8 1
Funksjoner og grafiske løsninger Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter og likningssystemer av første og andre grad og enkle likninger med eksponential- og logaritme funksjoner både ved regning og med digitale hjelpemidler omforme en praktisk problemstilling til en likning, en ulikhet eller et likningssystem, løse dette og vurdere gyldigheten av løsningen gjøre rede for funksjonsbegrepet og tegne grafer ved å analysere funksjonsbegrepet beregne nullpunkter, skjæringspunkter og gjennom snittlig veksthastighet, finne tilnærmede verdier for momentan veksthastighet og gi noen praktiske tolkninger ved disse aspektene bruke digitale hjelpemidler til å drøfte polynomfunksjoner, rasjonale funksjoner, eksponentialfunksjoner og potensfunksjoner
1.1 Rette linjer Fra ungdomsskolen vet vi at y = a + b er likningen for ei rett linje. Tallet b kaller vi konstantleddet. I likningen y = + 1, er konstantleddet lik 1. Når = 0, blir y = 0 + 1 = 1 Vi ser at når = 0, er y lik konstantleddet 1. Linja må da gå gjennom punktet 1 på y-aksen. Det ser vi tydelig når vi lager tabell og tegner linja i et koordinatsystem. y 8 6 4 F D 1 E 0 y 1 5 C A 1 B 4 Konstantleddet forteller oss hvor linja skjærer y-aksen. Vi tar nå utgangspunkt i skjæringspunktet A mellom linja og andreaksen. Hvis øker med en enhet fra 0 til 1, øker y fra 1 til 3. Økningen for y er derfor 3 1 =. Vi har nå vist at i ABC er BC =. Så tar vi utgangspunkt i et annet punkt på grafen som vi kaller D. Vi øker med én enhet og ønsker å finne ut hvor mye y øker. ABC og DEF er formlike fordi vinklene er parvis like store. I tillegg er AB = DE = 1. Dermed er trekantene også like store. Vi sier at de er kongruente. Derfor er EF = BC =. Vi har vist at y øker med enheter når øker med 1 enhet. Tallet kaller vi stigningstallet for linja. Stigningstallet finner vi igjen foran i likningen y = + 1.! I matematikk er det vanlig å skrive linja y = + 1 når vi mener linja med likningen y = + 1. Det skal vi gjøre i denne boka også. Vi lager tabell og tegner linja y = + 3, se øverst på neste side. 10 Sinus Påbyggingsboka T > Funksjoner og grafiske løsninger
y 4 1 1 4 0 y 3 1 Hvis vi starter i et punkt på linja og flytter oss 1 enhet parallelt med -aksen, må vi enheter ned for å møte linja. y minker med to enheter når øker med én enhet. Vi sier at y øker med enheter. Tallet er stigningstallet for linja y = + 3. Også her står stigningstallet foran i likningen. Den rette linja y = a + b skjærer y-aksen i punktet y = b. Når øker med én enhet, øker y med a enheter. Tallet a kaller vi stigningstallet, og b kaller vi konstantleddet. y b 1 a Hvis stigningstallet a er et positivt tall, stiger linja mot høyre. Hvis stigningstallet a er et negativt tall, synker linja mot høyre. Hvis stigningstallet a = 0, blir linja horisontal. Linja y = 3 er ei slik linje, for vi kan skrive likningen som y = 0 + 3. Vi har tegnet linja til venstre nedenfor. y 4 y 4 4 4 4 Likningen = kan vi oppfatte som likningen for ei linje der alle punktene har førstekoordinat lik. Det blir ei linje som er parallell med y-aksen slik som vist til høyre ovenfor. 11
Ei horisontal linje har likningen y = k. Linja går gjennom tallet k på andreaksen. Ei vertikal linje har likningen = k. Linja går gjennom tallet k på førsteaksen.? Oppgave 1.10 Lag tabell og tegn linjene i det samme koordinatsystemet. a) y = + b) y = + c) y = + d) y = + Hvilket punkt går alle linjene gjennom? Oppgave 1.11 Lag tabell og tegn linjene i det samme koordinatsystemet. a) y = + 3 b) y = + 1 c) y = 1 d) y = 3 Hvordan går linjene i forhold til hverandre? Oppgave 1.1 Avgjør hvilke linjer som er parallelle, uten å tegne linjene. a) y = 3 + 1 b) y = + 1 c) y = + 3 d) y = 3 3 e) y = 1 f) y = 3 Oppgave 1.13 Tegn linjene. a) y = b) y = 3 + c) y = 1 d) = 1 EKSEMPEL Bruk stigningstallet og konstantleddet til å tegne linjene. a) y = 3 + b) y = 3 + 4 Løsning: a) I likningen y = 3 + er konstantleddet. Linja går derfor gjennom punktet y = på y-aksen. Linja har stigningstallet 3 = 1,5. Hver gang øker med en enhet, øker y med 3 enheter. Når vi skal tegne linja, markerer vi først punktet y = på y-aksen. Vi går så ut fra dette punktet og går en enhet til høyre parallelt med -aksen. Deretter går vi 3 = 1,5 enheter oppover for å finne det neste punktet på linja. Nå har vi to punkter på linja og kan tegne linja som vist til venstre øverst på neste side. 1 Sinus Påbyggingsboka T > Funksjoner og grafiske løsninger
y y 6 6 4 1 1,5 4 4 1 3 4 b) Linja y = 3 + 4 går gjennom punktet y = 4 på andreaksen. Når vi går en enhet til høyre fra dette punktet, må vi gå tre enheter nedover for å finne et nytt punkt på grafen. Når vi har to punkter, trekker vi linja som vist til høyre ovenfor. Vi kan finne likningen for ei linje grafisk. Vi tegner da linja i et koordinatsystem og leser av stigningstallet og skjæringspunktet med andreaksen. EKSEMPEL Ei linje går gjennom punktene (, 7) og (3, 9). Finn likningen for denne linja grafisk. Løsning: Vi markerer de to punktene i et koordinatsystem og trekker linja gjennom punktene. Skjæringspunktet med y-aksen gir konstantleddet b = 3. For å finne stigningstallet a starter vi i et punkt på linja og øker med 1 enhet. Vi må da gå enheter opp for å komme opp til linja. Det gir stigningstallet a =. Likningen for linja blir y = + 3 10 8 6 4 y 1 (, 7) (3, 9) 4 13
? Oppgave 1.14 Utnytt konstantleddet og stigningstallet til å tegne linjene. a) y = 1 b) y = + c) y = 1 + 3 d) y = + 1 Oppgave 1.15 I dette koordinatsystemet har vi tegnet fire rette linjer. Finn likningene for linjene ved grafisk avlesing. 5 4 3 1 y 5 4 3 1 1 1 3 4 5 3 4 5 Oppgave 1.16 Ei linje går gjennom punktene (1, 1) og (3, 3). Finn likningen for linja grafisk. 1. Linjer på lommeregneren Vi kan tegne rette linjer på lommeregneren. Her viser vi hvordan vi går fram for å få tegnet linja med likningen y = 3 ON CASIO Vi velger GRAPH på ikonmenyen og legger inn likningen som vist øverst på neste side. TEXAS Vi trykker på Y= og legger inn likningen som vist øverst på neste side. 14 Sinus Påbyggingsboka T > Funksjoner og grafiske løsninger
Nå må vi velge vindu. Det er å bestemme hvor stort koordinatsystem vi skal ha. Vi trykker på V-Window og velger verdier slik som på denne figuren: Nå må vi velge vindu. Det er å bestemme hvor stort koordinatsystem vi skal ha. Vi trykker på WINDOW og velger verdier slik som på denne figuren: Scale bestemmer hvor langt det skal være mellom strekene på koordinataksene. Nå trykker vi på EXIT etterfulgt av F6 (DRAW). Det gir denne grafen: Xscl og Yscl bestemmer hvor langt det skal være mellom strekene på koordinataksene. Nå trykker vi på GRAPH og får fram denne grafen: OFF? Oppgave 1.0 Tegn linjene på lommeregneren når er et tall mellom 5 og 5. a) y = 3 b) y = 4 + 6 c) y = 7, 8,4 d) y = 1,5 + 5 15
Det er ikke alltid like enkelt å velge et godt vindu når vi skal tegne linjer på lommeregneren. Hvilke verdier vi skal velge for, går ofte fram av oppgaveteksten. Vi kan da regne ut hvilke verdier vi trenger for y. Men vi kan også bruke lommeregneren til å finne verdiene for y. EKSEMPEL Vetle Bill har en mobiltelefon med et abonnement som koster 150 kr per måned. Han betaler 0,89 kr per minutt når han ringer. Vetle sender ikke tekstmeldinger. Hvis han ringer i minutter per måned, er utgiftene i kroner gitt ved formelen y = 0,89 + 150 Tegn den rette linja på lommeregneren. Løsning: ON CASIO Etter at vi har lagt inn likningen, trykker vi på V-Window og legger inn passende verdier for som vist nedenfor. Det spiller ingen rolle hvilke verdier som er valgt for y. TEXAS Etter at vi har lagt inn likningen, trykker vi på WINDOW og legger inn passende verdier for som vist nedenfor. Det spiller ingen rolle hvilke verdier som er valgt for y. Så trykker vi på EXIT og der etter på F6 (DRAW). Vi ser kanskje ikke noen graf. Så trykker vi på ZOOM og på F5 (AUTO). Så trykker vi på ZOOM og velger 0:ZoomFit. Vi får fram det valget enten ved å trykke på tasten 0 eller ved å trykke på tasten noen ganger til markøren dekker tallet 0. 16 Sinus Påbyggingsboka T > Funksjoner og grafiske løsninger
Vi får nå fram denne grafen: Vi får nå fram denne grafen: Grafen er ikke perfekt. For det første er -aksen ikke tegnet, og for det andre er y-aksen i praksis uten inndeling. Vi trykker på V-Window og ser at lommeregneren har valgt dette vinduet: Grafen er ikke perfekt. For det første er -aksen ikke tegnet, og for det andre er y-aksen i praksis uten inndeling. Vi trykker på WINDOW og ser at lommeregneren har valgt dette vinduet: Vi retter Ymin til 0, scale til 100 og gjerne ma til 600. Da får vi denne grafen når vi trykker på EXIT og på F6 (DRAW): Vi retter Ymin til 0, Yscl til 100 og gjerne Yma til 600. Da får vi denne grafen når vi trykker på GRAPH : OFF 17
? Oppgave 1.1 Kristian har mobiltelefon. Han betaler 50 kr per måned for abonnementet og 1,39 kr per minutt. Når han ringer i minutter per måned, betaler han y kroner, der y = 1,39 + 50 Bruk lommeregneren til å tegne den linja som viser sammenhengen mellom ringetida og kostnaden når Kristian ringer i inntil 500 minutter per måned. Oppgave 1. For en familie er strømutgiftene i kroner per år gitt ved y = 0,4 + 100 der er tallet på kilowattimer. Tegn linja på lommeregneren når er mellom 0 og 30 000. Oppgave 1.3 Vi fyller varmt drikke med temperaturen 90 C på ei termosflaske. Temperaturen i flaska synker med 3 grader per time. a) Finn en formel for temperaturen y etter t timer. b) Tegn ei linje på lommeregneren som viser sammenhengen mellom y og t når t er mellom 0 og 10. 1.3 Grafisk avlesing Mari har et mobiltelefonabonnement der hun betaler 150 kr i fast avgift per måned og 0,89 kr per minutt når hun ringer. Hvis hun en måned ringer i minutter, blir utgiftene y kroner, der y = 0,89 + 150 Dette er likningen for ei rett linje med stigningstallet 0,89 og konstantleddet 150. Vi ser at stigningstallet er det samme som prisen per minutt. Konstantleddet er det samme som abonnementsprisen.! 18 Slik vil det alltid være for denne typen kostnadsfunksjoner. Stigningstallet er prisen per enhet, og konstantleddet er den faste kostnaden. Sinus Påbyggingsboka T > Funksjoner og grafiske løsninger
Vi tegner linja: kr 600 y 500 460 400 300 00 100 100 00 300 400 80 350 500 minutter Mari vil bruke linja til å finne ut hvor mye hun må betale hvis hun ringer i 350 minutter. Hun tar da utgangspunkt i tallet 350 på -aksen, går opp til linja og leser av på y-aksen som vist ovenfor. Da kommer hun til tallet 460 på y-aksen. Hun må altså betale 460 kr hvis hun ringer i 350 minutter. Hvor lenge kan Mari ringe for 400 kr? Vi tar utgangspunkt i tallet 400 på y-aksen, går bort til linja og leser av på - aksen som vist på figuren ovenfor. Vi kommer fram til tallet 80 på -aksen. Hun kan ringe i 80 minutter for 400 kr. Vi har nå løst oppgavene grafisk. Slike grafiske løsninger gir vanligvis ikke eksakt riktige svar, men ofte kan en tilnærmet løsning være god nok. Noen ganger trenger vi ikke eksakt riktige løsninger. Andre ganger arbeider vi med matematiske modeller som bare gir en omtrent riktig beskrivelse av virkeligheten. Når vi arbeider med unøyaktige modeller, trenger vi ikke eksakte svar. EKSEMPEL Løs likningen grafisk og ved regning. 3 + 1 = 5 19
Løsning: Grafisk løsning: Vi tegner først linja y = 3 + 1 6 5 4 4 3 3 1 1 1 3 4 y 1 3 4 5 6 Deretter tar vi utgangspunkt i tallet 5 på y-aksen og leser av på -aksen som vist ovenfor. Vi ser at når y = 5, er = 3. Løsningen er = 3 Nå løser vi likningen ved regning. 3 + 1 = 5 3 + 1 = 5 3 + 1 = 10 3 = 9 = 3? Oppgave 1.30 Løs likningene grafisk og ved regning. a) + 1 = 5 b) + 3 = 1 c) 1 1 = d) 3 + 3 = 3 0 Sinus Påbyggingsboka T > Funksjoner og grafiske løsninger
? Oppgave 1.31 Utklippet nedenfor er hentet fra Dagbladet 10. desember 005. Det viser utviklingen av fedme blant norske kvinner og menn i perioden fra 1965 til 00. Grafen viser hvor mange prosent av befolkningen som har en BMI-verdi over 30. Beskriv utviklingen for kvinner og for menn med ord. Utvikling av fedme målt i BMI Kvinner Menn 0 15 10 5 0 1965 1985 00 0 05 GRAFIKK h Kilde: Folkeinstituttet h h Oppgave 1.3 Når vi bruker drosje, begynner taksameteret på et fast beløp idet turen starter. Dette faste beløpet kaller vi påslaget. Vi setter det her til 40 kr. Under turen blir det med jevne mellomrom automatisk lagt til et beløp på taksameteret. Dette tillegget regner vi om til en kilometerpris. I denne oppgaven setter vi den til 15 kr. a) Hva må vi betale for en drosjetur på 1 km? b) Forklar at drosjeutgiftene U etter km kan skrives U = 15 + 40 c) Tegn linja i oppgave b når er mellom 0 og 30. d) Finn av denne linja hva en drosjetur på 0 km koster. e) Hvor langt kan du kjøre drosje for 300 kr? Oppgave 1.33 Vi fyller varmt drikke med temperaturen 86 C på ei termosflaske. Termosflaska holder godt på varmen, og temperaturen synker bare,5 grader per time. a) Hva er temperaturen T etter t timer? b) Tegn ei linje som viser temperaturen når t er mellom 0 og 10. c) Finn av linja hvor mange timer det går før temperaturen er 71 C. 1
Vi kan også løse likningen på side 19 på lommeregneren. ON CASIO Når vi skal løse likningen 3 + 1 = 5, velger vi GRAPH på ikonmenyen og legger inn disse to uttrykkene: TEXAS Når vi skal løse likningen 3 + 1 = 5, trykker vi på Y= og legger inn disse to uttrykkene: Vi trykker nå på V-Window og velger dette vinduet: Vi trykker nå på WINDOW og velger dette vinduet: Så trykker vi på EXIT og velger DRAW. Vi får tegnet linjene. Til slutt trykker vi på G-Solv og velger ISCT (intersection). Markøren stiller seg i skjæringspunktet mellom linjene, og vi ser koordinatene til skjæringspunktet nederst på skjermen. Så trykker vi på GRAPH og får tegnet linjene. Vi trykker på CALC og velger 5:intersect. Vi trykker nå tre ganger på ENTER. Markøren stiller seg i skjæringspunktet mellom linjene, og vi ser koordinatene til skjæringspunktet nederst på skjermen. OFF Sinus Påbyggingsboka T > Funksjoner og grafiske løsninger
? Oppgave 1.34 Løs likningene på lommeregneren. a) 3 + 1 = 10 b) + 3 = 9 Oppgave 1.35 Løs likningene på lommeregneren og ved regning. a) 3 + 15 = 3 b) 3 4 1 6 = 7 Oppgave 1.36 Mona har moped. Hun betaler 3500 kr i året i forsikring. Utgiftene til bensin, olje og vedlikehold setter hun til 0,50 kr per kilometer. a) Forklar at utgiftene i kroner per år er gitt ved U = 0,50 + 3500 når hun kjører kilometer per år. b) Tegn linja i oppgave a på lommeregneren når er mellom 0 og 5000. c) Bruk grafen til å finne ut hvor langt hun kan kjøre for 5000 kr. 1.4 Grafisk løsning av lineære likningssett Mari bruker mobiltelefonen mye. Hun betaler 150 kr i fast avgift per måned og 0,89 kr per minutt når hun ringer. Hvis hun en måned ringer i minutter, blir utgiftene y kroner, der y = 0,89 + 150 Mari syns at telefonregningen blir stor. Hun vurderer derfor et annet abonnement der hun betaler 50 kr per måned i fast avgift og 1,39 kr per minutt når hun ringer. Hvis hun en måned ringer i minutter, blir utgiftene y i kroner y = 1,39 + 50 Hvor mye må hun ringe per måned for at det skal lønne seg å ha det første abonnementet? 3
Vi tegner begge linjene i ett koordinatsystem. kr 600 y y = 1,39 + 50 y = 0,89 + 150 500 400 300 00 100 100 00 300 400 500 minutter Avlesingen viser at begge abonnementene koster like mye hvis Mari ringer i 00 minutter per måned. Hvis hun ringer mer enn 00 minutter, lønner det seg å ha abonnementet med høyest fast avgift. Dette kan vi også finne ut ved hjelp av lommeregneren. ON CASIO Vi velger GRAPH på ikonmenyen og legger inn disse to uttrykkene: TEXAS Vi trykker på Y= og legger inn disse to uttrykkene: Vi trykker nå på V-Window og velger vinduet i samsvar med figuren øverst på neste side. Vi trykker nå på WINDOW og velger vinduet i samsvar med figuren øverst på neste side. 4 Sinus Påbyggingsboka T > Funksjoner og grafiske løsninger
Så trykker vi på EXIT og velger DRAW. Vi får tegnet linjene. Til slutt trykker vi på G-Solv og velger ISCT (intersection). Så trykker vi på GRAPH og får tegnet linjene. Vi trykker på CALC og velger 5:intersect. Vi trykker tre ganger på ENTER. OFF Markøren stiller seg i skjæringspunktet mellom linjene, og vi ser koordinatene til skjæringspunktet nederst på skjermen. Markøren stiller seg i skjæringspunktet mellom linjene, og vi ser koordinatene til skjæringspunktet nederst på skjermen. Begge lommeregnerne viser at de to abonnementene er like dyre når Mari ringer i 00 minutter per måned. Mari betaler da 38 kr. Hvis hun ringer i mer enn 00 minutter, lønner det seg å ha det abonnementet som koster 150 kr per måned. Vi kan også finne ut ved regning hvor mye hun må ringe for at de to abonnementene skal koste like mye. Utgiftene y er like for de to abonnementene hvis 1,39 + 50 = 0,89 + 150 1,39 0,89 = 150 50 0,50 = 100 = 100 0,50 = 00 De to abonnementene koster like mye hvis Mari ringer i 00 minutter per måned. Når vi skal finne utgiftene, setter vi inn i en av likningene. y = 1,39 00 + 50 = 38 Begge abonnementene koster da 38 kr. 5
? Oppgave 1.40 Løs likningssettene grafisk og ved hjelp av lommeregneren. a) y = + 1 b) y = + 4 c) y = 1 4 y = + 4 y = y = 3 Oppgave 1.41 Ved lønnsforhandlingene i et datafirma får en selger velge mellom to lønnstilbud: 1) En fast månedslønn på 15 000 kr pluss 500 kr for hver datamaskin han selger. ) En fast månedslønn på 16 500 kr pluss 50 kr for hver datamaskin han selger. a) Sett opp to formler for lønna når han selger datamaskiner per måned. b) Finn grafisk hvor mange maskiner han må selge for at de to tilbudene skal være like gode. Hva er månedslønna i dette tilfellet? Oppgave 1.4 Et firma skal produsere en bestemt vare. Kostnaden ved å produsere varen kan deles i to deler. Den faste kostnaden er på 15 000 kr og er uavhengig av hvor mange enheter som blir produsert. Denne kostnaden dekker blant annet utgifter til produksjonsutstyr. Den variable kostnaden er knyttet direkte til produksjonen av en enhet. Utgiftene ved å produsere en enhet er her 50 kr. a) Hvor mye koster det i alt å produsere 150 enheter? b) Finn et uttrykk for totalkostnaden K i kroner når det blir produsert enheter. c) Framstill kostnaden K grafisk. Velg mellom 0 og 00. d) Firmaet selger denne varen for 400 kr per stk. Forklar at inntekten I er gitt ved I = 400 Framstill I grafisk i det samme koordinatsystemet. e) Finn av kurven hvor mange enheter firmaet må selge for at inntekten av salget skal dekke utgiftene. f) Bruk kurvene til å finne ut hvor stort overskudd firmaet hadde da det solgte 150 enheter. 6 Sinus Påbyggingsboka T > Funksjoner og grafiske løsninger
Da vi på sidene 4 5 løste to likninger med to ukjente grafisk, var begge likningene ordnet slik at vi hadde y alene på venstre side av likhetstegnet. Noen ganger må vi sørge for å få y alene på venstre side før vi kan løse likningssettet grafisk. Nå skal vi løse likningssettet grafisk. 5 y = 4 + y = 5 Vi begynner med å finne et uttrykk for y fra den første likningen: 5 y = 4 y = 5 + 4 y = 5 + 4 y = 5 Den andre likningen gir + y = 5 y = + 5 Vi har nå omformet hver av de to likningene til en likning av typen y = a + b, som gir ei rett linje. Vi tegner de to linjene i ett koordinatsystem. 6 y y = 5 4 y = + 5 4 6 Vi skal finne det punktet som ligger på begge linjene. Skjæringspunktet gir løsningen. Løsningen er = og y = 3 Vi kan også løse likningssettet ved å tegne de to linjene på lommeregneren og finne skjæringspunktet slik vi gjorde på sidene 4 5. 7
? Oppgave 1.43 Løs likningssettet grafisk. + y = 4 + y = 3 Oppgave 1.44 Løs likningssettene grafisk. a) + y = 5 b) 3 + 4y = 1 c) y = 4 d) + y = + y = 6 + y = 7 3 y = 3 1 + y = 1 1.5 Funksjonsbegrepet Vi kaster en stein opp i lufta. Etter t sekunder er steinen y meter over bakken, der y er gitt ved formelen y = 5t + 0t Etter 3 s er høyden y = 5 3 + 0 3 = 15 Steinen er 15 m over bakken etter 3 s. Når vi kjenner t, kan vi regne ut en bestemt verdi for y. Vi sier at høyden y er en funksjon av tida t. y er en funksjon av hvis hver mulig verdi av gir nøyaktig én verdi av y. Steinen har samme høyde over bakken to ganger, på vei opp og på vei ned. Steinen er 15 m over bakken etter 1 s og etter 3 s. Når vi kjenner høyden y, kan vi ikke fastsette én bestemt verdi for tida t. Tida t er dermed ikke en funksjon av høyden y. Uttrykket 5t + 0t kaller vi funksjonsuttrykket til funksjonen. Vi bruker ofte en egen skrivemåte for et funksjonsuttrykk. Når y er høyden, kaller vi gjerne funksjonsuttrykket h(t) og skriver h(t) = 5t + 0t Her er h den første bokstaven i ordet høyde. Vi sier også at funksjonen h er gitt ved h(t) = 5t + 0t 8 Sinus Påbyggingsboka T > Funksjoner og grafiske løsninger
Når vi skal finne høyden etter 1 s, skriver vi h(1) = 5 1 + 0 1 = 15 Høyden etter s er h() = 5 + 0 = 0 m 0 y h Tallene 15 og 0 kaller vi funksjonsverdier. Vi regner ut flere funksjons verdier og samler dem i en tabell: 15 10 t 0 1 3 4 h(t) 0 15 0 15 0 Så tegner vi grafen til funksjonen h. 5 1 3 4 5 t s Langs førsteaksen finner vi variabelen t. Langs andreaksen finner vi funksjonsverdiene. Vi ser at steinen er tilbake på bakken etter 4 sekunder. Ferden stopper der. Altså må vi forutsette at variabelen t her er et tall mellom 0 og 4. Vi må forutsette at 0 t 4. Det skriver vi ofte på denne måten: t [0, 4] Symbolet leser vi tilhører eller er element i. [0, 4] kaller vi et intervall. Det er alle tallene fra og med 0 til og med 4. Endepunktene er altså med i dette intervallet. Hvis vi ikke vil ha endepunktene med i intervallet, skriver vi intervallet som 0, 4. Vi sier at funksjonen h har definisjonsmengden [0, 4] og skriver D h = [0, 4] D er den første bokstaven i definisjonsmengde, og h er navnet på funksjonen. Vi ser at steinen på det høyeste punktet er 0 m over bakken. Med andre ord kan høyden være alle tall fra og med 0 m til og med 0 m. Funksjons verdiene kan dermed være alle tall i intervallet [0, 0]. Dette intervallet kaller vi verdimengden til funksjonen. Vi skriver V h = [0, 0] Hvis en funksjon ikke har noen spesiell praktisk tolkning, bruker vi gjerne som variabel. Funksjonsuttrykket kaller vi ofte f(), der f er navnet på funksjonen. 9
EKSEMPEL Funksjonen f er gitt ved f() = 4 + 3 a) Tegn grafen til f. b) Løs likningen f() = 8 grafisk. c) Finn verdimengden til f. Løsning: a) Vi regner ut noen funksjonsverdier og samler dem i en tabell: 1 0 1 3 4 5 f() 8 3 0 1 0 3 8 Nå markerer vi punktene (, f()) i et koordinatsystem og tegner en glatt kurve gjennom punktene. Vi får denne grafen: y 10 9 f 8 7 6 5 4 3 1 1 1 1 3 4 5 6 b) Avlesing av grafen viser at likningen f() = 8 har løsningene = 5 og = 1 c) Vi ser av grafen at den minste funksjonsverdien er 1. Det er når =. Verdimengden består dermed av alle tall som er større enn eller lik 1. Vi skriver V f = [ 1, 30 Sinus Påbyggingsboka T > Funksjoner og grafiske løsninger
Intervallet [ 1, består av alle tall som er større enn eller lik 1. Å si at y [ 1, er det samme som å si at y 1. Hvis vi for eksempel skal uttrykke at y 3, kan vi skrive at y, 3]. Intervallet, 3] består av alle tall som er mindre enn eller lik 3.? Oppgave 1.50 Regn ut f( ), f(0) og f() når funksjonen f er gitt ved a) f() = 3 + b) f() = + + 3 c) f() = 3 + 9 + 1 Oppgave 1.51 Vi skyter opp ei kule. Høyden i meter etter t sekunder er gitt ved h(t) = 5t + 50t a) Når er kula tilbake på bakken? b) Finn definisjonsmengden til funksjonen. c) Finn verdimengden. d) Når er kula 50 m over bakken? Oppgave 1.5 Funksjonen f er gitt ved f() = 6 + 8 a) Tegn grafen til f. b) Bruk grafen til å løse likningen 6 + 8 = 0 c) Finn verdimengden til f. Oppgave 1.53 Funksjonen f er gitt ved f() = + + 8 a) Tegn grafen til f. b) Løs likningen + + 8 = 5 grafisk. c) Finn verdimengden til f. 31
Når du skal tegne grafer, trenger du ikke regne ut verdiene i tabellen for hånd. Du kan lage tabellen på lommeregneren. Du kan også bruke lommeregneren til å få fram grafen. Vi tar for oss funksjonen f gitt ved f() = 4 + 3 ON CASIO Vi velger TABLE på ikonmenyen. Først sletter vi eventuelle uttrykk som er der fra før. Det gjør vi ved å trykke på F (DEL) etterfulgt av F1 (YES). Så legger vi inn uttrykket som vist nedenfor. Vi får fram X ved å trykke på,,t etter fulgt av. TEXAS Vi trykker på Y= og sletter eventuelle uttrykk som er der fra før, ved å trykke på CLEAR. Så legger vi inn uttrykket som vist nedenfor. Vi får fram X ved å trykke på,t,,n etterfulgt av. Vi trykker nå på EXE for å lagre uttrykket. Deretter trykker vi på F5 (RANG) og velger verdier i samsvar med figuren nedenfor. Trykk på TBLSET ( nd og WINDOW ) og still inn lommeregneren som vist. Husk å bruke tasten ( ) når du skal legge inn tallet 1. Tallet pitch bestemmer differansen mellom -verdiene i tabellen. Husk å trykke på EXE etter hvert tall. Vi trykker nå på EXIT og deretter på F6 (TABL). Vi får fram tabellen som står øverst på neste side. Tallet ΔTbl bestemmer diffe ransen mellom -verdiene i tabellen. Nå trykker vi på TABLE ( nd og GRAPH ) og får fram tabellen som står øverst på neste side. 3 Sinus Påbyggingsboka T > Funksjoner og grafiske løsninger
Vi bruker piltastene for å få se resten av tabellen. Så skal vi tegne grafen og må da først velge vindu. Derfor trykker vi på V-Window og velger verdier slik som på denne figuren: Vi får fram flere verdier i tabellen ved å bruke piltastene. Så skal vi tegne grafen og må da først velge vindu. Derfor trykker vi på WINDOW og velger verdier slik som på denne figuren: Nå trykker vi på MENU og velger GRAPH. Et trykk på F6 (DRAW) gir denne grafen: Nå trykker vi på GRAPH og får fram denne grafen: OFF? Oppgave 1.54 Bruk tabellen på lommeregneren til å tegne grafen til funksjonen f gitt ved f() = 5 + 6 33
? Oppgave 1.55 Funksjonen f er gitt ved f() = + 4 3 a) Tegn grafen til f på lommeregneren. b) Løs likningene på lommeregneren 1) + 4 3 = 0 ) + 4 3 = 7 Oppgave 1.56 En bil kjører med farten v målt i kilometer per time. Utslippet av karbondioksid målt i gram per kilometer er da gitt ved formelen C(v) = 0,045v 6,75v + 393 a) Tegn grafen til C på lommeregneren når farten er mellom 0 km/h og 10 km/h. Du kaller variabelen v for X når du taster inn dette uttrykket. b) Hvor stort er utslippet per kilometer når farten er 50 km/h? c) Hvor stor er farten når utslippet er 00 g/km? d) Ved hvilken fart er utslippet lavest mulig, og hvor stort er utslippet da? e) Hvor mange kilogram karbondioksid slipper vi ut når vi kjører fra Bergen til Oslo i 75 km/h med denne bilen? Sett avstanden til 500 km. f) Bilen bruker 0,8 l bensin per mil. En liter bensin veier omtrent 0,8 kg. Hvor mange kilogram bensin bruker bilen på turen fra Bergen til Oslo? Hvordan kan du forklare at utslippet veier mer enn forbruket av bensin? 1.6 Nullpunkter, bunnpunkter og toppunkter Uttrykkene + 3 og + 3 5 kaller vi polynomer. Uttrykket + 3 er et polynom av første grad, og uttrykket + 3 5 er et polynom av andre grad. Den høyeste eksponenten til variabelen i et polynom kaller vi graden til polynomet. Polynomet 3 + 3 6 + 4 er av tredje grad, og polynomet 4 + + 4 er av fjerde grad. Når vi skriver polynomer, ordner vi alltid leddene etter graden. Det leddet som har den høyeste graden, skal stå først. Polynomet 4 + + 3 3 + 5 skriver vi som 3 3 + + 5 + 4. Vi skal nå se på noen funksjoner der funksjonsuttrykket er et polynom. Slike funksjoner kaller vi polynomfunksjoner. I kapittel 1.5 tegnet vi grafen til polynomfunksjonen f gitt ved f() = 4 + 3 34 Sinus Påbyggingsboka T > Funksjoner og grafiske løsninger
Dette er en andregradsfunksjon. Grafen til en slik andregradsfunksjon kaller vi en parabel. Den ser slik ut: 10 8 y f 6 4 Nullpunkt Nullpunkt 4 6 Bunnpunkt (, 1) De punktene der grafen til en funksjon krysser -aksen, kaller vi nullpunktene til funksjonen. Nullpunktene er dermed bestemt ved at f() = 0 Funksjonen har dermed nullpunktene = 1 og = 3. Funksjonen har et bunnpunkt i det punktet der = og y = 1. Bunnpunktet har koordinatene (, 1). I et bunnpunkt er funksjonsverdien mindre enn i alle nabopunktene. Vi skal snart se at bunnpunktet ikke trenger å være det laveste punktet på grafen. Andre funksjoner kan ha et toppunkt. Det er et punkt der funksjonsverdien er større enn i alle nabopunktene. Noen funksjoner kan ha både bunnpunkt og toppunkt. EKSEMPEL Funksjonen f er gitt ved f() = 3 3 a) Tegn grafen til funksjonen. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn bunnpunktet og toppunktet til f. 35
Løsning: a) Vi tegner grafen til f. y 4 f Toppunkt 3 ( 1, ) Nullpunkter 1 1 1 1 3 3 Bunnpunkt (1, ) 4 b) Grafen viser at f har nullpunktene = 0, = 1,7 og = 1,7 c) Funksjonen har toppunktet ( 1, ) og bunnpunktet (1, ). Funksjonen i eksempelet ovenfor har et toppunkt i ( 1, ) og et bunnpunkt i (1, ). Men funksjonen har ikke sin minste verdi i bunnpunktet. Funksjonen har heller ikke sin største verdi i toppunktet. Toppunkter og bunnpunkter er bare lokale topper og bunner. Eksempelet ovenfor viser at en tredjegradsfunksjon kan ha tre nullpunkter og både toppunkt og bunnpunkt. Men ikke alle tredjegradsfunksjoner har både toppunkt og bunnpunkt. Grafen til funksjonen f() = 3 ser slik ut: 5 4 3 1 y f 1 1 3 4 5 1 3 Denne tredjegradsfunksjonen har bare ett nullpunkt og ingen toppunkter eller bunnpunkter. 36 Sinus Påbyggingsboka T > Funksjoner og grafiske løsninger
EKSEMPEL Tegn grafen til funksjonen f() = 4 5 + 4. Finn nullpunktene, toppunktet og bunnpunktene grafisk. Løsning: Vi bruker lommeregneren og får denne grafen: 5 4 3 1 y f 3 1 1 3 1 3 Funksjonen har fire nullpunkter: =, = 1, = 1 og = Funksjonen har to bunnpunkter og ett toppunkt. Bunnpunkter: ( 1,6,,) og (1,6,,) Toppunkt: (0, 4)? Oppgave 1.60 Funksjonen f er gitt ved f() = 3 a) Tegn grafen til f. b) Finn bunnpunktet til f. Oppgave 1.61 En vinterdag var temperaturen i celsiusgrader timer etter midnatt gitt ved T() = 3 8 + 1 135, [8, 0] a) Tegn grafen til T. b) Når på dagen var temperaturen 0 C? c) Når på dagen var temperaturen høyest? Hva var temperaturen da? 37
? Oppgave 1.6 Funksjonen g er gitt ved g() = 3 3 + 4 a) Tegn grafen til g. b) Finn nullpunktene til g. c) Finn toppunktet og bunnpunktet til g. d) Finn verdimengden til g. Nullpunkter, bunnpunkter og toppunkter kan vi også finne ved hjelp av lomme regneren. Vi skal nå bruke lommeregneren og finne nullpunktene og toppunktet til funksjonen g gitt ved g() = + + 3. ON CASIO Vi velger GRAPH på ikonmenyen og legger inn funksjonsuttrykket Y1 = X + X + 3 Deretter trykker på V-Window og velger et vindu bestemt av at [ 3, 6] og y [ 3, 6]. Nå tegner vi grafen på lommeregneren, se figuren nedenfor. For å finne nullpunktene trykker vi på G-Solv ( SHIFT og F5 ) og deretter på F1 (ROOT). Etter noen sekunder står markøren i nullpunktet lengst til venstre, og vi kan lese av nullpunktet = 1. TEXAS Vi trykker på Y= og legger inn funksjonsuttrykket Y1 = X + X + 3 Deretter trykker vi på WINDOW og velger et vindu bestemt av at [ 3, 6] og y [ 3, 6]. Nå tegner vi grafen på lommeregneren, se figuren nedenfor. For å finne nullpunktene trykker vi på CALC og velger :zero. Deretter bruker vi piltastene og flytter markøren like til venstre for nullpunktet og trykker på ENTER. Deretter flytter vi markøren til høyre for nullpunktet og trykker to ganger på ENTER. 38 Vi trykker så på piltasten, og markøren flytter seg til det andre nullpunktet = 3. Sinus Påbyggingsboka T > Funksjoner og grafiske løsninger Vi finner det andre nullpunktet = 3 på tilsvarende måte.
For å finne toppunktet trykker vi på G-Solv og trykker F (MAX). Etter noen sekunder står markøren i toppunktet. I toppunktet er = 1 og y = 4. Toppunktet har koordinatene (1, 4). For å finne toppunktet trykker vi nå på CALC og velger 4:maimum. Vi flytter markøren til venstre for toppunktet og trykker på ENTER. Deretter flytter vi markøren til høyre for toppunktet og trykker deretter to ganger på ENTER. OFF Toppunktet har koordinatene (1, 4).? Oppgave 1.63 Funksjonen f er gitt ved f() = 3 1 a) Tegn grafen til f på lommeregneren. b) Finn bunnpunktet og toppunktet til f. Oppgave 1.64 Funksjonen f er gitt ved f() = 4 4 a) Tegn grafen til f. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn toppunktene og bunnpunktene. Oppgave 1.65 Bruk lommeregneren og tegn grafen til f der f() = 5 5 3 + 4 a) Hvor mange nullpunkter har grafen? b) Hvor mange toppunkter og bunnpunkter har grafen? c) Hvor mange nullpunkter tror du en funksjon av grad n kan ha? d) Hvor mange toppunkter og bunnpunkter tror du en funksjon av grad n kan ha? 39
1.7 Rasjonale funksjoner Funksjonen f gitt ved f() = + 1 1 kaller vi en rasjonal funksjon. Funksjonsuttrykket til en rasjonal funksjon er en brøk med polynomer i telleren og nevneren. Vi skal nå se på grafene til slike funksjoner. En brøk er ikke definert når nevneren er null. Funksjonen f ovenfor er ikke definert når = 1. Vi bruker tabellen på lommeregneren og regner ut f() for noen verdier nær = 1. Vi går fram på denne måten: ON CASIO Vi velger TABLE på ikonmenyen og legger inn funksjonsuttrykket som vist nedenfor. Pass på å sette parentes om telleren og om nevneren! TEXAS Vi trykker på Y= og legger inn funksjonsuttrykket som vist nedenfor. Pass på å sette parentes om telleren og om nevneren! Vi trykker nå på EXE og på F5 (RANG) og velger verdier i samsvar med figuren nedenfor. Vi trykker nå på TBLSET ( nd og WINDOW ) og stiller inn lommeregneren som vist nedenfor. 40 Tabellen vil nå begynne på 0,97 og slutte på 1,03. Det vil være 0,01 mellom -verdiene. Vi trykker nå på EXIT, og deretter på F6 (TABL) og får fram tabellen øverst på neste side. Sinus Påbyggingsboka T > Funksjoner og grafiske løsninger Tabellen vil nå begynne på 0,97, og det vil være 0,01 mellom -verdiene. Nå trykker vi på TABLE og får fram tabellen øverst på neste side.
OFF Vi ser at funksjonsverdiene synker når er mindre enn 1 og nærmer seg 1. Vi bruker piltastene for å få se at funksjonsverdiene vokser når er større enn 1 og nærmer seg 1. Lomme regneren viser ERROR når = 1. Det går ikke an å regne ut noen verdi for = 1. Vi ser at funksjonsverdiene synker når er mindre enn 1 og nærmer seg 1. Funksjonsverdiene vokser når er større enn 1 og nærmer seg 1. Lommeregneren viser ERR (error) når = 1. Det går ikke an å regne ut noen verdi for = 1. Ved hjelp av tabellen på lommeregneren kan vi velge -verdier enda nærmere 1. Da ser vi at funksjonsverdiene i tallverdi vokser over alle grenser når nærmer seg 1. Vi sier at funksjonen f har et bruddpunkt for = 1. En rasjonal funksjon har et bruddpunkt der nevneren er null. ON CASIO For å tegne grafen velger vi Graph på ikonmenyen. Så trykker vi på V-Window og velger [ 10, 10] og y [ 10, 10]. Nå trykker vi på EXIT etterfulgt av F6 (DRAW). TEXAS For å tegne grafen velger vi først vindu. Derfor trykker vi på WINDOW og velger [ 10, 10] og y [ 10, 10]. Så trykker vi på GRAPH og får fram denne grafen: OFF! Legg merke til at grafen ikke er sammenhengende der vi har et bruddpunkt. Det gjelder for alle funksjoner med bruddpunkt. 41
Det kan se ut som om funksjonsverdiene nærmer seg for store verdier av. Det kan vi undersøke ved hjelp av tabellen på lommeregneren. ON CASIO Vi velger TABLE på ikonmenyen og trykker på F5 (RANG). Så stiller vi inn lommeregneren slik: TEXAS Vi trykker på TBLSET og stiller inn lommeregneren som vist på figuren nedenfor. Vi trykker på EXIT, deretter på F6 (TABL) og får fram denne tabellen: Så trykker vi på TABLE og får fram denne tabellen: OFF Vi ser at funksjonsverdiene nærmer seg når øker. Vi ser at funksjonsverdiene nærmer seg når øker. Vi kan også finne ved regning at funksjonsverdien er nær når har en stor tallverdi. Når er mye større enn 1, er brøken + 1 omtrent lik. Da er f() = + 1 1 = 1 = Dette viser at f() er nær når blir et stort tall. For store -verdier vil grafen nærme seg linja y =. Det samme gjelder for negative -verdier med stor tallverdi. Før vi tegner grafen, tegner vi den horisontale linja y =. Vi tegner også ei vertikal linje gjennom bruddpunktet = 1. Da blir det lettere å tegne grafen etterpå, fordi grafen nærmer seg disse linjene når vi går utover i koordinatsystemet. Grafen ser du på neste side. 1 4 Sinus Påbyggingsboka T > Funksjoner og grafiske løsninger
? Grafen nærmer seg den horisontale linja y = og den vertikale linja = 1. Slike rette linjer som en graf nærmer seg, kaller vi asymptoter. Denne grafen har en horisontal asymptote y = og en vertikal asymptote = 1. Oppgave 1.70 Funksjonen f er gitt ved f() = + 3 a) Finn bruddpunktet til f. Hva er likningen for den vertikale asymptoten? b) Bruk lommeregneren til å finne ut hva som skjer med funksjonsverdiene når har stor tallverdi. Hva blir likningen for den horisontale asymptoten? c) Tegn grafen til f og den horisontale asymptoten på lommeregneren. 8 6 4 8 6 4 4 6 8 y 4 6 8 Oppgave 1.71 Funksjonen f er gitt ved f() = 3 5 6 a) Finn bruddpunktet. Hva er likningen for den vertikale asymptoten? b) Bruk lommeregneren til å finne hva som skjer med funksjonsverdiene for store tallverdier av. Hva blir likningen for den horisontale asymptoten? c) Tegn asymptotene og grafen i et koordinatsystem. Oppgave 1.7 Mari betaler 150 kr i avgift per måned for mobiltelefonen sin. I tillegg betaler hun 0,89 kr per minutt når hun ringer. Utgiftene i kroner per minutt når hun en måned ringer minutter, er 0,89 + 150 U() = a) Hva nærmer utgiftene seg per minutt når Mari ringer svært mye? Hva blir likningen for den horisontale asymptoten? b) Tegn grafen til U for -verdier mellom 0 og 000. c) Hva koster telefonen per minutt hvis Mari en måned ringer i 00 minutter? d) Hvor mye må Mari ringe hvis utgiftene per minutt skal bli kr? 43
Noen funksjoner har asymptoter som går på skrå i stedet for horisontalt. EKSEMPEL La f() = + 8 a) Finn likningen for den vertikale asymptoten. b) Finn ut hva som skjer med grafen for store verdier av. Hva blir likningen for asymptoten? c) Tegn grafen til f sammen med asymptotene i et koordinatsystem. Hva ser du? Løsning: a) Funksjonen har et bruddpunkt når nevneren er null. = 0 = Den vertikale asymptoten har likningen =. ON b) CASIO Vi velger TABLE på ikonmenyen og legger inn funksjonsuttrykket. Deretter trykker vi på F5 (RANG) og velger disse verdiene: TEXAS Vi trykker på Y= og legger inn funksjonsuttrykket. Deretter trykker vi på TBLSET og stiller inn lommeregneren som vist nedenfor. Vi trykker nå på EXIT og F6 (TABL) og får fram tabellen øverst på neste side. Nå trykker vi på TABLE og får fram tabellen øverst på neste side. 44 Sinus Påbyggingsboka T > Funksjoner og grafiske løsninger
OFF Vi ser at y-verdiene nærmer seg -verdiene. Dermed vil grafen nærme seg linja y =. Asymptoten har likningen y =. c) Nå tegner vi den vertikale asymptoten =, den skrå asymptoten y = og grafen til f. y 16 1 8 4 16 1 8 4 4 4 8 1 16 8 1 16 Grafen nærmer seg den skrå asymptoten når vi går utover i koordinatsystemet.? Oppgave 1.73 La f() = 3 + 9 1 a) Finn likningen for den vertikale asymptoten. b) Finn ut hva som skjer med grafen for store tallverdier for. Hva blir likningen for asymptoten? c) Tegn grafen til f sammen med asymptotene i et koordinatsystem. 45
SAMMENDRAG Likningen for ei rett linje Den rette linja y = a + b skjærer y-aksen i punktet y = b. Når øker med én enhet, øker y med a enheter. Tallet a kaller vi stigningstallet, og b kaller vi konstant leddet. y b 1 a Grafisk løsning av likningssett Når vi skal løse et likningssett grafisk, finner vi y uttrykt ved i begge likningene. Dette gir likningene for to rette linjer. Vi tegner linjene i ett koordinatsystem. Løsningen finner vi ved å lese av koordinatene til skjæringspunktet. Polynom Et polynom er et uttrykk av typen 3 + 3 + 5. Dette polynomet er av grad 3. Funksjon Vi sier at y er en funksjon av dersom hver mulig verdi av gir nøyaktig én verdi av y. Parabel Grafen til en andregradsfunksjon kaller vi en parabel. Definisjonsmengden D f Definisjonsmengden D f til funksjonen f er alle de verdiene som vi kan velge for. Verdimengden V f Verdimengden V f til funksjonen f er alle de funksjonsverdiene f() vi får når D f. Nullpunkt er et nullpunkt for f dersom f() = 0. 46 Sinus Påbyggingsboka T > Funksjoner og grafiske løsninger
Rasjonal funksjon Funksjonsuttrykket til en rasjonal funksjon er en brøk med polynom i telleren og nevneren. Bruddpunkt En rasjonal funksjon har et bruddpunkt der nevneren er null. Asymptoter En asymptote er ei rett linje som en graf nærmer seg når vi går utover i koordinatsystemet. En rasjonal funksjon som har et bruddpunkt for = a, har til vanlig en vertikal asymptote for = a. 47