Rekker og rasformer Ao Bjares Høgskole i Nord-Trødelag Kompedium Seikjer 7
Rekker og rasformer Ao Bjares Høgskole i Nord-Trødelag Kompedium Avdelig for sykepleier-, igeiør- og lærerudaig ISBN 8-7456-53-7 Seikjer 7
Forord Dee boka omhadler de mes serale soffe iefor fagområdee iegrasjosavedelser, rekker, fuksjoer av flere variable, Laplace-rasform, Fourier-rekker og Fourier-rasform. Soffe i boka bygger hovedsaklig på de dere lære i fage Derivasjo og differesiallikiger, mes kapile om rekker bygger på fage Diskre maemaikk og lieær algebra. Eer hver kapiel kommer e side med oppsummerede oppgaver som igår i de obligaoriske øvigee. Fasisvar il disse sår bakers i boka. Ellers er sidealle i boka forholdsvis lav, mi meig med dee er å fokusere på de vikigse i pesum og ikke på uveseligheer. Hvis dere syes deler av soffe er magelfull behadle ka jeg gi råd agåede valg av illeggslieraur. Levager, 3. juli 6 Ao Bjares
Iholdsforegelse. Iegrasjosavedelser. Poesrekker 5 3. Fuksjoer av flere variable 3 4. Laplace-rasforme 46 5. Fourier-rekker 6 6. Fourier-rasforme 75 Fasi il oppgavee 9 Sikkordregiser 97
Iegrasjosavedelser I fage Derivasjo og diff-likiger beye vi iegrasjo il beregig av areal. Vi fa førs e urykk for areale da av e y verikal sripe før vi iegrere dee urykke og sae i iegrasjosgresee. Vi ka sare med å friske opp dee gjeom e lie eksempel: Eksempel.: fx ( ) six gx ( ) cosx ( ) Fi areale som avgreses av kurvee og i førse periode. Løsig: For å få de fulle oversike over probleme er de allid lur å ege e figur: y f(x) g(x) x - Vi skjøer da a de er de skravere areale på figure som skal bereges. Areale av de ye verikale sripa er da ( six cosx)dx Så var de iegrasjosgresee. De o kurvee skjærer hveradre år. Divisjo med Da er cosx 5-4 gir ax x 4 5-4 A ( six cosx ) dx [ cosx six] 4 4 cos- 5 5 si- 4 4 cos si 4 4 5-4 six cosx Hvis vi bruker figure fier vi relaiv ekel de eksake verdiee: A + + +
Vi skal på de ærmese sidee se a iegrasjo også ka beyes il adre ig. Volum av omdreiigslegemer, horisoale akser Ta ugagspuk i e areal som i si helhe ligger over x-akse. Vi ka a rekae avgrese av y x og koordiaaksee som eksempel. Tek deg å a dee areale roeres om x- akse. Vi får da fram e kjegleforme romlegeme (se figur). y x - Eer som dee romlegeme er resula av e roasjo, kaller vi de for omdreiigslegeme (eller roasjoslegeme). Dersom vi kjeer prisippee for valig arealiegrasjo, vil de ikke oppfaes som særlig vaskelig å fie volume il slike romlegemer. Vi eker på øyakig samme måe: Førs seer vi opp e urykk for volume som oppsår år e y verikal sripe i rekae dreies rud x-akse. Vi får da e y sirkelskive, og volume av dee er dv ( x) dx ( x + x )dx Til slu er de bare å iegrere dee urykke fra x il x. Vi får da hele volume: V ( x + x ) dx x x + x 3 + 3 3 3 r h I formelsamliga sår volume av e kjegle agi som V -, der r er radius i gruflae og h er høyde. I dee ilfelle er r og h, og volume blir selvfølgelig. 3 3 Da har vi berege volume av e kjegle ved hjelp av iegrasjo. Og ikke var de spesiel vaskelig heller! Dersom omdreiigslegeme ikke er avgrese av roasjosakse, vil de ha e hull i mide. På ese side er e eksempel der dee er ilfelle.
Eksempel.: Fi volume av omdreiigslegeme som oppsår år areale avgrese av kurvee y x og y x x roeres om x-akse. Løsig: De er allid smar å sare med e lie figur: y 6 8 y y 4 3 4 x y y x x 4 Vi ser av figure a skjærigspukee mellom og er og (le å fie også ved regig). De ese blir da å fie e urykk for volume som oppsår år de ye verikale sripe på figure roerer om x-akse. Vi får da e sirkelskive med e svær hull i: dv y y De skravere areale på figure er y NB! De ka være for gjor å see areale lik y [ ( x x) ( x ) ] ( 4x 3 x 4 ) ( y y ), me dee blir forferdelig feil! Volume av sirkelskiva blir å i sede dv ( 4x 3 x 4 )dx Vi ka da fie hele volume av omdreiigslegeme: 4 V ( 4x 3 x 4 ) dx x 4 5 x5 4 4 56-8 4-5 5 56-5 3
Eksempel.3: Fi volume som oppsår år areale fra eksempel. roeres om de ree lija. Løsig: Vi begyer som allid med e figur som viser problemaikke: y y f(x) g(x) x - dv y Vi ser a volume som framkommer år de ye sripa roerer om må bli dv [ ( six + ) ( cosx + ) ]dx [ ( six + six + ) ( cosx + cosx + ) ]dx [ si x cos x + six cosx]dx ( six cosx cosx)dx Her bruke vi de gruleggede rigoomeriske formele cosx cos x si x med de formål å få eklere iegrasjo. Volume blir å: 5-4 V ( six cosx cosx )dx cosx six six 4 5 cos - 5 si- 5 si- 4 4 cos si si 4 4 + 4 4 5-4 4 Nå ka vi i prisippe fie volume av ehver omdreiigslegeme som framkommer år e flaesykke roeres om e horisoal akse. 4
Volum av omdreiigslegemer, verikale akser Vi velger å beye de samme gruprisippee år roasjosakse er verikal. Dee beyr a vi forsa skal fie e urykk for volume dv som oppsår år e y verikal sripe dreies om roasjosakse. Forskjelle ligger i a dv å ikke blir e sirkelskive, me derimo e syliderskall. Vi ka igje a for oss rekae på side. Når de roeres om y-akse får vi følgede figur: y - x Volume av syliderskalle som oppsår år vi roerer de ye sripa om y-akse blir: dv x( x)dx ( x x )dx (Radius i sylidere er x, mes høyde er x ) Da blir volume av hele omdreiigslegeme: V ( x x ) d x x 3 x3 3 6 3 Kaskje ikke så merkelig a vi fikk samme svar som på side? Eksempel.4: Ta ugagspuk i samme areal som i eksempel. og fi volume av omdreiigslegeme med y-akse som roasjosakse. Løsig: Volume av syliderskalle blir i dee ilfelle dv x( x x x )dx x Da ka vi rege u hele volume: 4 5 5 x 3 dx V x x 3 dx 4 7 x x 4 4 4 7 4 4 4 4 5 64 5 448 7-7 64-7 7 4-8 7 7 5
Ved ærmere eersy ser vi a svaree vi fikk i eksempel. og eksempel.4 ikke er like. Dee il ross for a de var samme areal som ble roer, rikig ok rud o forskjellige akser. Hva ka dee komme av? Eksempel.5: Fi volume av omdreiigslegeme som oppsår år areale avgrese av x-akse, de ree lija x e x x og grafe il fuksjoe roerer om akse. Løsig: Vi sarer med å ege figur: y e- x Syliderskalle har å volume V ( x) ( e x ) dx Vi løser de ubeseme iegrale førs, og må da beye delvis iegrasjo. Formele vi beyer il dee ser slik u: Vi velger Vi får da: e x g x D g dv ( x) ( e x )dx g ( ) og D h Dh ( ) g h D, slik a hele volume blir ( g) h ( ) e x h e x x ( x) ( e x ) d x ( x) ( e x x) ( ) ( e x x) dx x xe x + x + e x x + C ( 3 x)e x + x x + C Da gjesår bare å see i iegrasjosgresee: V ( x) ( e x ) dx ( 3 x)e x + x x [ ( e + 4) 3] ( e 5) 6
Tygdepuk il pla flaesykke E pla flaesykke skal eoreisk se kue balaseres på e ål dersom vi plasserer ålespisse øyakig i flaesykkes ygdepuk. Koordiaee il ygdepuke er ( xy, ) og vi skal å lære oss å berege disse o koordiaee. De greske maemaikere Pappus fa i si id følgede ekle sammeheger: x V - y A og V x y -, der A er flaesykkes areal mes V og er volume av omdreiigslegemee A y V x år flaesykke roerer om hhv. y- og x-akse. Dee iebærer a dersom vi er i sad il å fie volume av omdreiigslegemer, er vi også i sad il å fie ygdepuke il plae flaesykker. Eksempel.6: Bereg koordiaee il ygdepuke av de plae flaesykke vi rege på i eksempel. og eksempel.4. Løsig: Fra eksempel. har vi a V x og fra eksempel.4 a. Da magler vi bare areale: 4-56 8 V 5 y - 7 5 A ( x x x ) dx x x 3 4 x x 3 5 3 5 3 4 5 4 8 64-5 3 384 3-5 64-5 Da blir x V - 8 - y 7 8 A 64-5 - - 7 8 5 5-7 og 56 V - y - x 5 A 64-56 5-6 - 5 8 5 Når vi har berege koordiaee il ygdepuke, må vi allid se på figure for å sjekke a svaree ligger iefor rimelighees greser. 7
Eksempel.7: Fi ygdepuke il de plae flaesykke i eksempel.5. Løsig: Resulae vi kom fram il i eksempel.5 er ikke il oe ye her fordi vi da roere om akse x A Så var de. Vi må alså sare med blake ark, og vi begyer med å fie : A ( e x ) dx e x [ x] ( e ) e 3 V x. Vi ser a dv x e x ( ) dx ( e x e x + )dx Da blir V x ( e x e x + )dx ex e x + x e4 e + e4 e 7 + e 4 4e ( + 7) Ved omdreiig om y-akse blir, og vi blir ød il å y il delvis iegrasjo for å løse. Vi velger Da blir g x D g Da ka vi fie : xe ( x ) dx ( ) og D h dv y x( e x )dx ( ) e x h e x x xe ( x ) d x xe ( x x) ( e x x) dx xe x x e x + x + C ( x )e x x + C V y V y xe ( x ) dx ( x )e x x [ ( e ) ( ) ] ( e ) Koordiaee il ygdepuke blir da: V y x - e - ( ) e A ( e - 3) e 3 e 4 4e V ( + 7) x y - e 4 4e ( + 7) - e 4 4e + 7 A ( e 3) ( e 3) 4( e 3) og 8
Buelegde Iegrasjo ka også beyes il å fie buelegde il e kurve. Dee formele er veldig ekel å ulede. ds dy dx Hvis vi ser på e svær lie del av e kurve, er buelegde gi av formele ds dx + dy (Pyhagoras). Dee urykke er ikke så grei å iegrere. Me hvis vi både dividerer og mulipliserer med dx, får vi: ds dx + dy dx dx + dy dy dx + - dx dx dx dx De er dee sise formele vi beyer år vi skal berege buelegde il e kurve. Eksempel.8: 3 Fi buelegde av grafe il fuksjoe fra origo il puke. f( x) x ( 46, ) Løsig: Vi begyer med å derivere: df dx 3 x 3 x df dx 9x Da er ds + 9x Vi subsiuerer og s 9x 4 + dx du u + 9x 9 dx dx og får Numerisk ilsvarer dee ca. 6,597. Vi ka sammelige med legde av de ree lije mellom origo og 46, som er 4 + 6 7 6, 49. Vi ser da a svare er mege sasylig. du - 9 3 4 37 s + 9xdx u d - u u 9 9 3 37 - ( 37 37 ) 7 9
Eksempel.9: g( x) x 8 l x x x e Fi buelegde av fuksjoe fra il. Løsig: Vi deriverer førs og fier dg dx x - 6x - dg 8x 8x dx 56x 4 3x + 64x Da blir + dg dx 64x 56x 4 3x + 64x + 64x 56x 4 3x + + 64x 3x (De eese som skjer år vi legger il, er a ledde skifer foreg.) Me da er dg ds + dx 56x 4 3x - + + 64x som ikke ser hel ekel u å iegrere. dg dx Me legg merke il likhee med : Når ( 6x ) 56x 4 3x +, må selvfølgelig 6x + ( ) 56x 4 + 3x + Og da går iegrasjoe som e lek: s e 56x 4 + 3x + 6x + - dx dx 64x 8x e e x + - 8x dx x + 8 l x e + 8 e 7 8 (, ) ee, 8 Dee alle er ca. 6,54. For å fie u om dee er e forufig svar ka vi berege avsade i luflije mellom og. e Vi får da ( e ) + e 9 8 e e e 4 9 4 e 8 + + + - 64 e 4 5 4 e e 45 + 6, 495 64 Igje ser vi a buelegde er li legre e de korese avsade mellom pukee. Dee er e veldig fi måe å korollere svare på.
Areal av omdreiigsflaer E omdreiigsflae er de flae som oppsår år vi roerer e lijesykke om e akse. Vi ar horisoale akser førs, og kikker på e ilfelle der x-akse er roasjosakse: y ds a b x Vi skal fie areale da av de både vi får år lijesykke ds (NB: Ikke dx!) roerer om x- akse. Bådes radius er y slik a da y ds. Areale av e omdreiigsflae ved omdreiig rud x-akse blir dermed A y dy +. dx dx b a Dersom omdreiige skjer om e vilkårlig horisoal akse y c, blir areale av omdreiigsflae b A y c dy + dx dx a Så var de verikale akser, vi ser førs på omdreiig rud y-akse: y ds a b x Eese forskjell er a bådes radius å blir x i sede for y. Vi får derfor da x ds og b A x dy +. Dersom omdreiige skjer om e vilkårlig verikal akse, dx dx x c a blir areale av omdreiigsflae A x c dy + dx. dx b a
Eksempel.: Fi areale av omdreiigsflae som oppsår år grafe il fuksjoe roeres om x-akse. f( x) x 3 x [, ] Løsig: Vi deriverer førs: df dx 3x df 9x 4 dx Areale blir da: A x 3 + 9x 4 dx Her er de på si plass med e subsiusjo: u 9x 4 du + 36x 3 dx dx du 36x 3 Vi får da: A x 3 + 9x 4 d x x 3 du u - 36x 3 u du 36 3 - u 8 3 - ( ) 7 På ese side skal vi rege på fuksjoe coshx, (cosius hyperbolicus x), som er e y bekjeskap. På mage kalkulaorer fies de aser med både sihx og coshx, og disse fuksjoee har flere ieressae egeskaper. De overraskede er a sihx og coshx er e x e x ekspoeialfuksjoer, de er emlig defier slik: coshx - + e x e x og sihx -! E ka sakes spekulere på hvorfor de har få sie av fra rigoomerie. Forklarige ligger ok i likheee år de gjelder derivasjo (og iegrasjo). Vi fier grei u a d coshx dx sihx og d sihx coshx. I illegg har vi a sih og a cosh. dx Så de er uekelig e del likhesrekk mellom coshx og cosx, selv om grafee blir okså forskjellige!
Eksempel.: Fi areale av omdreiigsflae som oppsår år grafe il fuksjoe gx ( ) coshx x [, ] x roeres om akse. Løsig: Vi sarer med å derivere: dg g( x) coshx sihx dg dx dx sihx e x + e x - 4 Da blir e x ds dg e x + e x + dx + - e x e x + + 4 4 e x - + coshx De vi gjorde her liger veldig på de vi gjorde i eksempel.9 da vi fikk fjere roege! Nå er de kaskje på si plass med e lie figur: y ds 3 4 x Vi ser a radius i både dee gage blir A ( x) coshxdx x slik a iegrale blir seede slik u: Delvis iegrasjo er ige her: g x D g ( ) og Dh ( ) coshx h sihx Da blir ( x) cosh xdx ( x) sihx ( ) sihxdx ( x) sihx + coshx Da ka overflaa reges u: + C A ( x) cosh x d x [ ( x) sihx+ coshx] e e - e + e + ( + ) ( e ) 3
Oppgaver. a) Fi volume av omdreiigslegeme som oppsår år areale avgrese av grafe il f( x) x, x-akse og de ree lija x roeres om i) x-akse ii) y-akse. b) Fi volume av omdreiigslegeme som oppsår år areale avgrese av grafe il g( x) -, x-akse og de ree lija x roeres om i) x-akse ii) y-akse. + x. Fi volume av omdreiigslegeme som oppsår år areale avgrese av grafe il h( x) e x, x-akse og de ree lija x roeres om akse y. 3. a) Fi ygdepuke il de plae flaesykke avgrese av grafee il fuksjoee f( x) x og gx ( ) x + 3. b) Fi ygdepuke il de plae flaesykke avgrese av grafe il fuksjoe h( x) e x, begge koordiaaksee og de ree lija x l. 4. a) Fi buelegde av fuksjoe fx ( ) 3x + 4 fra x il x 3. b) Fi buelegde av fuksjoe g( x) lx fra x il x e. 4 x 5. a) Fi areale av de omdreiigsflae som oppsår år grafe il fuksjoe f( x) x x [, ] roerer om x-akse. b) E parabolaee har fasog som de omdreiigsflae som oppsår år grafe il fuksjoe g( x) x x roeres om y-akse. Bereg aees overflae. 4
Poesrekker Vi sarer med e lie repeisjo av oe av de soffe vi var gjeom i rekkekapile i Diskre maemaikk og lieær algebra. Tallfølger E allfølge er e serie med all som er adskil med komma. E allfølge ka være hel ilfeldig, f. eks. { 6349,,,,, } eller de ka følge e sysem, f.eks.. Vi skal 3 4,,, å uelukkede koserere oss om de sise ype. Tallfølger som følger e sysem ka allid beskrives ved følges allmee ledd. De allmee ledde i følge { a } er 3 4,,, a dersom vi velger å sare med. Rekker Hvis vi byer u alle kommaee i e allfølge med plusseg, får vi e rekke. E rekke ka også beskrives ved hjelp av de allmee ledde. E uedelig lag rekke med allme ledd a ser alså slik u: + + + + + (forusa a vi begyer med ). E 3 4 5 ae skrivemåe for dee uedelige lage rekke er Geomeriske rekker E rekke sies å være geomerisk dersom de er på forme a + ak + ak + ak 3 + Rekke + + + + + er med adre ord ikke geomerisk, me de er derimo rekke 3 4 5 + + + + - + Dee sise rekke har (il ross for a de er uedelig lag) e defier sum, og vi skal å repeere hvorda vi fier summe av geomeriske 4 8 6 rekker. 5
Eksempel.: Fi summe S av de uedelig lage geomeriske rekka Løsig: Vi merker oss a i dee rekka og seer så opp urykkee for summee og uder hveradre: + + + + - + 4 8 6 k S ks S + + + + - + 4 8 6 S + + + - + - + 4 8 6 3 Vi rekker å de ederse rekka fra de øverse og får: (Hvis vi reger med like mage ledd i begge rekkee blir de igje e ledd i de ederse rekka, me dee ledde vil aurligvis gå mo ull år rekka blir lag ok.) Nå fier vi summe ekel: S S S S I dee eksemple så vi a selv om vi summerer e uedelig aall ledd, så reger ikke summe bli uedelig høy. Forklarige er aurligvis a leddee blir uedelig små eer hver. Dersom summe av e uedelig lag rekke eksiserer, sier vi a rekka kovergerer. I mosa fall sier vi a rekka divergerer. Vi ka forholdsvis ekel fie u hvilke krierier som må være oppfyl for a e geomerisk rekke skal kovergere. Vi ar ugagspuk i e geerell geomerisk rekke S a + ak+ ak + ak 3 + Muliplikasjo med k gir: ks ak+ ak + ak 3 + ak 4 + a Subraherer og får: S ks a dersom k <. Da blir S og rekka kovergerer. k Derimo får vi S ks a dersom k >. Da divergerer rekka. Dersom k ± får vi ee S a+ a + a + a + a + som opplag divergerer, eller vi får S a a + a a + a a + der summe hopper opp og ed mellom og a. I slike ilfeller er vi også ød il å kokludere med a rekka divergerer fordi vi ikke ka si a summe er defier. Vi ka alså kokludere med følgede: E geomerisk rekke kovergerer bare dersom k <. 6
Divergesese Vi skal se ærmere på de o feomeee koverges og diverges og vi sarer med e forholdsvis ilysede(?) seig som har få ave divergesese: E uedelig lag rekke er ød il å divergere dersom lim. De hadde vær veldig gusig om de hadde eksiser e ilsvarede ekel kovergeses: E a uedelig lag rekke er ød il å kovergere dersom lim. Me dee seige semmer dessverre ikke for alle uedelige rekker. a a a Vi skal i sede lære ikke midre e fire kovergeseser som ka hjelpe oss å besemme om e uedelig lag rekke kovergerer eller divergerer. De må presiseres a disse kovergesesee bare ka brukes il å avgjøre koverges eller diverges. De ka ikke hjelpe oss med å fie summe av e koverge rekke. Førs ka vi imidlerid se på e eksempel der vi beyer divergesese: Eksempel.: Hvilke() av disse uedelig lage rekkee ka vi med sikkerhe si divergerer? a) b) c) d) + ( ) Løsig: Vi prøver divergesese på alle fire rekkee og ser hva vi kommer u med: - lim a) b) lim + lim - + ( ) lim c) d) lim - lim - Vi ka alså med sikkerhe si a rekke b) divergerer. Vi ka ikke rekke oe koklusjo på de re adre fordi vi ka for lie eå. Me eer a vi har lær de fire kovergesesee skal vi ok greie å gjøre oss opp e meig om disse også! 7
Forholdsese Dee er de mes bruke av kovergesesee. De virker ikke allid, me de er uuværlig år vi kommer så lag som il poesrekker. Tese bygger på forholde ρ mellom o påfølgede ledd lag ue i rekka. De er sørrelse på ρ som avgjør om rekka kovergerer. ρ a a lim + : Dersom ρ < kovergerer rekka. Dersom ρ > divergerer rekka. Dee så jo grei u. Eese hake er a vi ikke ka rekke oe koklusjo dersom ρ. Eksempel.3: Bey forholdsese il å avgjøre om disse rekkee kovergerer eller divergerer:! ( ) a) b) c) d) 3 (! ) ( )! Løsig: a) ρ - + lim + - lim ( + ) + Rekka kovergerer ( + )! b) ρ lim 3 + lim ( + )! 3 lim - + Diverges +! 3 ( ) + -! 3 c) ρ lim + lim ( ) + Diverges ( ) ( ) ( + ) 3 d) ρ [( + )! ] - lim ( + )! lim [( + )! ] - ( )! (! ) (! ) ( + )! ( )! ( + ) lim ( + ) ( + ) + lim - ( + ) 4 Rekka kovergerer 8
Iegralese Dee kovergesese bygger på a summe av e uedelig lag rekke ka sammeliges med areale uder e koiuerlig kurve fx ( ). Se figur: y f ( ) 3 4 5 6 x De er dessverre ikke slik a areale uder de rappeformede rekkefuksjoe blir øyakig lik areale uder de glae kurve. Me følgede seig (iegralese) gjelder uase: Rekka f ( ) kovergerer hvis (og bare hvis) fx ( ) dx kovergerer. Eksempel.4: Bruk iegralese il å avgjøre om de følgede uedelige rekkee kovergerer: a) b) Løsig: a) dx x [ lx] I og med a x lim lx dx ( ), divergerer iegrale. Da divergerer også rekka. b) Iegrale kovergerer. x x Da ka vi slå fas a rekka kovergerer (me vi ka ikke si oe om hva summe blir). 9
Vi ka soppe opp li og eke over de resulaee vi fa i eksemple på forrige side. I a) skulle vi avgjøre om rekka kovergerer eller divergerer. Dee rekka har il og med få si ege av, de harmoiske rekka, me de divergerer likevel. I b) fa vi u a + + + + + 3 4 5 - + + + + - + 4 9 6 5 kovergerer. De ka være like grei å pugge disse o resulaee førs som sis! De vil bli bruk for dem seere. Eksempel.5: Avgjør om følgede rekker kovergerer eller divergerer: p a), der er e kosa. b) p - ( ) Løsig: a) år. x p dx x p x p + dx p p + p > p + Dersom får vi å, og rekka kovergerer. p < Dersom får vi derimo, og rekka divergerer. Da ve vi a kovergerer for og divergerer for (eksempel.4). x p - p d x p > p xx d ( ) x b) Delbrøksoppspalig gir: x( x ) A B x + x x + x Får da: d xx ( ) x dx [ l( x ) lx] x x l x x l l l. Iegrale kovergerer, og rekka kovergerer!
Sammelikigsese Dee ese er egelig av de uformelle slage, me de fugerer like bra for de. Vi skal gå relaiv direke på regeeksempler, me førs må vi bli eige om e par ig. Iegralese ga oss e par yige resulaer som dere fikk beskjed om å legge i i mie. Nå ka dere plukke dem fram igje! De uedelige rekka 8 er ød il å kovergere fordi gjør de. Summe blir bare 8 gager så sor! På samme vis må - divergere fordi divergerer. ( er forsa!) 9 9 Eksempel.6: Avgjør om rekkee kovergerer ved å sammelike med kjee rekker: - a) b) c) 3 Løsig: a) Her må vi førs ise a evere for vil domieres av -ledde slik a vil oppføre seg øyakig som. Vi ka skrive dee slik: Rekka vil derfor kovergere. b) Vi eker på samme måe som i a). Tellere vil domieres av -ledde og evere av - ledde. Vi får derfor 3 - + - + 3 arc - a Rekka må divergere. c) Her reger vi oe kuskap om. Vi ve forhåpeligvis a dee fuksjoe går arca mo år blir sor. Vi ka derfor skrive. Rekka kovergerer. 3 arca - - -
Tes for alererede rekker I e alererede rekke er aehver ledd posiiv og egaiv. Vi ka lage e alererede rekke ved å a de allmee ledde fra e valig posiiv rekke og muliplisere de med fakore ( ) eller ( ). Hvis vi for eksempel ar ugagspuk i de harmoiske rekka + + + + og mulipliserer de allmee ledde med ( ), vil vi få de 3 4 alererede rekka ( ) - + + 3 4 De er her verd å merke seg a e alererede rekke hel sikker kovergerer dersom de ilsvarede posiive rekka kovergerer (absolu koverges). Me de ka også hede a e alererede rekke kovergerer selv om de ilsvarede posiive rekka divergerer (beige koverges). Derfor er vi ød il å ha e ege kovergeses for alererede rekker. To krav må være oppfyl dersom de alererede rekka ( ) a skal kovergere: i) lim a og ii) a a + for alle Eksempel.7: Udersøk om følgede alererede rekker kovergerer: ( ) a) b) - ( ) si lim Løsig: a) i) ii) for alle + Begge kravee er oppfyl. Rekka kovergerer. Vi sier a rekka kovergerer beige fordi de posiive rekka divergerer. lim si b) i) eksiserer ikke. Krav i) er derfor ikke oppfyl. Da er de ikke ødvedig å sjekke krav ii). Rekka divergerer. -
Poesrekker E poesrekke er e rekke som ieholder alle mulige poeser av e ukje variabel, som regel x. Geerel ser e poesrekke slik u: a + a x + a x + a 3 x 3 + Vi skjøer a summe av e slik poesrekke (hvis rekka i de hele a kovergerer) ikke blir e kosa all, me derimo e fuksjo av x. NB! Når vi agir summe fx ( ) av e poesrekke, er de hel ødvedig a vi samidig agir hvilke x -verdier dee summe gjelder for! Eksempel.8: Gi poesrekka + x + x + x 3 + x 4 + a) For hvilke verdier av kovergerer rekka? b) Hva blir summe av rekka for disse -verdiee? Løsig: a) Vi ser a dee er e geomerisk rekke med x x k x k < x <. Vi har idligere kokluder med a e geomerisk rekke kovergerer år. Dee rekka kovergerer derfor år. Vi kaller dee kovergesområde for rekka. Dee er e begrep som de er svær vikig å skjøe beydige av. b) Vi ka også her hee svare fra side 6. Der fa vi a summe for e geomerisk rekke er S a k. a x k S - x < x Her er og slik a summe blir (dersom!) Vi har å se a e uedelig lag poesrekke ka ha e sum, me som ofes bare for oe verdier av x. Vi skal å prøve å forklare dee ved å kikke på grafee il både rekka ( Rx ( )) og summe ( Sx ( )) i e og samme koordiasysem. Se ese side. Når de gjelder grafe il rekka må vi selvfølgelig kue ed på aall ledd, så vi velger å a med bare de fire førse leddee, alså R( x) + x + x + x 3. De siplede verikale lijee agir gresee for kovergesområde for rekka. 3
3 y S(x) R(x) S(x) R(x) - - x Kovergesområde Vi ser a de er veldig sor forskjell mellom Rx ( ) og Sx ( ) uefor kovergesområde. Dee spiller ige rolle, fordi de summe vi fa på foregåede side, S, bare gjelder x iefor kovergesområde. Iefor kovergesområde skal vi i følge eorie ha Rx ( ) Sx ( ). Her ser vi a dee ikke semmer hel. De lille feile kommer av a vi bare har a med de fire førse leddee av rekka år vi har berege verdiee for Rx ( ). Når vi ar med flere ledd, vil grafe il Rx ( ) ærme seg de adre grafe mer og mer. Ikke før vi har a med uedelig mage ledd, vil de o kurvee være hel like (vel å merke iefor kovergesområde). Eksempel.9: Bereg differase mellom kurvee på figure for i), ii) og iii). Hvor sor ville disse re differasee bli dersom vi hadde sa? Løsig: i) mes. Differase er ii) mes. Differase er iii) mes. Differase er Dersom vi hadde sa, ville vi få iefor kovergesområde, mes bli: i) ii) iii) x 5, x 5, x 5, R( x) x R( 5, ), 65 S( 5, ), 667, 4 R( 5, ), 875 S( 5, ), 5 R( 5, ) 8, 5 S( 5, ), 5 R( x) x Rx ( ) Sx ( ) Rx ( ) ville diverger uefor kovergesområde. De re differasee ville derfor 4
Eksempel.: x Besem kovergesområde il følgede poesrekker: a) b) x ( 3) - Løsig: De har idligere bli yme frampå (side 8) om a forholdsese er uuværlig år de gjelder å fie kovergesområde for poesrekker. Vi saser derfor på å beye forholdsese førs, og så får vi se hvorda de går videre. a) ρ x + - lim + - lim x + - x ( + )x x ρ < < x < x ± Rekka kovergerer år, alså år. Me hvorda går de år? x x Når blir rekka, som vi ve divergerer. Når får vi. lim - ( ) Tese for alererede rekker gir da i) og ii) for alle. + Rekka kovergerer derfor for slik a hele kovergesområde blir. x x < b) ρ ( + ) ( x 3) + lim + - lim ( + ) ( x 3) + x 3 x ( 3) - + ( x 3) Rekka kovergerer alså år x 3 < x 3 < x (,) 5 x x 5 Vi må alså udersøke grudigere for og. x gir rekka ( ) ( ) som divergerer (divergesese). x 5 gir rekka som opplag divergerer. Vi ka dermed kokludere med a kovergesområde blir < x < 5 5
Taylor-rekker De egelske maemaikere Brook Taylor (685-73) publisere i 75 e formel for rekkeuviklig av hvilke som hels deriverbar fuksjo. E slik rekke kalles e Taylor-rekke, og de geerelle formele for Taylor-rekka ser slik u: f f( x) fa ( ) ( a) f ( x a) - ( a) ( x a) f ( 3) ( a) + + + - ( x a) 3 +, der a er e selvvalg kosa.!! 3! De er ofe hesiksmessig å velge a f ( 3) f ( ) f( x) f( ) f x - x ( ) + + + - x 3 +!! 3!. Dee spesialilfelle kalles Maclauri-rekka: Maclauri-rekka er mes bruk, me for oe fuksjoer, for eksempel fx ( ) lx er defier for x ), må vi selvfølgelig bruke Taylor-rekka med a. (som ikke Eksempel.: Uled Maclauri-rekka for fuksjoe Løsig: Førs må vi fie e geerel urykk for de -e derivere il. De er fakisk ekles å se syseme dersom e ikke rydder opp eer hver derivasjo: f( x) ( x) f ( x) ( ) ( x) Vi ser a alle de derivere får posiiv foreg, og ka rimelig grei gjee oss il a f ( )! ( x) - +. Da er f ( ) ( )! Da ka vi bruke formele for Maclauri-rekka, og får: Vi har å vis a f( x) x (, ) x ( ) f ( x) ( ) ( ) ( x) 3 ( ) f ( 3) ( x) ( ) ( ) ( 3) ( x) 4 ( x) Maclauri-rekka. Dee bekrefer de resulae vi kom fram il i eksempel.8. ( ) 3 fx ( )!! f( x) + x + x + +! x + + x + x + + x +!!! f( x) + x+ x + + x + x ved hjelp av formele for 6
Vi kue aurligvis forsa med å ulede Taylor-rekkee il flere fuksjoer, me de er heldigvis folk som har gjor dee før oss, så da ka vi i sede bruke resulaee deres: Maclaurirekke Kovergesområde fx ( ) + x + x + x 3 + x x x < six x x 3 3! x 5 x 7 + + ( ) 5! 7! - R ( + )! Legg merke il de ederse lije! Her blir de e gjesy med biomialkoeffisieee som vi sife bekjeskap med da vi lære om kombiaorikk! x + x cosx x 4 x 6 + + ( ) x! 4! 6! R ( )! x x 3 e x + x + + +! 3! l( + x) ( + x) r x x x 3 x 4 x R! x + + ( ) 3 4 < x r x r x r 3 + + + x + 3 r x x < Eksempel.: Bruk abelle ovefor il å fie summe av de uedelig lage rekkee + + + + + + 3 4! 3! 4! a) og b) Løsig: a) Vi ser av es ederse lije i abelle a l( + ) + + 3 4 Summe er alså + + l 693, 3 4 e + + + + + + + e! 3!! 3! b) Fjerde lije gir: som gir 7
I eksemple på forrige side bruke vi abelle med Taylor-rekker il å fie summe av e par kovergerede rekker. I de ese eksemplee skal vi bruke samme abell il å fie Taylorrekker for flere fuksjoer. Eksempel.3: Fi Taylor-rekka for fuksjoe f( x) - + x Løsig: I øverse lije i abelle har vi. Dersom vi ersaer x med x, skulle vi få de vi er ue eer. Vi ar de med eskje: Resulae blir: + x+ x + x 3 + x x x < - ( x + ( x ) + ( x ) + ( x ) 3 + ( x ) ) f( x) - + x x + x 4 x 6 + ( ) x Kovergesområde er forsa x < Eksempel.4: Fi Taylor-rekka for fuksjoe gx ( ) arcax Løsig: E flykig blikk i abelle gir ie håp om e løsig på dee probleme, så her må vi aakelig eke hel y. Sikkorde er iegrasjo! I eksempel.3 fa vi Taylor-rekka for f( x) -. Eer som + x - + x dx arcax + C gx ( ) arcax leddvis iegrasjo av svare fra eksempel.3! Vi prøver:, ka vi fakisk fie Taylor-rekka for ved g( x) arcax - x 3 + x dx x x 5 x 7 + + ( ) x + - 3 5 7 + C arca x < Sreg a kue vi få e kosa i illegg, me side ser vi a rekka vi fa må være de rikige. Kovergesområde for dee rekka er fremdeles. 8
Før vi ar fa på ese eksempel, reger vi li mer eori om biomialkoffisieer. I kombiaorikke lære vi formele r r!. Her var de e krav a r og N fordi vi ikke ( r )!! ka berege fakule av all som ikke er eleme i N. Hvis vi for eksempel prøver med r 8 og 3, får vi 8-8! 3 4 5 6 7 8 8 7 6. 3 5! 3! 3 4 5 3 3-56 Vi skal å edre formele li slik a de blir mer avedelig. Vi sarer med 8 8 7 6 -, 3 3 og observerer a dee følger oppskrife r rr ( ) ( r ) ( r + ). Nå har r! forsvue, og dermed reger ikke r N legre! Vi skal å bruke dee ye formele og! vi fier da for eksempel a 3 3 5-3 5 5-3! 6 3 48 5-6 Eksempel.5: Bruk abelle på side 7 il å fie Taylor-rekka for f( x) - x < + x Løsig: Hel eders i abelle fier vi de rikige rekka: ( + x) x x + + + x 3 + 3 x Vi fier grei a og a 3 3-4! 3 8 De allmee ledde må vi jobbe li mer med: 3 5! ( ) 3 5 ( )! irrierede med alle prikkee i ellere, me vi ka fjere dem på dee måe: 4 6 3 5 ( ) 4 6 ( )! - ( 3 ) ( )!! De er li Vi får å: ( + x) 3 x + x -x 5 3 + 8 6 ( ) ( )! 4 (! ) x 9
Oppgaver 6. Aa a de førse ledde er ledd r. og fi e formel for de allmee ledde i følgee: a) { a } { 468,,,, } b) { b } { 648,,,, } c) { c } {,,,, } d) { d } {, 4, 9, 6, 5 } 7. Skriv følgede rekker med summeeg: a) + x + x 4 + x 6 + x 8 + b) + + 3 4 5 8. Fi summe av de geomeriske rekkee: a) 4 + - + b) + ( x) + ( x) + ( x) 3 + < x < 3 9 54 9. Bey delbrøksoppspalig il å fie summe av de uedelige rekka. Avgjør om følgede rekker kovergerer eller divergerer: 3 a) b) 7 + 3 c) - d) + 4 3 - ( ) - (! ) e) 7 f) g) ( )! - 4 3 + 8 ( ) - + x. Fi kovergesområde for følgede rekker: a) b) 4 ( x ) -. Bruk defiisjoe på side 6 il å ulede Maclauri-rekka for fx ( ) six. 3. Bruk abelle på side 7 il å fie Maclauri-rekka il følgede fuksjoer: a) f( x) l( x 3 ) b) g( x) x e x c) h( x) 4. Fi hvilke fuksjo fx ( ) som ka represeeres av følgede poesrekker, og agi samidig kovergesområde for rekkee: a) ( ) x b) ( ) x! 5.Skriv iegrale e 3 d som summe av e uedelig lag rekke. ( + x) 3
3 Fuksjoer av flere variable Noe gager har vi bruk for mer e e variabel for å urykke e fuksjo. Høyde over have iefor e ladområde ka være e eksempel på dee. Her vil høyde h være avhegig av posisjoe ( x, y) iefor område, f. eks. h( x, y) x y. Temperaure i e lukke rom vil på samme måe være e fuksjo av re variable, f. eks. Txyz (,, ) x + y z. Vi skjøer kaskje a sigigsalle il e fuksjo av flere variable vil være avhegig av hvilke reig vi ser. Dersom vi sår i e bra sørved skråig vil sigigsalle (de derivere) være e posiiv all hvis vi ser ordover, egaiv hvis vi veder oss sørover, og ilærme ull både i øs- og ves-reig. De er derfor ikke ilsrekkelig å operere med bare e deriver leger. For å ha full oversik over sigigsalle i alle ulike reiger, må vi iføre begrepe reigsderiver. I dee fage skal vi imidlerid øye oss med å se på sigigsalle i posiiv x-reig (øs) og posiiv y-reig (ord). Pariell-derivere h E fuksjo hxy (, ) har o pariell-derivere, emlig (sigigsalle i posiiv x-reig) x h og (sigigsalle i posiiv y-reig). Operaore uales del og er ikke hel de y df samme som operaore d i for eksempel. dx Å uføre e pariell-derivasjo er forholdsvis ekel. Når vi skal fie laer vi som om y h er e kosa og deriverer med hesy på x eer valige regler. fies ved å berake x y som e kosa. Hvis vi for eksempel skal derivere hxy (, ) xy får vi de o pariell-derivere il å bli heholdsvis y og x. Noe eksempler vil aakelig hjelpe! h h x y h x 3
Eksempel 3.: f x f y Fi de pariell-derivere og av følgede fuksjoer: f( xy, ) x 3cosy f( xy, ) xy + ex f( xy, ) y a) b) c) xy x y Løsig: a) f x x f y 3siy b) f x y + ex y f y e x xy y c) f y - ( x y) xy xy y xy x ( x y) - ( x y) y ( x y) f x - ( x y) xy ( ) xy + xy y ( x y) ( x y) x x ( x y) Adreordes pariell-derivere De er selvfølgelig full mulig å pariell-derivere e fuksjo av o variable flere gager. Me vi skal da være klar over a vi får hele fire adrederivere! For å holde orde i kaose har vi ifør ege skrivemåer for alle disse adrederivere. Når vi deriverer fxy (, ) o gager med hesy på x, skriver vi dee som f xx. Når vi deriverer o gager med hesy på y får vi f yy. Vi ka også derivere førs med hesy på x og så med hesy på y og få f xy. De sise mulighee er å bye rekkefølge på disse derivasjoee og få. f yx Hvis du øsker ka du også skrive de førseordes pariellderivere på samme måe, de vil si f f f og. x x f y y 3
Eksempel 3.: f xx f xy f yx f yy Fi de adreordes pariellderivere,, og av de re fuksjoee i eksempel 3.. Løsig: a) Når f x x og f y 3siy, blir f xx, f xy, f yx og f yy 3cosy f x f x y + ex y b) Her fa vi og f y f y e x xy y e x Vi får da: f xx e x, f, og y xy y e x y f yx y y e x f yy x + - y 3 f y c) I eksempel 3. fikk vi f x - og x ( x y) f y x f y - ( x y) Da blir f xx y ( ) ( x y) 3 y ( x y) 3, mes f xy y( x y) y + ( x y) ( ) y( x y) y ( x y) 4 ( x y) 3 xy + y y ( x y) 3 xy ( x y) 3 Så var de ese: xx ( y) x ( x y) f yx x( x y) x ( x y) 4 ( x y) 3 x xy x - ( x y) 3 xy ( x y) 3 Og il slu: f yy x ( ) ( x y) 3 ( ) x ( x y) 3 E ærmere graskig av svaree i eksempel 3. viser a i alle re oppgavee! f xy f yx Dee beror ikke på ilfeldigheer, derivasjosrekkefølge har ige beydig. Vi ka alså slå fas a, og da reger vi i hver fall ikke bry oss om mer e re ulike adrederivere. De abefales likevel å rege u både f xy og f yx fordi vi da har e mege god koroll på a disse er rikige, i illegg il a vi med sikkerhe ka si a fx og fy semmer. f xy f yx 33
Nivåkurver De er vaskelig å skissere e fuksjo av o variable i e koordiasysem. I så fall må vi være svær gode il å ege re-dimesjoal. E ae måe å illusrere forløpe il e så fuksjo på, er å ege fuksjoes ivåkurver i sede. Hvis fuksjoe agir høyde over have, ka vi for eksempel ege e ivåkurve gjeom alle puker som ligger meer over have, e ae ivåkurve gjeom alle puker som ligger meer over have og så videre. Topografiske kar er som kje framsil på dee måe. Nivåkurvee fies ved å see fxy (, ) c, der c er ivåe (for eksempel høyde over have). Eksempel 3.3: f( xy, ) x + y 3 ( x, y) Fuksjoe agir høyde over have i puke. f c, 5 og a) Teg ivåkurvee il for. A(, ) B(, ) b) Gi pukee og. Hvor høy over have ligger disse pukee? f x f y A B c) Bereg og i pukee og. Semmer resulaee med figure i a)? Løsig: a) y -5 3 A B c c5 c 5 x -3 f(, ) ( ) + 3 5 b) Vi seer i i fuksjoe og fier og f(, ) + 3 8 A 5m B 8m f x x f y 3y. ligger alså og over have. f x c) og. Da er og i, mes og f y 4 i B. Vi ka se a disse resulaee (i de mise foregee) semmer med figure. f y 3 A f x 34
Kjereregele Vi har på de foregåede sidee lær oss å derivere e fuksjo av flere variable med hesy på hver variabel. Nå skal vi komplisere bilde yerligere ved å la hver av disse variablee være fuksjoer av e y variabel. Dee høres ok emmelig forvirrede u, me vi ka a e eksempel som forhåpeligvis vil virke kokreiserede. Hvis vi beveger oss i e ladskap der høyde over have er gi av hxy (, ), så ka x og y være fuksjoer av ide. De vil da være mulig å berege hvor for vi beveger oss oppover dh d ved å gå veie om de pariell-derivere. Formele vi beyer il dee ser slik u: dh d h x dx d + h dy y d Legg merke il a vi beyer -operaore bare år vi deriverer hxy (, )! De adre fuksjoee er fuksjoer av è variabel (også h ()), og vi bruker derfor de almielige d -e år vi deriverer disse. Vi ser også a vi ikke ka forkore x mo dx. Vær øye med dee!! Eksempel 3.4:. Du beveger deg e rud-. Bruk I e område er høyde over have gi av ur i ladskape på de måe a koordiaee die er gi av formele over il å berege dh d h x, y, alså hvor for du il ehver id beveger deg oppover i område! Løsig: Høyde er e fuksjo av og som igje er fuksjoer av. Vi må derfor beye formele. Vi sarer med å pariell-derivere : h x dh d og. I illegg har vi a og. Da blir av, må vi see i urykkee for og. Vi får da: dh d ( ) x + y 3xy ( x, y) ( cos, si) h x y dh d x 3y h dx h dy + hxy (, ) x d y d h y 4y 3x ( x 3y) ( si) + ( 4y 3x) cos x y dx d si ( cos 3 si) ( si) + ( 4si 3cos) cos sicos + 3si + 4sicos 3cos sicos 3( cos si ) si 3 cos dy d cos. For å skrive dee som e re fuksjo 35
Du har kaskje spekuler på om de ka være mulig å komme fram il de resulae vi fa i eksempel 3.4 ue å gå veie om formele vi eopp har lær. Og de er de fakisk. Vi ka jo re og sle see i urykkee for x og y og derivere direke med hesy på. Vi reger ikke å pariell-derivere e gag! Eksempel 3.5: Løs eksempel 3.4 ue bruk av pariell-derivasjo. Løsig: Vi skriver om h( x, y) x + y 3xy h() cos + si 3cossi Vi ka å derivere som vi allid har gjor: dh d il e re fuksjo av, og får: cos ( si) + 4si cos 3( si si + cos cos) sicos + 4sicos+ 3si 3cos sicos 3( cos si ) si 3 cos Vi kom alså fram il øyakig samme svar på gammelmåe. Beyr de a de ye formele vi har lær egelig er uødvedig? Neida, ikke hel. De er ofe slik a de er umulig å agi e hel kokre formel for e bevegelsesmøser. Vi må i sede se på spesifisere verdier i puk eer puk. Eksempel 3.6: Du beveger deg på y i samme ladskap som i eksempel 3.4, der gage beveger du deg li mer uregelmessig, me i de du passerer puke har du e far og reig som ilsvarer m/s i posiiv x-reig og,5m/s i egaiv y-reig. Hvor for edrer i dee øyeblikke? Løsig: Vi bruker samme formel som i eksempel 3.4, dh d h( x, y) x + y 3xy ( 43, ) h. Dee. Vi får da: Da er de bare å see i de gjeldede koordiaee og, slik a vi får dh d h dx x d + h y dy d 3 ( x 3y) + ( 4y 3x) ( 5, ) 4x 6y y + x dh - 4 8 3 d x 4 y 3 seg med ide -x 8y Dee beyr a du beveger deg edover med e far på m/s. 36
Eksempel 3.7: Du beveger deg i e ladskap der høyde over have er gi av A(, 3). I de du passerer puke har du e far på m/s i e reig radiaer il høyre for posiiv x-akse. h a) Hvor for edrer seg i dee øyeblikke? b) I hvilke reig (vikel i forhold il x-akse) bør du bevege deg for å få sørs mulig sigig? Løsig: a) Vi sarer med å fie fare i x- og y-reig: v x dy d mes v y si. De pariell-derivere blir heholdsvis: og. x y 3 og gir da og Da ka vi see i i formele dh d 6 h x dh d h x 3x y 3 8 5 h dx x d 5 3 + 5 ( ) 5( 3 + ) h( x, y) x 3 xy + 3y 6 dx 3 cos 3 d 6 h y 4xy + 3 b) Vi eker på samme måe som i a). Fare i x-reig blir v x vcosα og i y-reig v y, der er fares allverdi og er vikele i forhold il x-akse. + h y dy vsiα v α d + 3 5 h dy, oe som gir: y d dx d Da blir dh d 5vcosα + 5vsiα. Dee urykke er sørs år de derivere er lik ull: h α 5vsiα + 5vcosα siα + cosα aα Vi har å o muligheer, og. Iseig i foreller oss a vi må bevege oss i e reig som gir e vikel på 3 α α - 4 4-3 4 De ka eves a e vekor som peker i de reige der 3 - hxy (, ) 4 il vesre for posiiv x-akse for å få sørs sigig. siger raskes (i dee ilfelle reige ), kalles gradiee il. Du ka lære gradiee bedre å kjee hvis du velger mer maemaikk seere i sudie. dh d hxy (, ) 37
Kriiske puker Vi har idligere lær hvorda vi fier maksimums- og miimums-puker il fuksjoer av è variabel: Vi deriverer fuksjoe og seer de derivere lik ull. Vi skal å lære hvorda vi går fram år vi har e fuksjo av o variable. f f Vi ve a e fuksjo av o variable har o pariell-derivere, og. De førse krave for a x y vi skal ha e maksimum eller miimum er a begge disse skal være lik ull. Puker der både df f og er ull, kalles for kriiske puker. E kriisk puk er ee e eksremalpuk (alså dx y maksimum eller miimum) eller e salpuk. E salpuk er e puk som oppleves som e maks-puk hvis du beveger deg i x-reig og som e mi-puk år du beveger deg i y-reig (eller mosa). Vi ka eke oss e bil som passerer e fjellpass mellom o høye fjell. De som sier i bile vil oppleve fjellpasse som e maks-puk. Samidig kommer e galig løpede fra de ee fjelloppe og eker seg opp på de adre. For ha vil fjellpasse oppleves som e mi-puk. Med bakgru i dee ka vi si a fjellpasse må være e salpuk. Eksempel 3.8: Fi de kriiske pukee il fuksjoe f( xy, ) x xy + y f x x y Løsig: Vi begyer med å pariellderivere og får og. Begge disse urykkee må være lik ull for a vi skal ha e kriisk puk: x y xy + x y xy Hvis vi seer urykke for f y xy + fra de førse likige i i de adre, får vi y y y 3 y. Da blir x, slik a de eese f( xy, ) x xy + y kriiske puke il fuksjoe er puke. x, 38
Adrederiver-ese Vi skjøer a de blir mye mer omsedelig å fie maks- og mi-puker år vi har o variable i sede for è. Førs må vi (som i eksempel 3.8) løse e likigsse med o ukjee for å fie koordiaee il de kriiske pukee. Dereer må vi gjeom e prosedyre vi kaller adrederiver-ese for å avgjøre om hver ekel av de kriiske pukee er e maksimum, miimum eller salpuk. Adrederiver-ese er egelig gaske grei å gjeomføre. Førs må vi see opp de re adrederivere f xx, f yy og f xy før vi bereger sørrelse Δ f xx f yy ( f xy ) for hver av de kriiske pukee. Dersom Δ > har vi e eksremalpuk, mes Δ< gir e salpuk. Hvis vi skulle være så uheldige å få Δ ka ikke adrederiver-ese avgjøre hvilke ype puk vi har med å gjøre. Me dee ireffer heldigvis okså sjelde. Eksempel 3.9: Avgjør om de kriiske puke vi fa i eksempel 3.8 er e eksremalpuk eller e salpuk. f x y f xy + x y f xx f yy x f xy f yx y Løsig: I forrige eksempel berege vi og. U fra dee fier vi de adrederivere:, og. Da er de bare å see i, Δ koordiaee il de kriiske puke og berege sørrelse : Δ f xx f yy ( f xy ) ( ) ( ) 6 Δ <, På gru av a må puke være e salpuk. Hvis vi ser li ærmere på formele Δ f xx f yy ( f xy ) ser vi a produke f xx f yy er ød il å være posiiv dersom Δ skal bli posiiv. Dee beyr igje a f xx og f yy må ha samme foreg dersom fuksjoe skal ha e eksremalpuk. Da er de gaske ekel å fie u om e eksremalpuk er maksimums- eller miimums-puk. Dersom forege på og er posiiv (blid graf) har vi e miimumspuk. I mosa fall har vi e maksimumspuk. f xx f yy 39
Eksempel 3.: Besem samlige maksimums-, miimums- og salpuker il fuksjoe Løsig: Vi begyer med å fie de førsederivere: og. De kriiske pukee ligger der både og er lik ull. Vi ser a er ekel å fakorisere, og vi sarer derfor i de ede: x y f y. Dee urykke blir lik ull år i) eller ii). Dee er alså de o eese sedee vi ka fie kriiske puker. Vi må å a for oss disse o ilfellee i ur og orde, see dem i i likige hvilke puker vi kommer u med. f x og se i) Vi ar ugagspuk i, seer og får. Dee likige har løsigee og, slik a vi allerede har fue o kriiske puker, emlig og. f y f x 6x + y y x xy x( y) ii) Vi seer å i i og får. Da har vi koordiaee il de redje og sise kriiske puke,. For å fie u om de kriiske pukee er eksremalpuker eller salpuker må vi uføre adrederiver-ese. Vi fier førs de adrederivere: f xx 6, f yy x og f xy y. Vi ka å see opp disse resulaee i e lie abell: f xx f yy f xy Δ (, ) 6-4 (, ) 6 - -4 6, 6 3 f( xy, ) 3x + xy xy f y f y f x x xy f 6x + y y x y y x y y (, ) (, ) y 6x + y y 6x + x, 6 6 Δ, 6 Av verdiee for yers il høyre ser vi a er de eese eksremalpuke. De posiive forege på f xx og f yy ilsier a de må være e miimumspuk. Vi ka å dra følgede (, ) (, ), 6 koklusjo: og er salpuker, mes er e miimumspuk. 4
Eksempel 3.: Du skal lage e glassmoer som skal så på e museum. Moere skal ha form som e re prisme (se V 3dm 3 figur) og de skal ha e volum. z y x Glasse på framside av moere koser 3kr dm kr dm kr dm, mes glasse i gulv og ak koser., glasse i de re adre veggee koser a) Vis a al glasse i moere vil kose. b) Fi de laves mulige prise på glasse som moere skal lages av. Løsig: a) I følge figure vil glasse i moere kose 6 K( xy, ) xy - 8 + + - y x Kxyz (,, ) 3xz + yz + xy + xz xy + 5xz + 4yz V Kxy (, ) z V xyz z 3 xy xy For å fie ser vi a må elimieres:. Vi får da:. K( xyz,, ) xy + 5x 3 + 4y 3 xy xy xy 6 8 + - + - y x QED K 8 y - b) Vi sarer med å pariellderivere: og. x x y y K 6 x - K x 8 y - 8 x y - 64 x x y - 496 x 4 Isa i K y, får vi x 6 -x 4 x 4 x 496-496 6 5x x x 8 y 64 64 Vi får o løsiger: (uakuel) og. Da blir. Prise blir da: x 8 6 K 8-8 + + - 6 + 6 + 6 48 8 4
Mise kvadraers meode Tek deg a du sier med e haug av målepuker (e haug ka være al fra re puker og oppover). For å behadle måleresulaee maemaisk øsker du å fie likige for e re lije y ax+ b som går ærmes mulig de ulike pukee. Vi ka a e eksempel fra kjemies verde: Vi seder elekromageisk srålig i mo e proeiløsig og måler ved hjelp av e spekrofoomeer hvor mye srålig som absorberes av løsige. Vi edrer proeikoserasjoe [mg/l] og forear e y målig ved hver koserasjo. Måleresulaee preseeres i e koordiasysem og ka for eksempel bli seede slik u: a(%) 8 6 4 5 5 5 c(mg/l) De ree lija som er lag i skal være de lija som samle se gir mis mulig avsad fra målepukee. Vår oppgave blir å fie u hvorda vi ka besemme likige for de ree lija maemaisk med ugagspuk i målepukees koordiaer. La oss si a disse koordiaee er ( 54, ), (, 39), ( 5, 57), (, 67) og ( 5, 78). Samidig ve vi a lija y ax+ b går gjeom pukee ( 55a, + b), (, a + b), ( 5, 5a + b) og så videre. Avvike (alså de verikale avsade mellom puke og de ree lija) ved hver målepuk går da fram av følgede abell: Puk r. 3 4 5 Sum Avvik 5a + b 4 a + b 39 5a + b 57 a + b 67 5a + b 78 75a + 5b 65 4
E skulle kaskje ro a dersom e klare å få summe av alle disse fem avvikee ( 75a + 5b 65 ) mis mulig, så hadde e fue fram il de rikige lija. Me her er de oe som skurrer, for dee beyr for eksempel a de o lijee y 5x eller y 53 (fla lije gjeom måligees middelverdi) må være hel ideelle fordi begge gir a summe av alle avvikee blir lik ull! Ka du eke deg hvorfor vi får så mage morsomme og gale løsiger med dee meode? De rikige framgagsmåe er oe mer kompliser fordi vi i sede for å summere avvikee blir ød il å summere kvadraee av hver ekel avvik! Vi får da feilfuksjoe F( ab, ) ( 5a + b 4) + ( a + b 39) + ( 5a + b 57) + ( a + b 67) + ( 5a + b 78) Vi skjøer a de er mye (me ikke uoverkommelig) arbeid med å fie miimumspuke il dee fuksjoe, så vi øyer oss i sede med e eksempel der vi har bare re målepuker og li eklere all. Eksempel 3.: Bey mise kvadraers meode il å fie de ree lija som er slik a kvadrasumme av hver ekel (, ) ( 5, ) ( 37, ) avvik blir mis mulig år du har målepukee, og. Løsig: Vi begyer med å see opp e abell over hver avvik: Pukes x-verdi Pukes y-verdi Lijas y-verdi Avvik a + b a + b 5 a + b a + b 5 3 7 3a + b 3a + b 7 Kvadrasumme av avvikee blir å feilfuksjoe F( ab, ) ( a + b ) + ( a + b 5) +( 3a+ b 7) Vi pariellderiverer ue å muliplisere u pareesee førs: F ( a + b ) + a ( + b 5) + ( 3a + b 7) 3 a a + b 4 + 8a + 4b + 8a + 6b 4 8a + b 66 F ( a + b ) + a ( + b 5) + 3a ( + b 7) b a + b 4 + 4a + b + 6a + b 4 a + 6b 8 Vi får da likigssee a 8a a + b 66 5 b + 6b 8 som ka løses på flere måer (f. eks. Gauss). y 3 Uase vil svare bli og slik a likige for lija blir 5 x 3 43
Vi har se a mise kvadraers meode medfører mye regearbeid år aall puker blir høy. Me vi ka ugå mye av dee arbeide ved å beye oe ekle formler. Vi ka ulede disse formlee ved å a ugagspuk i e vilkårlig aall målepuker, ( x, y ),( x, y ) ( x, y ), see opp feilfuksjoe Fab (, ), pariellderivere og see begge de pariellderivere lik ull. ( xy) xy ( ) y x Nok pra, formlee ser slik u: a - ( xy ) og. ( x ) ( x) b - ( x ) ( x) x Eksempel 3.3: Bruk formlee over og se om du kommer fram il samme resula som i eksempel 3.. (, ) 5, ( 37, ) x + + 3 6 y + 5 + 7 4 ( xy) + + 33 ( x ). + 4 + 9 4 Løsig: Pukee, og gir,, og Da blir a 3 33 6 4 3 4 6 5-6 5 og b 4-4 6 33-3 4 6 6 3 Nøyakig samme resula som i eksempel 3., me mye midre arbeid! Eksempel 3.4: Fi likige for de ree lija som gir mis kvadrasumavvik år du har de fem målepukee ( 54, ), (, 39), ( 5, 57), (, 67) og ( 5, 78). Løsig: Vi fier førs de ulike summee:, x 5 + + 5 + + 5 75, y 4 + 39 + 57 + 67 + 78 65 ( xy) + 39 + 855 + 34 + 95 4655 ( x ). 5 + + 5 + 4 + 65 375 og 5 4655 75 65 Dee gir a 34-5 375 75 7, 5 375 65 75 4655 55 b - 5 375 75, 5 og Da blir likige for de ree lija y 7x, +, 44
Oppgaver 6. Fi de førseordes pariellderivere il fuksjoee a) b) f( xy, ) 8x y + x 5y + 3 f( xyz,, ) xyl( xyz) + 5y x x 7. Fi de adreordes pariellderivere f xx, f xy, f yx og f yy av fuksjoe f( xy, ) -. x + y 8.Skisser ivåkurvee il fuksjoe f( xy, ) x y. Bruk verdiee c 3, c, c og c 3. df 9. Fi både ved hjelp av kjereregele og ved å derivere direke: d a) f( xy, ) xcosy x y 3 b) f( xy, ) e x+ y x l y. Du beveger deg i e ladskap der høyde over have er gi av h( x, y) si( x + y ). I de øyeblikk du passerer puke, er fare di 3m s og reige slik a dx dh m s. Hva blir i dee øyeblikke? d d. Besem koordiaee il eveuelle maksimums-, miimums- og salpuker il fuksjoee a) g( x, y) x xy + y + b) h( x, y) x y xy + y. Du skal bygge e revikle kasse ue lokk (eg figur). Kasse skal ha sidelegder x og y og høyde z. Selve skjelee il kasse skal bygges av ye rør, og de oale legde rør som skal beyes er 4 meer. a) Vis a areale av kasses overflae (bu + fire vegger) ka skrives som A( x, y) 7x + 7y x y 3xy b) Hvorda bør sidelegdee x og y sam høyde z velges for a overflae A skal bli sørs mulig? 3. Du har følgede re målepuker: (, ), ( 3, ) og ( 6, ). Fi de ree lija som er slik a kvadrasumme av de ekele avvikee blir mis mulig. 45
4 Laplace-rasforme Defiisjo Vi har idligere lær om z-rasforme som var e yig hjelpemiddel år vi skulle fie de ukjee sekvese i e differeslikig. Vi rasformere førs hele differeslikige a med a, a ec. over il z-plae, der vi kue rege uforsyrre il vi kom fram il Az ( ), som var z-rasforme il a. Ved å iversrasformere Az ( ) fa vi da sekvese a. På samme måe ka vi si a Laplace-rasforme (oppkal eer de fraske maemaikere Pierre-Simo Laplace, 749-87) er svær yig ved løsig av differesiallikiger. De vi gjør her er å rasformere diff-likigee over il s-plae. I dee plae blir for eksempel e idsfuksjo f () heede Fs ( ). Når vi har rege li fram og ilbake i s-plae ka vi rasformere ilbake il idsplae igje og fie løsige il differesiallikige. Her er defiisjoslikige for Laplace-rasforme: L{ f ()} Fs ( ) e s f () d Urykke L{ f() } er a med for å presisere a dee er Laplace-rasforme il f () Eksempel 4.: Bruk defiisjoslikige il å fie Laplace-rasforme av f () Løsig: Defiisjoe il Laplace-rasforme er beyr a vi her må løse iegrale e s g D( g) D h L{ f ()} Fs ( ) e s f () d ( ) d og ( ) e s h e s., oe som Vi må da y il delvis iegrasjo med s Dee gir: e s ( ) d e s s e s s d -e s s - e s + C s Da blir F( s) e s ( ) d -e s e s ( ) - s s s - s 46
På forrige side berege vi Laplace-rasforme av de ekle idsfuksjoe f (). Vi ka foresille oss a de blir e del arbeid år vi får mer komplisere idsfuksjoer. Me de er selvfølgelig oe som har sie og berege Laplace-rasformer opp gjeom åree, så vi må vel ha lov il å beye oss av resulaee deres. Her er e abell over de mes valige Laplacerasformee: f () L{ f() } Fs ( ) Selv om abelle er lie, kommer vi gaske lag med bare disse fem lijee. Vi ka lære oss de gruleggede bruke av abelle gjeom oe ekle eksempler. s -! + s e a s a siω cosω ω s + ω s s + ω Eksempel 4.: Fi ved hjelp av abelle Laplace-rasforme il følgede idsfuksjoer: f() 3 + 4 g() e 3 cos h() e 3 cos a) b) c) Løsig: a)! L{ f ()} Fs ( ) 3! + 4 3 4 + s s s 3 s s 3 s 4s 3s + s 3 b) L{ e 3 cos } Gs ( ) s - s + 4 ss ( + 3) s + 3 s + 4 ( s + 3) ( s + 4) - 3s + 4 ( s + 3) ( s + 4) c) Her er de kaskje ærliggede å ro a L{ e 3 cos } L{ e 3 } L{ cos}, me dee blir riv ruskede gal! Husk a Laplace-rasforme er defier ved e iegral, og vi ve fra før a iegrale av e produk ikke er produke av de iegrere fakoree. Vi må bare ise a abelle ikke ka hjelpe oss med å fie all verdes Laplace-rasformer, vi reger oe smare regler i illegg! 47