Numerisk matematikk. Det man bør kunne: (og som bør inn i formelsamlingen)

Transkript

1 Ulven Innhold Numerisk matematikk Metoder for å forenkle utregning av eksponentialverdier, kvadratrøtter, o.s.v. Metoder for å eregne integraler av funksjoner vi ikke klarer å antiderivere. Metoder for å løse ligninger og finne nullpunkter til funksjoner vi ikke klarer å løse på andre måter. Det man ør kunne: (og som ør inn i formelsamlingen) Integrasjon med: Vanlig summering: fxdx n i0 fx i x,derx a a n og x i a i x (Se side 49.) Trapesmetoden: fxdx x fx a 0 fx fx...fx n fx n,der x a n (Se side 5.) Simpson(Paraelmetoden): fxdx x fx a 3 0 4fx fx...4fx n fx n der x a n (Se side 53.) (4 og annenhver gang.) Løsing av ligninger med Newtons metode: x n x n fx n f x n I det som følger er det tatt med en del mer for å sette numerisk matematikk inn i en større sammeheng. Hva mener man med "numerisk matematikk"? Mange utregninger i matematikken kan ikke løses eksakt, eller er så tidkrevende å løse eksakt, at man heller ruker taeller, lommeregner eller datamaskin til utregningene. Taeller og lommeregner er asert på det vi kaller numeriskmatematikk,somerenegengrenav matematikken, der man istedenfor å ruke eksakte utregninger ruker tilnærmingsmetoder. Ofte er det omtrent slik: Istedenfor å regne eksakt og vanskelig i en operasjon regner man tilnærmet og enkelt i flere omganger. "Enkelt" vil vanligvis ety at alt reduseres til gjentagne addisjoner og multiplikasjoner. For oss kan dette virke tungvindt p.g.a. alle gjentagelsene, men for lommeregnere og datamaskiner går gjentagelser raskt! (Lommeregnere og datamaskiner kan ikke integrere, potensere, regne ut logaritmer, regne ut trigonometriske funksjoner o.s.v. direkte, alt lir redusert til gjentagne addisjoner og multiplikasjoner!) Eksempler: Istedenfor å regne ut 6 7 direkte, i en "vanskelig" operasjon (multiplikasjon), kan man regne ut i 6 deloperasjoner med en enklere operasjon (addisjon). av 3 numerisk.tex

2 Ulven Istedenfor å regne ut 6 3 direkte, i en vanskelig operasjon (potensregning), kan man regne ut i deloperasjoner med en enklere operasjon (multiplikasjon), eller dele opp i enda flere deloperasjoner med addisjon: Istedenfor å regne ut x dx eksakt, direkte og vanskelig; x 3 3 kan man regne tilnærmet, med flere enklere deloperasjoner: (Bruker summer av rektangler, som i definisjonen av integral i MX:) 5 i x i x 5 i i i 0. 5 i (are addisjon og multiplikasjon:) (flere ledd ville gitt edre nøyaktighet) Konklusjon: Numerisk matematikk er å erstatte kompliserte regneoperasjoner med enklere regneoperasjoner som gir gode tilnærmingsverdier. Resten av dette notatet er eksempler på slike metoder. Utregning av kvadratrot Heron (ca. 00 f.kr.): Vi skal finne N : Algoritme: (gjentagelser av enkle operasjoner). Start med et tall i nærheten av det riktige: a. Regn ut en ny a ut fra den gamle: a N a Gjenta til det lir så nøyaktig du ønsker. (Kan f.eks. stoppe når endringen fra gang til gang er mindre enn 0.00.) Mer matematisk kan dette eskrives omtrent slik:. Start med et tall i nærheten av det riktige: x. Regn ut x x x N,x 3 x x N,x 4 x 3 x N 3,... Gjenta (x n x n x N n )tilx n x n 0.00 Altså rett og slett en rekursivt definert tallfølge: x startverdi,x n x n N x n Eksempel på ruk: : Startverdi: x x. 5 x x av 3 numerisk.tex

3 Ulven x På lommeregner kan man gjøre: 0.4(Ans/Ans).5 ENTER ENTER ENTER ENTER På en datamaskin ville man programmert dette omtrent slik: (Bruker et program i lommeregneren som eksempel.) HERON: :Disp "KV. AV: " :Input N :Disp "Start: " :Input A :Ll G :AG :0.5(AN/A)A :If as(a-g)0.00:goto G :Disp A :Stop Kjederøk (Orienteringsstoff, men morsomt!) Såkalte kjederøk-følger konvergerer raskt og kan rukes til å finne åde kvadratrøtter og funksjonsverdier til trigonometriske, eksponentielle og logaritmiske funksjoner. La oss si vi skal finne En algoritme som fungerer er: x startverdi, x n x n Med lommeregner: /(Ans) ENTER ENTER ENTER... ENTER Konvergerer altså mot. Får altså en for lite, men den kan vi lett legge til til slutt! Vis at x n x n konvergerer mot 3. 4 Vis at x n x n konvergerer mot 5. Ser altså ut til at x n N x n konvergerer mot N! Konvergerer litt langsommmere enn Heron, men er enklere, da x n are forekommer en gang i 3 av 3 numerisk.tex

4 Ulven uttrykket. ( N x n sammenlignet med x n N x n ) Forklaring på hvorfor det heter kjederøk og hvordan algoritmen er laget: er den ene av de to løsningene til andregradsligningen: x x 0 ( er den andre) xx Vi deler med x : x x x Så kommer et morsomt trick, vi setter ligningen inn i seg selv (!): x x Dette er så morsomt at vi gjentar i det uendelige(!!): x... Dette er en "kjede"-røk! Hvis vi starter med en startverdi, får vi: x startverdi. og kan skrive det som x startverdi,x n x n og dermed har vi algoritmen vi startet med for å finne (og dermed ). Vi prøver å generalisere litt: En andregradsligning x ax 0harløsning: x a 4a 4 a a Vi lager en kjederøk: xx a x ax x a a a... eller: x n startverdi,x n ax n Dette konvergerer mot løsningen a a a a a a a... a a a a... a og vi får derfor: Vi kan altså finne a med først å ruke algoritmen x n ax n og helt til slutt legge til a. en del ganger, Eksempel: (Velger høyeste kvadrat under det tallet vi skal finne kvadratroten av.) Da er a og, og vi får samme algoritme som før: x n x n 7 3 gir a og 3 og vi får algoritmen: 3 x n ax n 4x n Vi prøver med lommeregner: 4 av 3 numerisk.tex

5 Ulven /(4Ans 0.5 ENTER ENTER ENTER... ENTER Andre eksempler på ruk av kjederøk: Det gyldne snitt fremkommer ved å dele et linjestykke i to deler; x og a. Forholdet mellom delene ( a x ) skal være som forholdet mellom en del og hele linjestykket( xa a ): a x ax a x ax a 0 med løsningene:- a a 4a 5 a Da lir a x 5 5 (Forkaster negativ løsning.) Vi omformer forholdet: x a a ax x a x a Ut fra dette kan vi lage en kjederøk:... x startverdi, x n x n Eksempel på trigonometrisk kjederøk-utvikling tanx x x 3 x 5 x som tilsvarer algoritmen: 7 x 9... (Ikke så lett å vise men illustrerer hvordan datamaskiner kan regne ut trigonometriske funksjonsverdier.) Eksempel: tan Med 5 ledd i kjederøkutviklingen og startverdi 0.5, får vi: / (/6) ^/(9-0.5) (/6)^/Ans) (/6)^/Ans) (/6)^/Ans) /6/Ans Interpolasjon Interpolasjon er en teknikk som rukes for å finne tilnærmede verdier for en funksjon mellom to kjente verdier. Dette er nyttig når man skal lage numeriske taeller, eksempelvis taell for sinus-verdier. 5 av 3 numerisk.tex

6 Ulven Mellom to kjente funksjonsverdier, fa og f, kan vi finne en tilnærmet funksjonsverdi for x-verdien midt i mellom a og, ved å tilnærme kurven med en rett linje mellom de to kjente punktene på kurven: f a ffa fa faf Eksempler: Hvis vi havnet på en øde øy uten lommeregner, og skulle lage en sinus-taell, kunne vi for eksempel gå frem slik: Skrive ned alle verdier vi kjenner: sin0,sin30,sin45,sin60,sin90 Bruke: sin x cosx og cosx sin x til å finne: 5,7.5,3.75,....5,.5,5.65,... Bruke sinx y til å finne ,... Bruke interpolasjon til å finne mellomliggende verdier. I taellen over standardnormalfordelingen finner vi: og Hvis vi ønsker å finne.645 kan vi interpolere, d.v.s. tilnærme.645 med verdien midt i mellom, altså: (Bruker formelen f a faf lenger opp.) Mer nøyaktig interpolasjon kan man selvfølgelig få til ved å tilnærme med en andregradskurve gjennom tre punkter på en kurve. Neste steg er selvfølgelig å tilnærme med tredjegradskurver, fjerdegradskurver, o.s.v. Henry Briggs og logaritmetaeller Logaritmer (lgx) le oppfunnet av Briggs for å gjøre nettopp det numerisk matematikk går ut på, forenkle kompliserte regneoperasjoner til enklere. Logaritmereglene: lga lga lg forenkler fra multiplikasjon til addisjon! lga lga forenkler fra potens til multiplikasjon! (Forutsetter at man allerede har laget en logaritmetaell!) For å lage logaritmetaellen rukte Briggs tilnærmingsformelen lg ( forutsettes liten) og interpolasjon. Før lommeregnerens tid inneholdt formelsamlingen logaritmetaeller, og vi måtte ruke disse for å regne på f.eks. eksponentialfunksjoner! Alternativet til taell var regnestaver, som ved å ha logaritmiske skalaer gjorde om multiplikasjon og potensregning til henholdsvis addisjon og multiplikasjon. Se f.eks. eller og Interpolasjon og numerisk integrasjon Newton rukte tilnærmingen med to delintervall: 6 av 3 numerisk.tex

7 Ulven fxdx x fa 4f a a f der x a 3 Newton konstruerte denne metoden ved å tilnærme fx med en andregradsfunksjon gjennom a,fa, a,f a og,f. (Poenget med denne formelen (og generaliseringene under), er at man får større nøyaktighet enn med vanlig rektangelsummering med samme antall delintervaller.) Eksempel: Integralet 0 x dx.56 (som dukket opp i.f.m. uelengde) lir med Newtons metode tilnærmet med: For å få større nøyaktighet utledet Newton også metoder der han delte i tre intervaller (tilnærming med tredjegradspolynom), fire intervaller (fjerdegradspolynom) o.s.v. Med tre intervaller og tredjegradspolynom fikk Newton formelen: 3x a fa 3fa x 3fa x f (der x ) 8 3 Da får vi: Simpson gikk en litt annen vei, han delte i flere intervaller, men rukte fremdeles andregradspolynom innenfor hvert intervall og fikk eksempelvis formelen: x a a a a fa 4fa fa 4fa 3 f (der x ) Da får vi: 0 x dx Simpsons utvidelser med flere intervaller fungerer faktisk like ra som Newtons utvidelser. Nullpunkter og løsning av ligninger. Å løse ligninger kan sees på som å finne nullpunkter til en funksjon: fx 0 Eksempel: Ligningen e x x kan for eksempel gjøres om til e x x 0 Å finne en løsning av ligningen er derfor det samme som å finne nullpunkter til funksjonen fx e x x Grafer vi fx e x x fårvi: 7 av 3 numerisk.tex

8 Ulven y x Når vi ruker CALC,:zero på lommeregneren finner vi løsningene: x og x.4693 Vi må angi et punkt til venstre og høyre for skjæringene med x-aksen. Halveringsmetoden En enkel algoritme, som kanskje lommeregneren ruker, er "halveringsmetoden":. Start med x-verdier til venstre og høyre for nullpunktet: x v og x h. Regn ut f xvx h. 3. Hvis denne funksjonsverdien har samme fortegn som fx v ruker vi xvx h som ny x v, men hvis funksjonsverdien har samme fortegn som fx h ruker vi xvx h som ny x v. 4. Hvis funksjonsverdien er nærme nok null avslutt, ellers gå til. -5 Prosessen kan illustreres slik: x v x h xvx h f xvx h E 8 Algoritmen konvergerer langsomt, men for en rask datamaskin spiller ikke dette noen rolle. På en datamaskin ville man programmert dette omtrent slik: (Bruker et program i lommeregneren som eksempel. Funksjonen må være lagt i Y for at programmet skal virke.) HALVM: :Disp "V: " :Input V :Disp "H:" :Input H :Ll G :(VH)/M :Y(M)F :If (F*Y(V))0:Then: 8 av 3 numerisk.tex

9 Ulven :MV :Else :End :MH :If as(f) :goto G :Disp M :Stop Newton-Raphson metoden Denne konvergerer raskere, men ulempen er at den krever at vi regner ut den deriverte av funksjonen. På en datamaskin kan utregningen av den deriverte ta lenger tid enn alle gjentagelsene i halveringsmetoden. Men for Newton og andre som ikke har datamaskiner/lommeregner tilgjengelig, fungerer Newton-Raphson metoden ra, da den konvergerer raskt. Enklest å forstå grafisk; vi går fra en startverdi loddret kurven, tangentialt til x-aksen, loddrett til kurven, tangentialt til x-aksen, o.s.v. Algoritmen er: x startverdi, x n x n fx n f x n Eksempel: Vi prøver å løse x N, d.v.s. det samme som å finne N. fx x N f x x x n x n x nn x n x n x n N x n x n N x n x n x N n som faktisk er identisk med Herons metode. (Se også oppgave 4.6.) Ligningen over løser vi slik: fx e x x f x e x x n x n ex nx n e x n Ved å legge inn Ye ^(X)-X- og Ye ^(X)-, kan vi illustrere prosessen: Ans-Y(Ans)/Y(ans) ENTER ENTER ENTER ENTER.4693 ENTER.4693 Briggs formel lg kan også utledes fra Newton-Raphson. Fikspunktmetoden En annen metode som kan rukes for å løse ligninger er å skrive dem på formen: fx x 9 av 3 numerisk.tex

10 Ulven og ruke selve funksjonen fx som algoritme: x startverdi, x n fx n Hvorfor dette virker er lettest å se grafisk. (Se illustrasjoner lengre ned.) Det å ruke hver funksjonsverdi, fx, som ny x-verdi, tilsvarer grafisk å gå fra x-aksen til grafen,deretter vannrett inn til linjen y x, deretter loddrett til grafen, deretter vannrett til linjen y x, o.s.v. Enten får vi da et sikksakkmønster inn mot den søkte verdien, eller så får vi et sikksakkmønster mot. (Dette er prolemet med fikspunktmetoden, den konvergerer ikke alltid, og vi finner ikke alltid den løsningen vi skal ha, slik som i eksemplet som følger, der vi are finner løsningen til venstre ikke den til høyre.) Eksempel: Ligningen e x x, som vi så på under Newton-Raphson metoden, kan f.eks. skrives som e x x y x - Vi legger inn Ye ^(X)-, og taster: Y(Ans) ENTER ENTER ENTER ENTER ENTER ENTER ENTER Grafiske illustrasjoner av Newton-Raphson og fikspunktmetoden: 0 av 3 numerisk.tex

11 Ulven Se også: Se også: Oppgaver og eksempler: Finne 649 : N 649 Heron (og Newton): x startverdi, x n x n x N n Kan starte med f.eks. 5 (5 65, som er litt mindre enn 649) (Ans649/Ans) 5.48 ENTER ENTER ENTER Kjederøkutvikling: a a a a a /(50Ans) 0.3 ENTER ENTER ENTER av 3 numerisk.tex

12 Ulven Integrasjon: 0 dx ln x x 0 ln ln ln Med Newtons tilnærmingsformel og to intervaller: 0 0 x Med Simpsons tilnærmingsformel og 4 intervaller: Nullpunkt/ligning: x 0 x fx x f x x Newton-Raphson: x n x n x n x n Blir altså samme algoritme som Heron. x nx n x n x n x n x n x n 0 x : fx 0 x.0005 f x 0 x ln0 Newton-Raphson: x 0, x n x n 0x n x n ln Ans-(0 ^Ans-.0005)/(0 ^Ans*ln(0)).7474E-4 ENTER.70997E-4 ENTER.70997E-4 Vi løser: 0 x x.0005 x lg0 lg.0005 x lg Vi ser at allerede en runde med Newton-Raphson gir 3 sifferes nøyaktighet, slik at vi kan si: lg.0005 x 0x x ln ln 0 ln ln 0 ln 0 som er på formen til Briggs: lg c c Flere integraler: x a) x dx x ) Newton-Raphson: 0 x dx c) 0 x dx 0 x dx x dx Generelt: 6 6 a fa 4fa d fa d 6 a fa 4fa d fa d 4fa 3d f fa d 4fa 3d f a av 3 numerisk.tex

13 Ulven fa 4fa d fa d 4fa 3d f a x 7 : En annen måte å se det på: x 7 x 7 x x x 7 x x x x 7 x x x 7 x x 7 x x 7... Altså. x startverdi, x n x n x 7 n Heron kan altså også utledes fra en kjederøkutvikling. 3 av 3 numerisk.tex