Kapittel 9 FUNKSJONER C F 50 58 40 40 0 0 4 0 4 0 0 50 0 68 0 86 40 04 50 9 F C + 5 Her er F en funksjon av C Dette er like ra C 5 9 F 60 9 Her er C en funksjon av F
Kapittel 9 FUNKSJONER Det norske oljeeventyret År Uttak 980 04 PJ 98 99 PJ 98 06 PJ 98 89 PJ 985 467 PJ 984 6 PJ 986 799 PJ 987 098 PJ 988 80 PJ 989 56 PJ 990 466 PJ : Uttak 5, (årstall) 99 48, (årstall) + 98 497 950 88 PJ
Kapittel 9 FUNKSJONER Anvendt matematikk og ren matematikk 9 9 F C + y + 5 5 5 60 C F 9 9 5 60 y 9 9 y er en funksjon av -koordinat y-koordinat. kvadrant POSITIV POSITIV. kvadrant NEGATIV POSITIV. kvadrant NEGATIV NEGATIV 4. kvadrant POSITIV NEGATIV René Descartes (596 650) "Cogito ergo sum"
Kapittel 9 FUNKSJONER Lineære funksjoner y a + y + 0 y 7 eller slik y 0 7 y a + Forteller a og oss noe? y +
Kapittel 9 FUNKSJONER Lineære funksjoner y a + Alle punkt på y-aksen har -koordinat 0. 0 y a + a 0 + 0 + Vi har funnet noe som gjelder for grafene til alle lineære funksjoner: Den rette linjen y a + skjærer y-aksen i y høyde Stigning lengde a Stigningstall Stigningstallet til den rette linjen y a + er a
Kapittel 9 FUNKSJONER Lineære funksjoner y y + y y + y a + Linjen skjærer y-aksen i y. Stigningstallet til linjen er a. y 0 y a + 0 a + a : ( a) a a a a a y 0 + Hvis a ikke er 0, så skjærer den rette linjen y a + -aksen der a L i n e æ r e f u n k s j o n e r y a + Grafen er en rett linje Stigningstallet til linjen er a Linjen skjærer y-aksen i y Linjen skjærer -aksen i a
Kapittel 9 FUNKSJONER Ligningen eller linjen y a + når to punkt er kjent C F 50 58 40 40 0 0 4 0 4 0 0 50 0 68 0 86 40 04 50 F a C + ( C) y ( F) 0 50 0 86 y a + y a + høyde 86 50 6 a lengde 0 0 0 9 5 9 y + 5 Dersom vi ser på et punkt i taellen, for eksempel punktet (0,50) så forteller det oss at y 50 når 0. Det kan vi ruke slik: 9 y + 5 0 y50 9 50 0 + 5 Dette gir oss ligningen for den rette linjen: 9 y + 5 F som en funksjon av C kan skrives slik: 9 F C + 5
Kapittel 9 FUNKSJONER Algoritme for å finne ligningen y a + når to punkt på linjen er kjent Vi kaller de to punktene (,y ) og (,y ) Beregn a y y Velg ett av de to punktene. Erstatt og y i ligningen y a + med punktkoordinatene. Resultatet er en ligning med som ukjent. Løs den.
Kapittel 9 FUNKSJONER Vi skal finne ligningen for den rette linjen som går gjennom punktene (, ) og (4,5). y a + Grafen går gjennom punktene (, ) og (4,5) (,y ) (, ) (,y ) (4,5) 4 y y 5 a y y 5 ( ) 4 5 + 4 6 y + Vi skal ytte ut og y med koordinatene til ett av punktene og velger det andre, dvs. punktet (4,5). 5 4 + 5 8 + 8 5 ( ) y Linjen gjennom (, ) og (4,5) har stigningstall og skjærer y-aksen i y.
Kapittel 9 FUNKSJONER Ligningen eller linjen y a + når stigningstallet og ett punkt er kjent Algoritmen for å finne ligningen y a + når to punkt (,y) og (,y) er kjent, så slik ut: Beregn y a y Velg ett punkt. Erstatt og y i ligningen y a + med punktkoordinatene. Resultatet er en ligning med som ukjent. Løs den. Vi kan ruke den siste delen av algoritmen slik: Algoritme for å finne ligningen y a + når stigningstallet a og ett punkt er kjent Vi kaller punktet (,y) Erstatt og y i ligningen y a + med punktkoordinatene og y. Resultatet er en ligning med som ukjent. Løs den. eller vi kan sette punktkoordinatene inn i ettpunktsformelen og omforme til y a + y y a( ) Ettpunktsformelen
Kapittel 9 FUNKSJONER Omvendte eller inverse funksjoner 9 F C + 5 9 5 5 C + F 9 C + 60 5 F 9 C 5 C 60 : 9 5 60 9 C C y + 9 9 5 5 60 y + 9 9
Kapittel 9 FUNKSJONER Flerleddsfunksjoner (polynomfunksjoner) Uttak 5, (årstall) 99 48, (årstall) + 98 497 y 5, 99 48, + 98 497
Kapittel 9 FUNKSJONER Flerleddsfunksjoner (polynomfunksjoner) Paraler y a + + c a > 0 paraelen har unnpunkt a < 0 paraelen har toppunkt
Kapittel 9 FUNKSJONER Symmetrilinjen paraler s + ) a 4ac ( ) a 4ac ( s + + + a 4ac a a 4ac a s + + a 4a a a a a a a s + a s
Kapittel 9 FUNKSJONER Oppsummering paraler En paraelligning har formen y a + + c Hvis a er negativ (a < 0), så har paraelen toppunkt. Hvis a er positiv (a > 0), så har paraelen unnpunkt. Grafen skjærer y-aksen i y c Grafen skjærer -aksen i og a 4ac + a 4ac Symmetrilinjen skjærer -aksen i s a
Kapittel 9 FUNKSJONER Begrepet uendelig Paraelen y har med punktet origo (0,0), men det har ikke "paraelen" y Hvor langt er det mellom venstre og høyre grafdel?
Kapittel 9 FUNKSJONER Brøkfunksjoner (hyperler) y 60 6 y 80 0 60 0
Kapittel 9 FUNKSJONER Brøkfunksjoner (hyperler) y 4,75,5 6 y 0,5 0,5 Brudd 0,5 0,5
Kapittel 9 FUNKSJONER Brøkfunksjoner (hyperler) y 4 + 4 6,5,75 y,5 7 Brudd 8 0,75 Vertikal (loddrett) asymptote Horisontal (vannrett) asymptote 4 y + 4 4 + 4 4 4 + 4 4 + 4 4 + 4 0 + 0 4 når
Kapittel 9 FUNKSJONER Oppsummering røkfunksjoner (hyperler) a y c + + d Hyperelen y a + (c er forskjellig fra 0) har c + d loddrett asymptote gjennom d c og vannrett asymptote gjennom y a c Dette gjelder ikke for lineære røkfunksjoner (side 58) I stedet for loddrett asymptote kan vi si vertikal asymptote vannrett asymptote kan vi si horisontal asymptote
Kapittel 9 FUNKSJONER Lineære røkfunksjoner y 6,75,5 4 7 y,00 Brudd,00. 6 ( ) y y 0 + for alle -verdier unntatt
Kapittel 9 FUNKSJONER Ungdom og inntekt Totalkostnad: y 0 + 000 Snittkostnad (enhetskostnad): 0 + 000 y Produksjon i stk. Totalkostnad per produkt i kroner 0 + 000 00 00,00 0 + 000 00 50,00 0 + 000 00 4, 000 500 50 0 50 500 000 y 9 8 0 Brudd 0
Kapittel 9 FUNKSJONER Eksponentialfunksjoner En ordnet eksponentialfunksjon definerer vi slik: f () a a og er konstanter. Funksjonstypen kalles eksponentialfunksjon fordi variaelen/argumentet er eksponent i en potens. Dersom for eksempel antall innyggere i en y er 00 000, og dersom vi antar at antall innyggere vil stige med 0 % hvert år i de neste 0 årene, kan eksponentialfunksjonen til høyre være en matematisk modell for denne utviklingen. I kapittel 5 så du at vekstfaktoren, gir en økning på 0 %. Grafen til funksjonen y f () 00000, går slik med fra og med 0 til og med 0: Dette kan være en matematisk modell for de neste 0 årene. Ifølge den vil innyggerantallet i yen li fordolet om vel 7 år. Kanskje kan vi ha grunn til å tro på modellen. Men kan vi ruke den for de neste, la oss si 50 årene? Vi ser på en grafisk framstilling:
Kapittel 9 FUNKSJONER E etyr 0 000 000 (E-en står for eksponent i en potens med 0 som grunntall). E etyr 0 000 000 5E etyr 5 0 5 000 5000 er anslaget for antall innyggere om vel 40 år. Anslaget er 5000 ganger hundre tusen innyggere som er lik 500 millioner innyggere. Dersom dette er en y i Norge, kan vi resonnere videre slik: I Norge er det i dag (006) knapt 5 millioner innyggere. Da er det vel lite trolig at are én y skal få 500 millioner innyggere om ikke så mange år (vel 40). Når vi studerer grafen til funksjonen f () 00000,, ser vi at den lir rattere og rattere økningen i antall innyggere per år lir større og større. Det må ety at det er en grense for hvor lenge funksjonen f () 00000, kan være en matematisk modell for virkeligheten. Her erører vi noe viktig. Når vi lager en matematisk modell for utviklingen i årene framover, er det meget viktig å fortelle hvilket tidsrom den er ment å gjelde for.
Kapittel 9 FUNKSJONER I egynnelsen av dette kapitlet så vi på funksjonen Uttak 5, 99 48, + 98 497 Her kan settes lik årstallene fra og med 980 til og med 990. Funksjonen gir uttaket av råolje (målt i enheten PJ) fra Nordsjøen i åttiårene og er utareidet i ettertid. Den er derfor en ra modell for det som skjedde fra 980 til 990. For igjen å understreke hvor viktig det er å fortelle hvilke -verdier en funksjon skal gjelde for, siterer vi et avsnitt fra egynnelsen av dette kapitlet som kommenterer denne funksjonen. Råoljefunksjonen ør vi være mer kritiske til. Ufarlig, men komisk, lir det for eksempel hvis vi ruker den på året 950. Da vil funksjonen fortelle oss at uttaket av råolje i 950, før "oljeeventyret" startet, var på 88 PJ, altså nesten sju ganger mer enn uttaket i 990. Grunnlaget for funksjonen er uttakene i årene 980 til 990, og den virker ra for disse årene. Funksjonen er en matematisk modell for perioden 980 til 990. Hvis vi tror at modellen også vil fungere ra for den nærmeste framtiden, kan den være nyttig når vi skal planlegge. Men vi kan komme ut å kjøre hvis vi satser på modellen, og det i ettertid viser seg at den tok feil. Her gjelder det altså å være kritisk.
Kapittel 9 FUNKSJONER La oss nå, som rene matematikere, se nærmere på eksponentialfunksjonen f () a Først forutsetter vi at åde a og er positive størrelser, dvs. at a > 0 og at > 0. Med a og får vi eksponentialfunksjonen f () som har slik graf:
Kapittel 9 FUNKSJONER Vi ser at grafen skjærer y-aksen i y. Det overrasker oss ikke. Med 0 lir 0 y f() lik (husk at alle tall opphøyd i nullte er lik, dvs. med algera at a 0 ). Med positive -verdier lir grafen rattere og rattere jo større -verdier vi ruker økingen i y-verdi lir større og større hver gang vi øker -verdien med, dvs. for hver gang vi går til den neste heltallige -verdien. 0 6 9 8 Her økte y-verdien med 6 4 Her økte y-verdien med 8 6 osv.
Kapittel 9 FUNKSJONER Men hvordan forklarer vi grafen når har negative verdier? Hvis vi lar være lik, lir y f () lik. Potensregelen n a n a forteller oss. Det gir y-verdien. Det ser ut for å stemme med grafen. Hvis vi lar vare lik, lir y f (). lik Potensregelen n a n a forteller oss 9. Det gir y-verdien 9 9. Også det ser ut for å stemme med grafen. Grafen ser ut til å nærme seg -aksen når lir stadig mindre. Kommer den til å skjære -aksen?
Kapittel 9 FUNKSJONER Svaret på spørsmålet Kommer grafen til å skjære -aksen? når lir stadig mindre, er nei. Vår funksjon er slik. f () Dersom vi for eksempel lar være lik 00, forteller potensregelen oss at 00. 00 n a n a Nevneren i den siste røken, dvs. 00, er en meget stor positiv verdi. Det positive tallet dividert på denne store positive verdien gir en meget liten, men positiv, verdi. Vi innser at uansett hvilken negativ verdi vi opphøyer i, så vil potensen opphøyd i denne verdien være lik en positiv verdi. Det etyr her at grafen til funksjonen f () vil nærme seg mer og mer -aksen når -verdiene lir stadig mindre. y f()-verdien er hele tiden positiv og stadig mindre, men lir aldri helt lik 0. Et litt filosofisk spørsmål: Hvor nært 0 kan y-verdien komme?
Kapittel 9 FUNKSJONER Grafen til funksjonen f () ( ) går slik: Grafene til funksjonene f () ( ) og f () er speilvendte om y-aksen.
Kapittel 9 FUNKSJONER Det at grafene til funksjonene ) ( () f og () f er speilvendte om y- aksen følger av potensregelen n n a a. Regelen ekrefter funksjonsverdiene på forrige side: 6 ) ( 6 8 9 9 9 9 9 9 ) ( ) ( 8 9 Nå kan vi oppsummere slik: Når a og er positive verdier, vil grafene til funksjonene a () f ) ( a () f ligge over -aksen, skjære y-aksen i y a og være speilvendte om y-aksen. Vi kan alternativt si det samme slik: Når a og er positive verdier, vil grafene til funksjonene a () f a f () ligge over -aksen, skjære y-aksen i y a og være speilvendte om y-aksen.
Kapittel 9 FUNKSJONER Vi forutsetter fortsatt at åde a og er positive verdier. Hva er det som avgjør om eksponentialfunksjonen f () a har slik graf eller slik graf
Kapittel 9 FUNKSJONER Du har meget mulig svaret på spørsmålet på forrige side klart. Før vi gir det, la oss se på grafen til funksjonen f () a, dvs. funksjonen f () a med. Den går slik: Dette overrasker oss ikke. opphøyd i en hvilken som helst verdi er lik. Men det indikerer at svaret på spørsmålet foran går på om er større eller mindre enn. Dersom, som vi forutsetter er positiv, er større enn, vil grafen til eksponentialfunksjonen f () a skjære y-aksen i y a og stige mot høyre. Dersom den positive verdien er mindre enn, dvs. dersom den ligger mellom 0 og, vil grafen fortsatt skjære y-aksen i y a, men avta mot høyre. Vi oppsummerer: y f () a. a og er positive verdier. > 0 < < Men hva hvis a er negativ og positiv?
Kapittel 9 FUNKSJONER Vi ser på grafen til f (). Den går, kanskje ikke overraskende, slik: Også her får vi symmetri om y-aksen hvis vi ytter -verdien med -verdien. Det gir oss eksponentialfunksjonen f () ( ) som har slik graf:
Kapittel 9 FUNKSJONER Vi oppsummerer det vi vet så langt: a og er positive verdier. Grafene til funksjonene Grafene til funksjonene Grafene til funksjonene Grafene til funksjonene f () f () f () f () a og f () a er symmetriske om -aksen. a og f () a ( ) er symmetriske om y-aksen. a og f () a ( ) a og f () a ( ) skjærer y-aksen i y a. ligger under -aksen. Vår funksjon er slik: f () a. Nå gjenstår are ett spørsmål: Hva hvis er negativ?
Kapittel 9 FUNKSJONER La oss resonnere videre med funksjonen f () ( ), dvs. funksjonen f () ( ) Vi kan sette funksjonsverdiene for lik 0,, og i taell slik: y f () ( ) 0 y ( 0 ) y ( ) y ( ) 4 y ( ) 8 Det gir følgende graf: Så langt estår grafen av fire punkt. Foreløpig er den ikke sammenhengende (kontinuerlig). For å få vite om den er kontinuerlig, dvs. om alle -verdier kan rukes, må vi undersøke hvilke funksjonsverdier vi får dersom vi ruker -verdier mellom de heltallige -verdiene. Vi prøver med -verdier mellom 0 og på neste side.
Kapittel 9 FUNKSJONER Hva hvis vi lar være lik en halv, dvs. Dersom vi kan ruke -verdien 0,5?, må funksjonsverdien kunne eregnes slik: y ( ) En regel for omregning mellom kvadratrøtter og potenser er slik: a a. Regelen gir at ( ) må kunne omskrives til ) (. Men dette går ikke. Vi kan ikke eregne kvadratrota av negative tall. Det finnes ingen negative tall som opphøyd i andre gir en negativ verdi minus ganger minus gir pluss. Det etyr av det ikke eksisterer en y-verdi (en funksjonsverdi for funksjonen f () ( ) ) når. Det etyr at grafen ikke er sammenhengende (kontinuerlig). Da eholder vi de funksjonsverdiene vi fant foran og kutter 0, 5
Kapittel 9 FUNKSJONER. 5 Vi prøver en ny -verdi, denne gangen -verdien 0, Potensregelen n a n ( ) 5 ( ). a gir at vi kan omskrive slik: 5 Kalkulatoren forteller oss videre at 5 0, ( ) ( ) ( ), 5 5 Vi kan altså eregne femterota av et negativt tall. Femterota av for eksempel, dvs. 5 ( ) 5, er fordi 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 ( + ) ( + ) ( ) 5 0, Vi fant foran at f ( ) ( ) ( ), 5 5 Da kan vi ajourføre grafen til f () ( ) med enda et punkt slik:
Kapittel 9 FUNKSJONER Vi innser at vi kan finne uendelig mange punkt på grafen til funksjonen f () ( ) og at vi kan finne uendelig mange -verdier som ikke gir en y-verdi som ikke gir et punkt på grafen. En generell formel for forholdet mellom n-te-røtter og potenser er slik: p q p q a a Hvilke -verdier gir et punkt på grafen, og hvilke gjør det ikke? Det kan ligge mye god trening i å prøve og esvare spørsmålet.
Kapittel 9 FUNKSJONER Vi avrunder dette avsnittet med å se på den kanskje mest erømte eksponentialfunksjonen y f () e der e er det irrasjonale tallet,78888459045. Hvis du har lyst å huske desimalene, kan du tenke komma 7 og to ganger fødselsåret til Henrik Isen (88) og en halv, en hel og en halv rett vinkel. Grafen til y f () e går slik:
Kapittel 9 FUNKSJONER I kapittel 8 så vi på riggske logaritmer der grunntallet er 0. Tallet e er også mye rukt som logaritmegrunntall. Da kaller vi logaritmene naturlige logaritmer som vi forkorter til ln. Det gir definisjonen e ln a a. Det etyr at -aksen i den grafiske framstillingen på forrige side gir oss logaritmene til tallene på y-aksen. ln 0 e 0 ln 0,69 e 69 ln e e e,78888459045... ln 8,0794 e 0794 8 Dette ser ut til å stemme med grafen.
Kapittel 9 FUNKSJONER Grafen til funksjonen går slik: y f () ln Også her kan vi avlese (grafen ser ut til å ekrefte) at ln 0 e 0 ln 0,69 e 69 ln e e e,78888459045... ln 8,0794 e 0794 8 Grafene til funksjonene forholdet e ln a a. y f () e og y f () ln er i slekt gjennom Foran ser du at de grafiske framstillingene av y f () e og y f () ln har samme graf, men at - og y-aksen har yttet plass. Virker det logisk for deg at det er slik? Hvis ikke, jo litt med å se sammenhengen.
Kapittel 9 FUNKSJONER Sammenhengen mellom grafene til y f () e og y f () ln ser du tydelig hvis vi framstiller grafene i det samme koordinatsystemet. Da lir resultatet slik: Vi har også trukket symmetrilinjen y. De to grafene er symmetriske om denne linjen. Nå skal vi se på potensfunksjoner. Her er ikke eksponenten, men grunntallet i en potens.
Kapittel 9 FUNKSJONER Potensfunksjoner En potensfunksjon er en funksjon på formen y f () a. Under og på den neste siden ser du grafene når a er 6 og henholdsvis 0,, og. 0 y f () 6 Alle tall, unntatt 0, opphøyd i 0 er lik. 0 0 har ingen definert verdi. Derfor mangler grafen et punkt når 0. y f () 6
Kapittel 9 FUNKSJONER y f () 6 y f () 6 Hvordan går grafene til y f () 6 når er 4, 5, 6 osv..?
Kapittel 9 FUNKSJONER Grafen til den siste funksjonen, y f () 6, går slik: Dersom vi endrer a-verdien a 6 til a 6, dvs. dersom vi framstiller grafen til funksjonen y f () 6, vil den gå slik:
Kapittel 9 FUNKSJONER De to grafene på forrige side er et eksempel på følgende forhold: Grafene til funksjonene y f () a og y f () a er symmetriske om -aksen. Hvordan vil grafene til funksjonen og negativ? y f () a gå hvis vi lar a være positiv Vi lar a være lik og henholdsvis lik, og. Hvordan går grafene til y f () y f () y f ()
Kapittel 9 FUNKSJONER kan med potensregelen a a omskrives til Dette er en kjent hyperel. Derfor er det kanskje ikke overraskende at grafen til y f () går slik: Funksjonen har ingen y-verdi når 0. Vi kan ikke dividere på 0. Med potensregelen a a kan vi omskrive slik: Grafen til y f () går slik: Heller ikke her får vi en y-verdi når 0. 0 0 Vi kan ikke dividere på 0.
Kapittel 9 FUNKSJONER Grafen til funksjonen y f () går slik: La oss nå se på potensfunksjonen y f () a når ikke er et heltall. Vi lar a være lik og lik. Hvordan vil grafen gå?
Kapittel 9 FUNKSJONER. Vi skal se på potensfunksjonen y f () Regelen a a forteller at vi kan omskrive slik: y f (). Her er negative -verdier utelukket. Vi kan ikke eregne kvadratroten av negative tall. Grafen til y f () går slik: Er det et slektskap mellom grafen til y f () og grafen til y f ()?
Kapittel 9 FUNKSJONER Under ser du grafene til funksjonene til y f (). y f (), y f () og grafen Når > 0, er grafene til y. Hvorfor? y og y symmetriske om den rette linjen
Kapittel 9 FUNKSJONER Vi kan eregne tredjerota av åde positive og negative verdier. Grafen til y f () går slik: Her ser vi at ( 8) og at 8. Det stemmer. ( ) ( ) ( ) 8 og 8.
Kapittel 9 FUNKSJONER Partallsrøtter av negative verdier eksisterer ikke. Derfor har funksjonen y f () 4 4 are y-verdier når 0, dvs. når [0, >. Grafen går da slik: Her ser vi at 4 og at 6 4. Det stemmer. og 6. Hvordan går grafene til y f () når er lik, 5, 6, 7 8 osv.?
Kapittel 9 FUNKSJONER Formuleringen y f() y Et uttrykk der tallet inngår. y f() Et vilkårlig punkt (, y) på grafen kan vi angi slik: (, f() ) a y f(a) (a, f(a) ) y f() (, f() ) a + y f(a + ) (a +, f(a + )) Hvis flere funksjoner skal diskuteres samtidig, er det vanlig å kalle de respektive funksjonsverdiene f(), g(), h() osv. eller for eksempel k() hvis vi diskuterer kostnadsfunksjoner i edriftsøkonomien.
Kapittel 9 FUNKSJONER Definisjonsmengde og verdimengde Definisjonsmengden til en funksjon y f() er de -verdiene vi kan ruke. Verdimengden er de y-verdiene vi får når vi ruker alle -verdiene. y f () D f [0, [ etyr fra og med V f [, y f () D f [0, V f [,
Kapittel 9 FUNKSJONER Kirkemøtet i Nikea i år 5 estemte at påskesøndag skulle være første søndag etter første fullmåne etter vårjevndøgn, dvs.. mars. Dato for påskesøndag vil derfor være en dato i perioden. mars til 5. april. Årstall ALGORITME Påskesøndag Divider årstallet på 9 og kall divisjonsresten a Divider årstallet på 4 og kall divisjonsresten Divider årstallet på 7 og kall divisjonsresten c La være lik 4 og y lik 5 ( 4 og y 5) Beregn 9 a + 0 og kall divisjonsresten d. Beregn + 4 c + 6 d + y 7 og kall divisjonsresten e. Beregn d + e + og kall summen f. Beregn d + e 9 og kall resultatet g. Hvis f, så er påskesøndag f. mars. Hvis f >, så er påskesøndag g. april. I algoritmen lot vi 4 og y 5. Da er funksjonen gyldig for årene 900 099. Dersom vi vil ruke andre årstall, må vi ha andre - og y- verdier.