ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 2: Beskrivende analyse og presentasjon av data for én variabel Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag http://wiki.math.ntnu.no/st0202/2012h/start
2 Grafisk presentasjon av data (2.1) Example 2.1 i boka: Operasjoner utført ved General Hospital siste år. Type of operation Number of cases Thoracic 20 Bones and joints 45 Eye, ear, nose, and throat 58 General 98 Abdominal 115 Urologic 74 Proctolyctic 65 Neurosurgery 23
3 Sirkelgraf General Eye, ear, nose, and throat Bones and joints Thoracic Neurosurgery Abdominal Proctologic Urologic
4 Søylegraf 0 20 40 60 80 100 Thoracic Bones and joints Eye, ear, nose, and throat General Abdominal Urologic Proctologic Neurosurgery
5 Paretodiagram 0 20 40 60 80 100 Abdominal General Urologic Proctologic Eye, ear, nose, and throat Bones and joints Neurosurgery Thoracic
6 Punktplott ( dotplot ) 19 eksamensresultater: 76 74 82 96 66 76 78 72 52 68 86 84 62 76 78 92 82 74 88 60 70 80 90
7 Stem-and-leaf plot Data: 76 74 82 96 66 76 78 72 52 68 86 84 62 76 78 92 82 74 88 Plot: 5 2 6 268 7 24466688 8 22468 9 26
8 Frekvensfordeling og histogram (2.2) Frekvensfordeling: En tabell som viser hvor mange ganger hver dataverdi opptrer. x f 0 1 1 3 2 8 3 5 4 3
Hvis x kan anta mange ulike verdier kan en sette opp gruppert frekvensfordeling. x f 35 x < 45 2 45 x < 55 2 55 x < 65 7 65 x < 75 13 75 x < 85 11 85 x < 95 11 95 x < 105 4
10 Histogram (frekvens) Data: 76 74 82 96 66 76 78 72 52 68 86 84 62 76 78 92 82 74 88 84 Histogram, n=10 klasser:
11 Histogram (relativ frekvens) Data: 76 74 82 96 66 76 78 72 52 68 86 84 62 76 78 92 82 74 88 84 Histogram, n=10 klasser:
12 Mål for lokalisering av data (2.3) Gjennomsnitt summen av data x = antall data Eksempel: Data 1, 2, 6, 1, 10 = x n x = 1+2+6+1+10 5 = 20 5 = 4 Median x er den midterste verdien når data er rangert etter størrelse. Eksempel: Data 1, 1, 2, 6, 10 x = 2
Median hvis antall verdier er et partall: Eksempel: Data 1, 1, 2, 5, 6, 10 x = 2+5 = 3.5 2 Mode: Den verdien som opptrer oftest. Eksempel: Data 1, 1, 2, 6, 10, mode=1 Eksempel: Data 1, 2, 6, 10, ingen mode Midtrang ( midrange ): Gjennomsnitt av høyeste og laveste. Eksempel: Data 1, 1, 2, 6, 10, Midtrang = 1+10 2 = 5.5
14 Mål på spredning (2.4) Rekkevidde (range): Differansen mellom største (H) og minste (L) verdi R = H L Gjennomsnittlig absolutt avvik: x x MAD = n Gjennomsnittlig kvadratisk avvik (utvalgsvarians): (x x) s 2 2 = n 1 og (utvalgs)standardavvik (x x) s = s 2 2 = n 1
15 Eksempel Data 1, 1, 2, 6, 10 x 1 1 2 x = 20 5 = 4 6 10 x = 20
16 Beregning av MAD (gjennomsnittlig absolutt avvik) Obs Avvik Absolutt avvik x x x x x 1 1 4 = 3 3 1 1 4 = 3 3 2 2 4 = 2 2 6 6 4 = 2 2 10 10 4 = 6 6 x = 20 MAD = 16 5 = 3.2 x = 4
17 Beregning av utvalgsvarians (gjennomsnittlig kvadratisk avvik) x x x (x x) 2 1 1 4 = 3 9 1 1 4 = 3 9 2 2 4 = 2 4 6 6 4 = 2 4 10 10 4 = 6 36 x = 20 (x x) 2 = 62 x = 4 s 2 = 62 5 1 = 15.5
Varians: Standardavvik: s 2 = (x x) 2 n 1 = 62 5 1 = 15.5 s = (x x) s 2 2 = n 1 = 3.94 Enklere formel: s 2 = x 2 ( x) 2 /n n 1 x 2 = 1 2 + 1 2 + 2 2 + 6 2 + 10 2 = 142 x = 20 s 2 = 142 202 /5 5 1 = 15.5
Oppgave La dataene være: 1,3,3,2,0,2,2,4,4,4,2,3,1,2,2,3,3,2,2 På frekvensform: Finn gjennomsnittet x til dataene x f 0 1 1 3 2 8 3 5 4 3
Løsning: Gjennomsnitt summen av data x x = = antall data n x = 0 1+1 3+2 8+3 5+4 3 = 46 20 20 = 2.3 x er tyngdepunktet i datamengden:
21 Mål på beliggenhet (2.5) Kvartiler: Deler de ordnede dataene inn i fire like store deler: 1. kvartil Q 1 : Verdien som er slik at 25% av dataene er mindre og 75% er større. 2. kvartil Q 2 : 50% av dataene er mindre og 50% er større. Det samme som medianen x 3. kvartil Q 3 : 75% av dataene er mindre og 25% er større. 5-tallssammendrag: L, Q 1, x, Q 3, H
22 5-tallssammendrag
23 Beregning av kvartilene Q 1, Q 2, Q 3 Data (n = 20): 76 74 82 96 66 76 78 72 52 68 86 84 62 76 78 92 82 74 88 84 Step 1: Ranger fra minste til største: 52 62 66 68 72 74 74 76 76 76 78 78 82 82 84 84 86 88 92 96 Step 2: 25% av utvalgsstørrelsen 20 blir (20)(25) 100 = 5 Sett strek i dataene etter nr 5, 2 5 = 10 og 3 5 = 15: 52 62 66 68 72 74 74 76 76 76 78 78 82 82 84 84 86 88 92 96 Step 3: Sett Q 1 = 72+74 2 = 73, Q 2 = 76+78 2 5-tallssammendrag: L = 52, Q 1 = 73, Q 2 = 77, Q 3 = 84, H = 96 = 77, Q 3 = 84+84 2 = 84
24 Box and whiskers display Data: 76 74 82 96 66 76 78 72 52 68 86 84 62 76 78 92 82 74 88 84 5-tallssammendrag: L = 52, Q 1 = 73, Q 2 = 77, Q 3 = 84, H = 96
25 Hva om 25% av n ikke er et heltall? La f.eks. n = 19. Nå er 25% av 19 lik (19)(25) 100 = 4.75. Videre er 2 4.75 = 9.5, 3 4.75 = 14.25. Boka har da som konvensjon at Q 1 = det 5. største tall, Q 2 = det 10. største, Q 3 = det 15. største (dvs. gå opp til nærmeste heltall). Hvis alle tallene er forskjellige, er da 4 tall ekte mindre enn Q 1, 4 tall er ekte mellom Q 1 og Q 2 og 4 tall er ekte større enn Q 3. (Altså: Maksimum 25% av dataene ligger i hvert intervall, se tidligere figur).
26 Tolkning av standardavvik (2.6 ) Empirisk regel: innenfor ett standardavvik fra gjennomsnittet vil ca 68% av dataene være. innenfor to standardavvik fra gjennomsnittet vil ca 95% av dataene være. innenfor tre standardavvik fra gjennomsnittet vil ca 99.7% av dataene være. (Gjelder eksakt for en normalfordelt populasjon, men gir generelt en god intuisjon av variasjon i data.)
27 Eksempel på bruk av standardavvik Data: 52 62 66 68 72 74 74 76 76 76 78 78 82 82 84 84 86 88 92 96 På kalkulator kan vi beregne gjennomsnitt x = 77.3, standardavvik s = 10.3. Fra den empiriske regelen har vi da: ca. 68% av obs ligger innenfor ett standardavvik, dvs. innenfor 77.3±10.3, dvs. mellom 67.0 og 87.6 (I virkeligheten er 14 av 20 obs, dvs. 70% her). ca. 95% av obs ligger innenfor to standardavvik, dvs. innenfor 77.3±20.6, dvs. mellom 56.7 og 97.9 (I virkeligheten er 19 av 20 obs, dvs. 95% (!) her). ca. 99.7% av obs ligger innenfor tre standardavvik, dvs. innenfor 77.3 ± 30.9, dvs. mellom 46.4 og 108.2 (I virkeligheten er alle, dvs. 100% her).