EKSAMENSOPPGAVE. FYS-2001 Statistisk fysikk og termodynamikk Dato:

Transkript

1 Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMESOGAVE Eksamen i: FYS-00 Statistisk fysikk og termodynamikk Dato: Klokkeslett: Sted: Åsgårdvn. 9 Tillatte jelpemidler: Type innføringsark (rute/linje): Antall sider inkl. forside: Kontaktperson under eksamen: /A - Tabeller og formler i fysikk for FY og FY - K. Rottmann: Matematisk Formelsamling, - O. Øgrim: Størrelser, eneter og symboler i fysikken, - S. Barnett and T.M. Cronin: Matematical Formulae, - C. ordling and J. Österman: ysics Handbook for Science and Engineering, - Formelark vedlagt eksamensoppgave - Enkel åndoldt kalkulator uten tilgang til eksternt nettverk. rof. Åsild Fredriksen Telefon/mobil: B! Det er ikke tillatt å levere inn kladdepapir som del av eksamensbesvarelsen. Hvis det likevel leveres inn, vil kladdepapiret bli oldt tilbake og ikke bli sendt til sensur. ostboks 6050 Langnes, -907 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no

2 Oppgave. 4 V Figur : En Carnot syklus i V diagram. Figur viser en Carnot-syklus i et V diagram. rosessen går i retning med klokka og består av fire delprosesser. a) Beskriv de fire delprosessene og oppgi vilken termodynamiske størrelse som er konstant i ver delprosess. Hvilke delprosesser bidrar til varmeregnskapet i syklusen, og i vilken retning (inn eller ut av systemet)? Effektiviteten e for en Carnot-syklus er gitt som Wtot e = = c () der Wtot er den totale arbeidet ut av motoren, og der og c er enoldsvis varme inn i og varme ut av systemet. b) Ta utgangspunkt i ligning () og beregn varmen inn i () og varme avgitt fra (c) Carnot-syklusen i figur. Bruk en ideell gass som arbeidssubstans, og vis at Carnot-effektiviteten er gitt ved: e C T = T c () UiT / ostboks 6050 Langnes, -907 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no

3 der T og Tc er temperaturene enoldsvis inn i og ut av motoren. For vilke betingelser vil effektiviten være maksimal og va er den maksimale effektiviteten til en Carnot syklus? Anta en Carnot-syklus der arbeidssubstansen ar temperaturen T w når varme absorberes fra varmereservoaret, og ar temperaturen T cw når varme overføres til kuldereservoaret. I de fleste tilfellene vil varmeoverførings-raten være direkte proporsjonal med temperaturforskjellene, slik at = KT ( Tw) t c = KT ( cw Tc ) t, () og der vi antar at proporsjonalitetskonstanten K er den samme for begge prosessene. Vi antar også at begge prosessene tar like lang tid, slik at t er den samme i begge tilfellene. c) Anta at det ikke dannes ny entropi i syklusen utenom de to varmeoverføringsprosessene, og vis at foroldet mellom de fire temperaturene kan uttrykkes ved relasjonen: T T T T = T T w cw c w cw (4) d) Anta at tiden som går med i de to adiabatiske trinnene er neglisjerbar, og finn et uttrykk for effekten (arbeid per tidsenet) ut av motoren. Bruk termodynamikkens første og andre lov sammen med resultatet fra b) til å vise at effekten kan uttrykkes som: K T c Effekt = ( T Tw ) Tw T (5) år kostnadene med å bygge en motor er mye større enn drivstoff-kostnadene, er det vanligvis ønskelig å optimalisere motoren for maksimal effekt ut i stedet for maksimal effektivitet. e) Finn et uttrykk for temperaturen T w vor effekten gitt ved ligning (5) ar en maksimumsverdi for gitt verdi T og Tc, og finn det tilsvarende uttrykket for T cw. Oppgave. artisjonsfunksjonen for en ideell gass med identiske atomer, ar formen Z = Z (6)! UiT / ostboks 6050 Langnes, -907 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no

4 Der Z er partisjonsfunksjonen for et enkelt atom, slik at ver Boltzmann-faktor ar E( s)/ Etr ( s)/ formen e = e, der Etr er atomets translatoriske kinetiske energi, slik at Z = Ztr (Vi ar er sett bort fra eventuell intern energi, dvs. Zint =.) Anta at et gitt energinivå En tilsvarer en gitt stående bølgelengde λ L n = i en endimensjonal boks med lengde L, der n =,,. er antallet bølge-topper og n -bunner. a) Argumentér for at de tillatte energiene for et atom i en én-dimensjonal boks er gitt ved E n n = (7) 8mL og vis at partisjonsfunksjonen Zd for en dimensjon, er gitt ved L Z d =, der l = l π m b) Utvid til tre dimensjoner og vis at partisjonsfunksjonen Z for atomer og er gitt ved v = l, Z V =! v (8) c) Vis med utgangspunkt i ligning (8) at U = Hva beskriver uttrykket? Hvilket teorem kan uttrykket også utledes fra? Oppgave. Det kan vises at partisjonsfunksjoen Z for en fotongass i et volum V ved temperaturen T er gitt ved følgende ligning: ln Z 5 8π = V 45 c (9) Videre kan vi få bruk for relasjonen mellom Helmoltz fri energi F og partisjonsfunksjonen Z, den termodynamiske identiteten for F og definisjonen av Gibbs fri energi G: UiT / ostboks 6050 Langnes, -907 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no 4

5 F = U TS = ln Z; df = SdT dv + µ d; G = U TS + V = µ (0) a) Vis at fotongassens energi U er gitt ved: U ( ) ( c) 4 5 8π = V. () 5 b) Vis at fotongassens entropi er gitt ved: 5 π S = 45 c kv. () Bruk resultatet til å angi en sammeneng mellom T og V for gassen. c) Finn fotongassens trykk (int: bruk en partiellderivert av F) og vis at Gibbs frie energi G for gassen blir null. Hva sier resultatet for G om det kjemiske potensialet µ i en fotongass? Hvilken egenskap ved fotontallet er årsak til at µ antar denne verdien (ved konstant T og V)? UiT / ostboks 6050 Langnes, -907 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no 5

6 yttige formler for Fys-00 Ideell gass: V = ; V = nrt () U f () termal Endring i indre energi: U W () W = - V (4) For adiabatisk prosess: Vf W ( V ) dv (5) Vi f / VT konstant (6) V konstant, der = f f (7) Varmekapasitet: C c C T m - ved konstant volum U C V T V - ved konstant trykk U V C T T (8) (9) (0) -for ideell gass C C k () V Antall måter å velge n ut fra totalt objekter:! (, ) n n! n! n () Multiplisitet for Einstein-krystall med oscillatorer og q energieneter:! (, ) q q q q q!! () For et system med to tilstander, f.eks. and i paramagnet:! ( )!! (4) Multiplisitet for ideell gass: V dvs / mu! /! (5) / ( U, V, ) f( ) V U (6)

7 Total multiplisitet for to systemer : Ωtot = ΩA ΩB (7) Stirlings tilnærmelse:! e eller ln! ln (8) Entropi: S k ln (9) Entropi for ideell gass: / 4 5 ln V mu S k (0) C dt Entropi-endring ved konstant volum: ds V T T () Blandingsentropi for to ulike gasser: S S S k ln () total A B Ved termisk likevekt mellom to systemer: S A U A S U B B () Termodynamisk identitet: Definisjon av temperatur: du TdS dv i d i (4) i S T U V, (5) Definisjon av trykk: Definisjon av kjemisk potensial: Virkningsgrad varmemotor: S T V U, S T UV, (6) (7) nytte W e = kost Tc e (8) T Coefficient of performance for kjøleskap: nytte CO c kost W (9) T CO T T (0) c c

8 Entalpi: H U + V () Helmolz frie energi: F U TS () Gibbs frie energi: G U TS+ V () T konstant: F UTS WTS, F W, (4) GUTSV WTSV, GWoter, W V W oter (5) GHT S (6) Termodynamiske identiteter: dh TdS Vd d (7) df SdT dv d (8) dg SdT Vd d (9) For flere partikkelslag i: dg SdT Vd idi (40) i Gibbs frie energi for flere partikkelslag: G i i (4) i d L Clausius-Clapeyron-relasjonen:, V Vg Vl; L latent varme. dt TV (4) Van der Waals ligning: a V b V (4) Boltzmann factor (BF) = e E( s)/, Es () energi for mikrotilstanden s. E( s)/ Sannsynliget for å finne en partikkel i tilstand s: s () e (44) Z artisjonsfunksjonen: s E( s)/ Z e (45) E( s) Z E Ese ( ) ln Z, Z s Z Midlere energi, én partikkel: (46) X( s) Generell variabel: X X() se (47) Z Midlere energi, partikler: U E (48) s

9 Rotasjonsenergi, di-atomært molekyl: E(j)=j(j+)ε, j=0,,, ; ε en konstant invers proporsjonal med molekylets tregetsmoment. rot j( j) /, antall degenererte tilstander for nivå. (49) Z j e j j j0 Maxwells astigetsfordeling: / m Dv () 4 mv / ve (50) Midlere astigeter: 8 v rms ; v ; vmax m m m (5) Helmolz frie energi def. ved partisjonsfunksjonen: F U TS ln Z (5) artisjonsfunksjon for sammensatt system: artikler som ikke vekselvirker og kan skjelnes fra verandre: tot artikler som ikke vekselvirker og ikke kan skjelnes fra verandre: Ztotal Z! artisjonsfunksjon for ideell gass: Z ZZZ Z (5) Én partikkel: Z ZtrZint (55) D: p p x y pz Etr / V Etr ; Ztr e m m m s v (56) Kvantevolumet: v = l = π m (57) (54) VZ Z n! v int (58) ( int ) ln Z = lnv + ln Z ln ln v + (59) Gibbs faktor: Sannsynliget for bestemt mikrotilstand Den store partisjonsfunksjonen, Gibbs sum: e ( E( s) ( s))/ () s e s ( E( s) ( s))/ E( s) ( s) / (60) (6) e (6)

10 Gibbs sum for to partikler: ( ) ( ) ( ) E s AA s BB s / e (6) Fotoners momentum: p = / λ (64) s Midlere fyllingsgrader: Fermi-Dirac-fordelingen n FD = ( )/ e ε µ + (65) Bose-Einstein-fordelingen = n BE ( )/ e ε µ (66) Boltzmanns fyllings-fordeling ( )/ nbm e (67) Fermi-energi og kjemisk potensial: µ (T=0) = εf (68) Fermi-energi, D: F 8m V / (69) Midlere energi for elektroner i degenerert Fermi-gass: Ū = /5 ε F (70) Trykk i degenerert Fermi-gass: U (7) D V Tilstandstetteter (antall enkelt-partikkeltilstander pr. energienet): lancks fordeling: m / 8 g() V / (7) F n l f / e (7) lancks spektrum: 8 u() c e / (74) lancks strålingslov: 4 Effekt pr. arealenet = T (75) 5 4 k 8 W Stefan-Boltzmanns konstant: (76) 5c mk

11 Integraler: Rekkeutviklinger: x e dx (77) 0 x e + x, når x<< (78) xx x, x (79) x Diverse tilnærminger: Konstanter: me = e - kg e = Coulomb R = 8. J/(mol K) A = k = R/A =, J/K ln( + x) x, x<< (80)