1 HG Revdert mars 013 Notat tl kapttel 5 Løvås Regler om ormalfordelge Kjeskap tl reglee for ormalfordelge er gruleggede for de statstske aalyse kapttel 6 Løvås, og studetee må kue beherske dsse skkkelg dette kurset. Reglee er stort sett gtt kapttel 5 Løvås, me ltt ufullstedg og usammehegede. Jeg vl derfor dette otatet samle og utfylle de vktgste reglee som må kues, samt g oe eksempler på bruk av dem. Reglee er stort sett gtt ute bevs (som er relatvt tekske). Defsjo: V skrver kort X ~ N ( µσ, ) for e modell der X er ormalfordelt med forvetg, EX ( ) = µ, og stadardavvk, σ = var( X) = SD( X). De speselle ormalfordelge N (0, 1), kalles stadard ormalfordelg og Løvås bruker symbolkke Gz ( ) = PZ ( z) for de kumulatve fordelgsfuksjoe hvs Z ~ N (0, 1). Eksempel: Hvs du for eksempel e oppgave får oppgtt at X ~ N( 1, ), så følger speselt at EX ( ) = 1 og var( X ) = 4. Merkad. Du treger kke å kjee formele for sasylghetstetthete for X ~ N ( µσ, ) dette kurset, me for fullstedghetes skyld skrver jeg de opp her 1 ( x µ ) σ 1 f( x) = e for < x< π σ (kke pesum) Det du må vte om dee fordelge (utover det som står defsjoe) er: X er kotuerlg fordelt slk at PX ( = x) = 0 for alle x. Fordelge (grafe tl f( x )) er etoppet, klokkeformet med maksmumsverd for x = µ. Og de er symmetrsk rudt x = µ slk at de dele av f( x ) som lgger tl vestre for x = µ er et øyaktg spelblde av dele som lgger tl høyre for x = µ (jfr. fgur 5.14 Løvås). Dette mplserer bl.a. at, hvs a er et tall > 0, er PX ( µ a) = PX ( µ + a) (llustrer på e fgur!).
Regel R1 (står kke Løvås, me brukes mplstt flere steder): Hvs X ~ N ( µσ, ) og Y = a + bx, der a og b er kostater, er også Y ormalfordelt ( ) Y ~ N E( Y ), SD( Y ) = N( a + bµ, b σ) (Merk at uttrykkee N tl høyre følger av regler for forvetg og varas kapttel 4.) Eksempler som følger av regel R1 (sjekk): Hvs X ~ N( 1, ), er () Y = 1 X ~ N( E( Y ), SD( Y )) = N(, ). X 1 () ~ N,1 og () 1000 3 X ~ N ( 997, 6) +. X µ µ 1 Hvs X ~ N ( µσ, ), er Z = ~ N(0, 1) (sett a = og b = σ σ σ R1). La Gx ( ) være de kumulatve fordelgsfuksjoe for Z, dvs Gx ( ) = PZ ( x), som er tabulert tabell D.3 Løvås. Av dette får v regel 5.14 Løvås: X µ x µ x µ x µ PX ( x) = P = P Z = G σ σ σ σ Hvs X ~ N( 1, ), er, sde PX= ( 0) = 0, 0+ 1 1 PX ( < 0) = PX ( 0) = G = G = 0,6915 Løvås. følge tabell D.3 Merkad. Sasylgheter e ormalfordelg ka også reges ut Excel: Bruk NORM.DIST fuksjoe Excel 010 (heter NORMDIST Excel 007). Prøv det for PX< ( 0) sste eksempel og sammelg med tabell D.3. Regel R. Summer av ormalfordelte varable (regel 5.17 Løvås pressert) La X1, X,, X være uavhegge og ormalfordelte varable slk at X ~ N ( µ, σ ) for = 1,,,. ( X - ee behøver altså kke å være detsk fordelte). La a1, a,, a være vlkårlge kostater. Da er Y= ax 1 1+ ax + + ax også ormalfordelt: ( ) = ( µ + µ + + ) 1 1 µ σ + σ + + 1 1 σ Y~ N EY ( ), var( Y) N a a a, a a a der uttrykkee N tl høyre følger av regler om forvetg og varas kapttel 4.
3 Av regel R følger drekte e vktg regel om gjeomstt av ormalfordelte varable (brukt flere gager kurset, me kke satt opp eksplstt som e regel Løvås). Regel R3. Gjeomsttet av ormalfordelte varable er (eksakt) ormalfordelt. La 1 X, X,, X være uavhegge og detsk ormalfordelte varable slk at X ~ N ( µσ, ) for = 1,,,. Da er Y = X = ( X1+ X + + X) også ormalfordelt: ( ) Y~ N EY ( ), var( Y) = N µ, Bevs: R3 følger drekte av R: La R, µ 1 = µ = = µ = µ, σ1 = σ = = σ = σ (sde alle fordelgee for X1, X,, X er lke, må alle forvetger være lke og alle 1 stadardavvk være lke). La a1 = a = = a =. Da ser v at Y = X omfattes av regel R, og v ka slutte at Y er ormalfordelt. Parameterverdee de aktuelle ormalfordelge er σ gtt ved EY ( ) og var( Y ) som er fuet før kapttel 4: EY ( ) = µ og var( Y ) =. Alteratvt, kue ma få fram dsse parameterverdee fra formlee sste uttrykk regel R: 1 1 1 1 a1µ 1+ aµ + + aµ = µ + µ + + µ = µ = µ 1 1 1 1 1 σ a1σ1 + aσ + + aσ = σ + σ + + σ = σ = σ = Bevs slutt. Eksempler på bruk av R1-R3: Ata X og Z er uavhegge og ormalfordelte der X ~ N( 1, ) og Z ~ N (0, 1). F PY< ( 0) der Y = X Z. Løsg: I følge regel R er Y ormalfordelt (sett for eksempel X1 = X, X = Z, a1 = 1, a = 1 og = ). Parameterverdee fer v som EY ( ) = 1 0= 1 og regel 4.17 var( Y) = var( X) + var( Z) = 4 + 1 = 5 Dermed er Y ~ N( 1, 5), og det adre eksemplet etter regel R1 gr: 0 ( 1) PY ( < 0) = PY ( 0) = G = G(0,45...) = 0,6736 (altså ltt 5 mdre e sasylghete fuet ovefor (= 0,6915) for at X selv
4 får egatv verd. Mao. å trekke fra (eller legge tl) Z på X-e er som å tlføre støy på X.). Ata X1, X,, X er uavhegge og detsk ormalfordelte med X ~ N( 1, ) for = 1,,,. For e vlkårlg har v fra R3 at gjeomsttet er ormalfordelt, X ~ N 1,. Sde spredge dee fordelge avtar med, er det rmelg å forvete at sasylghete for at X skal få egatve verder øker med. Dette bekreftes av tabell 1 uder. Som før bruker v det adre eksemplet etter R1 og fer: 0 ( 1) PX ( < 0) = G = G hvorav, følge tabell D.3 Løvås (sjekk tallee!), Tabell 1 Gjelder hvs hver X er N(-1, ) fordelt PX< ( 0) 1 0,50 0,6915 5 1,1 0,8686 10 1,58 0,949 0,4 0,9875 30,74 0,9969 50 3,54 > 0,9990 Egeskape tl gjeomsttet som er beskrevet regel R3 bygger på forutsetge at ekeltobservasjoee er ormalfordelte. Dette er tlsyelatede e sterk forutsetg som bare utaksvs er realstsk prakss. Imdlertd, hvs atall observasjoer () kke er for lte (v bør ha 0 som e tommelfgerregel), vl koklusjoe at gjeomsttet er ormalfordelt fortsatt gjelde tlærmet uasett hvlke fordelg ekeltobservasjoee er trukket fra. Dette er det berømte setralgreseteoremet (kjet sde 16-17-hudretallet). Løvås serverer setralgreseteoremet to versjoer, regel 5.18 og 5.19, samlet regel R4 edefor. Dette betyr eksemplet ovefor at, selv om v kke vet oe mer om fordelge tl X utover at EX ( ) = 1og var( X ) =, så ka v lkevel slutte at X er tlærmet N 1, 0 ( 1) PX ( < 0) G = G fordelt år 0, slk at
5 (merk at de første lkhete er erstattet med ) og tabell 1 ka hvert fall delvs fylles ut: Tabell. PX< ( 0) år hver X har e vlkårlg fordelg med forvetg 1 og stadardavvk. PX< ( 0) 1 0,50 ------- 5 1,1 ------- 10 1,58 ------- 0,4 0,9875 30,74 0,9969 50 3,54 > 0,9990 Merk at v her kke ka ag oe verder for PX< ( 0) tlfellee = 1, 5 og 10 ute at v vet mer om fordelge tl ekeltobservasjoee. Det er også verdt å merke seg at tlærmelse tl ormalfordelge blr bedre og bedre dess større er. Regel R4 Setralgreseteoremet La X1, X,, X være uavhegge varabler fra samme sasylghetsfordelg (kke ødvedgvs ormalfordelg!) med forvetg, EX ( ) = µ, og stadardavvk, var( X ) = σ. Hvs er stor ( 0 ases valgvs tlstrekkelg), gjelder X ~ N EX ( ), var( X) = N µ, tlærmet (a) (regel 5.18) ( ) tlærmet (b) (regel 5.19) Y= X1 + + X ~ N( EY ( ), var( Y) ) = N( µ, σ) Merk at (b) (regel 5.19) stregt tatt er overflødg år v har tlgag tl (a) og regel R1. For, hvs X er tlærmet N µ, fordelt, følger (hvorfor?) av regel R1 at Y = X også er tlærmet ormalfordelt: tlærmet Y ~ N ( E( X ), var( X ) ) = N ( E( X ), var( X ) ) = N µ, = N ( µ, σ). I tllegg tl dsse reglee er regel 5.0 Løvås vktg som vser at ormalfordelge ofte (kke alltd) ka brukes som tlærmg tl bomske, hypergeometrske og posso-fordelger.
6 Jeg skrver kke opp de regele her, me oppfordrer studetee tl å øve seg på å bruke de. Speselt vktg kapttel 6. Forhåpetlgvs vl presserge av reglee ovefor gjøre dette lettere.