«Ucertaity of the Ucertaity» Del 5 av 6 v/rue Øverlad, Traior Elsikkerhet AS Dette er femte del i artikkelserie om «Ucertaity of the Ucertaity». Jeg skal vise deg utledig av «Ucertaity of the Ucertaity»-formele: 2υ = 2( ) [] Dee fier du i ISO «Guide to the Expressio of Ucertaity i Measuremet» seksjo E.4.3 formel (E.7). Mi presetasjo av formel [] bygger på boke til Joh R. Taylor: Error Aalysis. «Ucertaity of the Ucertaity»-formele uttrykker usikkerhete i estimerige av bredde av stadardavviket. Det vil si hvor mage sigifikate sifre skal vi bruke for å agi stadardavviket. Så, hvorledes kommer ma frem til dee 2( ) formele? Hvorda varierer adele av usikkerhete? Variase til et måleoppsett (med < 30 observasjoer) ka kalkuleres slik: s 2 = ( ) (x i x ) 2 [2] Da ( ( ) ) vil ha e kostat verdi år ma har valgt atall [] observasjoer, vil ikke dee brøke variere. I de videre utledige om hvorledes adele av usikkerhete varierer, ka vi derfor se bort fra ( ). ( ) Adele av usikkerhet av s 2 [i likig 2] vil derfor ligge i usikkerhete i deluttrykket (x i x ) 2. Vi oppsummerer dette slik: Usikkerhet i estimatet av [s 2 ] = Usikkerhet i estimatet av [ (x i x ) 2 ]. [3] Side
Geerelt uttrykk for usikkerhet Geerelt, så ka usikkerhete i estimatet av e parameter [q] «quatity» - uttrykkes slik: usikkerhet i estimatet av q = q 2 q 2 [4], hvor q 2 q 2 gjeomsittlig verdi av kvadratet av parametere kvadratet av gjeomsittlig verdi av parametere. Uttrykk for usikkerhet i estimatet Fra [3] har vi at: q = (x i x ) 2 [5] q fier vi ved å kvadrere hver residual (x i x ) og deretter fier summe [ ] av disse. Vi har å: Usikkerhet i estimatet av q= (q ) 2 (q ) 2 [6] Utlede uttrykket (q ) 2 i [6] Vi bestemmer først kjere (q ) i [6]. Fra tidligere [2] har vi s 2 = ( ) (x i x ) 2 [7] som gir: (-) s 2 = (x i x ) 2 (x i x ) 2 = (-) s 2 q = (-) 2 [8] [9] [0] Når vi kvadrerer vestre og høyre side, får vi: (q ) 2 = [(-) 2 ] 2 = (-) 2 4 [] Vi har å utledet det høyre leddet i [6] til å kue skrives (-) 2 4. Side 2
Utlede [(q )]-leddet 2 i [6] Å bestemme [(q )]-leddet 2 i [6] er svært komplisert. Vi starter med å bestemme (q 2 ), for deretter å bestemme gjeomsittsverdie: (q ). 2 Det ka vises at (q 2 ) ka settes samme av tre ledd q 2 = ( )2 i (x i ) 2 (x j ) 2 j - 2 ( ) (x i) 2 2 i x j x k + j k j x 2 j k j j x k m m x m x q 2 = A - B + C [2] [3] For å bestemme gjeomsittsverdie av q 2 må vi addere gjeomsittsverdiee av A, B og C. (q ) 2 = A + B + C Her må ma aalysere leddee A, B og C hver for seg, og vi starter med leddet A. A -leddet i q 2 A = ( )2 i (x i ) 2 (x j ) 2 j [4] Vi studerer først høyreside av uttrykket [4] hvor vi har e dobbelsum [ i (x i ) 2 (x j ) 2 j ]. Dobbelsumme [ ] i A ieholder først [(-)]-termer av i j, som gir (x ) 2 2. Fordi x er ormalt distribuert rudt = 0, har vi at x 2 = 2. Dette gir: [(-)] 2. Dobbelsumme [ ] i A ieholder deretter -termer av i = j, som daer () 2 () 2 = () 4 som gir (x ). 4 E itegrerig viser at x 4 = 3 4. Dette gir: []3 4. Således, sammefatter vi disse to deluttrykkee, får vi dobbelsumme [ ] i A med et gjeomsitt: = (-) 4 + 3 4 = 4 (3 + 2 ) = 4 ( 2 + 2) = (+2) 4 [5] [6] [7] [8] Vi ka å ka skrive [4]: A = ( )2 = ( )2 (+2) 4 = ( )2 2 (+2) 4 [9] [20] [2] [22] Side 3
A B -leddet i q 2 = ( )2 (+2) 4 B = 2 ( ) (x i) 2 2 i j k j x j x k [23] Hver term i summe av B ieholder oddetall i ekspoete av x i (ete x i eller x i 3 ). Da x er ormalt distribuert rudt 0, vil gjeomsittet av ehver oddetallsekspoet være lik 0. Således har vi: B = 0 [24] C -leddet i q 2 C = x jx 2 j k j k m m x m x [25] De høyre side av uttrykket ieholder kvadruppelsumme. Dee ieholder (-)-termer hvor j = m og k =, hver som har gjeomsittet (x 2 ) 2 = 4. De ieholder også (-)-termer hvor j = og k = m, hver som har gjeomsittet 4. Dette gir: (-) 4 + (-) 4 = 2(-) 4 Alle de gjeværede termer ieholder oddetallsekspoet av x, og har gjeomsittet 0. Således, kvadruppelsumme i C har gjeomsittet 2(-) 4 + 0 = 2(-) = 2(-) 4 [26] Dette gir oss: C C = 2 = 2 2( ) 4 = 2( ) 4 [27] [28] [29] Bestemme (q ) 2 Vi ka å sette samme de tre leddee [22], [24] og [29]. (q ) 2 = A + B + C = ( )2 (+2) = ( )2 (+2)+2( ) 4 (q ) 2 = ( 2 ) 4 4 + 0 + 2( ) 4 [30] [3] [32] [33] Side 4
Side 5
Bestemme usikkerhet i q [6] Vi har å bestemt verdiee på leddee (q ) 2 [fra ] og (q ) 2 [fra 33]. Vi får å usikkerhet i estimatet fra [4] q = (q ) 2 {(q ) 2 } [34] = ( 2 ) 4 {( ) 2 4 } = [( 2 ) ( ) 2 ] 4 = [( 2 ) ( 2 2 + )] 4 = [ 2 2 + 2 ] 4 = [2 2] 4 = [2 2] 4 = 2( ) 2 [35] [36] [37] [38] [39] [40] [4] Relativ usikkerhet i q For å bestemme relativ adel av usikkerhete, får vi: Relativ usikkerhet = Usikkerhet i estimatet at q [fra 4] = [fra 0] 2( ) 2 = ( ) 2 = Usikkerhet 2( ) 2 ( )( ) 2 = 2 ( ) [42] [43] [44] [45] [46] Vi ærmer oss målet... (Adel av usikkerhet i estimatet for 2 ) = (adel i usikkerhet i q) Da er kvadratrote av 2, må adel av usikkerhete av være halvparte av q; slik = q = 2 q Side 6
Adel av usikkerhet i estimatet av = Adel av usikkerhet i estimatet av = 2 ( 2 ( ) ) = 2 (2 2)( ) = 2( ) = 2υ 2 (adel av usikkerhet i q) [47] [48] [49] [50] [5] Vi har å kommet til veis ede i utledig av formele som kytter samme «Ucertaity of the Ucertaity», og atall [] observasjoer som igår i e måleserie. Grafisk presetasjo av «Ucertaity of the Ucertaity» 2υ På de horisotale akse har vi atall [] observasjoer i måleserie. På de vertikale akse har vi adele av «Error i the Error». La oss se på tre tilfeller på kurve markert med sorte prikker: = 5 = 50 Kurve har verdie 0,35. Det iebærer at for e måleserie med fem observasjoer, vil usikkerhete i estimerige av stadard usikkerhet utgjøre 35 proset. Presisjoe er 65 proset på stadard usikkerhet. Kurve har verdie 0,. Det iebærer at for e måleserie med femti observasjoer, vil usikkerhete i estimerige av stadard usikkerhet utgjøre 0 proset. Presisjoe er 90 proset på stadard usikkerhet. Vi ser at etter hvert som atall observasjoer øker, øker også presisjoe på Side 7
stadard usikkerhet. = 5000 Kurve har verdie 0,0. Det iebærer at for e måleserie med femtuse observasjoer, vil usikkerhete i estimerige av stadard usikkerhet utgjøre proset. Presisjoe er 99 proset på stadard usikkerhet. Dee tabelle viser 2υ =, det vil si sammehege mellom atall observasjoer [] i e 2( ) måleserie og presisjo på stadard usikkerhet. «Ucertaity of the Kommetarer Atall observasjoer Ucertaity» 2 0,70706782 4 0,4082482905 For e måleserie med fire observasjoer, vil usikkerhete i estimatet av bredde stadardavvik utgjøre 40 proset av verdie av stadardavviket. 8 0,26726249 6 0,82574858 32 0,27000270 64 0,0890870806 52 0,032805624 024 0,022078844 2 048 0,0562886 4 096 0,00498924 For e måleserie med 4096 observasjoer, vil usikkerhete i estimatet av bredde stadardavvik utgjøre, proset av verdie av stadardavviket. 8 92 0,007829769 3 072 0,00953325 262 44 0,00380706 For e måleserie med 26244 observasjoer, vil usikkerhete i estimatet av bredde stadardavvik utgjøre,4 promille av verdie av stadardavviket. 524 288 0,0009765634 048 576 0,0006905343 La oss ta et regeeksempel på «Ucertaity of the Ucertaity»: Hvor mage [] observasjoer treger ma for at adele skal utgjøre e proset? (2 2) = e proset Vi setter opp likige. [52] 2 ( ) (2 2) = 2 2 0000 = 0,0 2 Vi kvadrerer begge sider [53] Vi rydder. [54] 2 2 = 0000 Vi kryssmultipliserer [55] 2 = 0002 Vi rydder [56] = 500 Og, vi har kommet frem til løsige Side 8
[57] Vi treger altså 500 observasjoer i måleserie før adele av «Ucertaity of the Ucertaity» kommer ed i é proset. Med adre ord vi treger flere e 500 observasjoer før vi ka bruke to sigifikate sifre! Og, vi treger flere e femhudretuse observasjoer før vi ka bruke tre sigifikate sifre. Hva hvis sigifikat siffer starter med? Dersom vi skal rapportere med ett sigifikat siffer, og dette starter med, må vi bruke ormale avrudigsregler og su foruft i hehold til GUM seksjo 7.2.6. For eksempel;,4 avrudes til og,5 avrudes til 2. Dette gir relativt store avrudigsfeil (rudt 25 %). Det abefales derfor at år første sigifikate siffer er, ka ma bruke to sigifikate sifre. Eksempel: m er kalkulert til 0,2345. Dee er basert på 500 observasjoer. Stadard usikkerhet rapporteres lik: m = 0,2. Avsluttede talleksempel Vi har følgede måleserie: Observasjo Observasjo 2 Observasjo 3 Observasjo 4 Observasjo 5 5,05 ma 5, ma 4,99 ma 5,3 ma 5,0 ma Vi kalkulerer måleseries gjeomsitt x = [ x i ] = 5,076 ma Vi kalkulerer måleseries stadard usikkerhet s Bessel = (x i x ) 2 ( ) = 0,0563649 ma [58] [59] Vi kalkulerer utvalgets stadard usikkerhet m = Vi rapporter verdiee fra måleserie: s Bessel = 0,0289574 ma [60] x ( m ) 5,08(0,03) ma Side 9
Oppsummerig Jeg viste deg utledige av formele for «Ucertaity of the Ucertaity»: 2υ [6] De viser at for måleserier, som ieholder 5000 eller færre observasjoer, vil adele i «Ucertaity of the Ucertaity» være så høy, at vi ku ka bruke ett sigifikat siffer. Artikkelserie om «Ucertaity of the Ucertaity» avsluttes med Bessel s korreksjo. På gjesy! Med velig hilse Traior Elsikkerhet AS Rue Øverlad Seiorigeiør Tøsberg jui 206 Side 0