Ny, GeoGebra til forkurset ved HiOA sommeren 2016 Fra Prøveveiledning, Matematikk 1P + 2P, Sentralt gitt skriftlig prøve etter forkurs i lærerutdanningene, 2016 1.6.2.1 Graftegner (programvare på datamaskin). Obligatorisk. En digital graftegner på datamaskin skal brukes i én eller flere oppgaver i denne prøven. Det skal gå klart fram av den grafiske framstillingen hvilken skala som er brukt og hvilken størrelse som kan leses av, på hver av aksene. Det er en fordel at funksjonsuttrykket som er tastet inn i graftegneren framkommer slik at sensor enklere kan vurdere graftegningen. Hvis kandidatene bruker en slik graftegner, trenger de ikke å oppgi verken verditabell eller framgangsmåte (hvordan de har gått fram for å tegne grafen). Kandidatene må derimot forklare hvilke kommandoer som er brukt for å finne for eksempel skjæringspunkter og ekstremalpunkter. Kandidatene kan legge ved forklaringer over hva som er gjort i programvaren dersom man finner dette hensiktsmessig. I det følgende er det løst noen få eksamensoppgaver fra våren 2013 og våren 2014 og lagt inn kommentarer som understreker hva det er viktig å passe på i løsningen. Det er også tatt med noen nyttige verktøy og tips. Oppgavene er fra før det ble krav til bruk av graftegner på eksamen så ordlyden i oppgavene kan være litt annen enn i de nye eksamenssettene. Anbefalte øvingsoppgaver med GeoGebra NB! ALLE OPPGAVENE ER FRA DEL 2 PÅ EKSAMENSSETTENE! Graftegning: 1P 2P V14, oppg 3 V15, oppg 5 V15, oppg 6 + oppg 7 H15, oppg 1 H15, oppg 2 + oppg 6 V16, oppg 1 V16, oppg 3 + oppg 6 Regresjon: Statistikk: 2P V15, oppg 2 + oppg 4 H15, oppg 3 V16, oppg 7 2P V15, oppg 3 H15, oppg 4 V16, oppg 2
Eksempel 1 graftegning (1P, V14, oppg 3) Vi bruker funksjonen f gitt ved f(x) = 0,002x 3 + 0,06x 2 0,2x + 2, 0 x 24 som en modell for vindstyrken f(x) m/s ved en målestasjon x timer etter midnatt 18. mai 2014. a) Tegn grafen til f. b) Hva var vindstyrken klokken 09.45 ifølge modellen? c) Når var vindstyrken minst, og når var den størst, ifølge modellen? Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom vindstyrke og betegnelse. d) I hvilke tidsrom i løpet av dette døgnet var det lett bris ifølge modellen? Her er komentarene fra forhåndssensurrapporten:
Løsningsforslag, Eksempel 1 graftegning (1P, V14, oppg 3) Noen kommentarer: Det er ikke nødvendig å lage ett bilde for hver deloppgave, men noen ganger blir det mye informasjon i bildet (se under) og det kan være fint å dele opp i to bilder. Du kan gjøre alt i samme GeoGebra-vindu. Du slokker og tenner informasjon ved å klikke på de blå ballene i algebrafeltet: For å tegne en begrenset graf: Med PC kan du kopiere grafikkfeltet ved å trykke ctrl+shift+c og lime inn ved å trykke ctrl+v når du er i word. Du kan også bruke utklippsverktøyet og markere det området du klipper ut og trykke ctrl+v når du kommer i word. NB! Pass på at du får med hele aksen med piler. Med Mac trykker du cmd+shift+4 og markerer området du vil klippe ut. Da havner utklippet på skrivebordet og du kan dra det inn i word-dokumentet. NB! Pass på at du får med hele aksen med piler.
Her kommer løsningsforslaget slik det kan leveres til eksamen: a) Grafen er tegnet med Geogebra. b) Kl 9.45 tilsvarer x = 9,75. Tegner linjen og bruker skjæring mellom objekter. Vindstyrken var 3,9 m/s (punkt A). c) 84*60/100 50, 17*60/100 10 Kommando: Ekstremalpunkt. Vindstyrken var minst kl 01.51 (punkt B)og størst kl 18.10 (punkt C). d) Når grafen ligger mellom linjene y = 3,4 og y = 5,4 er det lett bris. Skjæring mellom objekter gir punktene D, E og F. 48*60/100 29, 77*60/100 46, 88*60/100 53 Det var lett bris kl 08.29 13.46 (punkt F og E) og fra 21.53 (punkt D) til midnatt.
Kommentar til løsningen: Her har aksene navn og pilene er med i utklippet. Avrunding er justert så alle desimalene kommer med. Det står på aksene hva som måles langs dem. (Kulepunkt 2 i eksamensveiledningen.) Navn på grafene er med i vinduet. (Kulepunkt 3 i eksamensveiledningen.) Navn og verdi på punktene er med i bildet. Det er ingen store, åpne felt uten informasjon. Klikk på denne knappen først da kan du dra i aksene for å justere dem og flytte på grafikkfeltet. Det er viktig at endepunktene på grafen er med når du tegner en begrenset graf. Hvis du ikke har tilgang til fargeskriver, kan det være lurt å gjøre noen linjer stiplet. Hvilket verktøy som er brukt til å finne skjæringspunkter og ekstremalpunkter er med i forklaringen. (Kulepunkt 4 i eksamensveiledningen.) Skriftstørrelse i GeoGebra er 16 pkt så det blir lett å lese.
Eksempel 2 graftegning (1P, V13, oppg 4) Funksjonen h gitt ved h(t) = 3,25t 3 50t 2 + 170t + 700 var en god modell for hjortebestanden i en kommune i perioden 1990-2000. Ifølge modellen var det h(t) hjort i kommunen t år etter 1. januar 1990. a) Tegngrafen til h for 0 t 10 b) Når var hjortebestanden størst, og hvor mange hjort var det i kommunen da? c) Løs likningen h(t) = 850 grafisk, og forklar hva løsningen forteller om hjortebestanden. d) Hvor stor var den gjennomsnittlige endringen i antall hjort per år i perioden 1. januar 1994 1. januar 1998? Løsningsforslag, Eksempel 2 graftegning (1P, V13, oppg 4) Se kommetarene til eksempel 1. Under knappen for punkt finner du mange nyttige verktøy: Linje mellom to punkter har eget verktøy: Du får vanligvis ikke likningen for linjen slik du er vant til ( y = ax+b). Da kan du markere uttrykket, høyreklikke og gjøre om så det blir på formen du er vant til. (Se bildet til venstre.)
Her kommer løsningsforslaget slik det kan leveres til eksamen: a) Grafen er tegnet med GeoGebra. b) 15*12/100=1,8 Verktøy: Ekstremalpunkt. Hjortebestanden var størst i februar 1992 (punkt A). c) Tegner linjen y = 850. Verktøy: skjæring mellom objekter. h(t)=850 når t = 1,42 (punkt C) og når t = 2,95 (punkt D). 42*12/100 =5,04 og 95*12/100 = 11,4) Hjortebestanden var på 850 dyr i begynnelsen av juni i 1991 og i desember 1992. d) Tegner linjene x = 4 og x = 8. Verktøy: Skjæring mellom objekter og linje mellom to punkter. Lager en linje gjennom skjæringspunktene med grafen (punkt E og F). Se figur neste side. y = 66x + 1052 som betyr at hjortebestanden i gjennomsnitt sank med 66 hjort i året i denne perioden.
Eksempel 3 regresjon (2P, V14, oppg 2a-c) Tabellen ovenfor viser gjennomsnittspris per kvadratmeter for eneboliger i Stavanger noen år i perioden 2002 2012. a) La x være antall år etter 2002, og bestem den lineære modellen som passer best med de oppgitte verdiene. b) Bruk modellen du fant i oppgave a), til å anslå gjennomsnittsprisen per kvadratmeter i 2016. c) Når vil gjennomsnittsprisen for en enebolig i Stavanger på 200 m 2 passere 10 millioner kroner dersom prisutviklingen fortsetter? Løsningsforslag, Eksempel 3 regresjon (2P, V14, oppg 2a-c) Noen kommentarer og tips: Åpne regnearket i GeoGebra og skriv inn dataene. Hvis det er årstall som i oppgaven over, MÅ du bruke 0 for det årstallet som skal være starten. (I de fleste tilfellene er det det første tallet i tabellen.) I dette eksempelet bruker vi altså 0, 2, 4, 6, 8, 10 i stedet for 2002, 2004, osv. Markér området med dataene og velg regresjonsanalyse, deretter Analyser Til slutt velger du hvilken modell du vil lage. Noen ganger er det oppgitt i oppgaven. I denne oppgaven står det at det skal være en lineær modell. For å kopiere grafen til grafikkvinduet, bruker du
Her kommer løsningsforslaget slik det kan leveres til eksamen: a, b) Legger dataene fra tabellen inn i regnearket i GeoGebra og gjør en lineær regresjon. Den lineære modellen som passer best er y = 2160,1x + 11701 2016 tilsvarer x = 14. Legger det inn i regresjonsvinduet. Gjennomsnittsprisen vil være 41942 kroner i 2016. c) Kopierer grafen til grafikkvinduet. Finner så kvadratmeterprisen: 10 000 000 kr/200m 2 = 50 000 kr/m 2 Tegner linjen y = 50000 og finner skjæringspunktet mellom grafen og linjen (punkt A) Verktøy: Skjæring mellom objekter. Gjennomsnittsprisen på en enebolig på 200 m 2 vil passere 10 millioner kroner i løpet av 2019 dersom utviklingen fortsetter.
Eksempel 4 graftegning og regresjon (2P, V13, oppg 6) I 2011 kjøpte Helene en bruktbil. Hun fant da tabellen ovenfor på Internett. Alle beløp er oppgitt i kroner. a) Forklar at det årlige verditapet på bilen er beregnet ved hjelp av en lineær modell, og bestem denne modellen. Helene lurer på om det vil være mer realistisk å bruke en eksponentiell modell. b) Bestem en eksponentiell modell som totalt gir samme verditap på bilen fra 2006 til 2011 som den lineære modellen. c) Hva er Helenes bil verd i 2013 ifølge den lineære modellen? Hva er Helenes bil verd i 2013 ifølge den eksponentielle modellen? Løsningsforslag, Eksempel 4 graftegning og regresjon (2P, V13, oppg 6) Denne oppgaven kan løses ved å kombinere metoder og kommandoer fra eksemplene foran. Det er derfor ikke laget noen egne kommentarer til denne oppgaven. Her kommer løsningsforslaget slik det kan leveres til eksamen: a) Siden verditapet er like stort hvert år, er det brukt en lineær modell på formen y = ax + b. 2006 tilsvarer x = 0 og verdien var da 299990 kr så b = 299990. Verdien synker med 25780 kr hvert år så a = 25780. Modell: f(x) = 25780x + 299990 b) Bruker regresjon i GeoGebra til å bestemme eksponentialmodellen h(x) = 299990 0,89 x (Se figur neste side.)
c) Tegner begge modellene og linjen x = 7 (siden x = 7 tilsvarer 2013). Skjæring mellom objekter gir punkt A og B. I følge den lineære modellen var bilen verdt 119530 kr i 2013. (Punkt B) I følge den eksponentielle modellen var bilden verdt 136569 kr i 2013. (Punkt A)
Eksempel 5 statistikk (2P, V13, oppg 4) Tabellene nedenfor viser resultatene for de åtte beste utøverne på 1500 m skøyter for menn under OL i 1968 og under OL i 2010. a) Hvor mange prosent sank vinnertiden med fra 1968 til 2010? b) Bestem gjennomsnittstiden for de åtte beste i 1968 og for de åtte beste i 2010. c) Bestem standardavviket for de to tallmaterialene. Hvorfor er standardavviket større i 1968 enn i 2010? I forhåndssensurrapporten for eksamen våren 2015 står det som kommentar til en tilsvarende oppgave:
Løsningsforslag, Eksempel 5 statistikk (2P, V13, oppg 4) Her kommer løsningsforslaget for oppgave b og c slik det kan leveres til eksamen: Legger dataene for OL 1968 inn i kolonne A i regnearket i GeoGebra og dataene for OL 2010 inn i kolonne B. Gjør analyse av hvert av datasettene. 1968: gjennomsnittstid 125,06 sekunder, standardavvik 0,7633 sekunder 2010: gjennomsnittstid 106,36 sekunder, standardavvik 0,4136 sekunder Standardavviket er et mål på hvor stor spredning det er i dataene. I 1968 var avstanden mellom første og åttende plass 2,7 sekunder. I 2010 var avstanden 1,2 sekunder så spredningen var mindre i 2010 og da blir standardavviket mindre.