EKSAMENSOPPGAVE. Fys-2001 Statistisk fysikk og termodynamikk. 14 med forbehold om riktig telling

Transkript

1 Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMESOPPGAVE Eksamen i: Fys- Statistisk fysikk og termodynamikk Dato: 5. desember 7 Klokkeslett: Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Type innføringsark (rute/linje): Antall sider inkl. forside: Kontaktperson under eksamen: Telefon/mobil: Tabeller og formler i fysikk for FY og 3FY - K. Rottmann: Matematisk Formelsamling, - O. Øgrim: Størrelser, enheter og symboler i fysikken, - S. Barnett and T.M. Cronin: Mathematical Formulae, - C. ordling and J. Österman: Physics Handbook for Science and Engineering, - Formelark vedlagt eksamensoppgave - Enkel håndholdt kalkulator uten tilgang til eksternt nettverk. Ingen preferanser 4 med forbehold om riktig telling Åshild Fredriksen Vil det bli gått oppklaringsrunde i eksamenslokalet? Svar: JA Hvis JA: ca. kl.. B! Det er ikke tillatt å levere inn kladdepapir som del av eksamensbesvarelsen. Hvis det likevel leveres inn, vil kladdepapiret bli holdt tilbake og ikke bli sendt til sensur. Postboks 65 Langnes, -937 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no

2 Oppgave. Vi betrakter en reversert Stirling-prosess, karakterisert ved PV-diagrammet i figur. Vi har at T = T, og T3 = T4, der T < T3 Figur. a) Hvilke delprosesser inngår i denne syklusen? Finn utvekslet varme Q, endring i indre energi U og utført arbeid W i alle fire delprosessene. I en ideell Stirling-motor vil regeneratoren sørge for at Q3 blir lagret og ført tilbake til syklusen igjen ved Q4. Vi vil derfor se bort fra disse to størrelsene i neste del av oppgaven, og setter Qh = Q34 og Qc = Q pr syklus. En reversert Stirling-motor kan brukes som en varmepumpe som varmer opp en bygning til innetemperatur Th ved å pumpe varme inn i et hus fra en kald omgivelse med temperatur Tc på utsiden. Den fungerer altså på samme måte som et kjøleskap, men den varmer opp varmereservoaret i stedet for å kjøle ned kuldereservoaret. b) Vis at Q3 = - Q4. Tegn opp et energiflyt-diagram for varmemotoren (et diagram som viser varme- og energiflyt mellom reservoarene). Skriv opp relasjonen mellom Qh, Qc og W ved hjelp av termodynamikkens første lov. Forklar hvorfor coefficient of performance (COP) for en varmepumpe bør defineres som Qh /W. c) Vis at effektiviteten COP kan skrives som T h COP = T h T c () Diskuter COP som funksjon av utetemperatur ved jevn innetemperatur. d) Anta at vi ønsker å varme opp 4 mol luft (ideell gass) ved hjelp av en ideell reversert Stirling-motor ved utetemperatur Tc = 56 K til en innetemperatur Th = 96 K. Hva er elektrisk arbeid som må tilføres? Side av 4

3 Oppgave. I denne oppgaven ser vi først på uttrykk for noen termodynamiske variabler som kan utledes via den termodynamiske identiteten, for et system med fast antall partikler. a) Vis med utgangspunkt i differensialet til Helmholtz fri energi F og den termodynamiske identitet at F S = T V () og at U = T ( ) F T T (3) (Hint: Husk produktregel.) Symbolene har sin vanlige betydning. Vi betrakter en toatomig gass. Vibrasjonsenergien for et toatomig gassmolekyl er gitt ved ε = ( + / ), =,,... n hf n n der h er Plancks konstant og f er en frekvens. b) Vis at Z vib β hf / e = β hf (4) e der β = /. (Hint: nx e = x ) e n= c) Finn Helmholz frie energi F for ett mol av gassen, og vis at den indre energien U er gitt ved hf U = hf + e β A A hf (5) d) Finn spesifikk varme Cv, og diskuter grenseverdiene for Cv i grensen for ) Høy temperatur >> hf ) Lav temperatur << hf Side 3 av 4

4 Oppgave 3. I denne oppgaven skal vi studere Fermi-gasser. a) Tegn et diagram for Fermi-Dirac-fordelingen, for T. Hva er verdien for nfd når energien ε = µ? Marker µ i grafen. Tegn et nytt diagram for samme fordeling for T =. Marker Fermi-energien i dette diagrammet, og forklar med egne ord hva den betyr. Vi antar nå en degenerert elektrongass der omtrent alle elektronene er relativistiske slik at energien er gitt ved ε = pc, der p er lengden av en momentum-vektor. Vi antar videre at tillatte bølgelengder i en boks med lengde L i x-retningen er de samme som for ikkerelativistiske partikler, λ = L/n, der n er et positivt heltall. b) i) Skriv opp et uttrykk for momentum px i x-retningen, og vis at energien kan skrives som hcn ε =. L ii) Gjør rede for at det totale antall partikler i en n-sfære med maksimal radius π 3 nmax, kan skrives som = nmax. 3 iii) Finn Fermi-energien εf. c) Finn et uttrykk for den totale energien til dette systemet uttrykt ved og µ. Side 4 av 4

5 Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMESOPPGÅVE Eksamen i: Fys- Statistisk fysikk og termodynamikk Dato: 5. desember 7 Klokkeslett: Stad: Åsgårdvegen 9 Lovlege hjelpemiddel: Type innføringsark (rute/linje): Antall sider inkl. forside: Kontaktperson under eksamen: Telefon/mobil: Tabeller og formlar i fysikk for FY og 3FY - K. Rottmann: Matematisk Formelsamling, - O. Øgrim: Størrelser, enheter og symboler i fysikken, - S. Barnett and T.M. Cronin: Mathematical Formulae, - C. ordling and J. Österman: Physics Handbook for Science and Engineering, - Formelark vedlagt eksamensoppgave Enkel handheld kalkulator utan tilgang til eksternt nettverk. Ingen preferansar 4? Åshild Fredriksen Skal det gåast trøysterunde i eksamenslokalet? Svar: JA / ei Hvis JA: ca. kl. B! Det er ikkje lov å levere inn kladd saman med svaret. Om det likevel leverast inn, vil kladden bli heldt tilbake og ikkje sendt til Postboks 65 Langnes, -937 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no

6 Oppgåve. Vi ser på ein reversert Stirling-prosess, karakterisert ved PV-diagrammet i figur. Vi har at T = T, og T3 = T4, der T < T3 Figur. a) Kva for delprosesser inngår i denne syklusen? Finn utveksla varme Q, endring i indre energi U og utført arbeid W i alle fire delprosessene. I ein ideell Stirling-motor vil regeneratoren sørgja for at Q3 vert lagra og ført tilbake til syklusen igjen ved Q4. Vi vil difor sjå bort frå desse to storleikane i neste del av oppgåva, og set Qh = Q34 og Qc = Q pr syklus. Ein reversert Stirling-motor kan brukast som ein varmepumpe som varmar opp ein bygning til innetemperatur Th ved å pumpa varme inn i eit hus frå ein kald omgivnad med temperatur Tc på utsiden. Han fungerer altså på same måte som eit kjøleskap, men han varmar opp varmereservoaret i staden for å kjøla ned kuldereservoaret. Vis at Q3 = - Q4. Teikn opp ein energiflyt-diagram for varmemotoren (eit diagram som viser varme- og energiflyt mellom reservoara). Skriv opp relasjonen mellom Qh, Qc og W ved hjelp av den første loven til termodynamikken. Forklar kvifor coefficient of performance (COP) for ein varmepumpe bør definerast som Qh /W. b) Vis at effektiviteten COP kan skrivast som T h COP = T h T c () Diskuter COP som funksjon av utetemperatur ved jamn innetemperatur. c) Anta at vi ynskjer å varma opp 4 mol luft (ideell gass) ved hjelp av ein ideell reversert Stirling-motor ved utetemperatur Tc = 56 K til en innetemperatur Th = 96 K. Kva er elektrisk arbeid som må tilførast? Side 6 av 4

7 Oppgåve. I denne oppgåva ser vi først på uttrykk for nokre termodynamiske variablar som kan utledes via den termodynamiske identiteten, for eit system med fast mengd partiklar. a) Vis med utgangspunkt i differensialet til Helmholtz fri energi F og den termodynamiske identitet at F S = T V () og at U = T ( ) F T T (3) (Hitt: Hugs produktregel.) Symbola har den vanlege tydinga si. Vi ser på ein toatomig gass. Vibrasjonsenergien for eit toatomig gassmolekyl er gjeven ved ε = ( + / ), =,,... n hf n n der h er Plancks konstant og f er ein frekvens. a) Vis at Z vib β hf / e = β hf (4) e der β = /. (Hitt: nx e = x ) e n= b) Finn Helmholz frie energi F for eitt mol av gassen, og vis at den indre energien U er gjeven ved U hf A A = hf + e β hf (5) d) Finn spesifikk varme C v, og diskuter grenseverdiane for C v i grensa for ) Høg temperatur >> hf ) Låg temperatur << hf Side 7 av 4

8 Oppgåve 3. I denne oppgåva skal vi studera Fermi-gassar. a) Teikn eit diagram for Fermi-Dirac-fordelingen, for T. Kva er verdien for nfd når energien ε = µ? Marker µ i grafen. Teikn eit nytt diagram for same fordeling for T =. Marker Fermi-energien i dette diagrammet, og forklar med eigne ord kva han tyder. Vi antek no ein degenerert elektrongass der omtrent alle elektrona er relativistiske slik at energien er gjeven ved ε = pc, der p er lengden av en momentum-vektor. lengda av ein momentum-vektor. Vi antek vidare at tillatne bølgjelengder i ein boks med lengd L i x- retninga er dei same som for ikkje-relativistiske partiklar, λ = L/n, der n er eit positivt heiltal. i) Skriv opp eit uttrykk for momentum px i x-retningen, og vis at energien kan skrivast som hcn ε =. L ii) Gøyr reie for at det totale mengd partiklar i ein n-sfære med maksimal radius π 3 nmax, kan skrivast som = nmax. 3 iii) Finn Fermi-energien εf. b) Finn eit uttrykk for den totale energien til dette systemet uttrykt ved og µ. Side 8 av 4

9 yttige formler for Fys- Ideell gass: PV = ; PV = nrt () U f () thermal Endring i indre energi: U QW (3) W = -P V (4) For adiabatisk prosess: Vf W P( V ) dv (5) Vi f / VT konstant (6) V P konstant, der = f f (7) Q Varmekapasitet: C c C T m - ved konstant volum U C V T V - ved konstant trykk U V C P P T T P P (8) (9) () -for ideell gass C C k () P V Antall måter å velge n ut fra totalt objekter:! (, ) n n! n! n () Multiplisitet for Einstein-krystall med oscillatorer og q energienheter:! (, ) q q q q q!! For et system med to tilstander, f.eks. and i paramagnet:! ( )!! (3) (4) Multiplisitet for ideell gass: V h dvs 3 / 3 mu 3! 3 /! (,, ) ( ) (5) 3 / U V f V U (6) Total multiplisitet for to systemer : Ωtot = ΩA ΩB (7) Side 9 av 4

10 Stirlings tilnærmelse:! e eller ln! ln (8) Entropi: Entropi for ideell gass: S k ln (9) 3/ 4 5 ln V mu S k 3 h () Q C dt Entropi-endring ved konstant volum: ds V T T Blandingsentropi for to ulike gasser: S S S k ln () total A B () Ved termisk likevekt mellom to systemer: S A U A S U B B (3) Termodynamisk identitet: Definisjon av temperatur: du TdS PdV i d i (4) i S T U V, (5) Definisjon av trykk: Definisjon av kjemisk potensial: S P T V U, S T UV, (6) (7) Virkningsgrad varmemotor: nytte W e = kost Q h Tc e (8) T h Coefficient of performance for kjøleskap: nytte Q COP c kost W (9) T COP T T (3) c h c Entalpi: H U + PV (3) Helmholz frie energi: F U TS (3) Gibbs frie energi: G U TS+ PV (33) Side av 4

11 T konstant: F UTS QWTS, F W, (34) GUTSPV QWTSPV, GWother, W PV W other (35) GHT S (36) Termodynamiske identiteter: dh TdS VdP d (37) df SdT PdV d (38) dg SdT VdP d (39) For flere partikkelslag i: dg SdT VdP idi (4) i Gibbs frie energi for flere partikkelslag: G i i (4) i dp L Clausius-Clapeyron-relasjonen:, V Vg Vl; dt TV L latent varme. (4) Van der Waals ligning: a P V b V (43) E( s)/ Boltzmann factor (BF) = e, Es () energi for mikrotilstanden s. E( s)/ Sannsynlighet for å finne en partikkel i tilstand s: Ps () e (44) Z Partisjonsfunksjonen: s E( s)/ Z e (45) E( s) Z E Ese ( ) ln Z, Z s Z Midlere energi, én partikkel: Generell variabel: (46) X( s) X X() se (47) Z Midlere energi, partikler: U E (48) s Rotasjonsenergi, di-atomært molekyl: E(j)=j(j+)ε, j=,,, ; ε en konstant invers proporsjonal med molekylets treghetsmoment. rot j( j) /, antall degenererte tilstander for nivå. (49) Z j e j j j Maxwells hastighetsfordeling: 3/ m Dv () 4 Side av 4 mv / ve (5)

12 Midlere hastigheter: 3 8 v rms ; v ; vmax m m m (5) Helmholz frie energi def. ved partisjonsfunksjonen: F U TS ln Z (5) Partisjonsfunksjon for sammensatt system: Partikler som ikke vekselvirker og kan skjelnes fra hverandre: tot 3 Partikler som ikke vekselvirker og ikke kan skjelnes fra hverandre: Ztotal Z! Partisjonsfunksjon for ideell gass: Z ZZZ Z (53) Én partikkel: Z ZtrZint (55) 3D: p p x y pz Etr / V Etr ; Ztr e m m m s vq (56) Kvantevolumet: 3 3 h vq = lq = π m (57) (54) VZ Z n! v Q int (58) Gibbs faktor: Sannsynlighet for bestemt mikrotilstand Den store partisjonsfunksjonen, Gibbs sum: Gibbs sum for to partikler: ( int ) ln Z = lnv + ln Z ln ln v Q + (59) e ( E( s) ( s))/ () s e s ( E( s) ( s))/ E( s) ( s) / (6) (6) e (6) ( ) ( ) ( ) E s AA s BB s / e (63) Fotoners momentum: p = h/ λ (64) s Midlere fyllingsgrader: Fermi-Dirac-fordelingen n FD = ( )/ e ε µ + (65) Side av 4

13 Bose-Einstein-fordelingen = n BE ( )/ e ε µ (66) Boltzmanns fyllings-fordeling ( )/ Bm (67) n e Fermi-energi og kjemisk potensial: µ (T=) = εf (68) Fermi-energi, 3D: F h 3 8m V /3 (69) Midlere energi for elektroner i degenerert Fermi-gass: Ū = 3/5 ε F (7) Trykk i degenerert Fermi-gass: U P (7) D 3 V Tilstandstettheter (antall enkelt-partikkeltilstander pr. energienhet): Plancks fordeling: m 3/ 8 3 g() V 3 3/ (7) h F n Pl h f / e (73) Plancks spektrum: 8 u() 3 hc e 3 / (74) Plancks strålingslov: 4 Effekt pr. arealenhet = T (75) 5 4 k 8 W Stefan-Boltzmanns konstant: (76) 5hc mk Integraler: x e dx (77) nxmax ny max nzmax nmax π/ π/ dnxdnydnz = n dn sin θdθ dϕ, nmax = nxmax + nymax + nzmax (78) Side 3 av 4

14 Rekkeutviklinger: x e + x, når x<< (78) xx x, x (79) x 3 Diverse tilnærminger: ln( + x) x, x<< (8) Konstanter: me = e -3 kg e = Coulomb R = 8.3 J/(mol K) A = 6. 3 k = R/A =, J/K Side 4 av 4