Kollokvium 4 Grunnlaget for Schrödingerligningen

Transkript

1 Kollokvium 4 Grunnlaget for Scrödingerligningen 10. februar 2016

2 I dette kollokviet skal vi se litt på grunnlaget for Scrödingerligningen, og på når den er relevant. Den første oppgaven er en diskusjonsoppgave om oppavet til ligningen. I den andre oppgaven skal vi regne litt omtrentlig på i va slags fysiske systemer kvantefysikk er viktig. Denne oppgaven finnes også som Oppgave 1.18 i Griffits. Oppgave 1 Diskusjonsoppgave På kollokviumssiden finner du en artikkel av Felix Bloc som diskuterer oppavet til kvantemekanikken og Scrödingerligningen. Les artikkelen, med spesiell vekt på de første to sidene, og tenk gjennom/diskuter med de andre på kollokviet følgende: Hvorfor må en bølgeligning være en differensialligning i posisjon og tid? Hvordan tror du Scrödinger gikk frem for å lage seg en ny bølgeligning på basis av de Broglies bølger? (Hva slags ingredienser må den a? Hva slags konstanter kan inngå? Hva må enetene være?) Hva tror dere skjer med Scrödingerligningen om vi lar m 0, og va skjer når 0? Oppgave 2 Når er beregninger i kvantemekanikk relevante? Kvantemekanikk er generelt sett relevant når de Broglies bølgelengde (λ /p) for den partikkelen man betrakter er større enn den karakteristiske størrelsen til systemet man ser på (d). I et system i termisk likevekt ved temperaturen T (i Kelvin), er den gjennomsnittlige kinetiske energien til en partikkel gitt ved K p2 2m 3 2 k BT, (1) vor k B er Boltzmanns konstant. Derfor er den typiske de Broglie bølgelengden til en partikkel i systemet λ 3mkB T. (2) Meningen med denne oppgaven er å forutsi vilke typer systemer som må beandles med kvantemekanikk, og vilke som trygt kan beskrives med klassisk fysikk. a) Faste stoffer. Gitteravstanden mellom to atomer i et typisk fast stoff er rundt d 0.3 nm. Finn temperaturen vor de frie 1 elektronene i det faste stoffet blir kvantemekaniske. Under vilken temperatur er 1 I et fast stoff er de indre elektronene til et atom bundet til kjernen, og for disse vil den relevante størrelsen være radiusen til atomet. De ytre elektronene er ikke bundet, og for disse er den relevante avstanden gitteravstanden mellom atomene. Her er det disse siste vi vil diskutere.

3 kjernene i et fast stoff kvantemekaniske? (Bruk natrium som eksempel.) Moral: De frie elektronene i et fast stoff er alltid kvantemekaniske; kjernene er nesten aldri kvantemekaniske. Det samme er tilfelle for vesker vor avstanden mellom atomer er omlag den samme, med unntak av elium under 4 K. Svar: Dersom størrelsen til systemet d skal være mindre enn bølgelengden λ, må vi a: d < 3mkB T, (3) som løst for temperaturen T blir 2 3mk B d2. (4) For elektroner med masse m MeV/c 2 og med Boltzmanns konstant gitt fra Kompendiet som k B ev/k må vi a en temperatur som er mindre enn (c) 2 3mc 2 k B d MeV ev/k (0.3 nm) K K. (5) For natriumatomer er massen m 23m p vor m p 938 MeV/c 2 er massen til et proton (protoner og nøytroner ar omlag samme masse). Vi regner ganske omtrentelig er fordi vi bare er interessert i størrelsesorden av svaret. Dette betyr at vi må a en temperatur MeV ev/k (0.3 nm) 2 3 K, (6) for å se kvantemekaniske effekter. b) Gasser. Ved vilken temperatur er atomene i en idéell gass med trykk P og temperatur T kvantemekaniske? Hint: Bruk gassloven for en idéell gass (PV Nk B T, vor V er volum og N antall gassmolekyler) for å finne avstanden mellom to atomer i gassen. Svaret skal bli 1 P 2/5. (7) k B 3m For at gassen skal oppvise kvantemekaniske egenskaper så vil vi, naturligvis, at m skal være så liten som mulig og P så stor som mulig. Sett

4 inn tall for elium ved én atmosfæres trykk og finn T. Er ydrogengass i det ytre rom, vor avstanden mellom ydrogenmolekylene er omlag 1 cm og temperaturen er 3 K, kvantemekanisk? Svar: Her må vi først finne vor langt det er mellom gassatomene (eller mer generelt molekylene), d. Hvis vi lar vert atom oppta et volum V d 3 (en boks med sidelengder d), og PV Nk B T gjelder for gassen, så er for et atom N 1 slik at avstanden mellom atomene uttrykt ved trykket P og temperaturen T må være: kb T 1/3 d. (8) P Med utgangspunkt, som i a), at så får vi som var det vi skulle vise. 2 3mk B d2, (9) 2 3mk B ( kb T P T 5/3 < 2 P 2/3 1 k B 3mk 5/3 B ( 2 3m ) 2/3 ) 3/5 P 2/5, (10) For elium, som ar m 4m p, og ved en atmosfæres trykk P N/nm 2, er da 1 (c) k B 3mc 2 P 2/5 1 (1240 nm ev) ( ev nm 3 ) 2/5 ev/k MeV 2.9 K. (11) Her ar vi brukt at eneten Newton (for kraft) kan skrives som slik at 1 N 1 J 1 m 1 J 10 9 nm ev nm 1, (12) P N nm nm ev nm ev nm 3. (13)

5 Eventuelt kunne vi regnet denne oppgaven med SI-eneter (sukk). Merk at elium blir til en veske under 4.2 K ved én atmosfæres trykk, slik at vi egentlig ikke kan undersøke de kvantemekaniske egenskapene til eliumgass ved slike lave trykk. Flytende elium derimot oppfører seg meget besynderlig på grunn av kvantemekaniske effekter. For ydrogengass med m 2m p og d 10 7 nm er (c) 2 3mc 2 k B d MeV ev/k (10 7 nm) K, (14) som vil si at gassen definitivt ikke er kvantemekanisk.