S kapittel 4 Modellering Løsninger til kapitteltesten i læreboka 4.A a Enhetskostnaden er gitt ved totalkostnaden dividert med antall produserte enheter, altså K( x) Gx ( ) =. Det gir Gx ( ) = 0,x+ 5 + 70x x b Grensekostnaden er tilnærmet ved den deriverte til kostnadsfunksjonen. Det blir K ( x) = 0,4x+ 5. c Vi finner kostnadsoptimal produksjonsmengde ved å sette K ( x) = G( x) og løse for x. 0,4x + 5 = 0,x+ 5 + 70x 0,x= 70x 70 x = 0, x = 350 =± 36,74 Det er bare den positive løsningen som gir mening, så kostnadsoptimal produksjonsmengde er x = 37 enheter. 4.B a Grensekostnaden og grenseinntekten kan tilnærmes med den deriverte av kostnads- og inntektsfunksjonen. Det gir K ( x) = 0,6x+ 3 og I ( x) = 0,x+ 60. b Overskuddet Ox ( ) er størst der O ( x) = 0. Ox ( ) er gitt ved differansen mellom inntektene og kostnadene, altså Ox ( ) = I ( x) K( x). Deriverer vi, får vi O ( x) = I ( x) K ( x). Dette skal være lik null, så vi får kravet K ( x) = I ( x). c Vinningsoptimal produksjonsmengde er den verdien av x der Altså løser vi K ( x) = I ( x) for x. Ox ( ) er størst. 0,6x+ 3 = 0,x+ 60 0, 6x = 8 8 x = = 07,7 0, 6 Overskuddet blir størst ved en produksjon på 08 enheter. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side av 5
4.C a Inntekten er gitt ved I( p) = p e( p), så vår inntektsfunksjon blir 3 I( p) = p 30 p + 40 p. b e(4) e(3) = 6 0 + 40 9 + 90 40 = 3 I(4) I(3) = 4 (6 0 + 40) 3(9 90 + 40) = 67 Hvis prisen øker fra 3 kr til 4 kr, går etterspørselen ned med 3 enheter. Inntekten øker med 67 kr. e(9) e(8) = 8 70 + 40 64 + 40 40 = 3 I(9) I(8) = 9 (8 70 + 40) 8 (64 40 + 40) = 53 Hvis prisen øker fra 8 kr til 9 kr, går etterspørselen ned med 3 enheter. Inntekten går ned med 53 kr. c Prisen som gir størst inntekt, finner vi ved å sette I ( p) = 0 og løse for p. Den deriverte av inntekten er I ( p) = 3p 60 p+ 40, så vi får 3p 60 p+ 40 = 0 p 0 p+ 80 = 0 Vi bruker abc-formelen med a =, b = 0 og c = 80. p= 4,47 p= 5,53 Bare den minste løsningen er i definisjonsområdet. Prisen blir altså p = 5,53 kr. 3 Den gir en inntekt I (5,53) = 5,53 30 5,53 + 40 5,53 = 578,89, altså 579 kr. 4.D a Uttrykket for en eksponentiell modell er f ( t) = Ce kt. Opplysningene i oppgaven gir oss 0 at f (0) =,4 og f () = 4, 4. Det gir f(0) = Ce k =,4, altså C =,4. Vi finner k. f k () = C 4, 4 k 4, 4, 4 ln 4, 4 ln, 4 k = = 0, 0954 Modellen vår blir altså antall år. f() t =,4 e 0,0954t, der f angir antall passasjerer i millioner og t er b Vi legger f () t inn i vårt digitale verktøy og ber om integralet fra t = 0 til t =. Svaret blir 3,4, altså i overkant av 3 millioner passasjerer. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side av 5
4.E a Vi setter inn for t =. 00 f () = = 8, 3 + 90e 3 Etter uker er 8,3 % av arbeidet fullført. b Byggevirksomheten er størst der f () t er brattest. Dette skjer i punktet der C f() t = = 50. Vi setter opp likningen og løser for t. 00 50 = + 90e 0,5t 90e + = 0,5t 0,5t 90 t = 4 ln 90 = 7,9 8 Byggevirksomheten er størst etter 8 uker. c Fra forrige deloppgave vet vi at det fullføres mest arbeid per uke ved 8 uker. Dette punktet burde ligge midt i den åtteukersperioden da størst andel av prosjektet fullføres. Med andre ord skulle vi få at åtteukersperioden begynner ved t = 4. Vi undersøker om resonnementet stemmer. Andelen arbeid som fullføres i et 8-ukers tidsrom er gitt ved g( t) = f( t+ 8) f( t). Vi er interessert i maksimalverdien av gt ( ). Vi må undersøke når g ( t) = 0, altså når f ( t+ 8) = f ( t). Den deriverte av uttrykket for Cabe logistisk vekst er N () t = (se eksempel 6 på side 53), så vi får likningen a e ) e e 8 b e Cab = Cab bt a e ) a e e ) e = ae ) ae e ) Vi tar kvadratroten av begge sider og snur brøkene. a e e ) + a 4b e 4b 4b e + ae + ae e 4b 4b 4b a e e (e ) = e 4b a bt + 4b = lna ln a ln 90 t = 4= 4 4 b 0, 5 Vi ser at resonnementet vårt stemte: Størst andel av prosjektet fullføres fra uke 4 til uke. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 3 av 5
4.F a Vi legger inn funksjonsuttrykket i vårt digitale verktøy, og ber om integralet mellom x = 0 og x = 4. Svaret blir 40. b En kikk på figuren viser oss at arealet kan deles opp i et rektangel med sider L x = 4 og L y = 8, og en rettvinklet, likebeint trekant med kateter a = b= 4. Arealet av rektanglet ab 44 er A = Lx Ly = 48 = 3. Arealet av trekanten er A = = = 8. Dermed blir det totale arealet A= A + A = 3 + 8 = 40. 4.G a Det er flest nye tilfeller (størst økning i antall smittede per dag) ved 5 dager. t = 5, altså etter Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 4 av 5
b Svaret her avhenger av hvor få nye tilfeller det må være før epidemien skal kunne sies å være ferdig. Hvis vi sier at epidemien er ferdig når det er mindre enn 0,5 nye smittede hver dag, kan vi tegne inn linja y = 0,5 i figuren. Hvis grafen til st () ligger over denne linja, vil avrunding gi at det er mer enn ett nytt tilfelle hver dag. Ligger grafen under linja, vil vi runde ned til null, og epidemien kan sies å være ferdig. Grafen krysser linja ved t = 35, altså sier vi at epidemien er ferdig etter ca. 35 dager. c For å finne det totale antall smittede må vi se på arealet under grafen fra start til epidemien er ferdig, altså ber vi om integralet av st () mellom t = 0 og t = 35. Svaret blir 469. (Bruker vi fasitsvaret på 40 dager, får vi 470 personer.) Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 5 av 5