HG Revdert aprl 2 Overskt over tester Eco 23 La θ være e ukjet parameter (populasjos-størrelse e statstsk modell. Uttrykket ukjet parameter betyr at de sae verde av θ populasjoe er ukjet. Når v setter opp e statstsk modell (som represeterer populasjoe v trekker data fra, atar v utgagspuktet at modelle er sa for e vss (ukjet verd av parametere θ og usa for alle adre verder. Aførselstegee rudt sa ovefor skyldes at begrepet sa parameterverd ku gr god meg dersom forutsetgee som er foretatt modelle er realstske forutsetger om populasjoe. I dette kurset har de hypotesee v tester om (de sae ukjete verde av θ tre alteratve former beskrevet tabelle uder. Merk at θ står for e kjet (! hypotetsk verd som er bestemt av de uderlggede problemstllge: De sae verde av θ ka godt være lk θ, me behøver slett kke være det! roblemet er ettopp at v kke vet hvor de sae verde av θ befer seg. Alteratv H H Type θ θ θ > θ Esdg problem 2 θ θ θ θ 3 θ = θ θ θ < Esdg problem Tosdg problem La ˆ θ være e aktuell estmator for θ, slk at W = er tlærmet (oe få gager eksakt N(, -fordelt (uasett hva de sae verde av θ måtte være, og der = ( ˆ θ er e eller ae estmert versjo av stadardfele tl ˆ θ. Vår testobservator, = får v da ved å bytte ut θ med θ W. ka brukes som testobservator alle de tre alteratve problemee. Merk (NB! forskjelle mellom og W: W er e kke-observerbar stokastsk varabel med samme (tlærmet kjete fordelg uasett hva de sae verde av θ er (dvs W er e såkalt pvotal., dermot, er e observerbar stokastsk varabel som er (tlærmet N(, -
2 fordelt bare hvs θ = θ (for så fall, og bare da, er = W. Hvs de sae verde θ er forskjellg fra θ, har e ae sasylghetsfordelg som kke er N(,! Sde ˆ θ er e estmator for de ukjete (sae verde av θ, har v ˆ θ θ θ θ, hvorav som er > hvs θ > θ og < hvs θ < θ. Derfor bør v forkaste H problem-alteratv hvs er tlstrekkelg stor postv ( > c. I alteratv 2 bør v forkaste H hvs er tlstrekkelg stor egatv ( < c 2, og alteratv 3 bør v forkaste H hvs ete er tlstrekkelg stor egatv eller tlstrekkelg stor postv ( < c 3 eller > c4. c, c2, c3, c4 er passede krtske verder. Som det beste kompromss mellom to motstrdede krav tl kotroll av sasylghete for fel av type I og fel av type II, vser det seg at de krtske verdee c, c, c, c alle de tre alteratvee ekelt ka bestemmes som løsge av lgge θ= θ(forkast H =, der er det valgte sgfkasvået.. Merk at sasylghete lgge utvkles det speselle tlfellet at θ = θ der er (tlærmet N(, -fordelt. For eksempel alteratv 3 får v = (Forkast H = ( < c + ( > c. Velger v 2 for begge sasylghetee (som ka vses er det beste valget får v θ= θ θ= θ 3 θ= θ 4 c3 = z 2 og c4 = z 2, der z 2 er 2 -kvatle N(,. 2 3 Tabell Strukture av -tester (Jfr. stuasjo og 3 tabell 2 og alle tre stuasjoer tabell 3 Alteratv H H θ θ θ > θ 2 θ θ θ < θ 3 θ = θ θ θ -vå test: Forkast hvs H verd ( er observert verd av = > z ( θ= θ > z o = < z ( θ= θ < z o = < z 2 eller > z 2 2 θ= θ( > z o z o 4
3 Mer kokret skrver v ut edefor hvorda -testee ser ut for alteratv forskjellge modell-stuasjoer tabell 2 og 3. Alle testee er såkalte -tester. Eeste utak er stuasjo 2 tabell 2 (t-test der eeste forskjell er at N(, -fordelge er byttet ut med t -fordelge. Tabell 2 Tester for H : μ μ mot H : μ > μ (alteratv år modell er (*:, 2,, er uavh. og detsk fordelte med 2 E ( = μ og var( = σ (Jfr. regel 6.5 og 6.6. Tlsvarede for alteratv 2 og 3 med samme testobservator. Stuasjo Forutsetger (modell σ votal ( W = 2 3 4 ( = Modell (* samme med: ~ N(, σ, =,2,, Vlkårlg Kjet μ μ ~ N(, = > z μ σ σ Modell (* samme med: ~ N( μ, σ, =,2,, Vlkårlg Ukjet μ μ ~ t T = T > t, S S stor, Bare modell (* der 3 μ tlærmet μ har vlkårlg fordelg Ukjet ~ N(, = > z (tl ød S S 2 Bare modell (* der har vlkårlg fordelg lte Ukjet Ikke pesum Forkastgkrterum Sgfkasvå verd ( z, er o to observert verd av, T Eksakt ( z Eksakt ( T t Tlærmet ( z Merkad. I prakss er atakelg stuasjo 3 de vktgste/valgste. Løvås er dessverre ltt kapp omtale av dee. Ha ever de ku e bsetg (etter eller de sste setge regel 6.6. Merkad 2. Styrkefuksjoe er hos Løvås bare agtt stuasjo. De ka aturlgvs også bestemmes de adre stuasjoee, me er ltt mer komplserte og kke pesum.
4 Tabell 3 -tester for alteratv tabell (basert på regel 5.2 (ormaltlærmg for bomsk, hypergeometrsk og posso fordelg. Sgfkasvå tlærmet. (Tlsvarede for alteratv 2 og 3 som tabell Modell Estmator ˆ θ W votal ( ˆ tlærmet = θ θ ~ N(, (uasett θ ( ˆ tlærmet = θ θ ~ N(, (hvs θ = θ Betgelse for ormaltlærmelse Forkastgskrterum verd ( z o er observert verd av ~b( p, = var( 5 ( p( p 5 p p( p tlærmet ~ N(, = p p( p > ( z z p= p > o ~ hypergeom. ( M,, N = var( 5 ( p = M N ~ pos( tλ ˆ var( 5 λ = t ( tλ 5 ˆ tlærmet p p ~ N (, p( p N N ˆ λ λ tlærmet ~ (, λ t N = p p( p N N ˆ λ λ > ( z z p= p > o = > z λ t ( z λ= λ Husk at otasjoe ~ pos( m er valgt slk at det som står på m s plass alltd er lk E( (som også er lk var( e oppgave fremgår at ~ pos(3,7, følger automatsk at E ( = var( = 3,7. Av modelle tabelle følger således at E ( = var( = tλ. posso-fordelge. Hvs det for eksempel
5 Merkad 3 Merk at v (som Løvås har brukt p og λ stedet for ormalfordelge lgge (Forkast H og ˆ λ evere på. Dette er for å forbedre tlærmelse tl θ= θ = tl bestemmelse av de krtske verde. Merk at for å løse dee lgge med hesy på de krtske verde treger v bare å kjee fordelge tl det tlfellet at de sae θ skulle være lk θ. Med dee måte å teke på treger v altså kke å estmere pvotale. E alteratv test (kke evt pesum er å bruke og ˆ λ stedefor. De test-varate har tlærmet de samme egeskapee som de foreslåtte og dukker ofte opp ltterature. Regresjosmodelle Tester for ukjete parametre de ekle stadard regresjosmodelle med ormalfordelte restledd følger samme møsteret som stuasjo 2 tabell 2, med eeste forskjell at 2 frhetsgrader beyttes t-fordelge stedefor som stuasjo 2. e har, som ovefor, alle tlfeller forme ( ˆ θ = som er t 2 -fordelt det speselle tlfellet at θ θ =, og sgfkasvået 2 gjelder eksakt for alle 3. Hvs 3, ka t 2 -fordelge byttes ut med N (, og teste vl ha sgfkasvå tlærmet selv om y-observasjoee er trukket fra e vlkårlg ae fordelg e ormalfordelge. 2 Dee alfae må kke forveksles med kostatleddet alfa regresjosfuksjoe μ( x = + βx populasjoe (Løvås otasjo.