«Best Fit»-linje med usikkerhetsintervall (CI)

Transkript

1 «Best Fit»-lije med usikkerhetsitervall (CI) v/rue Øverlad, Traior Elsikkerhet AS 1. Iledig Dee artikkele utleder formel for usikkerhetsitervallet CI (Cofidece Iterval) som omslutter e «Best Fit»-lije. CI = Estimert Y ± [ usikkerhetsitervall ] [1] Vi skal vise at de komplette formele vil se slik ut: CI = [bx + a ] ± [ T (α/,v) Hvor: (y i y i ) ( ) 1 + (x X ) (x i x ) ] [] x Vi øsker å bestemme usikkerhetsgreser for dee x-verdi. Dette ka for eksempel være kalibrerigstrykket eller kalibrerigstemperature. x er de uavhegige variabele. b b forteller om stigigstallet til de rette regresjoslije. a a forteller om skjærigspuktet til de rette regresjoslije i Y-akse (år x = 0) T α/,v Studet t-verdie avheger atall datapar som igår i regresjosaalyse. α α forteller om usikkerhetsitervallet: 100(1- α) proset. Normalt er α = 0,0 det vil si at kofidesitervallet er 9 proset. / I Studet t-fuksjoe skal vi ha -sidig usikkerhetsgrese; det vil si, % i hver v y i y i X x i Tabell 1: Symboldefiisjoer ede. Dette er «Degrees of Freedom. I vårt tilfelle har vi to variabler (x og y) og derav er v = - er atall datapar som igår i regresjosaalyse. Summasjosteg. Vi repeterer summasjoe atall gager. Dette er de avleste respose (y-verdie) i dataparet. Dette ka for eksempel være sesorspeig eller istrumetsigal. y er de avhegige variabele (avheger av x-variabele). Dette er de beregede, forvetede resposverdie basert på regresjoslikige og x-verdie vi har valgt. Dette er aritmetisk setralverdi (gjeomsittsverdi) av alle x-verdier ifra dataparee våre. Dette er e idividuell x-verdi i dataparet. «Best Fit»-lije y =bx+a er basert på et sett med datapar. Lije har et rotasjospukt i (X, Y ). Lije har koeffisietee b (stigigstall) og a (a er y-verdi år x = 0). Koeffisiete a har e slik verdi at regresjoslije går gjeom regresjoslijes rotasjospuktet (X, Y ). Side 1

2 Y (avlest verdi [Volt]) x i og estimert y i ("Best Fit"-lije) 6 Best Fit-lije: y = 0,187x + 1, Best Fit-lije CI edre CI Øvre Måleserie (X, Y ) 0 0,0,0 10,0 1,0 0,0,0 X (Påtrykt [Barg]) Figur 1: Grafisk presetasjo av usikkerhetsitervallee (øvre og edre CI) fra Microsoft Excel. «Best Fit»-lije har et rotasjospukt i (X, Y ). I vårt eksempel er e trykksesor kalibrert i fem pukter i området 0 til 0 Barg. Sesore er kalibrert for x 1 = 0 Barg, x = Barg, x 3 = 10 Barg, x 4 = 1 Barg, og x = 0 Barg. x kalles for de uavhegige variabele. For hvert kalibrerigspukt har vi gjort e avlesig (y) av sesorspeige. y kalles de avhegige variabele. Observasjoee fra kalibrerige er lagt i i tabell. X Y Datapar (Barg) (Volt) 0,0 1,0 (x 1,y 1),0, (x,y ) 10,0 3,1 (x 3,y 3) 1,0 3,7 (x 4,y 4) 0,0,0 (x,y ) Tabell : Resposverdier (Y) fra verdier (x).. Populasjo av datasett (Sub-populasjoer) For trykksesore har vi etablert e database for tidligere kalibreriger. Det er etablert subpopulasjoer Y a, Y b, Y c, Y d, og Y e med datasett. Y a (0 Barg, Y 1) Dette er datasett hvor det et påtrykt 0 Barg, med avleste sesorverdier Y 1. Y b ( Barg, Y ) Dette er datasett hvor det et påtrykt Barg, med avleste sesorverdier Y. Y c (10 Barg, Y 3) Dette er datasett hvor det et påtrykt 10 Barg, med avleste sesorverdier Y 3. Y d (1 Barg, Y 4) Dette er datasett hvor det et påtrykt 1 Barg, med avleste sesorverdier Y 4. Y e (0 Barg, Y ) Dette er datasett hvor det et påtrykt 0 Barg, med avleste sesorverdier Y. Side

3 Figur : Vi teker oss e populasjo (rødt område som vi for eksempel ka avgi Y). I dette eksemplet har vi fordelt dataparees y-verdier (elemetee) på sub-populasjoer/utvalg (orasje områder. Sub-populasjoee er avgitt Y a, Y b, Y c, Y d, og Y e. For hver sub-populasjo ka vi berege de aritmetiske setralverdie for respose. For eksempel for subpopulasjo Y a. U = y a(1)+ y a() y a(n) a N = N y a(i) N Vi summerer alle resposverdier (y a(i) ) i e sub-populasjo og dividerer med atall elemeter (N) i sub-populasjoe for å bestemme de aritmetiske setralverdie i sub-populasjoe (U ). a [3] De aritmetiske setralverdie i sub-populasjoe (U ) a er vurdert til å være de ekeltverdi som best represeterer e gruppe av verdier. Vi er i et dilemma. For e sub-populasjo skal vi ha uedelig mage (N ) med datapar. I praksis er dette umulig. Sub-populasjoe består kaskje av et par hudre eller tuse datapar. I praksis ka vi derfor ikke med 100 proset sikkerhet si at de kalkulerte setralverdie vi har fuet, er setralverdie for sub-populasjoe, me heller er setralverdie for utvalget. Estimert aritmetisk setralverdi for sub-populasjo Y a: E(U ) a = y 1+ y y = y i Uasett, vi plotter våre fem setralverdier i i et diagram (figur 3). Vi trekker e rett lije gjeom setralverdiee. I figur 3 ka vi teoretisk omtale dette som e Populasjoskarakteristikk. Me, i praksis burde vi sakke om e Utvalgskarakteristikk. [4] Side 3 3. «Kosmisk støy» Vår trykksesor har korrelasjo mellom trykk (kalt x-verdi) og sigalrespos (kalt y-verdi). Sekudært har istrumetet flere midre korrelasjoer som vi ikke har kotroll på. Dette ka være i hvilke grad sesorrespose er temperaturavhegig, i hvilke grad sesorrespose er avhegig av stabilitete på krafttilførsel, i hvilke grad istrumetet reagerer på elektromagetisk iterferes (EMC/EMI), i hvilke grad istrumetet reagerer på vibrasjoer og så videre. Så selv om vi holder kalibrerigstrykket stabilt, for eksempel 10,0 Barg, så vil vi likevel over tid observere e sigalrespos som varierer oe. I de videre diskusjo kaller jeg dee variasjoe for «kosmisk støy».

4 Y (avlest verdi [Volt]) s ε 0 «Kosmisk støy» s ε Figur 3: «Kosmisk støy» som gjør at istrumetrespose Y varierer til tross for at de påtrykte verdie (x) er kostat. Vi atar at dee variasjoe er ormaltfordelt (Gauss-kurve). De har variase Var( ). Vi ka beskrive et usikkerhetsitervall s ε for de «kosmiske» støye. Variasjoe er symmetrisk rudt de lokale 0-verdie. «Kosmisk støy» er ormalfordelt, med setralverdi = 0 ε = 0 [] Variase for de «kosmiske» støye er: Var ( ) = ( 1 ε ) + ( ε ) ( ε ) [6] Stadardavviket for de «kosmiske støye» er kvadratrote av variasuttrykket: s ε = Var ( ) = ( i ) ( ) [7] NB: Det er viktig å legge merke til at for e gitt x i-verdi, er variasjoe i respose y i (Var (y i)) lik variasjoe for de «kosmiske støye» Var ( ). 6 x i og estimert y i ("Best Fit"-lije) Best Fit-lije: y = 0,187x + 1, Populasjoskarakteristikk Best Fit-lije Måleserie Setralverdi for subpopulasjo 0 0,0,0 10,0 1,0 0,0,0 X (Påtrykt [Barg]) Figur 4: Populasjoskarakteristikk (rød stiplet strek) og «Best Fit»-lije (basert på et tilfeldig uttrekk av datapar som i vist i tabell (sorte prikker)) fra hver av de fem sub-populasjoee (med si lokale setralverdi røde prikker). Side 4

5 4. Populasjoes hypotetiske likig Vi forutsetter i de videre diskusjo av at populasjoe har e lieær karakteristikk som ka beskrives slik: U Y x =βx+α [8] Populasjoskarakteristikke er e rett lije med stigigstallet β, hvor lije skjærer y-akse i α. Dee har jeg teget i i figur 3 som e stiplet rød strek. Det bemerkes at dette er e hypotetisk tekt lije. Vi ka aldri vite med sikkerhet hvor dee ligger, me vi vet at dee lije fis. De «kosmiske» støye ( ) er uavhegig av x-verdie (se figur 3), og vil igå i resposkarakteristikke. U Y x =βx+α + [9] -parametere er/har ikke é fast verdi. De varierer i størrelse for hver gag vi avleser et datapar [x i,(y i+ )]. Variasjoe i figur 3 og 4, her det orasje området, ka tilsvarede i figur assosieres som variasjo i områdee Y a, Y b, Y c, Y d, og Y e.. Lieær regresjo I figur 3 er det teget i é lieær regresjoslije (grø heltrukke strek). Dee er bereget ut i fra et tilfeldig tallsett fra de fem sub-populasjoee. I dette tilfellet har vi fem følgede datapar (se tabell ). Dataparee er teget i som sorte prikker i figur 1 og 4. Me, hva hvis vi hadde trukket ut/avlest adre Y-verdier år vi gjorde kalibrerige av istrumetet? Jo, da ville vi selvfølgelig kalkulert e regresjoslije med adre koeffisieter b og a. I og med «kosmisk støy» ( ), må vi tilsvarede kostruere et usikkerhetsitervall (CI Cofidece Iterval). Dette itervallet skal fortelle oss at vi med 9 proset sikkerhet forveter å fie «Best Fit»-lije. Side

6 Y (respos) Med adre ord, koeffisietee b og a har et usikkerhetsitervall kyttet til seg. I dee artikkele skal jeg å vise uttrykket for disse. 6 x i og estimert y i ("Best Fit"-lije) 4 3 y Y a (X, Y ) b (x i, y ) i (X i = x i X ) (Y i = y i Y ) Best Fit-lije 1 0 X x i 0,0,0 10,0 1,0 0,0,0 x Figur : Grafisk fremstillig av rotasjospuktet (X, Y ), og koeffisietee b og a for de rette regresjoslije ŷ =bx+a. [10] Vi skal seere i dee artikkele vise at regresjoslije har et rotasjospukt i (X, Y ). Vi har tidligere sakt at de ekeltverdi for best represeterer e gruppe er de aritmetiske setralverdie. I vårt tilfelle ka vi aturlig forklare hvorfor resposverdie for (x i ) var y i og ikke Y. De ekle årsake er sesorkarakteristikke mellom de uavhegige variabele x og de avhegige variabele y. Vi sakker om det forklarlige residual. Avviket mellom y i og Y har e aturlig forklarig gruet istrumetkarakteristikke, og ka bereges. For e tilfeldig x-verdi (x i ) ka vi berege de forvetede resposverdie (y ). Et utgagpukt for å berege de forvetede y i er å bruke regresjoslikige. Ulempe er at eå ikke kjeer a- verdie. Me, dee gage tar vi utgagspukt i rotasjospuktet for lije. Vi har å alterativ måte å berege de forvetede resposverdie (for det orasje puktet): y i = Y + b(x i - X ) [11] Fordele med dee likige [11] i stedet for y =bx+a, er at å har vi «kvittet oss med» a- koeffisiete i likige. Vi har å ku é variabel utfordrig; b. Vi forutsetter at våre påtrykte trykkverdier (x-verdier) er øyaktige (x-verdie er ikke beheftet med varias). Side 6

7 Y (respos). Variasjo i avlest resposverdi (Y i ) og forvet resposverdi (y i) x i og estimert y i ("Best Fit"-lije) 6 y i 4 3 y Y R i = Residual = (y i y ) i (X, Y ) b (x i, y i ) (x i, y ) i Best Fit-lije 1 a 0 0,0,0 10,0 X x i 1,0 0,0,0 x Figur 6: For på påtrykte x-verdie (x i ) har vi her et avvik mellom de forvetede resposverdie (y i) og de faktiske avleste resposverdie (y i). Me, vår observasjo (y i ) lå ikke på de forvetede respose (y i). Dette skyldes «kosmisk støy». Ja, vi har e aturlig forklarig på avviket mellom (y i ) og (y i), me vi har ige muligheter for å berege dee på forhåd. Vi vet at de avleste verdie (y i ) har e fordelig som vist i figur 3. Vi bereger det uforklarlige Residual for våre fem datapar fra tabell (x 1, y 1 ), (x, y ), (x 3, y 3 ), (x 4, y 4 ), og (x, y ). Matematisk uttrykker vi variase for de uforklarlige Residual slik for våre datapar: S = (Residual i ) = (y i y i) [1] Vi erstatter y i med [Y + b(x i - X )], og får S = (y i [Y + b(x i X ]) [13] Vi rydder litt i likige, og får S = ([y i Y] + b[x i X ]) [14] Vi setter y i Y = Y i x i X = X i Y i er total residual for et pukt. Avvik mellom observasjo (y i ) og setralverdie (Y ). X i er edrige som gjøres fra påvirkigspuktet (x i ) og setralverdie (X ). [1] [16] Side 7

8 Y i = Total Residual = Forklarlig Residual + Uforklarlig Residual = (y i Y ) + (y i y i) = y i Y [17] Vi skal å beskrive variasutrykket slik: S = ([y i Y] b[x i X ]) S = (Y i bx i ) [18] [19] Vi øsker å bestemme e «Best Fit»-lije med de miste verdi på S, det vil si med mist variasjo. Dette fier vi å derivere fuksjoe S og sette det deriverte uttrykket lik Bestemme utrykk for koeffisiete b For å lettere komme frem til det deriverte uttrykket av S, bruker vi kjereregele. = dk db dk db [0] Vi defierer kjereuttrykket: K = Y i bx i [1] Vi ka å skrive variasjosuttrykket [19] slik: S = (K) [] Kjereregele sier at vi skal derivere fuksjoe med hesy til kjere ( ), og multipliserer dette dk med de deriverte av kjere ( dk ). db Vi gjør altså derivasjoe av S i to etapper. Vi deriverer fuksjoe med hesy til kjere: = dk (K) 1 = (K) 1 = K Vi deriverer kjere med hesy til b: dk = d(y i bx i ) = 0-1X db db i b 1 1 = X i b 0 = X i 1 = X i [3] [4] Når vi gjør partiell derivasjo med hesy til b, er X i og Y i å betrakte som kostater. Og, deres deriverte er derfor 0. Vi setter samme uttrykkee, slik at vi ka bestemme de deriverte av S med hesy på b, slik = dk = [ K db dk db ] [ X i ] = (Y i bx i ) [ X i ] = ( X i Y i + bx i ) Vi er iteressert å bestemme de b-verdi som gjør det deriverte uttrykket lik 0. db = 0 ( X i Y i + bx i ) = 0 Vi dividerer vestre og høyre side med. [] [6] [7] Side 8

9 ( X i Y i +bx i ) = 0 ( X i Y i + bx i ) = 0 [8] [9] Vi løser opp paretese, og får: ( X i Y i ) + b (X i ) = 0 Vi rydder litt til, og løser dette med hesy til b, og får b (X i ) = (X i Y i ) Vi dividerer med (X i ) på vestre og høyre side, og får: b= (X iy i ) (X i ) = Kovarias (X,Y) Varias(X) [30] [31] [3] Stigigstallet b for de lieære regresjoslije forholdet mellom fuksjoe Kovarias for dataparee og variase av de påtrykte verdie. Figur 7: Skjermdump fra Microsoft Excel I Microsoft Excel ka vi bruke fuksjoe =KOVARIANS.S(A6:B10) for våre datapar (celle A11). Og, tilsvarede =VARIANS.S(A6:A10) for å bestemme variase (celle B11). 7. Bestemme usikkerhetsitervall (stadard avvik) for uttrykket b Side b= (X iy i ) (X i ) ka vi kalkulere variase av b slik: Var (b) = Var ( (X iy i ) ) (X i ) Side vi atar at alle x-verdier ikke er beheftet med variasjoer, ka vi derfor uttrykke disse som kostater. Vi ka derfor omskrive utrykket over til å bli slik: Var (b) = Var ( (X iy i ) )= 1 (X i ) ( (X i )) (X i Y i ) [33] [34] Side 9

10 Og husk at fuksjoe Var er å ta kvadratet av uttrykket, så år vi trekker ut kostater ( (X i ) fra uttrykket, skal uttrykket ( X i ) kvadreres! Videre, vi har at uttrykket Var ( (X i Y i )) ka skrives slik: Var ( (X i Y i )) = Var (X 1 Y 1 + X Y X Y ) Igje betrakter vi x-verdier som kostater og ka trekkes ut av paretese. Og husk at fuksjoe Var er å ta kvadratet av uttrykket, så år vi trekker ut kostater ut av uttrykket, skal disse kvadreres! Var ( (X i Y i )) = Var (X 1 Y 1 + X Y X Y ) = X 1 Var(Y 1 ) + X Var(Y ) X Var(Y ) [3] [36] Fra figur 4, som tok for seg «Kosmisk støy», sa vi at variasjosområdet for gjelder for alle x-verdier. I dette tilfellet ka vi derfor sette: Var(Y 1 ) = Var(Y ) =... = Var(Y ) = Variasjo av «kosmisk støy» = (σ ) = (σ Residual ) [37] Vi har med adre ord é felles varias for residual y, og vi erstatter det oveevte uttrykket med (σ ) = (σ Residual ). Var ( (X i Y i )) = X 1 Var(Y 1 ) + X Var(Y ) X Var(Y ) = (X 1 + X...+ X ) (σ ) Var ( (X i Y i )) = ( X i ) (σ ) Vi går tilbake til utrykket for Var(b), og får Var (b) = Var ( (X iy i ) X i ) = Var (b) = ( X i ) (σ ( X i ) ) = 1 ( (X i )) (σ ) X i Var ( (X i Y i ) ) = 1 ( (X i )) ( X i ) (σ ) Fra tidligere hadde vi X i = [x i X ]. Alterativ måte i beskrive variase til b på er slik: Var (b) = (σ ) X i = (σ ) (x i X ) [38] [39] [40] [41] [4] Estimatet for stadardavviket for stigigskoeffisiete b (s b ) i e lieær regresjo er kvadratrote av variasuttrykket: s b = Var(b) = (σ ) (x i X ) = (σ ) (x i X ) = s (x i X ) = Stadardusikkerhet for Residual (x i X ) [43] Vi treger med adre ord å berege stadard usikkerhet for residual, og dividere med kvadratrote av summe av de kvadrerte x-differase. 8. Bestemme stadard usikkerhet for y. Usikkerhetsitervallet for estimert gjeomsitt ka å bereges. Usikkerhete ka bereges med Var(y ). Vi vet at estimert y ved x-verdie ka uttrykkes slik: y = Y + b(x - X ) [44] Side 10

11 Vi brukes samme varias-teorem som tidligere. Var (y ) = Var (Y + b(x - X )) [4] Vi betrakter (x - X ) som e kostat. Vi løser opp Var-paretese Var (y ) = Var (Y ) + [(x X ) Var(b)] [46] Det første deluttrykket i Var (y ) er Var (Y ). Vi har at setralverdie av y er summe av alle y i delt på atall y-verdier. Y = Vi har å yi Var (Y ) = Var ( Fra før har vi at: Var (b) = y i (σ ) (x i X ) ) = 1 Var ( y i) = 1 ( (σ ) ) = (σ ) [47] [48] [49] Nå har vi: Var (y ) = Var (Y ) + [(x X ) Var(b)] = (σ ) + [(x X ) (σ ) (x i X ) ] [0] Vi rydder i ligige: Var (y ) = (σ ) ( 1 + (x X ) (x i X ) ) [1] Stadard usikkerhet for estimert y (y ) er kvadratrote av varias-uttrykket: s y = Var(y ) = (σ ) ( 1 + (x X ) (x i X ) ) = s 1 + (x X ) (x i X ) [] 9. CI (Cofidece Iterval) Ved forsøk som ikluderer 30 eller færre datapar, bør vi bruke Studet t-faktor for å ta hesyet til små sub-populasjoer. I vårt tilfelle har vi fem sub-populasjoer. T-verdie ka vi fie i tabeller, eller la Excel berege dee for oss. T (α/,v) [3] Kofidesitervallet er 100(1- α). α har verdie (0,0) = proset, i og med vi er på jakt etter usikkerhetsitervallet 9 %. Usikkerhete % skal fordeles på to sider (/ «tail»). Parametere v er «Degrees of Freedom). v = [4] Vi har = datapar, og subtraherer med verdie i og med vi har variabler (x- og y-parametere). Excel-fuksjo: =T.INV.T(0,0;3) [] Side 11

12 Y (avlest verdi [Volt]) Setter vi det hele samme CI = [«Best Fit»-lije] ± [ usikkerhetsitervall ] CI = y ± [ T (α/,v) (y i y i Vårt datagrulag for lieær regresjo: Påtrykt Avlest Datapar ( ) X Y (BarG) (Volt) 0,0 1,0 (x 1,y 1),0, (x,y ) 10,0 3,1 (x 3,y 3) 1,0 3,7 (x 4,y 4) 0,0,0 (x,y ) Tabell 3: Datapar vi fikk ved kalibrerig av trykksesor 6 ) 1 + (x X ) (x i x ) x i og estimert y i ("Best Fit"-lije) ] [6] [7] Best Fit-lije: y = 0,187x + 1, Best Fit-lije CI edre CI Øvre Måleserie 1 0 0,0,0 10,0 1,0 0,0,0 X (Påtrykt [Barg]) Figur 8: Grafisk presetasjo fra Microsoft Excel på datapar, «Best Fit»-lije med usikkerhetsitervall. Neste kalibrerigskurve («Best Fit»-lije) skal med 9 proset sasylighet ligge iefor evte «Cofidece Itervall». Det er proset sjase for at de este «Best Fit»-lije vil ligge utefor «Cofidece Iterval». Da det er lite sasylighet for at este «Best Fit»-lije skal ligge utefor «Cofidece Iterval», og vi bør være varsom med å godkjee/ta i bruk e slik «Best Fit»-lije. Iallfall må vi øye udersøke hvorfor vår este «Best Fit»-lije havet på utside av «Cofidece Iterval». Det ka være at e Side 1

13 eller flere av dataparee iehar feil kyttet til seg, oe som gjør «Best Fit»-lije til e ekstremverdi/»uteligger». 10. Koeffisiete a Basert på et datasett (x i, y i ) skal vi berege e Best Fit»-lije basert på lieær regresjo y i = bx i + a [8] slik at summe av kvadratet av residualee S = (Residual i ) = (y i y i) blir mist mulig. Vi erstatter y i med [bx i + a] og får S = (y i [bx i + a]) [9] Vi løser opp firkatparetese: S = (y i bx i a) For å lettere komme frem til det deriverte uttrykket av S med hesy til a, bruker vi kjereregele. = dk da dk da [60] Vi defierer kjereuttrykket: K = y i bx i a [61] Vi ka å skrive S slik: S = (K), år K = y i bx i a [6] Kjereregele sier at vi skal derivere fuksjoe S med hesy til kjere K; ( ), og multipliserer dk dette med de deriverte av kjere K med hesy til a-variabele; ( dk ). da Vi gjør altså derivasjoe av S i to etapper. Vi deriverer fuksjoe med hesy til kjere: = dk (K) 1 = (K) 1 = K Vi deriverer kjere (y i bx i a) med hesy til a: dk = d(y i bx i a) = a 1 1 = -a 0 = -1 da da [63] [64] x i og y i betraktes som kostater år vi gjør partiell derivasjo med hesy til a. Og, de deriverte av x i og y i blir derfor 0. Vi setter samme uttrykkee, slik at vi ka bestemme de deriverte av S med hesy på a, slik = dk = [ K da dk da ] [-1] = [ (y i bx i a) ] [-1] = - (y i bx i a) [6] Side 13

14 Vi løser opp paretese = - (y da i bx i a) = - y i +b x i + a Vi ka erstatte deler av de to første uttrykkee, da summe av alle y er lik atall multiplisert med setralverdie Y [67]. Tilsvarede; summe av alle x er lik atall multiplisert med setralverdie X [68]. y i = Y x i = X Derivasjoslikige [66] ka å skrives på forme [66] [67] [68] da = -Y +bx +a [69] Vi er iteressert å bestemme de a-verdi som gjør det deriverte uttrykket [69] lik 0. da = 0 -Y +bx +a = 0 [70] [71] (-) er felles for alle ledd i [71], og vi setter - utefor paretese -(Y -bx - a) = 0 [7] Vi dividerer vestre og høyre side [7] med -. (Y bx a) = 0 Y bx a = 0 Vi rydder litt til, og kommer frem til vårt sluttuttrykk for a: [73] [74] [7] a = Y - bx Dee likige forteller oss at kostate a settes slik at regresjoslije må gå gjeom setralverdiee for X og Y. Dette gir meig da dette puktet (X,Y ) utgjør det sigle dataparet som best represeterer alle datapar som vi har «trukket» ut av sub-populasjoee. [76] Med velig hilse Traior Elsikkerhet AS Rue Øverlad Seiorigeiør Tøsberg april 01 Side 14