Oppgave 1 Carnot-syklusen er den mest effektive sykliske prosessen som omdanner termisk energi til arbeid. I en maskin som anvender Carnot-syklusen vil arbeidssubstansen være i kontakt med et varmt reservoar med temperatur T h og et kaldt reservoar med temperatur T c. I syklusen gjennomgår arbeidssubstansen fire prosesser: 1. Ved starten av syklusen (punkt 1 i figuren nedenfor) har arbeidssubstansen volumet V 1 og er i termisk likevekt med det varme varmereservoaret med temperatur T h. Substansen forblir i kontakt med reservoaret mens den ekspanderer isotermt fra volum V 1 til V 2. I denne prosessen absorberer den varmen Q h fra reservoaret. 2. Arbeidssubstansen blir deretter holdt isolert fra dette reservoaret mens den utvider seg adiabatisk inntil substansens temperatur har sunket til T c. I prosessen øker volumet fra V 2 V 3 og substansen utfører mekanisk arbeid W 2 på omgivelsene. 3. Substansen blir så bragt i termisk kontakt med det kalde reservoaret. Mens den forblir i kontakt med dette komprimeres den (isotermt) fra V 3 V 4. I prosessen avgis varmen Q c til reservoaret. 4. Til slutt blir substansen isolert fra det kalde reservoaret før den komprimeres adiabatisk inntil temperaturen har nådd T c igjen og volumet er redusert fra V 4 V 1. Etter en syklus er arbeidssubstansen kommet tilbake til sin opprinnelige tilstand. Vi antar at alle delene av syklusen skjer kvasistatisk. Nedenfor viser vi Carnot-syklusen i et P V diagram: P 1 2 4 3 V 1 V 4 V 2 V 3 V 2
Vi skal se på en Carnot-maskin hvor arbeidssubstansen er en monatomisk ideell gass. Gassens energi og tilstandsligningen er gitt ved U = 3 2 NkT P V = NkT hvor U er indre energi, N antall partikler, k Boltzmanns konstant, P trykket og V gassens volum. a) Vis at for en adiabatisk (og fortsatt kvasistatisk) kompresjon kan vi skrive V T 3/2 = konstant. b) Tegn Carnot-syklusen i et T S diagram (der S er entropien). Diskuter resultatet. c) Finn U, Q og W for hvert steg i Carnot-syklusen. d) Begrunn at U = 0 for hele Carnot-syklusen og vis at effektiviteten e = W /Q h til Carnot-syklusen er gitt som e = 1 T c T h. Vi ser til slutt på et generelt system i kontakt med et varmereservoar. Volumet og antall partikler i systemet holdes konstant. e) Vis at Helmholtz frie energi har et minimum i likevekt. 3
Oppgave 2 Et system er i termisk og diffusiv likevekt med et reservoar som har temperatur T og kjemisk potensial µ. a) Vis at sannsynligheten for at systemet befinner seg i tilstand s er gitt ved P (s) = 1 Z e (E(s) µn(s))/(kt ), hvor E(s) og N(s) er henholdsvis energien og antall partikler i systemet i tilstand s, k er Boltzmanns konstant og Z = s e (E(s) µn(s))/(kt ). Vi antar nå at systemet kun består av én enpartikkel-tilstand ( single particle state ). Hvis denne tilstanden er besatt av null, én eller n partikler, er systemets energi henholdsvis 0, ɛ og nɛ. b) Hva er den store partisjonsfunksjonen Z hvis partiklene er fermioner, og hva er Z hvis partiklene er bosoner? c) Vis at det midlere besetningstallet ( occupancy ) er n = n = 1 e (ɛ µ)/(kt ) + 1 1 e (ɛ µ)/(kt ) 1 for fermioner for bosoner. Vi betrakter nå to enpartikkel-tilstander A og B i et system hvor partiklene er fermioner. Energien til de to tilstandene er ɛ A = µ x og ɛ B = µ + x. (ɛ A er altså energien dersom A er besatt av én partikkel.) d) Vis at sannsynligheten for at A ikke er okkupert er like stor som sannsynligheten for at B er okkupert. Anta nå at ledningselektronene i et metall kan betraktes som en ideell gass av frie elektroner. Antall partikler og volumet til denne Fermigassen er henholdsvis N og V. Vi skal beregne den isoterme kompressibiliteten, definert som κ 1 ( ) V, V P T der P er trykket, ved temperaturen T = 0 som funksjon av Fermienergien ɛ F. 4
e) Vis at P = hvor F er Helmholtz frie energi. ( ) F, V T Vis også at den totale energien til gassen ved T = 0 er U = 3 5 Nɛ F. f) Vis at P = 2 U 3 V og beregn κ som funksjon av N, V og ɛ F ved T = 0. 5
Nyttige likninger Geometrisk rekke: n k=1 q k 1 = 1 qn 1 q. Tillatte energier for en partikkel i boks: ɛ = p 2 2m = h2 8mL 2 (n2 x + n 2 y + n 2 z) der m er partikkelmassen, h er Plancks konstant, L er lengden av én av boksens sidekanter (alle sidekanter er like lange) og n x, n y, n z = 1, 2, 3,... Sackur-Tetrode: S = Nk [ ln ( V N ( ) 4πmU 3/2 ) + 5 ]. 3Nh 2 2 Termodynamisk identitet: du = T ds P dv + µdn. Helmholtz frie energi: F U T S. 6