4 Energbalanse Innhold: Potensell energ Konservatve krefter Konserverng av energ Vrtuelt arbed for deformerbare legemer Vrtuelle forskvnngers prnspp Vrtuelle krefters prnspp Ltteratur: Irgens, Fasthetslære, kap. 21.3 Hbbeler, Mechancs of Materals, kap. 14.3 Bell, Konstruksjonsmekankk Del I Lkevektslære, kap. 11.3 Cook & Young, Advanced Mechancs of Materals, kap. 4.1 Tpler & Mosca, Phscs for Scentsts and Engneers, kap. 6-4 og 7-2 TKT4124 Mekankk 3, høst 2016 4-1 Energbalanse
Potensell energ Potensell energ er energ som er lagret et sstem. Den potenselle energen er kun avhengg av ntaltlstanden (referansekonfgurasjonen) og sluttlstanden (sluttkonfgurasjonen) tl sstemet. Den potenselle energen påvrkes kke av veen (forskvnngen/deformasjonen) mellom de to tlstandene. Potensell energ er relatert tl konservatve krefter. Arbed som utføres av konservatve krefter er uavhengg av ve. Arbedet er kun funksjon av start- og sluttkonfgurasjon. Dette nnebærer at konservatve krefter må beholde sn retnng når en konstruksjon deformeres. (Mer om konservatve krefter på sde 6-2.) Konservatv kraft Ikke-konservatv kraft Klder tl potensell energ mekankk: Gravtasjonspotensale U g (=U g0 + mgh) Hvs et legeme heves (får større høde) tngdefeltet, øker den potenselle energen. Tønngspotensale U Når et legeme deformeres, genereres det tønngsenerg. Forutsatt elastske deformasjoner (på- og avlastnng er reversble) er dette potensell energ. Lastpotensale Tlsvarer arbed utført av påførte krefter på sstemet forutsatt at dsse kreftene er konservatve. Sum: Kommentar: = U g + U + U g kan betraktes som et spesaltlfelle av TKT4124 Mekankk 3, høst 2016 4-2 Energbalanse
Konserverngslover I fskken, herunder mekankk, er det en rekke konserverngslover eller bevarngslover. Dsse er fundamentale naturlover som foreskrver at vsse størrelser forholder seg konstant et fssk sstem. Blant dem fnner v bl.a: MASSE (Forutsatt kke-relatvstsk tlstand) BEVEGELSESMENGDE p = m v) = konstant SPINN L = I 0 ) = konstant ENERGI E sstem = E mekansk + E termsk + E øvrg = konstant ELEKTRISK LADNING BARYONTALL LEPTONTALL TKT4124 Mekankk 3, høst 2016 4-3 Energbalanse
Konserverng av energ Den totale energen tl et sstem E sst er konstant så lenge det kke tlføres varme eller utføres noe arbed på sstemet. Dette er kjent som loven om energens bevarelse fskken E sst = E mek + E term + E øvrg = konstant Det mekanske energbdraget består av knetsk energ K og potensell energ. Den totale energen endres (øker) hvs det utføres tre arbed W på sstemet: W Esst K U mg h Eterm Eøvrg Mekansk energ Når legemer deformeres, er det mekanske energbdraget fra tønngsenerg ofte det mest nteressante ( men kke nødvendgvs det eneste). Sden tønngsenergen U er relatert tl spennng og tønng, kalles dette ofte for ndre arbed W W U alternatvt W W NB: Sammenhengen mellom arbed og energ er et spesaltlfelle av termodnamkkens 1. lov Tlført varme E sst Arbed utført på sstem Esst Qnn W Q nn W TKT4124 Mekankk 3, høst 2016 4-4 Energbalanse
2.4a Eksempel 4.1: Fagverk A C F F = 10 kn a = 2 m E = 210 000 MPa A = 100 mm 2 B a Bestem vertkalforskvnngen ledd C. Fast: 5,3 mm TKT4124 Mekankk 3, høst 2016 4-5 Energbalanse
Eksempel 4.2: Bjelke med skjærtønng F h L/3 2L/3 b Bestem nedbønngen under punktlasten F. Ta med bdrag fra både bøemoment og skjærkraft. Bjelken har rektangulært tverrsntt, elaststetsmodul E og skjærmodul G. TKT4124 Mekankk 3, høst 2016 4-6 Energbalanse
Konserverng av energ (forts) Relasjonen W W (alternatv skrvemåte W U) kan benttes tl å bestemme deformasjoner men kun deformasjonen langs angrepslnjen tl én enkelt punktlast Eksempel: Kan beregne forskvnng u 1 pga F, men kke pga q. q F Kan kke beregne forskvnng u 2 verken pga F eller q. u 2 u 1 Drekte bruk av W W har dermed begrenset nteresse. Men arbed, energbevarelse og potensell energ gr opphav tl to andre metoder, som er mer generelle: Prnsppet om vrtuelt arbed (for deformerbare legemer) Prnsppet om mnmum potensell energ Dsse to prnsppene er nttge for: Håndregnng Enhetslastmetoden (deformasjonsberegnng) Forskvnngsmetoden ( matrsestatkk ) Tlnærmede løsnngsmetoder (f.eks Ralegh-Rtz) Numerske beregnnger Elementmetoden (MEGET generelt verktø) TKT4124 Mekankk 3, høst 2016 4-7 Energbalanse
Vrtuelt arbed Utgangspunkt: Relasjonen W arbed (nnfører tlde-smboler ~) W er også gldg for vrtuelt W W Utskrevet: ~ ~ Fr d V V For praktsk bruk sklles det mellom to del-prnspper: Vrtuelle forskvnngers prnspp (VFP) Reelle krefter F og spennnger. Vrtuelle forskvnnger r og tønnger. Vrtuelle krefters prnspp (VKP) Vrtuelle krefter F og spennnger. Reelle forskvnnger r og tønnger. Kommentarer: Faktor ½ er kke med arbedsuttrkket ford deformasjonene påføres den belastede konstruksjonen, dvs at kreftene og spennngene kke endres. Dette tlsvarer arbedsbdraget W 2A på sde 3-3. For enkelhets skld er det tre vrtuelle arbedet W skrevet som produktet mellom kraft F og vrtuell forskvnng r. Det kan godt være flere krefter, som multplseres med sne respektve vrtuelle forskvnnger. Vdere kan W omfatte moment ganger vrtuell rotasjonsvnkel (M ), og fordelte krefter q(x): W q( x) r ( x)dx Det ndre vrtuelle arbedet TKT4124 Mekankk 3, høst 2016 4-8 Energbalanse W er relatert tl tønngsenergen U, som omfatter både normalspennng og skjærspennng med tlhørende tønnger, hhv og.
Vrtuelle forskvnngers prnspp VFP: Det belastede sstemet, som er lkevekt, gs en vrtuell forskvnng (forskvnngsfelt) r r x,, z, som gjen fører tl vrtuelle tønnger nne konstruksjonen Fr dv V Kommentarer: Spennngene skal samsvare med, dvs beregnes fra, den tre belastnngen F. Dette kalles lkevekt De vrtuelle tønngene må samsvare med det vrtuelle forskvnngsfeltet r. Dette kalles knematsk kompatbltet Prnsppet om vrtuelt arbed for stve legemer ( W 0 når legemet er lkevekt) er et spesaltlfelle av lgnngen W W, sden W 0 for stve legemer. VFP er grunnlaget for en rekke tlnærmede metoder for beregnng av respons konstruksjoner. Vktgst: Elementmetoden. Utfordrng: Må velge et forskvnngsfelt r r x,, z for hele konstruksjonen, som nå er deformerbar. Den generelle notasjonen r erstattes praktske anvendelser med forskvnngskomponentene u, v og w, se f.eks sde 3-2. Tønngene beregnes fra det valgte feltet, se f.eks formler på sdene 3-17 og 3-18. TKT4124 Mekankk 3, høst 2016 4-9 Energbalanse
Vrtuelle krefters prnspp VKP: Kreftene og spennngene er vrtuelle, mens forskvnngene og tønngene er de som opptrer den aktuelle konstruksjonen Fr dv V Nå må sstemet først belastes med et valgt sstem med vrtuelle krefter og tlhørende vrtuelle spennnger (lkevekt!). Deretter påføres forskvnngsfeltet og de tlhørende tønngene (knematsk kompatble). VKP er grunnlaget for enhetslastmetoden, som er en meget slagkraftg håndregneteknkk for deformasjonsberegnng. V ønsker å fnne maksmal nedbønng for en bjelke med fordelt last q: F q M 1. Bjelken belastes med en vrtuell kraft F 1. Spennngene er gtt va M-dagrammet: M/ I z 2. Deretter kommer forskvnngen og de ndre deformasjonene (krumnng ). Knepet nå er at v lar den vrkelge nedbønngen pga q være forskvnngen. Krumnngen fnner v fra relasjonen = M/EI, hvor M er M-dagrammet 3. På den venstre sden av VKP er det kun punktlasten F 1 som gjør arbed, og arbedet blr lk 1. Ved å regne ut høresden fnner v dermed forskvnngen. TKT4124 Mekankk 3, høst 2016 4-10 Energbalanse