Veiledning oppgave 4 kap. 3 (seminaruke 42): ECON 3610/4610

Transkript

1 Jon Vislie; oktober 007 Veiledning ogave 4 ka. 3 (seminaruke 4): ECON 360/460 I en økonomi roduseres én konsumvare i mengde x, kun ved hjel av elektrisitet, symboliseret ved E. Produksjonsteknologien for x varen er gitt ved x = f ( E), med ositiv og avtakende grenseroduktivitet. Elektrisitet blir i første omgang rodusert som vannkraft, via en roduktfunksjon E = E(, som har tilsvarende egenskaer som f funksjonen, der K er den delen av totale vannreserver A som benyttes i kraftroduksjon. Den delen av vannreservene som ikke brukes i vannkraftroduksjon, R = A K, har en miljøverdi M = M( R) i enheter av x varen.. Denne funksjonen er selv voksende, men med avtakende derivert. La befolkningen ha en nyttefunksjon gitt som summen av konsum av fysiske goder og miljøgoder. I første omgang kan du anta at økonomien er lukket. a) Med velferdsfunksjonen W = x+ M = f ( E( ) + M( A, skal du begrunne hvorfor en velferdsmaksimal fordeling av de gitte vannreservene (ved indre løsning) er kjennetegnet ved M ( A () f ( E) ( = M ( A eller f ( E) = ( Forklar innholdet i denne betingelsen! Marginalbetingelsen i () fremkommer direkte ved å maksimere W mh. K. Det interessante her er tolkningen. En gitt vannreserve i kubikkmeter (A), med alternative anvendelser; brukes som roduksjonsfaktor i fremstillingen av vannkraft eller som innsatsfaktor i roduksjon av miljøgoder. Vi må derfor foreta en avveining. Denne avveiningen følger av den sesielle utforming av velferd som veier materielle goder sammen med miljøgoder; alt i enheter av x varen. Den otimale bruken, i henhold til velferdsfunksjonen, er å vurdere avkastningen av bruk av én kubikkmeter i roduksjon av vannkraft mot avkastningen (i enheter av x varen) i form av miljøgoder. Per enhets marginal kubikkmeter i vannkraftroduksjon, gir ( kwh energi. I roduksjonen av fysiske goder, onår vi marginalt f ( E) flere enheter av x varen er enhets økning kwh. Dermed vil hver ytterligere kubikkmeter vann brukt i vannkraftroduksjon, gi en økning i tilgangen å x varen lik f ( E) (. Denne marginalgevinsten må veies mot hva vi taer av miljøgoder (målt i x varen) er enhets reduksjon i antall kubikkmeter vann i sin orinnelige form, nemlig M ( R) = M ( A, som vi kan ofatte som en marginal miljøkostnad er kubikkmeter. På marginen skal gevinsten være lik kostnaden. (Alternativt kan vi se M ( R) som gevinsten av økt tilgang å miljøgoder ved å beholde vannreservene i sin orinnelige form. Kostnaden er kubikkmeter urørt natur er dermed det antall enheter av fysiske goder vi da går gli av eller må forsake; nemlig f ( E) (.)

2 Den andre måten å skrive betingelsen i () å, uttrykker avkastning og kostnader å marginen er kwh, målt i enheter av x varen: f ( E) = marginalavkastningen av x varen er ytterligere kwh 3 M ( A antall enh. miljøgoder r. m = = = antall enh. miljøgoder r. kwh. 3 ( antall kwh r. m Vi kan ofatte denne siste som marginal miljøkostnad i enheter av fysiske goder er kwh; dvs. marginalkostnaden av vannkraftroduksjon (der vi har neglisjert alle andre utbyggingskostnader). Denne marginale miljøkostnaden kan også tolkes som det antall enheter av x varen som innbyggerne i det minste må ha for å være villig til å avstå en kubikkmeter vann i urørt form, uten at deres velferd går ned. Den første av disse betingelsene kan illustreres i et badekardiagram, med 3 bredde lik Am. Enh av x er 3 m f ( E) ( M ( R) Enh av x er 3 m K R Figur Otimal fordeling av den gitte vannreserven å de to konkurrerende anvendelsene, finner vi der de to kurvene skjærer hverandre. Hvis vi er til venstre for skjæringsunktet; med f ( E) ( > M ( R), vil ytterligere bruk av vannreservene til vannkraftroduksjon gi en økning i tilgangen av fysiske goder som overstiger marginal miljøkostnad, som vi kan tolke som det antall enheter av x varen befolkningen i det minste må ha i komensasjon for å være villig til å ofre litt natur for ikke å komme å et lavere velferdsnivå. Siden tilgangen av goder overstiger dette kravet, vil det være ønskelig å rodusere mer vannkraft.

3 3 M ( A Betingelsen f ( E( ) = kan vi illustrere i et vanlig diagram vel ( og merke IKKE et badekardiagram siden denne betingelsen fastlegger samlet tilgang av energi, E(, der K selv er variabel. Enh av x M = GK vann Q f ( E) Aut EK ( ) = E E( Figur I denne figuren fastlegges otimal vannkraftroduksjon, med kun én anvendelse;, der Q er autarkilikevektsris å energi (i enheter av x varen). E b) Anta nå at det er mulig å handle elektrisk kraft internasjonalt til ris q (i enheter av x varen). La EK ( ) = E+ E, der E er innenlandsk bruk av vannkraft, mens E er den kraften som eksortertes. Med balanse i handelen med utlandet, vil eksorten understøtte en imort (i enheter av x varen) lik qe, med velferd W = f ( E ) + M( A + qe = f ( E( E ) + qe + M( A. På hvilken måte vil muligheten for å handle elektrisk kraft internasjonalt åvirke bruken av vannreservene og de innenlandske miljøinteressene? Hva er betingelsen for at det skal være lønnsomt å eksortere elektrisitet? Hvordan åvirkes samlet kraftroduksjon? Hvordan åvirkes roduksjonen av x varen? Begrunn hvorfor en fra otimumsbetingelsen M ( A f ( E ) = q =, kan åstå at den første likheten fastlegger otimal fordeling av en ( gitt tilgang E, mens den andre likheten fastlegger otimal roduksjon av vannkraft? Her har elektrisitet rodusert som vannkraft fått ytterligere en anvendelse; den kan også handles å et internasjonalt marked til gitt ris q er kwh (i enheter av x varen). Dermed vil vannkraften som roduseres innenlands, E( K ), kunne brukes enten til innenlandsk roduksjon av x varen, gitt ved, E

4 4 eller til eksort E, eller en kombinasjon av disse to. (Elektrisitet kan også imorteres, men da er E < 0. I så fall må denne imorten finansieres ved eksort av x varen.) Vi holder oss til tilfellet med eksort av vannkraft. Velferden er nå: W = f ( E ) + M ( A + qe = f ( E( E ) + qe + M ( A : = W ( K, E ) Her må vi gjøre følgende to avveininger: Hvor mye av vannreservene skal brukes til hhv. roduksjon av vannkraft og/eller til roduksjon av miljøgoder som over. Hvordan bør denne vannkraften, for fastlagt K, fordeles innenlandsk bruk og eksort. Sett de deriverte av W mh. hhv. K og, lik null. Vi finner da: E W = f ( E ) E ( K ) M ( A K ) = 0 K W = f ( E ) ( ) + q = 0 E Den siste av disse betingelsene fastlegger, for gitt K og dermed, for gitt, samlet vannkraftroduksjon, E( K ), hvordan vannkraftroduksjonen bør fordeles å innenlandsk bruk og å eksort. Marginalavkastningen i enheter av x varen er kwh i innenlandsk bruk, er gitt ved grenseroduktiviteten av energi i hjemmeroduksjon, f ( E ). Denne skal balanseres mot hva en enhet kwh kaster av seg i eksort, nemlig q. Hvis vi har f ( E ) < q, vil vi kunne imortere flere enheter av x varen er enhets krafteksort enn hva vi selv ville kunne frembringe av x varen ved å bruke energien hjemme. Den første betingelsen sier (som vist tidligere) at vi skal fordele de gitte vannreservene, A, til vannkraftroduksjon og til roduksjon av miljøgoder, med samme tolkning som før. Men, og det er viktig her de to betingelsene skal holde samtidig siden marginalavkastningen av innenlandsk bruk av vannkraft åvirkes av eksortrisen; jfr. den andre betingelsen, vil omfanget M ( A av utbygging bli åvirket. Vi kan skrive denne som f ( E ) = q=, ( som balanserer marginalavkastningen av ytterligere kwh i innenlandsk anvendelse i roduksjon av x varen mot marginalkostnaden i vannkraftroduksjonen; dvs. hvor mye mange miljøgoder det koster å frembringe en ytterligere økning i roduksjonen av kwh.

5 5 Vi kan illustrere løsningen i et vanlig diagram der vi antar at q er så høy at det lønner seg å eksortere. Her bestemmer vi samlet vannkraftroduksjon, og dens fordeling å de to anvendelsene. Vi tegner grenseroduktiviteten som en fallende kurve i diagrammet, med marginalkostnaden av vannkraft som en stigende kurve. Enh av x/kwh M K q Q f ( E ) E E EK ( ) Figur 3 Vi bør rodusere så mye vannkraft at marginalkostnaden er lik risen q (som M ( A er marginalgevinsten av en kwh ved eksort), slik at = q. Den ( otimale tilgangen av vannkraft, E(, bør fordeles å de konkurrerende aktivitetene (innenlandsk anvendelse og eksort), slik at q = f ( E( E) = f ( E) og E = E( E. Anta, som i figuren, at q overstiger autarkirisen (likevektsrisen ved otimal roduksjon uten internasjonal handel), markert som Q. Siden q> Q, vil det være samfunnsøkonomisk lønnsomt å eksortere vannkraft. Vi får mer igjen av x varen (som imort) ved å eksortere elektrisitet heller enn å bruke denne hjemme til å rodusere x varen. Betingelsen for at eksort skal være lønnsomt er altså at q> Q. Av roduksjonen EK ( ) vil det være samfunnsøkonomisk lønnsomt å eksortere et kvantum. E

6 6 Samlet kraftroduksjon øker sammenliknet med situasjonen der elektrisitet ikke handles internasjonalt. Under autarki skal utbyggingen aut Aut M ( A K ) skje inntil f ( E( K )) = Q= aut, med Q som energiris under ( K ) autarki. Siden q> Q og grensekostnaden i roduksjon av vannkraft, M, selv er stigende i K, vil det, når det er mulig å handle elektrisitet aut internasjonalt, lønne seg å bygge ut mer; dvs. E( stiger og K > K. Med våre antakelser er K voksende i q. Landet har et komarativt fortrinn i roduksjon av elektrisitet. Siden innenlandske brukere av kraft bør stilles overfor den høyere risen q, og grenseroduktiviteten av energi brukt i x vareroduksjon aut hjemme er avtakende, vil E < E( K ), med E lavere jo høyere q er. Vi imorterer x varen heller enn å rodusere den selv. Vi får flere enheter av x varen i bytte for eksort av vannkraft enn ved å bruke kraften hjemme til å rodusere x varen. (Hvis innenlandske rodusenter skulle få kjøe elektrisk kraft til samme ris som før, ville vi gi avkall å færre goder av x varen enn hva vi kunne ha fått om vi eksorterte kraften. Realinntektstaet ved å la innenlandske brukere få kraften til samme ris som før, ville være summen av alle vertikale avstander q f ( E ) mellom bruken under autarki og under otimal fordeling ved eksort; antydet ved skravert del i figuren over. (Jo høyere q er, jo mer av, en voksende E(, bør eksorteres.) Miljøverninteressene må vike det blir færre ikke utbygde vannreserver. c) Det odages en ny naturressurs, naturgass. Denne ressursen foreligger i en gitt mengde B og kan brukes hjemme til roduksjon av varmekraft eller bli eksortert direkte. La G være den mengde naturgass som brukes innenlands til roduksjon av varmekraft, med V = V som varmekraftroduksjon, med de vanlige egenskaer til en roduktfunksjon, mens g = B G er eksortert mengde av naturgass som selges internasjonalt til en gitt ris. Samlet roduksjon av elektrisitet er nå gitt ved EK ( ) + VG ( ) som kan brukes som innsatsfaktor i innenlandsk roduksjon av x varen eller bli eksortert til ris q. Tolk betingelsen for den velferdsmaksimale allokering, gitt som: M ( A () f ( E ) = q = = ( V Definer samlet roduksjon av elektrisitet som S = E( + V, som kommer dels som vannkraft og dels som varmekraft. Den samlede roduksjonen av elektrisitet S har, som i foregående roblemstilling, en innenlandsk anvendelse og eksort; dvs. S = E+ E. Naturgassen, som foreligger i en gitt mengde B, kan brukes hjemme, i mengde G, til å rodusere varmekraft eller

7 7 bli eksortert i en mengde g, til en gitt internasjonal ris er kubikkmeter gass lik, i enheter av x varen; B = G+ g. Dersom vi eksorterer g kubikkmeter gass, vil dette isolert sett understøtte en imort av x varen lik g. Elektrisk kraft kan fremdeles eksorteres til ris q er kwh; dvs. denne angir hvor mange enheter av x varen vi får er kwh time eksortert. Velferden blir nå: W( K, E, G) = f( E( + V E ) + M( A + q E + ( B G) Samfunnsøkonomisk otimal bruk av ressursene er gitt fra følgende tre betingelser, når vi bruker at E = E( + V E: W = f ( E ) E ( K ) M ( A K ) = 0 K W E = f ( E ) + q= 0 W = f ( E ) V ( G ) = 0 G Disse tre betingelsene gir oss var å følgende sørsmål/avveininger av tyen: Hvordan bør enhver gitt mengde samlet elektrisitetsroduksjon S, frembringes, S = E( + V? Dette krever kostnadseffektivitet. Hvordan bør den anvendes; S = E+ E? Dette kan vi kalle brukseffektivitet. Hvor mye bør det roduseres av S? Siden dette også henger sammen med hvor mye som landet selv skal rodusere av x varen, er dette knyttet til sammensetningseffektivitet. Før vi gir en tolkning, la oss løse roblemet ved hjel av Lagranges metode; som her ikke er nødvendig siden vi kan løse roblemet direkte ved innsettingsmetoden, slik som vist over. (Det tas med for den som er interessert.)

8 8 [ ( ) ] Max x + M R + g + q E gitt x f( E ) ( η) S E( + V ( λ) K + R A ( μ) G+ g B ( α) E+ E S ( β ) der vi har fem bibetingelser skrevet som svake ulikheter med tilhørende Lagrangemultilikatorer. Vi skal se at vi får mening med de tre otimumsbetingelsene ved denne metoden. (Anta at bibetingelsene holder som likheter.) Lagrangefunksjonen er: L= x+ M( R) + g+ q E η ( x f( E)) λ [ S E( V ] μ ( K + R A) α ( G+ g B) β ( E+ E S) Vi har følgende variable; 3 i alt: xkrgge,,,,,, E, Sα,, βλημ,,,, der de fem siste er Lagrangemultilikatorer. Foruten at de fem bibetingelsene må være ofylt, må vi ha ytterligere åtte betingelser for å få en determinert allokering: Disse finner vi ved følgende åtte marginalbetingelser: E f ( E ) 0 otimal bruk av gitt S = q β = 0 E = η β = = M ( R) μ = 0 R otimal bruk av vannreservene A = λ ( μ = 0 K = λ V α = 0 G otimal anvendelse av gassreservene B = α = 0 g = η = 0 x otimal roduksjon av x, hhv. S = λ+ β = 0 S

9 9 μ M ( R) Fra den tredje og fjerde betingelsen, finner vi λ = =. Vi har sett at ( ( vi kan tolke denne som marginalkostnaden er kwh (i enheter av x varen) i vannkraftroduksjon. I otimum skal denne marginalkostnaden være lik skyggerisen λ, som må gjenseile marginalkostnaden av å fremstille elektrisitet som varmekraft. Dette ser vi av den femte og sjette betingelsen α som kan skrives som: λ = =, som er marginalkostnaden er kwh i V V roduksjon av varmekraft. (Skal vi øke varmekraftroduksjonen med én enhet, må vi ha en økt innsats av gass svarende til Δ S = Δ V = = V ΔG Δ G =, med hver enhet gass verdsatt til V ( G ) hva den vil kan onå i alternativ anvendelse (eksort); nemlig. Dermed er marginalkostnaden i roduksjon av varmekraft.) V Vann M ( A varme Legg merke til at betingelsen GKS : = = : = GKS, ( V fremkommer som løsningen å følgende kostnadsminimeringsroblem: Hvordan bør en gitt mengde elektrisitet S realiseres? { + + = } Min ( GK, ) G ( M( A) M( A ) E( V S Samlede ressurskostnader ved å frembringe akkurat S enheter energi ved hjel av vann og varmekraft, er verdien av de ressurser som brukes for å frembringe S. Gassen brukt i innenlandsk varmekraftroduksjon verdsettes til hva gassen alternativt ville ha kastet av seg; nemlig som eksort av naturgass. På den annen side vil vannkraft bli rodusert ved hjel av vannressurser som har en kostnad lik verdien av miljøtaet ved utbygging, gitt ved differensen mellom uberørt natur og miljøverdien etter å ha tatt K kubikkmeter vann til bruk i vannkraftroduksjon; dvs. MA ( ) MA (, med K = A R. Jo større K er, jo større er taet eller kostnaden. La λ være Lagrangemultilikatoren, slik at Lagrangefunksjonen tilordnet dette del roblemet er: Λ= G + M( A) M( A λ[ E( + V S ]. Den kostnadsminimerende faktorkombinasjonen, med G og K, begge ositive, men mindre enn hhv. B og A, må nå ofylle: Λ G = λv = 0 Λ og = M ( R) λ ( = 0 K

10 0 som leder fram til marginalbetingelsen M ( R) =. Dette er betingelsen ( V for kostnadseffektivitet; den gitte S roduseres til så laveste ressurskostnader. Vi kan illustrere denne del løsningen i et badekardiagram for gitt S, der vi vann M ( A tegner inn de to grensekostnadene; GKS = som en stigende ( varme funksjon av K, og GKS =, som er en stigende funksjon av G. Denne V betingelsen skal gjelde uansett hva S måtte være, så lenge vi ønsker å fremstille S både som vann og varmekraft. Grensekostnaden ved å rodusere elektrisitet når vi roduserer ethvert kvantum S å en kostnadseffektiv måte, er gitt ved λ( S). vann GK V M E varme GK λ ( S) EK ( ) S VG ( ) Figur 4 Uansett hva S er, bør vi frembringe denne å denne måten. (Legg merke til at jo større S er, jo høyere er λ( S), hvilket en lett vil se om bredden i badekardiagrammet i Figur 4 er større.) Men da kan aggregert tilbud, som fremkommer ved horisontal summering av de to grensekostnadene, illustreres som i Figur 5. vann varme For gitt S = S 0, har vi at GKS = λ( S0) = GKS. For en større vann varme elektrisitetsroduksjon S > S 0, har vi GK = λ( S ) = GK > λ( S ). S S 0

11 Ant enh x er kwh var me GK λ vann GK ( S) T λ ( S ) 0 VGS ( ( )) S S S = E( + V 0 0 EKS ( ( )) 0 S 0 Figur 5 Sett at vi skal rodusere. En kostnadseffektiv fremstilling av dette kvantum, er da slik at grensekostnaden er den samme hos vannkraft og varmekraftrodusentene, og lik λ( S0), som da blir et unkt å den aggregerte tilbudskurven T i Figur 5. Fordelingen av det gitte kvantum S 0 å varmekraft og vannkraft, finner vi å gå fra T kurven i horisontal retning mot venstre til de to grensekostnadskurvene. Hvor mye som kommer som vannkraft; hhv. varmekraft, finner vi å lese av fordelingen å den horisontale aksen; gitt ved hhv. EKS ( ( 0)) og VGS ( ( 0)). Vi kan finne tilsvarende fordeling ved et annet roduksjonsønske. Når det gjelder bruken eller anvendelsen av en gitt samlet energiroduksjon, β finner vi at denne bestemmes fra de to første, og den syvende: f ( E ) = = q. η Denne bestemmer otimal anvendelse av samlet (otimal) energiroduksjon, S, å og E. E Det siste sørsmålet er knyttet til hvor stor roduksjonen av S bør være: Ved å kombinere den siste betingelsen, β = λ, med β som marginalavkastning av energibruk og med λ som tolkning av grensekostnad ved kostnadseffektiv fremstilling av enhver mengde S, finner vi: M ( A β = f ( E ) = q= = λ = ( V Vi kan tegne inn f ( E ) samt risen q i Figur 5, som da vil se ut som:

12 Ant enh x er kwh q var me GK vann GK T E f ( E ) E S = E ( + V = E + E VG ( ) EK ( ) Figur 6 ot Denne figuren viser fastleggingen av otimal S, kalt roduseres og hvordan den anvendes. ot S, hvordan den Alle sørsmål i ogaven er knyttet til hvordan konkurrerende anvendelser av de gitte mengdene av naturgass og vannreserver, åvirker otimal forvaltning av dem. Betingelsen f ( E) V = 0 forteller oss hva som er otimal bruk av den gitte gassreserven B. Denne kan illustreres i et badekardiagram, se Figur 7, med bredde lik B, og med antall enheter av x er kubikkmeter gass langs de loddrette aksene. Vi har da:

13 3 Antall x er 3 m gass f ( E ) V G g Figur 7 For å osummere: i) Enhver mengde S skal frembringes å en kostnadseffektiv måte, ved at grensekostnaden i varmekraftroduksjon settes lik grensekostnaden i vannkraftroduksjon denne betingelsen forteller at enhver mengde S fremstilles til så lave kostnader som mulig. Betingelsen for kostnadseffektiv roduksjon er: M ( A grensekostn. er kwh ( i enh. av x) i vannkraftrod. = = λ ( = = grensekostn. er kwh i enh. av x i varmekraftrod. V ii) Enhver gitt mengde elektrisitet (S) skal anvendes slik at f ( E ) = f ( S E ) = f ( E( + V E ) = q. Dette er drøftet i b) over. iii) Samlet roduksjon av elektrisitet blir bestemt av at grensekostnad settes lik grenseinntekt; dvs. = q= f ( E ). Dette sørsmålet svarer også til hva V vi har sett å tidligere. (Fordi kostnadseffektivitet krever at M ( A M ( A =, må f ( E ) = q=.) V ( (

14 4 d) Gi en kort verbal redegjørelse for hva allokeringsvirkningene vil kunne være av at naturgass onår en høyere eksortris. Når naturgass onår en høyere ris ute, vil innenlandsk kraftroduksjon bli åvirket, dels ved at sammensetningen av S å vann og varmekraft bør endres (varmekraft er blitt relativt dyrere), samt at roduksjonen av S selv vil bli redusert. En økning i vil gjøre naturgass som innsatsfaktor i roduksjonen av varmekraft dyrere. Siden vi har at q (internasjonal ris å elektrisitet) er M ( A uendret, ser vi fra de to første likhetene i f ( E ) = q= =, at E ( V og K begge er uåvirket av en økning i. Dermed vil x og E( også være uåvirket av økningen i. Men det må igjen bety at V må øke like mye som økningen i, slik at holder seg konstant. Siden V(G) er en vanlig V roduktfunksjon med V > 0 og V < 0, vil en økning i V, måtte kreve at G må gå ned. Siden samlet tilgang av naturgass er gitt, vil dermed eksortert kvantum av naturgass øke med. Fra S = E( + V = E+ E, følger det at samlet energiroduksjon, S, synker, i og med at K selv er uåvirket av økningen i, mens G går ned. Videre, siden ikke åvirkes av økningen i, må E gå ned når øker. E Konklusjon: Høyere internasjonal ris å naturgass, fører til lavere innenlandsk energiroduksjon (S), via lavere roduksjon av varmekraft. Vannkraftroduksjonen er som før. Eksorten av naturgass øker, mens eksorten av elektrisitet synker. Det komarative fortrinn i utvinning (og ikke bearbeiding) av naturgass øker, mens vi olever en svekkelse i det komarative fortrinn i roduksjon av elektrisitet.