksamen ECON 3610 Høst 2017

ECON3610 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Forelesning 2

Institutt for økonomi og administrasjon

Sensorveiledning eksamen ECON 3610/4610 Høst 2004

Obligatorisk innleveringsoppgave ECON3610/4610, høst 2008

Repetisjonsoppgaver kapittel 2 løsningsforslag

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

Eksamen ECON mai 2010, Økonomisk institutt, Universitetet i Oslo Sensorveilednig, inkludert fordeling av prosentandeler på delspørsmål.

Sensorveiledning til ECON 2200 Vår 2007

verdsetting av denne produksjonsøkningen i enheter av gode 1.

Obligatorisk øvelsesoppgave - Løsning

Veiledning oppgave 4 kap. 3 (seminaruke 42): ECON 3610/4610

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 18/10-22/10

Econ1220 Høsten 2007 Forelesningsnotater

Vektoranalyse TFE4120 Elektromagnetisme

Indifferenskurver, nyttefunksjon og nyttemaksimering

Forelesning 8. Markedssvikt: Eksterne virkninger. En av forutsetningene for perfekt frikonkurranse: Ingen eksterne virkninger Ekstern virkning: ik i

Nå skal vi vurdere det som skjer: Er det en samfunnsøkonomisk forbedring eller ikke?

Effektivitetsvurdering av fullkommen konkurranse og monopol

R2 - Kapittel 1: Vektorer

Institutt for økonomi og administrasjon

Mikroøkonomi - Superkurs

Modell for en blandingsøkonomi

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

Løsningsforslag til Oppgaver for Keynes-modeller

Innlevering i matematikk Obligatorisk innlevering nr. 5 Innleveringsfrist: 18. februar 2011 kl Antall oppgåver: 5 Ein skal grunngi alle svar.

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

Forelesning nr.12 INF 1411 Elektroniske systemer

Mikroøkonomi - Intensivkurs

Mikroøkonomi - Superkurs

Forkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Vektorer.

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

Transkript:

Jon Vislie ECO 360/460 høsten 0 Veiledning til seminaroppgae uke 37 I de første forelesningene har i sett på følgende problemstilling (modell): Velg den allokering a arbeidskraft til fremstilling a to arer (i en lukket økonomi) og som maksimerer nyttefunksjonen c (, c ), hensyn tatt til de realøkonomiske mulighetene gitt ed: () x = F( ) () x = G( ) (3) (4) (5) + = c c = x = x (Alle funksjonene har de egenskaper som er antatt i læreboka.) a) Vis at med de egenskapene disse funksjonene antas å oppfylle, il den indre løsningen, kjennetegnet ed F ( ) = G ( ), ære et c * * c maksimumspunkt. (tled.ordensbetingelsen for et maksimum.) Ha krees i ord - for indre løsning? Sar: Planleggers maksimeringsproblem kan da, siden problemet har én frihetsgrad, skries som: Max ( F ( ), G ( - )). La den nye målfunksjonen ære W ( ). Et 0 indre maksimumspunkt har i i * = Î, om W ( ) = 0 og W < 0 i * (0, ) omegnen a stasjonærpunktet. Vi har direkte, slik det er utledet i boka og på * * * forelesningen, at W ( ) = F ( )- G ( ) = 0, som kan gis en grei c c tolkning: Den nyttemessige erdsettingen a den siste timen skal ære den samme i begge anendelser. Vi skal se at med åre antakelser; positie og atakende grenseproduktiiteter, samt atakende marginal substitusjonsbrøk

(«indifferenskurene krummer mot origo»), il.ordensbetingeslen ære oppfylt, i hert fall i omegnen a stasjonærpunktet. Vi finner da ed å deriere W ( ) = ( F( ), G( - )) F ( ) - ( F( ), G( - )) G ( - ) en gang til, der i skrier : = : j c j W ( ) = F + F é F ( G ) ù ( G ) G é F ( G ) ù ê ë + - úû - - - êë + - úû = F + G + é ( F ) FG ( G ) ù ê - + ë úû Bruker i førsteordensbetingelsen, ser i at i kan skrie.ordensderierte som: W ( ) = F + G + é ( F ) F G ( G ) ù ê - + ë úû é G G ù = F + G + ( F ) - + ( ) ê F F ú ë û é ù = F + G + ( F ) ê - + ( ) ú êë úû F ( ) é + ù < 0 êë úû - - = F + G + - Med åre forutsetninger, om atakende grenseproduktiiteter og indifferenskurer som krummer mot origo, il denne ære oppfylt i omegnen a optimum; derfor har i et lokalt maksimum. (Fra konsumentteorien et i at krumningsbetingelsen er oppfylt om innholdet i den siste hakeparentesen er negati; se Strøm&Vislie: Økonomisk atferd,.; side 6 7.) Kraet til indre løsning er at W (0) > 0 ; ds. at den nyttemesige erdsettingen a den første time brukt i produksjonen a are oerstiger den nyttemessige erdsettingen a å redusere timebruken i produksjonen a are når hele arbeidsstyrken brukes i denne sektoren (den marginale alternatikostnaden). I tillegg må i ha W ( ) < 0; ds. den nyttemessige erdsettingen a den første time anendt i produksjonen a are oerstiger den marginale alternatikostnaden.

3 b) tled analytisk irkningen på den optimale allokeringen a at samlet tilgang arbeidskraft går ned. Sar: Vårt maksimeringsproblem oer kan egentlig skries som: Max { w ( ; ) : = ( F ( ), G ( - ))}. Løsningen på årt problem fra 0 w ( ; ) foregående punkt er da bestemt a: W ( ) = = 0. For enher indre løsning, il den optimale bruken a arbeidstimer i sektor da ære en funksjon a hor mange arbeidstimer som totalt er tilgjengelig i økonomien; gitt ed den eksogene størrelsen. («Bredden i badekaret.») Dermed har i at den optimale løsningen kan * skries som = ( ). Spørsmålet er da: Ha er fortegnet på d ( ) d? To (ekialente) eier å gå frem på er: w ( ( ); ) Fra = 0, finner i: w w d w d. (- ) + = 0 = d d w w Siden neneren (inkl. fortegnet) er positi, idet i fra tidligere har W º < 0, d som følge a.ordensbetingelsen, ser i at fortegnet på d er det samme som fortegnet på uttrykket i telleren. Vi finner da, fra.ordensbetingelsen, og ed bruk a G =, at F w = é ( F( ), G( )) F ( ) ( F( ), G( )) G ( ) ù ê ë - - - - úû eller w é G = F G -G - G G =- G + FG - ê F é ù =- G + FG ê - úû + ë û ê + ë ù ú d Dersom det siste leddet i uttrykket oer er ikke-negatit, da il 0 d ³. Vi kan ta dette som en «realøkonomisk definisjon a fullerdighet». Økt rikdom gjennom mer

4 ressurser, il gi økt produksjon og konsum a are i en lukket økonomi. Ha sier det andre leddet oss? Jo, innholdet i hakeparentesen er relatert til hordan MSB sel ( c, c ) arierer ed en partiell økning i konsumet a are ;, som ikke må c ( c, c ) 0 ( c, c ( c ; )) 0 (, ( ; )) d foreksles med krumningsbetingelsen [ ]. Vi har at dc c c c - - = =, som i gjenfinner telleren i hakeparentesen 3 c oer. En tilstrekkelig betingelse for at are er fullerdig, «realøkonomisk sett», er ( c, c ) at ³ 0 - ³ 0. Da il selsagt produksjonen a are øke c ( c, c ) når i får mer ressurser, eller det il produseres mindre a are om går ned; med d 0 d >. Siden i må ha d d = -, ha er da den tilsarende betingelsen for at d d d > 0? Jo, at i har følgende sammenheng mellom MSB og en partiell økning i d ( c, c ) konsumet a are ; = 3 [ - ] 0. Det kan ises, forsøk dette, c( c, c) at krumningsbetingelsen er ekialent med at - < 0, som betyr at c c om begge arene er fullerdige i denne forstand, da il den marginale substitusjonsbrøk sel ære atakende langs en gitt indifferenskure. Den andre eien å gå er å deriere gjennom hele førsteordensbetingelsen med hensyn på, når i skrier denne som ( F( ( )), G( - ( ))) F ( ( )) - ( F( ( )), G( - ( ))) G ( - ( )) = 0 Det gir selsagt akkurat samme resultat som oer, når en bruker optimumsbetingelsen. Anta nå at alle husholdningene i denne økonomien sel kan bestemme hor mye de il jobbe. Vi utstyrer dem med nyttefunksjonen Vc (, c, ), som er oksende i c-ene, men atakende i.

5 c) Horfor krees det nå to betingelser utoer () (5) for å karakterisere V (-V ) V optimum, nå gitt ed: F ( ) = G ( ) =, der V : =. Ha j V V j uttrykker disse betingelsene? Tolk! Sar: Husholdningen har nå mulighet gjennom eget alg til å bestemnme hor mye de il jobbe, med nytten atakende i arbeidstid. Da er ikke lenger gitt, men en endogen ariabel. Fremdeles gjelder relasjon (3), men er ikke lenger gitt. Dermed er handlingsrommet utidet. Planleggeren har fått enda en frihetsgrad i og med at i nå har 5 relasjoner mellom 7 ariable. Da må i ha to nye betingelser for å få en entydig Max V( F( ), G( - ), ): = (, ), idet i antar allokering. Problemet er: { } (, ) indre løsning. For enher gitt (optimal) må: V V = F - G = 0, som tidligere og med c c V samme tolkning (for gitt ). Eller F G V =, der enstre side angir den marginale erdsettingen i enheter a are a å bruke en time ekstra i produksjonen a are. Ha bør sel ære, for fastholdt (optimal) erdi a? Jo da ser i på: V V -V = G + = 0 = G. Denne sier at det antall enheter c V konsumentene må ha i kompensasjon a are for å ære illig til å jobbe en time til, akkurat skal motsares a det antall enheter a are den siste arbeidstimen faktisk kan frembringe. Samlet sett kan den optimale fordelingen a den optimale ressurstilgangen da skries som i teksten. (His i hadde, for et ilkårlig niå på, at VF = VG >- V, med - V sel stigende i, da il det ære ønskelig å «utide badekaret». Dette kan lett illustreres.) Gå tilbake til situasjonen med gitt tilgang på arbeidskraft og nyttefunksjonen c (, c ), men anta nå at det innføres en ny (og bedre) produksjonsteknikk ed fremstillingen a are, der det i tillegg til arbeidskraft også brukes noe a are som innsatsfaktor. (Den marginale tekniske substitusjonsbrøk i produksjonen a are er positi, men sel strengt atakende isokantene er fallende, men krummet mot origo i faktordiagrammet.) Vi har da følgende modell:

6 () x = f(, ) () x = G( ) (3) + = (4) c = x (5) x = c + d) Forklar ha slags aeininger en elmenende planlegger står oerfor. Sar: En kan elge å bruke mye (eller lite) arbeidskraft til å produsere are og dermed mindre (mer) til å produsere are som da i «mindre grad» (eller større grad) il bli brukt som innsatsfaktor i produksjonen a are. Spørsmålet er hordan den gitte tilgangen på arbeidskraft bør fordeles og hor mye som skal produseres a de to arene. e) Vis og begrunn horfor en allokering som maksimerer c (, c ) gitt () (5) G f må oppfylle = =, der f : = os. Ha er tolkningen a disse f f betingelsene? Sar: Modellen har 7 ariable og 5 likninger ds. to frihetsgrader. Problemet er da hor mye som bør produseres a de to arene og hordan. Allokeringsproblemet er dermed: Max (( f,), G( - )- ) der 0 og 0 G( - )., Anta indre løsning som følge a konsumentene ønsker noe a begge arer, samtidig som begge produksjonsfaktorer er essensielle i sektor. f d f Vi antar at G 0, G > < 0, f : = > 0, f > 0 og [ ] 0 < 0 (atakende x = x d f marginal teknisk substitusjonsbrøk eller isokanter som er krummet mot origo). Vidre antar i at nyttefunksjonen er strengt oksende i her are og med indifferenskurer som krummer mot origo. La målfunksjonen eller nyttefunksjonen «på redusert form» ære W (, ): = f ( (, ), G ( -)- ). Et indre maksimum må da oppfylle:

7 W = f - 0 G = W = f - = 0 Den første a disse sier at for optimalt alg a, skal den gitte arbeidskraften fordeles mellom de to aktiitetene slik at den nyttemessige erdsettingen a en marginal arbeidstime er den samme i begge anendelser jfr. åre tidligere G utledninger. Fra denne kan i alede = ; marginal substitusjonsbrøk mellom de f to arene på brukersiden skal ære lik den marginale transformasjonsbrøk mellom de to arene på produsentsiden ha gjelder arbeidskraft. Skal produksjonen a are øke med en enhet ed bruk a arbeidskraft, må f flere timer tilføres sektor. Disse G timene må tas fra sektor, slik at samlet produksjonsnedgang i sektor da er, f som nå er den releante grensekostnaden. Denne grensekostnaden astemmes mot den marginale betalingsiljen for are (i enheter a are ). For optimal fordeling a den gitte arbeidskraften mellom de to sektorene, sier den andre betingelsen at den nyttemessige erdsettingen a å bruke en enhet a are som innsatsfaktor i produksjonen a are skal ære lik nyttetapet a en enhet mindre til direkte konsum a are. Denne kan også ordnes til =. Om i skal f øke produksjonen a are med en enhet ed hjelp a areinnsats, trengs flere f enheter a. Denne må «hentes» direkte fra konsum a are, når bruken a arbeidskraft er optimalt fordelt. Dermed er det antall enheter i må redusere forbruket a are nettopp gitt ed som er den releante grensekostnaden eller f marginal transformasjonsbrøk mellom de to arene når produksjonsøkningen for are skjer ed økt innsats a are. For en effekti allokering skal igjen det marginale bytteforholdet på brukersiden ære lik grensekostnaden. Samler i disse betingelsene, får i at grensekostnaden i produksjonen a are skal ære den samme uansett om produksjonsøkningen skjer ed økt arbeidsinnsats eller ed økt areinnsats. I

8 optimum skal denne (felles) grensekostnaden ære lik det marginale bytteforholdet på brukersiden. Likhet i grensekostnad finner en ed: Maksimer c = G( )- for f ( -, ) = x (gitt). Lagrangefunksjonen for dette problemet er L = G( )- + l éf(, ) x ù êë - - úû. En (indre) produksjonseffekti allokering må da oppfylle: L L =- + lf = 0 og = G -lf, som gir: G = = l, med l som f f f tolkning a grensekostnad. (Alternatit: MTSB = = G. Denne sier at det antall f enheter a are som direkte frembringes a å bruke ytterligere en time i sektor, skal ære lik arbeidskraftens alternatikostnad gitt ed det antall enheter a are (som areeinnsats) som må brukes per enhets reduksjon i timebruken i sektor. En kan sel forsøke å skrie betingelsene som: f G = og f = Den første a disse sier: Øker i bruken a arbeidstid med en time i sektor, il i få økt produksjon a are lik f. Her ny enhet a are il nyttemesssig bli erdsatt til MSB enheter a are enstre side gir da den samlede erdsetting i enheter a are om i øker timebruken i sektor med time (marginal betalingsilje i enheter a are ). Denne skal i optimum astemmes eller balanseres mot det direkte produksjonstapet: Siden økt timebruk i sektor med en time må skje på bekostning a en time brukt i sektor, il produksjonstapet i sektor ære gitt ed grenseproduktiiteten G. Den andre betingelsen uttrykker at om areinnsatsen øker med en enhet i sektor, for uendret arbeidsinnsats, il produksjonen a are øke med f enheter. (Da er samlet tilgang a are gitt og spørsmålet er hordan denne gitte tilgangen skal brukes til direkte konsum eller som areinnsats her kan en bruke badekar.) Verdsettingen a disse enhetene i enheter a are (marginal betalingsilje) er da f som må astemmes mot ha denne økningen i med en enhet fortrenger. Den releante marginalkostnaden er da det antall enheter konsum a are som dermed fortrenges; nemlig en enhet sel, gitt ed ett-tallet på høyre side i den andre betingelsen.