1P kapittel 5 Areal og volum

Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 5 Arel og volum Løsninger til oppgvene i ok 5.1 Vi skl gå ett hkk mot høyre og gnger derfor med 100. 14 m 14 100 mm 1400 mm Vi skl gå to hkk mot høyre og gnger derfor med 100 100 10 000. 5 dm 5 10 000 mm 50 000 mm d Vi skl gå ett hkk mot høyre og gnger derfor med 100. 1,5 m 1,5 100 mm 150 mm 5. Vi skl gå tre hkk mot høyre og gnger derfor med 100 100 100 1000 000. 0,049 m 0,049 1000 000 mm 49 000 mm Vi skl gå ett hkk mot høyre og gnger derfor med 100. 5,0 dm 5,0 100 m 50 m Arelet v én side i læreok er 50 m. 5. Vi skl gå ett hkk mot venstre og deler derfor med 100. 14 dm (14 :100) m,14 m Vi skl gå to hkk mot venstre og deler derfor med 100 100 10 000. 5 m (5 :10 000) m 0,0005 m Ashehoug www.lokus.no Side 1 v 54

Løsninger til oppgvene i ok d Vi skl gå tre hkk mot venstre og deler derfor med 100 100 100 1000 000. 4900 mm (4900 :1000 000) m 0,0049 m 5.4 Vi skl gå ett hkk mot venstre og deler derfor med 100. 7,5 dm (7,5:100) m 0,75 m 5 dm (5:100) m 0,05 m 5 dm 5 10 000 mm 50 000 mm 0,5 m 0, 5 100 dm 5 dm 0,5 m 0, 5 1 000 000 mm 50 000 mm 000 mm (000 :10 000) dm 0, dm 000 mm (000 :1000 000) m 0,00 m m dm m 0,01 1 10 000 0,05 5 50 000 0, 5 5 50 000 0,00 0, 000 5.5 Vi skl gå tre hkk mot venstre og deler derfor med 100 100 100 1000 000. 5000 m (5000 :1000 000) km 0,005 km Arelet v Oslo Spektrum er 0,005 km. Ashehoug www.lokus.no Side v 54

Løsninger til oppgvene i ok 5.6 Vi regner om lle relene til kvdrtmeter. 88 dm (88:100) m 0,88 m 0,5 km 0,5 1000 000 m 500 000 m 5 mm (5 :1 000 000) m 0,000 05 m 1 m (1 :10 000) m 0,001 m Sortert etter stigende rekkefølge får vi dermed 5 mm 1 m 88 dm m 0,5 km 5.7 d 1 mål er det smme som 1000 m. Vi gnger derfor med 1000. mål 1000 m 000 m 1 dekr er det smme som 1000 m. Vi gnger derfor med 1000. 4,5 dekr 4,5 1000 m 4500 m 0,85 mål 0,85 1000 m 850 m 0,1 dekr 0,1 1000 m 10 m 5.8 1 000 m (1000 :1000) mål 1 mål 1 dekr er det smme som 1 mål. Altså er 50 dekr 50 mål. d 580 m (580 :1000) mål 0,58 mål 50 m (50 :1000) mål 0,05 mål Ashehoug www.lokus.no Side v 54

Løsninger til oppgvene i ok 5.9 1 r (1 :10) mål 1, mål 1 r (1 100) m 100 m 1,5 mål (1,5 10) r 15 r 1,5 mål (1,5 1000) m 1500 m 750 m (750 :1000) mål 0,75 mål mål r m 0,1 1 100 1, 1 100 1, 5 15 1500 0,75 7,5 750 5.10 1 mål 1000 m, 1 dm 0, 01 m og 1 m 0,0001 m. Rngert fr størst til minst relenhet får vi dermed mål m dm m 5.11 Vi skl gå ett hkk mot høyre og gnger derfor med 100. 7 m 7 100 dm 700 dm 0,55 m 0,55 100 dm 55 dm d Vi skl gå ett hkk mot venstre og deler derfor med 100. 4 m (4:100) dm 0, 4 dm Vi skl gå to hkk mot venstre og deler derfor med 100 100 10 000. 50 000 mm (50 000 :10 000) dm 5 dm 5.1 65 000 m (65 000 :1 000 000) km 0,65 km Arelet v flyplssen vil li 0,65 km. Ashehoug www.lokus.no Side 4 v 54

Løsninger til oppgvene i ok Vi skl gjøre om til en relenhet som er tusen gnger så stor, og deler derfor med 1000. 65 000 m (65 000 :1000) dekr 65 dekr Arelet v flyplssen vil li 65 dekr. 5.1 5.14 5.15,5 dm (,5:100) m 0,05 m Arelet v servietten er 0,05 m. 1 8,6 0,05 Vi kn mksimlt få plss til 8 servietter på ordet. (Det vil ikke være plss til 9 servietter selv om dette svrer til «riktig» vrunding v 8,6.) Vi gjør om til kvdrtmeter. 0,07 km 0,07 1 000 000 m 70 000 m 1 mål 1000 m 0,07 km + 800 m + 1 mål 70 000 m + 800 m + 1000 m 71800 m Vi gjør om til kvdrtmillimeter. 0,01 m 0,01 100 mm 1, mm 0,01 m 0, mm 1, mm 0, mm 1 mm 1 km er det smme som 1 000 000 m. 1 dekr er det smme som Vi skl ltså gjøre om til en relenhet som er tusen gnger mindre. Vi gnger derfor med 1000. Dette etyr t 1 km 1000 dekr. 5.16 1000 m. I oppgve 5.15 fnt vi t 1 km 1000 dekr. Arelet v hele Norge er ltså 85186 km 85186 1000 dekr 85186 000 dekr Arelet v Oslo fylke er 454 000 dekr. 85186 000 848 454 000 Norge ville estått v 848 fylker hvis lle vr like små som Oslo. 5.17 I oppgve 5.15 fnt vi t 1 km 1000 dekr. Arelet v hele Norge er ltså 85186 km 85186 1000 dekr 85186 000 dekr Arelet v Oslo fylke er 454 000 dekr. 85186 000 848 454 000 Norge ville estått v 848 fylker hvis lle vr like små som Oslo. Ashehoug www.lokus.no Side 5 v 54

5.18 d e f Vi ruker formelen for relet v en treknt. g h 54 A 10 Arelet v treknten er 10 m. Vi ruker formelen for relet v et rektngel. A l 7 1 Arelet v rektnglet er 1 mm. Vi ruker formelen for relet v et kvdrt. A s 5 5 Arelet v kvdrtet er 5 m. Vi ruker formelen for relet v en sirkel. A π r π 4 50 Arelet v sirkelen er 50 m. Løsninger til oppgvene i ok Vi ruker formelen for relet v et trpes. Vi må ruke smme enhet på lle lengdene og velger å gjøre om høyden til meter, h 5 dm,5 m. ( + ) h (7 + 4),5 A 19, 5 19 Arelet v trpeset er 19 m. Vi ruker formelen for relet v et prllellogrm. A g h 6 1 Arelet v prllellogrmmet er 1 m. 5.19 Vi gjør om grunnlinj til entimeter, l 0,851 dm 8,51 m. A l 8,51 5,9 45,9 Arelet v kredittkortet er 45,9 m. 5.0 π r π 98 A 15 078 Møre og Romsdl hr rel 15 078 km. Vi regner så ut hvor mnge prosent Møre og Romsdl utgjør v hele Norge: 15 078 100 %,9 % 85 000 Møre og Romsdl dekker,9 % v hele Norge. 5.1 n 40 A π r π, 1,7 60 60 Pizzstykket dekker et rel på 1,7 dm. Ashehoug www.lokus.no Side 6 v 54

5. Løsninger til oppgvene i ok Figuren er et rektngel med sider 6 m og 7 m hvor det i det ene hjørnet hr litt fjernet et mindre rektngel med sider 6 m 4 m m og 7 m 4 m m. Astort l 6 7 4 Alite l 6 Afigur Astort Alite 4 6 6 Arelet v figuren er 6 m. Figuren er stt smmen v en hlvsirkel med dimeter 5 m + m 8 m og dermed rdius 4 m, og en treknt med grunnlinje m og høyde 4 m. 1 1 Ahlvsirkel π r π 4 5 g h 4 Atreknt 6 Afigur Ahlvsirkel + Atreknt 5 + 6 1 Arelet v figuren er 1 m. Figuren er stt smmen v et rektngel og en treknt. Treknten hr grunnlinje 5 m og høyde 10, m m 7, m. Arektngel l 5 15 g h 5 7, Atreknt 18 Afigur Arektngel + Atreknt 15 + 18 Arelet v figuren er m. 5. Den ytre knten v røret er en sirkel med rdius 1 50 mm 15 mm 1,5 m. 171 mm 85,5 mm 8,55 m. Den indre knten v røret hr rdius 1 Aytre π r π 1,5 490,9 Aindre π r π 8,55 9, 7 Arør Aytre Aindre 490,9 9, 7 61, 61 Arelet v tverrsnittet v røret er 61 m. 5.4 En hytte med grunnmur som er 5 m red. Vi må først gjøre om fr m til m: 5 m (5:100) m 0, 5 m Deretter regner vi ut lle målene til ruksrelet: 10 m ( 0, 5) m 9,5 m 6 m ( 0, 5) m 5,5 m m ( 0, 5) m 1,5 m Ashehoug www.lokus.no Side 7 v 54

1 m 0, 5 m + 0, 5 m 1 m (Vær os på t det her lir trukket fr og lgt til en redde på grunnmuren) Løsninger til oppgvene i ok Så finner vi relet ved å dele ruksrelet i to deler, en stor og en liten, som vi til slutt dderer. A stor 9,5 5,5 5, 5 A liten 1, 5 1 1, 5 Atotlt Astor + Aliten 5, 5 + 1,5 5,8 Bruksrelet er på 5.5 A π r 4,5,14 r 4,5,14 r,14,14 1,4 r 1,4 r 1, r 5,8 m. Dimeteren til 10-kronemynten er 1, m, 4 m. 5.6 d e Vi ruker formelen for relet v en treknt. g h 6, 1, 5 A 4,65 4,7 Arelet v treknten er 4,7 m. Vi ruker formelen for relet v en sirkel. A π r π 1 185 Arelet v sirkelen er 185 m. Vi ruker formelen for relet v et rektngel. Vi må ruke smme enhet på lle lengdene, og velger å gjøre om lengden v rektnglet til desimeter, l 40 m 4 dm. A l 4 8 Arelet v rektnglet er 8 dm. Figuren er en kvrtsirkel med rdius 4 m. 1 1 A π r π 4 1 4 4 Arelet v kvrtsirkelen er 1 m. Vi ruker formelen for relet v et trpes. ( + ) h ( + 5) A 8 Arelet v trpeset er 8 dm. Ashehoug www.lokus.no Side 8 v 54

Løsninger til oppgvene i ok f Vi gjør om lle sidene til dm: 80 m (80 :10) dm 8 dm 1,8 m (1,8 10) dm 18 dm Vi ruker formelen for relet v et trpes. ( + ) h ( + 8) 18 A 90 Arelet v trpeset er 90 dm. 5.7 A s 1 1 Arelet v kvdrtet er 1 m. A π r π 1,14 Arelet v sirkelen er,14 m. Rdien i sirkelen er 1 1 m 0,5 m. A π r π Arelet v sirkelen er 0,5 0, 79 0,79 m. 5.8 De to hlvsirklene hr rdius 1 100 m 50 m. A rektngel 110 100 11 000 1 1 Ahlvsirkel π r π 50 97 A A + A 11 000 + 97 18 854 ren rektngel hlvsirkel 18 854 m (18 854 :1000) mål 18,854 mål Arelet v idrettsrenen er. 18,9 mål. 5.9 Rdien i CD-plt er 1 1 m 6 m. A 11 m (11:10 000) m 0,011 m 0,011 m π r π 6 11 Arelet v CD-plt er 0,011 m. 5.0 Grunnlinj i treknten er 15 mm 1,5 m, g h 1, 5, A 1, 65 1, 7 Arelet v treknten er 1, 7 m. og høyden er, m. Ashehoug www.lokus.no Side 9 v 54

Løsninger til oppgvene i ok Grunnlinj i treknten er 0,5 m, og høyden er 40 m 0,4 m. g h 0,5 0, 4 A 0,1 Arelet v treknten er 0,1 m. 5.1 Vi deler opp gulvet i et trpes og et rektngel. Den øverste siden i trpeset er 4,5 m, og høyden er,0 m. ( + ) h (5,5 + 4,5),0 Atrpes 10 Arektngel l,5, 0 5 Agulv Atrpes + Arektngel 10 + 5 15 Arelet v gulvet er 15 m. 5. Vi gjør først et overslg over relet v hele sirkelen, v den hvite treknten og deretter v det grå området: A sirkel π r π grått område sirkel treknt 4,9 75 g h (4,9 + 4,9) 4,9 Atreknt 4 A A A 75 4 51 5. Skisse: For å finne relet v pppstykket regner vi ut relet v hele rektnglet og sutrherer relet v hjørnene som er klippet ort: A rektngel A hjørne 5,0 0,0 500,0 5,0 5,0 5,0 pppstykket rektngel hjørne ( ) A A 4 A 500,0 4 5,0 500,0 100,0 400,0 Arelet v pppstykket Frid står igjen med, er 400,0 m. Ashehoug www.lokus.no Side 10 v 54

5.4 Vi setter redden v rektnglet lik x meter og ruker pytgorssetningen. 5,1,1 + x 6,01 4,41+ x 6,01 4,41 x 1, 6 x 1, 6 x 4,65 x Bredden v rektnglet er 4,65 m, og høyden er,1 m. A 4,65,1 9,8 Arelet v rektnglet er 9,8 m. Løsninger til oppgvene i ok Figuren estår v to hlvsirkler med rdius 0,5 m og to hlvsirkler med rdius 1 m. I midten er det et rektngel med sider 1 m og m. Arelet v hlvsirklene er 1 1 Alite π r π 0,5 0,9 1 1 Astort π r π 1 1, 57 Arelet v rektnglet er Arektngel l 1 A A + A + A 0,9+ 1,57+ 5,9 figur lite stort rektngel Arelet v figuren er 5,9 m. Figuren er en kvrtsirkel der lengden v sirkeluen er 4 m. Vi finner rdien i sirkelen. 1 1 Omkretsen v en kvrtsirkel er O 4 π r π r. Det gir likningen 1 π r 4 m. 1 π r 4 1 πr 4 π π 8 r π r,55 Rdien i sirkelen er,55 m. 1 1 A π r π,55 5,1 4 4 Arelet v figuren er 5,1 m. Ashehoug www.lokus.no Side 11 v 54

Løsninger til oppgvene i ok 5.5 Trekntene hr smme grunnlinje g, som er lik redden v rektnglene. Trekntene hr også smme høyde h, som er lik høyden v rektnglene. g h Arelet v en treknt er gitt ved formelen A. De tre trekntene hr ltså like store rel. 5.6 Vi setter siden i kvdrtet lik x. Arelet v kvdrtet er d A x 1 x 1 m. x 1 x 1 Sidene i kvdrtet er 1 m. Vi finner digonlene fr pytgorssetningen. h 1 + 1 h h h 1, 41 Lengden v digonlene er 1,41 m. Vi setter den ukjente siden lik x meter. Digonlen er hypotenus i en rettvinklet treknt. Vi ruker derfor pytgorssetningen. 1 x + x 1 x 1 x 0,5 x 0,5 x 0,707 x Sidene i kvdrtet er 0,707 m. A x 0, 707 0,5 Arelet v kvdrtet er 0,5 m. Ashehoug www.lokus.no Side 1 v 54

5.7 Siden treknten er likesidet, deler høyden grunnlinj i to like store deler. Vi setter høyden i treknten lik h og ruker pytgorssetningen. 1 h + 0,5 1 h + 0, 5 1 0, 5 h 0,75 h 0,75 h 0,866 h Høyden i treknten er 0,866 m. g h 1 0,866 A 0, 4 Arelet v treknten er 0,4 m. 5.8 Vi teller ntllet hvite «ruter» i flgget. I hvert v de to «korte» hjørnene er det 6 + 1+ 6 1 hvite ruter. I hvert v de «lnge» hjørnene er det 6 + 1+ 1 19 hvite ruter. Til smmen er det ltså 1+ 19 64 hvite ruter i flgget. Hele flgget hr redde 6 + 1+ + 1+ 1 og høyde 6+ 1+ + 1+ 6 16. Arelet v hele flgget er dermed 16 5 ruter. Hvite ruter 64 0,18 18, % Totlt ntll ruter 5 18, % v flgget er hvitt. 5.9 Løsninger til oppgvene i ok Det frgede området er et kvdrt med sider 8,0 m der det i hvert hjørne er fjernet en kvrtsirkel med rdius 4,0 m. Akvdrt s 8, 0 64 1 1 Akvrtsirkel π r π 4, 0 1,57 4 4 Afigur Akvdrt 4 Akvrtsirkel 64 4 1,57 14 Arelet v figuren er 14 m. Det frgede området er en hlvsirkel med rdius 4,0 m der det er fjernet en treknt med grunnlinje 8,0 m og høyde 4,0 m. 1 1 Ahlvsirkel π r π 4, 0 5,1 g h 8,0 4,0 Atreknt 16 Afigur Ahlvsirkel Atreknt 5,1 16 9,1 Arelet v figuren er 9,1 m. Ashehoug www.lokus.no Side 1 v 54

Løsninger til oppgvene i ok Det frgede området er et rektngel med sidene 8,0 m og 4,0 m der det er fjernet to hlvsirkler som til smmen dnner en sirkel med dimeter 4,0 m og rdius,0 m. A g h 8,0 4,0,0 rektngel A sirkel π r π figur rektngel sirkel,0 1,6 A A A,0 1,6 19, 4 Arelet v figuren er 19 m. 5.40 Vi setter siden i kvdrtet lik s. Arelet v kvdrtet er A s 50 s 50 m. s 50 s 7,07 Siden i kvdrtet er 7,07 m. Omkretsen v kvdrtet er d 4 7,07 m 8 m. Vi setter rdien i sirkelen lik r. Arelet v sirkelen er A π r 50 πr π r 50 π 15,9 π r 50 m. r 15,9 r,99 Rdien i sirkelen er,99 m. Omkretsen v sirkelen er d π r π,99 m 5 m. Vi setter rdien i hlvsirkelen lik r. Arelet v hlvsirkelen er 1 π r π r π r 50 100 π 1,84 r 1,84 r 5,6 Rdien i sirkelen er 5,6 m. Omkretsen v hlvsirkelen lir d O d ( ) A 1 π r 50 m. π r + π 5,6 m+ 5,6 m 9 m. Ashehoug www.lokus.no Side 14 v 54

Løsninger til oppgvene i ok 5.41 Hele rektnglet hr relet: Arektngel g h 5,0 m 5,0 m 875,0 m 875 m Vi finner hvor stort rel de fire kvrtsirklene skl dekke: A kvrtsirkler 47,5 m Vi finner rdien til kvrtsirklene. 47,5 π r 47,5 π r π π 19, 6 r r r 11, 8 19, 6 Rdien til kvrtsirklene er 11, 8 m. Vi tegner reidstegning med mål: 5.4 Vi finner først relet v den hvite treknten. A treknt g h,0,0, 0 Deretter ruker vi pytgorssetningen til å finne digonlen i treknten. x,0 +,0 x 1 x 1 x, 6 Rdien i sirkelen er dermed, 6 1, 8. Ashehoug www.lokus.no Side 15 v 54

Løsninger til oppgvene i ok Vi finner så relet v sirkelen og v det grå området. Asirkel π r π 1,8 10, A A A 10, 7, området sirkel treknt Arelet v det grå området er 7, m. 5.4 Et uttrykk for relet v hele figuren finner vi ved å finne relet v det store rektnglet (rektngel 1) og sutrhere med relet v det lille rektnglet som er kuttet vekk i det ene hjørnet (rektngel ): A A A figur rektngel1 rektngel ( ) 1, 5x x x 1, 5x x 4,5x 0,5x 4x A figur 4x 4 0 1600 Arelet v figuren er ( ) 1600 m 1600 :100 dm 16 dm. Vi regner ut x når A figur 50 : 4x 50 4x 50 4 4 x 1,5 x 1,5 x,5 Når relet er 50 m, er x,5 m. 5.44 Vi skl gå ett hkk mot venstre og deler derfor med 10. 40 dl (40 :10) L 4 L Vi skl gå to hkk mot venstre og deler derfor med 10 10 100. 00 L (00 :100) L L Ashehoug www.lokus.no Side 16 v 54

Løsninger til oppgvene i ok d Vi skl gå ett hkk mot venstre og deler derfor med 10.,5 dl (,5:10) L 0,5 L 5.45 Vi skl gå tre hkk mot venstre og deler derfor med 10 10 10 1000. 500 ml (500 :1000) L,5 L Vi skl gå ett hkk mot høyre og gnger derfor med 10.,5 L,5 10 dl 5 dl Vi skl gå to hkk mot venstre og deler derfor med 10 10 100. 400 ml (400 :100) dl 4 dl Vi skl gå ett hkk mot høyre og gnger derfor med 10. 0,5 L 0,5 10 dl 5 dl d Vi skl gå to hkk mot venstre og deler derfor med 10 10 100. 650 ml (650 :100) dl 6,5 dl 5.46 Medisinflsk inneholder dl. Vi gjør om dette til milliliter. Vi skl gå to hkk mot høyre og gnger derfor med 10 10 100. dl 100 ml 00 ml Hver dg ruker Sveinung 5 5 ml 5 ml medisin. 00 8 5 Medisinflsk rekker til 8 dger. 5.47 Gjestene skl til smmen h 5 dl 50 dl rus. Vi gjør om til liter. Vi skl gå ett hkk mot venstre og deler derfor med 10. 50 dl (50 :10) L 5 L Lise og Jens må kjøpe inn minst 5 L rus. Hver flske inneholder 1,5 L. 5, 1, 5 Lise og Jens må kjøpe inn minst 4 flsker med rus. Ashehoug www.lokus.no Side 17 v 54

Løsninger til oppgvene i ok Gjestene skl h 5 L rus. De 4 flskene inneholder til smmen 4 1, 5 L 6 L. 6 L 5 L 1 L Det lir 1 L rus til overs. 5.48 Vi skl gå ett hkk mot høyre og gnger derfor med 1000.,5 m,5 1000 dm 500 dm Vi skl gå ett hkk mot venstre og deler derfor med 1000. 4000 m (4000 :1000) dm 4 dm Vi skl gå ett hkk mot høyre og gnger derfor med 1000. 0,6 m 0,6 1000 dm 600 dm d 5.49 Vi skl gå ett hkk mot venstre og deler derfor med 1000. 1 000 m (1 000 :1000) dm 1 dm Vi skl gå ett hkk mot høyre og gnger derfor med 1000. 5 dm 5 1000 m 5 000 m Vi skl gå to hkk mot høyre og gnger derfor med 1000 1000 1000 000. 0,085 m 0,085 1000 000 m 85 000 m Vi skl gå ett hkk mot venstre og deler derfor med 1000. 000 mm (000 :1000) m m Ashehoug www.lokus.no Side 18 v 54

Løsninger til oppgvene i ok d Vi skl gå ett hkk mot høyre og gnger derfor med 1000.,5 dm,5 1000 m 50 m 5.50 dm er det smme som liter. 0,5 dm 0,5 L Vi skl gå ett hkk mot venstre og deler derfor med 1000. 500 m (500 :1000) dm 0,5 dm 0,5 L d Vi skl gå ett hkk mot høyre og gnger derfor med 1000. 0,050 m 0,050 1000 dm 50 dm 50 L Vi skl gå ett hkk mot venstre og deler derfor med 1000. 7500 m (7500 :1000) dm 7,5 dm 7,5 L 5.51 Vi skl gå ett hkk mot høyre og gnger derfor med 1000.,5 dm,5 1000 m 500 m 500 ml m er det smme som ml. 75 m 75 ml d Vi skl gå ett hkk mot venstre og deler derfor med 1000. 500 mm (500 :1000) m 0,5 m 0,5 ml Vi skl gå to hkk mot høyre og gnger derfor med 1000 1000 1000 000. 0,00 m 0,00 1 000 000 m 000 m 000 ml Ashehoug www.lokus.no Side 19 v 54

Løsninger til oppgvene i ok 5.5 msse Mssetetthet volum ρ m 4,8 0,60 V 8,0 5.5 Tettheten v grnkuen er 0,60 kg/dm. Grnkuen hr lvere tetthet enn vnn. Den vil derfor flyte. m ρ V m,6 9,6 m 9,6,6 9,6 9,6 4,96 m Hver helle hr en msse på 5 kg. 5.54 dl 10 L 0 L Altså er dl < 40 L. 0,6 L 0,6 10 ml 6 ml Altså er 0,6 L < 8 ml. L 1000 ml 000 ml Altså er L 000 ml. d 90 dl 90 100 ml 9000 ml Altså er 90 dl > 8000 ml. 5.55 Vi gjør om lle volumene til liter.,6 dl (,6 :10) L 0,6 L 1 dm 1 L 00 ml (00 :1000) L 0, L 75 L (75:100) L 0,75 L Sortert etter stigende rekkefølge får vi,6 dl 00 ml 0,4 L 75 L 1 dm Ashehoug www.lokus.no Side 0 v 54

5.56 5.57 Vi gjør om 1 liter til desiliter. 1 L 1 10 dl 10 dl 10 6,7 1, 5 Vi får 6 fulle glss v 1 liter melk (og litt melk til overs). Vi gjør om kuikkmeter til kuikkdesimeter som vi vet er det smme som liter. Vi skl gå ett hkk mot høyre og gnger derfor med 1000. 1 m (1 1000) dm 1000 dm 1000 L 1000 667 1, 5 Vi må minst kjøpe 667 krtonger melk for å få en kuikkmeter melk. Vi gjør om lle volumene til liter og legger smmen. 6 dl (6 :10) L 0,6 L 400 ml (400 :1000) L 0, 4 L 1, L + 6 dl + 400 ml 1, L + 0,6 L + 0, 4 L, L Et voksent menneske skiller ut til smmen, L vnn hvert døgn. Løsninger til oppgvene i ok 5.58 På fem minutter drypper det dl. Hvert minutt drypper det derfor ( : 5) dl 0, 4 dl. På én time lir dette 60 0, 4 dl 4 dl (4 :10) L,4 L. 4, 4 L 57,6 L På ett døgn drypper det. 58 L fr krn. 5.59 d 5 m 5 ml 00 dm (00 :1000) m 0, m Altså er dm L 00 dm < m. 00 L 00 dm (00 :1000) m 0, m Altså er 00 L < 1 m. Ashehoug www.lokus.no Side 1 v 54

Løsninger til oppgvene i ok 5.60 Vi gjør om lle volumene til liter. 5, dl (5, :10) L 0,5 L 0,1 m (0,1 1000) dm 100 dm 100 L 40 ml (40 :1000) L 0, 4 L 4 L (4 :100) L 0,4 L 50 m (50 :1000) dm 0,5 dm 0,5 L Sortert etter stigende rekkefølge får vi 4 L 50 m 40 ml 5, dl 0,7 L 0,1 m 5.61 L 10 dl 0 dl dl + L dl + 0 dl dl 1, 1, 5 Sft rekker til 1 hele glss. 5.6 Vi legger smmen de tre volumene,5 liter, dl og Vi gjør om til liter. dl ( :10) L 0, L 1, 8 dm 1, 8 L Summen lir dermed 1, 8 dm.,5 liter + dl + 1,8 dm,5 L + 0, L + 1,8 L 5,5 L. 5.6 1 m 1 1000 dm 1000 dm 1000 L Det renner ut 1 L vnn på ett minutt. Altså renner det ut 1000 L på 1000 minutter. 1000 minutter er det smme som 1000 16,67 60 timer. 16 timer er det smme som 16 60 960 minutter. 1000 960 40 1000 minutter er ltså det smme som 16 timer og 40 minutter. Det renner ut 1 m vnn fr krn på 16 timer og 40 minutter. 5.64, 64 US gllons 10 L, 64 10 US gllons L,64,64 1 US gllon,8 L 1,5 US gllon 1,5,8 L5,7 L Ashehoug www.lokus.no Side v 54

Løsninger til oppgvene i ok 5.65 Vi gjør om lle lengdene til desimeter. 1, m 1 dm 60 m 6,0 dm V lh 1 6,0 8,0 576 Volumet v prismet er 576 dm. 576 dm 576 L Volumet v prismet er 576 L. 5.66 V lh 55 40 50 600 50 600 m (50 600 :1000) dm 50,6 dm 51 dm Volumet v håndgsjen er 5.67 51 dm. V lh 0 5 18 9000 9000 m (9000 :1000) dm 9,0 dm 5.68 Volumet v kjølegen er 9,0 dm 9,0 L Kjølegen rommer 9,0 L. 9,0 dm. Grunnflten i prismet er en rettvinklet treknt med grunnlinje 10 m og høyde 7 m. 10 7 Arelet v grunnflten er dermed G m 5 m. Volumet v prismet er V G h 5 5 m 175 m. Ashehoug www.lokus.no Side v 54

Løsninger til oppgvene i ok 5.69 Topp og unn: 8,0 5,0 80 + Forn og k: 8,0 10 160 + To sideflter: 5,0 10 100 Sum 40 40 m (40 :100) dm,4 dm Overflten v esken er, 4 dm. 5.70 Topp og unn: 9,5 6,5 1,5 + Forn og k: 9,5 6,5 1,5 + To sideflter: 6,5 6,5 84,5 Sum 1,5 1,5 m (1,5:100) dm,15 dm, dm Overflten v osten er, dm. 5.71 Grunnflten er en rettvinklet treknt. Vi ruker derfor pytgorssetningen. x x 7,0 + 10 149 x 149 x 1, Lengden v den ukjente siden er 1 m. Ashehoug www.lokus.no Side 4 v 54

Løsninger til oppgvene i ok 10 7,0 Topp og unn: 70 + Forn: 1, 5,0 61 + Sideflte 1: 7,0 5,0 5 + Sideflte : 10 5, 0 50 Sum 16 Overflten v prismet er 16 m. 5.7 V lh 4,0,5,5 5 Volumet v rommet er 5 m. 5.7 Volumet v en kue med sider x : V x x x x,0 8,0 Volumet v kuen er 5.74 8,0 m. Topp og unn: 1,0 0,80 1,9 + Forn og k: 1,0 0,60 1,44 + To sideflter: 0,80 0, 60 0,96 Sum 4, Overflten v kss er 4, m. Ashehoug www.lokus.no Side 5 v 54

5.75 Volumet v hele kss: V lh 1, 0,50 0,80 m 0, 48 m Volumet v snden: Hver sekk hr et volum på 15 L. 40 16 15 Lrs kn selge 16 sekker med snd. 5.76 0, 48 m 0,4 m 0,4 1000 dm 40 dm 40 L Grunnflten i prismet er en rettvinklet treknt med grunnlinje 0 m og 0 15 høyde 15 m. Arelet v grunnflten er dermed G m 150 m. V G h 150 40 6000 6000 m (6000 :1000) dm 6,0 dm Volumet v prismet er 6,0 dm. Vi finner lengden v den ukjente siden fr pytgorssetningen. x 0 + 15 x 65 x 65 x 5 Lengden v den ukjente siden er 5 m. Vi finner overflten: 0 15 Topp og unn: 00 + Forn: 5 40 1000 + Sideflte 1: 15 40 600 + Sideflte : 0 40 800 Sum 700 700 m (700 :100) dm 7 dm Overflten v prismet er 5.77 7 dm. Lkklget dnner et firkntet prisme med lengde 5,6 m, redde 4,4 m og høyde 0,05 mm (0,05:1000) m 0,000 05 m. V lh 5,6 4,4 0,000 05 0,001 0,001 m 0,001 1000 dm 1, dm 1, L 1, L Vi trenger 1, L lkk. Løsninger til oppgvene i ok Ashehoug www.lokus.no Side 6 v 54

Løsninger til oppgvene i ok 5.78 Den minste kk hr et volum på: Vminst lh 0 10 8 400 Kke per person: 400 4 7 Den største kk hr et volum på: Vminst lh 50 40 5 16 000 Kke per person: 16 000 640 5 Det er eregnet mest kke per person for den største kk. 5.79 Regnvnnet som renner ned fr tket, kn ses på som et prisme der grunnflten er relet til tket, mens høyden er ntll mm det skl regne. Vi gjør om 8,0 mm til m og eregner volumet v regnvnnet. 8,0 mm (8,0 :1000) m 0,008 m V regn 0,008 m 75 m 0,6 m Vi gjør om 14,0 m til m og finner volumet v det gmle vnnet i eholderen. 14,0 m (14,0 :100) m 0,14 m V gmmelt vnn i eholder 1 m 1 m 0,14 m 0,14 m Volumet v totlt vnn i eholderen: Vtotlt vnn i eholder Vgmmelt vnn i eholder + Vregn 0,14 m + 0,6 m 0,74 m V totlt vnn i eholder 0,74 1 1 x 0,74 x lh Vnnet står 0,74 m (0,74 100) m 74 m høyt i eholderen lørdg kveld dersom værmeldingen slår til. 5.80 Vi gjør om 90,0 m til m og finner volumet v lt vnnet i eholderen søndg. 90,0 m (90,0 :100) m 0,9 m V totlt vnn i eholder 1 m 1 m 0,9 m 0,9 m Vi gjør om 5,0 m til m og finner volumet v det gmle vnnet i eholderen. 5,0 m (5,0 :100) m 0,05 m V gmmelt vnn i eholder 1 m 1 m 0,05 m 0,05 m Vi finner så volumet v det nye regnvnnet: V V V regn totlt vnn i eholder gmmelt vnn i eholder 0,9 m 0,05 m 0,85 m Ashehoug www.lokus.no Side 7 v 54

Løsninger til oppgvene i ok Regnvnnet som renner ned fr tket, kn ses på som et prisme der grunnflten er relet til tket, mens høyden er ntll mm det skl regne. Vi finner høyden v prismet. V regn G h 0,85 75 x 0,011 x Det hr regnet 0,011 m (0,011 1000) mm 11 mm gjennom helgen. 5.81 Muren er et prisme der grunnflten er trpeset som er vist på figuren. Trpeset hr sider 00 mm og (00 + 50) mm 550 mm og høyde 800 mm. Arelet er ( + ) h (00 + 550) 800 A 00 000 00 000 mm (00 000 :1 000 000) m 0,0 m Muren hr grunnflte G 0,0 m og «høyde» h 0 m. V G h 0,0 0 6,0 Det vil gå med 5.8 6,0 m etong for å lge muren. Vi egynner med å finne relet v endefltene. Siden treknten er likesidet, deler høyden grunnlinj i to like store deler. Vi setter høyden i treknten lik h og ruker pytgorssetningen. 4,0 h +,0 16 h + 4 16 4 h 1 h 1 h,464 h 4,0, 464 Høyden i treknten er,464 m. Arelet er dermed m 6,98 m. Sjokolden er et prisme med grunnflte 6,98 m og høyde 8,0 m. V 6,98 8,0 55 Volumet v sjokolden er 55 m. Hver v de to endefltene hr rel 6,98 m. Arelet v hver v de tre like store sidefltene er 6,98 + 109,856 110 Det går med 110 m ppp til innpkningen v sjokolden. 8,0 4,0 m m. Ashehoug www.lokus.no Side 8 v 54

Løsninger til oppgvene i ok 5.8 Volumet v en kue med sider x : 7 x 7 x 7 x x Sidene i kuen er, 0 m. 5.84 Tenk t lengden v grunnflten er x m. D er redden v grunnflten x. x Høyden v prismet er x. Volumet v prismet er dermed V x x x. Volumet skl være 48 L 48 000 m. Det gir likningen 48 000 x. x 48 000 48 000 x x 000 x x 000 Lengden v grunnflten er m. 5.85 d, 4 m r 1, m Rdien i grunnflten er 1, m. 5.86 V π rh π 1,, 0 14 14 m 14 1000 dm 14 000 dm 14 000 L Volumet v vnntnken er Rdien i oksene er 14 m, ltså. 14 000 L. d 1 m r 6,0 m. Volumet v den store oksen: V π rh π 6, 0 5 87 Volumet v den lille oksen: V π rh π 6, 0 15 1696 87 m 1696 m 111 m (111:1000) dm 1,11 dm 1,1 dm Forskjellen i volumet v de to oksene er 1,1 dm. Ashehoug www.lokus.no Side 9 v 54

Løsninger til oppgvene i ok 5.87 Vi regner ut volumet v 5-kronemynten: d 6,0 mm r uten hull 1, 0 mm d 4,4 mm r hull, mm V V V mynten uten hull hull ( πr ) ( πr ) uten hull hull π π ( 1,0,0) (,,0) 1061,9 0, 4 107,5 Volumet v 5-kronemynten er 107,5 mm. 1 m (1 1000 000 000) mm 1 000 000 000 mm 1000 000 000 970 000 107,5 Mn kn produsere. 970 000 5-kronemynter v 1 m legering. 5.88 A r rh π + π π + π (,0 ) (,0,0) 56,5 + 7, 7 94 Overflten v sylinderen er 94 dm. Vi gjør om dimeteren til m: 5,0 dm (5,0 :10) m 0,5 m d 0,5 dm r 0, 5 dm A π r + πrh ( 0, 5 ) ( 0, 5, 4) π + π 0,9 +, 77 4, Overflten v sylinderen er 4, m. A r rh π + π π + π ( 1, 0 ) ( 1, 0 1, 0) π+ π 1 Overflten v sylinderen er 1 m. Ashehoug www.lokus.no Side 0 v 54

5.89 d 0 m r 10 m V π rh π 10 6, 0 1885 1885 m (1885:1000) dm 1,885 dm 1,9 dm Volumet v kkeformen er A π r + π rh π + π ( 10,0 ) ( 10,0 6,0) 14, + 77 691, 1, 9 dm. 691, m (691, :100) dm 6,9 dm Overflten v sylinderen er 6,9 dm. Løsninger til oppgvene i ok Kkeformen hr en liten tykkelse som gjør t den utvendige overflten lir litt større enn den indre overflten. 5.90 Dimeter: d 800 mm (800 :100) dm 8 dm d 8 dm Rdius: r 4 dm Høyde: h 1000 mm (1000 :100) dm 10 dm O π r + π rh π + π Overflten v vnntønn er 5 dm. 4 4 10 5 Volumet v hele tønn: V 50,7 dm 51 dm 51 L π rhπ 4 10 50, 7 Tønn inneholder 51 L vnn når den er hlvfull. d Volumet v kret er V lh 8 5 7 80. 80 dm 80 L Kret rommer 80 L, dermed vil vnnet i den hlvfulle tønn få plss i kret. 5.91 d 0 m r 10 m Vπ rhπ 10 5 1571 1571 m (1571:1000) dm 1,571 dm 1,571 L 1, 6 L Vnnknn inneholder 1,6 L vnn, ltså mindre enn L. Ashehoug www.lokus.no Side 1 v 54

Løsninger til oppgvene i ok 5.9 Høyden v sylinderen er 6, 0 m 1 m. V π rhπ 6, 0 1 157 1400 Volumet v sylinderen er. 1400 m. 1400 m (1400 :1000) dm 1,4 dm Volumet v sylinderen er π rh π 6, 0 1 45 5.9 Arelet v sylinderflten er 1, 4 dm. 45 m. Rdien i kruset er,0 m. Vπ rhπ, 0 10 8 80 Volumet v kruset er. 80 m. 80 m (80 :1000) dm 0,8 dm 0,8 dm 0,8 L 0,8 L 0,8 10 dl,8 dl 80 m,8 dl Kruset rommer,8 dl. 5.94 d 1, m r 0,60 m Rdien i søylen er 0,60 m. Bredden v sylinderflten er π r π 0, 60 m,8 m. Lengden v reklmeplkten er mindre enn redden v sylinderflten, og høyden v plkten er mindre enn høyden v søylen. Det er derfor plss til reklmeplkten på søylen. 5.95 d 50 m r 5 m Vπ rhπ 5 10 19 65 19 65 m (19 65 :1000) dm 19,65 dm 19,6 dm Volumet v lokket er 19,6 dm. m ρ V,0 19,65 9 Mssen v lokket er 9 kg. Ashehoug www.lokus.no Side v 54

Løsninger til oppgvene i ok 5.96 d 5 m Rdien i ssenget er r,5 m 5 dm. Dyden er 10 m 1 dm. Vπ rhπ 5 1 56 600 5.97 600 dm 600 L Bssenget rommer. 600 L. 56 95 80 95 95 minutter timer 4,9 timer 60 Det tr 4,9 timer å fylle ssenget. Volumet v sylinderen er V π rh 50 000 π 0 50 000 π 0 h π 0 π 0 40 h h Høyden i sylinderen er 40 m. 5.98 50 dm 50 1000 m 50 000 m. Metllplt kn formes til en sylinder med høyde 15 m eller høyde 0 m. 0 m I det første tilfellet er rdien 4,77 m og volumet π 4,77 15 m 107 m. π 15 m I det ndre tilfellet er rdien,9 m og volumet π,9 0 m 58 m. π Det er ltså sylinderen med høyde 15 m som vil få det største volumet. Ashehoug www.lokus.no Side v 54

5.99 Tenk t sylinderen hr rdius r m. Høyden v sylinderen er,0 m. Arelet v sylinderflten er gitt ved π rh. Dette relet skl være lik 10 m. Det gir likningen πr,0 10. πr, 0 10 πr, 0 10 π,0 π,0 r 0,80 Rdien i sylinderen er 0,80 m. Dimeteren v søylen er dermed 0,80 m 1,6 m. Løsninger til oppgvene i ok 5.100 Vnnet vi fyller på, dnner en sylinder med høyde 0 m π V rh 400 π r, 0 400 π r, 0 π,0 π,0 6,66 r,0 dm og volum 400 L 400 dm. 6,66 r 8,0 r Rdien i sylinderen er 8, 0 dm 0,80 m. Dimeteren i tnken er dermed 0,80 m 1,6 m. 5.101 Tenk t rdien er r dm. Høyden er d h r. Volumet v sylinderen er Det gir likningen πr r 9. πr r 9 π r 9 πr 9 π π r 5,95 r 5,95 r, 78 Rdien i sylinderen er, 78 dm 7,8 m. 5.10 Høyden i sylinderen er lik rdien. Altså er h r. Volumet v sylinderen er dermed Vπ rhπr rπ r. A π r + π rh π r + πr r π r + π r 4π r 9 L 9 dm. Ashehoug www.lokus.no Side 4 v 54

Løsninger til oppgvene i ok Volumet er 0, 0 m. Det gir likningen π r πr π r 0, 0 0, 0 π 0, 0666 r 0, 0666 π r 0, 0. r 0,99 Rdien er 0,99 m,99 mm. Dimeteren er dermed,99 mm 8, 0 mm. 5.10 d 10 m Rdien i tunnelen er r 5,0 m. 1 «Grunnflten» i tunnelen er en hlvsirkel med rel G π r. «Høyden» i den hlve sylinderen er 80 m. Volumet v tunnelen er dermed 1 1 V G h π rh π 5, 0 80 14 100 Volumet v tunnelen er. 100 m. 5.104 Vi regner først ut relet v grunnflten. G l 0,80 0,60 0, 48 Arelet v grunnflten er 0, 48 m. G h 0, 48 1, 5 V 0, 4 Volumet v pyrmiden er 0, 4 m. 5.105 Arelet v grunnflten er G s 0 m 5 900 m. G h 5 900 147 V 59100 590 000 Volumet v Keopspyrmiden er. 590 000 m. 5.106 l 6,0 9,0 G 7 Arelet v grunnflten er G h 7 8,0 V 7 Volumet v pyrmiden er 7 m. 7 m. Ashehoug www.lokus.no Side 5 v 54

Løsninger til oppgvene i ok 5.107 Vi ruker pytgorssetningen. + Høyden i sideflten er 1 m. 0 6, 0 m 46 m 0,9 m 1 m G 144 m 1,44 dm 1,4 dm s 1 144 Arelet v grunnflten er 1, 4 dm. 1 0,9 Arelet v fire sideflter: 4 m 501,6 m 144 m + 501,6 m 645,6 m 6,456 dm 6,5 dm Overflten v pyrmiden er 6,5 dm. 5.108 g h 40 0 A 400 400 m 4,0 dm Arelet v grunnflten er G h 400 0 V 4000 4000 m 4,0 dm Volumet v pyrmiden er 4,0 dm. 4,0 dm. 5.109 Arelet v grunnflten er G h 1 5,0 V 0 Volumet v pyrmiden er G,0 6,0 m 1 m. 0 m. 0 m (0 1000) dm 0000 dm 0 000 L d 1 Den ukjente kteten i treknten hlverer redden i grunnflten til pyrmiden. Den ukjente,0 m kteten er derfor k 1, 0 m. Vi ruker pytgorssetningen til å regne ut hypotenusen: h h h 5,0 + 1,0 5,0+ 1,0 6,0 h h 5,1 6,0 Hypotenusen er 5,1 m. Ashehoug www.lokus.no Side 6 v 54

Løsninger til oppgvene i ok e f Den største trekntede sideflten i pyrmiden hr grunnlinje 6,0 m og høyde 5,1 m (hypotenusen til den mrkerte treknten). g h 6,0 5,1 A 15, Den største trekntede sideflten i pyrmiden hr rel 15 m. Høyden i den ene sideflten er oppgitt. Vi ruker pytgorssetningen for å regne ut høyden i den ndre sideflten. 5,0 + 1,0 m 6 m 5,1 m Arelet v grunnflten:,0 6,0 1,0 + Arelet v to sideflter:,0 5,8 11,6 + Arelet v to sideflter: 6,0 5,1 0,6 Overflten v pyrmiden 54, Overflten v pyrmiden er 54 m. 5.110 Arelet v grunnflten er G G h 400 0 V 4000 4000 m 4,0 dm Volumet v pyrmiden er s 0 m 400 m. 4,0 dm. Vi ruker pytgorssetningen. x 0 + 10 m 1000 m 1, 6 m m Høyden v sidefltene er m. Ashehoug www.lokus.no Side 7 v 54

Løsninger til oppgvene i ok Målestokken 1 : 5 etyr t 1 m på tegningen tilsvrer 5 m i virkeligheten. Pyrmiden er ltså forminsket på tegningen. d Arelet v grunnflten: 0 400 0 1,6 + Arelet v fire sideflter: 4 164 Overflten v pyrmiden 1664 1664 m 16,64 dm 17 dm Overflten v pyrmiden er 17 dm. Ashehoug www.lokus.no Side 8 v 54

Løsninger til oppgvene i ok 5.111 Vi ruker pytgorssetningen for å regne ut høyden i sidefltene., 0 + 4 m 5 m 5 m, 0 + 6 m 45 m 6, 71 m 1 5 Arelet v to sideflter: 60,0 8 6,71 + Arelet v to sideflter: 5,7 Overflten v tket 11,7 Overflten v tket er. 110 m. 5.11 Mssetettheten til v gullet er 19 g/m. Vi kn finne volumet v 100 g gullklumpen: 5, m 19, g/m. G h Volumet v en pyrmide er V. Formen vi skl lge, kn for eksempel være en rett pyrmide med en kvdrtisk grunnflte, der høyden, redden og lengden i grunnflten er like lnge. x x x x V x 5, x 5, 15,6 x 15,6 x,5 x Høyden, redden og lengden i pyrmiden er,5 m. 5.11 πrh π,0,0 V 1 Volumet v kjegl er 1 m. Ashehoug www.lokus.no Side 9 v 54

Løsninger til oppgvene i ok d 40 m r 0,0 m,0 dm 0, 5 m,5 dm πrh π,5 V 10 Volumet v kjegl er 10 dm. 5.114 d 7,0 m r,5 m πrh π,5 1, 0 V 167 170 170 m 0,17 dm 0,17 L Kjeksen rommer. 5.115 A r rs π +π π +π 170 m is, som er det smme som 0,17 L. 5,0 5,0 1 8 8 m,8 dm,8 dm Overflten v kjegl er,8 dm. 5.116 Vi ruker pytgorssetningen. s + Lengden v sideknten er 19,7 m. A r rs 18,0 8,0 m 88 m 19,7 m π +π π +π 8,0 8,0 19,7 696 696 m 6,96 dm 7,0 dm Overflten v kjegl er 7,0 dm. 5.117 π π rh 1 0 V 454 454 m (454 :1000) dm 4,54 dm 4,5 dm Volumet v kjegl er 4,5 dm. πrh Volumet v kjegl er gitt ved Vkjegle. Volumet v sylinderen er gitt ved Volumet v sylinderen er ltså gnger så stort som volumet v kjegl. Vi må derfor helle vnn fr kjegl til sylinderen gnger for å fylle sylinderen. Vsylinder π rh. Ashehoug www.lokus.no Side 40 v 54

Løsninger til oppgvene i ok d Vi ruker pytgorssetningen. s r + h 1 + 0 m 1044 m, m m Sideknten i kjegl er m. A r rs π +π π +π 1 1, 1670 1670 m (1670 :100) dm 16,7 dm 17 dm Overflten v kjegl er 17 dm. 5.118 πrh π 5,0 8,0 V 09 09 m 0,09 dm 0,1 dm Volumet v kjegl er 0,1 dm 0,1 L Kjegl rommer 0,1 L. 0, 1 dm. 5.119 d 4,0 m r,0 m πrh π,0,0 V 8, 4 Volumet v grushugen er 8, 4 m. Gruslget skl h form som et rett prisme med lengde 10 m, redde,0 m og høyde,0 m 0,00 m. Volumet v gruslget lir d V l h 10,0 0,00 10,8 Fmilien Olsen trenger 10,8 m grus for å gruse veien. De hr ltså kjøpt inn for lite grus. 5.10 Buelengden i sideflten er 0 m. Dette er lik omkretsen v den sirkelformede grunnflten. Altså er π r 0 m. Rdien i kjegl er dermed r 0 m 4,77 m π Lengden v sideknten er 0 m. Vi finner dermed høyden i kjegl fr pytgorssetningen. h s r Høyden i kurven er 19 m. 0 4,77 m 77,5 m 19,4 m 19 m Ashehoug www.lokus.no Side 41 v 54

Løsninger til oppgvene i ok πrh π 4,77 19,4 V 46 46 m 0, 46 dm 0, 46 dm Volumet v kurven er 0,46 dm. 5.11 Vi ruker pytgorssetningen: x 1,50 + 1, 00 x, 5 x, 5 x 1, 80 Avstnden fr ssengknten og ned til unnen v ssenget er 1,80 m. πrh π 1,50 1, 00 V,6 Volumet v kjegl er,6 m. Vi ruker formlikhet til å finne rdien når vnnhøyden er 50 m (50 :100) m 0,50 m: 1, 50 x 1, 00 0,50 x 0,50 1,50 0,50 0,50 0,75 x d Volumet v vnnet når vnnhøyden er 50 m: πrh π 0, 75 0,50 V 0,0 Vi regner ut hvor mye vnn som fylles per min:,9 0,1 4 Det fylles 0,1 m per minutt. Vi regner så ut hvor lng tid det tr å fylle 0, m. x 0,1 0, x 0,1 0, 0,1 0,1 x Det vil t minutter til vnnhøyden er 50 m. C eskriver est hvordn vnnhøyden stiger fordi den viser t vnnhøyden stiger mindre (stigningstllet til grfen minker) etter som kjegl lir mer og mer fylt opp med vnn, det vil si etter som rdien i kjegl lir større. Ashehoug www.lokus.no Side 4 v 54

Løsninger til oppgvene i ok 5.1 4πr 4π 1, 0 V 4, Volumet v klinkekul er 4, m. A π π 4 r 4 1, 0 1 Overflten v klinkekul er 5.1 1 m. Rdien i tnken er 1, m. 4πr 4π 1, V 7, 7, m 7, 1000 dm 700 dm 700 L Volumet v tnken er 7, m. 7, m (7, 1000) dm 700 dm 700 L Tnken tr ltså. 700 L. 5.14 d 10 m r 5,0 m 4πr 4π 5,0 V 54 54 m 0,54 dm 0,5 dm Volumet v kul er 0,5 dm. 0,54 dm 0, 6 dm 0, 6 L,6 dl,6 dl Øs rommer,6 dl. 5.15 d 4 m r 1 m 4πr 4π 1 V 78 78 m 7,8 dm 7, dm Volumet v sketllen er A π π 4 r 4 1 1810 7, dm. 1810 m (1810 :100) dm 18 dm Overflten v klinkekul er 18 dm. Ashehoug www.lokus.no Side 4 v 54

Løsninger til oppgvene i ok Den minste sylinderformede esken som hr plss til sketllen, må h smme rdius som sketllen. Høyden v sylinderen er lik dimeteren v sketllen. Volumet er dermed Vπ rhπ 1 4 10 857 10 857 m 10,857 dm 11 dm Det minste volumet esken kn h, er 11 dm. 5.16 d 0 mm 10 mm indre r indre d 5 mm 1,5 mm 4πrindre 4π 10 4189 ytre r ytre V V indre ytre 4πrytre 4π 1,5 8181 V V V sjokolde ytre indre 8181 4189 99 Volumet v en sjokoldekule er Volumet v sjokoldekuler: 99 mm. 17 744 mm 0,177 dm 0,1 dm 99 mm 17 744 mm Det går med 0,1 dm sjokolde til å produsere en pose. d 19 mm 9,5 mm 4πrindre 4π 9,5 591 indre r indre V indre V V V sjokolde ytre indre 8181 591 4590 Volumet v sjokoldekuler: 146 880 mm 0,1468 dm 0,15 dm 4590 mm 146 880 mm 0,15 100 % 115 % 0,1 Det går med 15 % mer sjokolde hvis den indre dimeteren reduseres til 19 mm. Ashehoug www.lokus.no Side 44 v 54

Løsninger til oppgvene i ok 5.17 Volumet v kul skl være 100 L 100 dm. 4πr V 4πr 100 100 4πr 4π 4 π,87 r,87 r,9 r Rdien i vnntnken må minst være,9 dm 9 m. 5.18 Rdien i hlvkul er,5 m. 1 4πr πr π,5 V 90 Volumet v kokosollen er 90 m. Overflten v kokosollen estår v en sirkel og en hlvkule med rdius,5 m. 1 4,5 Aπ r + π r π r + π r π r π 115 115 m 1,15 dm 1, dm Overflten v kokosollen er 1, dm. 5.19 Beholderen hr rdius,0 m og «høyde» 5 6,0 m 0 m. V π rhπ, 0 0 848 848 m 0,848 dm 0,85 dm Volumet v eholderen er 0,85 dm. 4πr 4π, 0 m 11 m Volumet v én tennisll: V Volumet v fem tennisller: 5 11 m 565 m Volumet v tomrommet: 848 m 565 m 8 m 8 0, % 848 % v eholderens volum er tomrom. Det ville vært mer tomrom dersom eholderen vr et prisme. Ashehoug www.lokus.no Side 45 v 54

Løsninger til oppgvene i ok 5.10 Vi regner ut volumet delt på prisen for de to kulene. Dette forteller oss nemlig hvor mye mrsipn vi får for hver krone vi etler. Store kuler: d,0 m r 1, 0 m 4πr 4π 1, 0 V 4, Volum per krone: 4, m,1 m /kr kr Små kuler: d 1, 5 m r 0,75 m 4πr 4π 0, 75 V 1,8 Volum per krone: 1,8 m 1,8 m /kr 1 kr Vi får mest mrsipn for pengene ved å kjøpe store kuler. 5.11 d 1, 4 m r 0,70 m 70 m Rdien i sylinderen er 70 m. Vi ruker pytgorssetningen. 1, h + 0, 70 1,44 h + 0,49 1,44 0,49 h 0,95 h 0,95 h 0,9747 h h 0,9747 m 97,47 m 97 m Høyden v kjegl er 97 m. Volumet v sylinderen: π rhπ 0,70,,9 + Volumet v kjegl: πrh π 0, 70 0,9747 0,50 Volumet v tnken:,89 Volumet v tnken er,9 m. Ashehoug www.lokus.no Side 46 v 54

Løsninger til oppgvene i ok d Overflten v sylinderen: π rh π 0, 70, 9,7 + Overflten v kjegl: π rs π 0,7 1,,6 Overflten v tnken: 1, Overflten v tnken er 1 m. 5.1 d 5,0 m r,5 m Rdien til hlvkul og kjegl er,5 m. h 1, 0,5 10,5 Volumet v hlvkul: 1 4πr π,5 + Volumet v kjegl: πrh π,5 1 85 Volumet v isen: 118 Isen hr et volum på 118 m (118:1000) dm 0,10 dm. 5.1 Glsset er stt smmen v en sylinder og en kjegle, egge med rdius 5 mm. Volumet v sylinderen: π rhπ 5 50 19 4 + Volumet v kjegl: πrh π 5 0 5 656 Volumet v glsset: 18 079 18 079 mm (18 079 :1 000 000) dm 0, dm 0, L, dl Glsset rommer, dl. Ashehoug www.lokus.no Side 47 v 54

Løsninger til oppgvene i ok Ovenfor fnt vi volumet v kjegl: 5 656 mm (5 656 :1 000 000) dm 0,06 dm. Det er 0,11 dm igjen i glsset når vi hr drukket opp hlvprten, dermed er volumet v vnnet som er i sylinderen: 0,11 dm 0,06 dm 0,084 dm 84 000 mm. Vi finner høyden v vnnet i sylinderen: V π rh 84 000 5 π x 84 000 π 5 x π 5 π 5 1, 8 x Høyden v vnnet i glsset: 0 mm + 1,8 mm 41,8 mm. 50 mm + 0 mm - 41,8 mm 8, mm Det er 8 mm fr toppen v glsset og ned til vnnet når vi hr drukket hlvprten v vnnet i glsset. 5.14 d 0 m r 15 m Volumet v sylinderen: π rh π 15 0 14 17 + Volumet v kjegl: πrh π 15 0 4 71 Volumet v eholderen: 18 849 18 849 m (18 849 :1000) dm 19 dm 19 L Beholderen rommer 19 L vnn. Vi ruker pytgorssetningen og regner ut sideflten til kjegl. x 15 + 0 x 65 x 65 x 5 Overflte v sylinderen: π r +π rh π 15 + π 15 0 59 + Overflte v kjegl: π rs π 15 5 1178 Overflte v eholderen: 770 Overflten v tnken er 770 m (770 :100) dm 8 dm. Ol hr rukt opp vnn som tilsvrer en sylinder med høyde 40 m 1 m 9 m. Volumet v vnnet Ol hr rukt: π rh π 15 9 66 66 m (66 :1000) dm 6,4 dm 6,4 L Ol hr rukt 6,4 L vnn. Ashehoug www.lokus.no Side 48 v 54

Løsninger til oppgvene i ok d Volumet v vnnet som er igjen i tnken, er volumet v en kjegle med høyde 8 m. Vi ruker formlikhet for å finne rdien til denne kjegl: 15 x 0 8 15 8 x 8 0 8 6 x πrh π 6 8 Volumet v kjegl: 0 0 m (0 :1000) dm 0, dm 0, L Det er 0, L vnn igjen i eholderen. Kpitteltest Del 1 Uten hjelpemidler Oppgve 1 Vi skl gå to hkk mot høyre og gnger derfor med 10 000. 8,6 m 8,6 10 000 m 86 000 m Vi skl gå ett hkk mot venstre og deler derfor med 100. 85 mm (85 :100) m,85 m Vi skl gå ett hkk mot venstre og deler derfor med 10.,1 dl (,1:10) L 0,1 L d Vi skl gå ett hkk mot høyre og gnger derfor med 1000. 6 dm 6 1000 m 6 000 m Ashehoug www.lokus.no Side 49 v 54

Løsninger til oppgvene i ok e Vi skl gå ett hkk mot venstre og deler derfor med 1000. Deretter går vi et hkk mot høyre og gnger derfor med 10. 50 m (50 :1000) dm 0,5 dm 0,5 L (0,5 10) dl,5 dl f Vi skl gå ett hkk mot venstre og deler derfor med 1000. 0 m (0 :1000) dm 0, dm 0, L 0,6 dm 0,6 L 0, L + 0,6 L 0,85 L Oppgve Vi kn for eksempel nt t det er rette vinkler lngs den ene siden v vernden. Vi ruker dette til å finne høyden v trpeset. Arelet v et trpes hr formelen ( + ) A h (8 + 5) h 6 1 h 6 6 1 h 6 h 1 4 h Høyden v trpeset er 4 m. Vi tegner skisse v vernden med mål. Ashehoug www.lokus.no Side 50 v 54

Løsninger til oppgvene i ok Arelet v vernden er 6 m. Vi gjør om fr m til m: 10 m (10 :100) m 0,10 m V 6 0,1,6,6 m (, 6 1000) dm 600 dm 600 L Det ligger 600 liter snø på tket. 00 kg/m,6 m 50 kg Snøen veier 50 kg. Oppgve Vi vrunder rdien til m. 4πr 4,0 V Volumet v kul er omtrent A π 4r 4,0 48 Overflten v kul er omtrent Oppgve 4 m. Vvniljesus lh 10 6 15 900 V V serveringsskål serveringsskål V vniljesus 48 m. πrh 10 10 1000 1000 1 900 Siri får plss til omtrent 1 suspkning i serveringsskål. Ashehoug www.lokus.no Side 51 v 54

Løsninger til oppgvene i ok Del Med hjelpemidler Oppgve 5 Vi ser t figuren er stt smmen v en rettvinklet treknt og en kvrtsirkel. Treknten hr høyde 50 m 0,5 m og grunnlinje 0,75 m 0,5 m 0, 5 m. Kvrtsirkelen hr rdius 0,5 m. Vi finner hypotenusen h i treknten og lengden l v uen i kvrtsirkelen. h h 0, 5 + 0,5 0,15 h 0,15 h 0,559 m 1 l 4 π 0,5 m 0,785 m Arelet v figuren er 0, 5 0,5 1 m + π 0,5 m 0, 065 m + 0,196 m 0, 6 m 4 Oppgve 6 Vi finner rdien. d 1, 4 m r 0,7 m πrh π 0, 7 1,5 V 0,77 Volumet v vnntnken er 0,77 m. 0,77 m 0,77 1000 dm 770 dm 770 L Vnntnken rommer. 770 L. O π r +πrs Vi regner først ut sideknten s. s r + h s 0, 7 + 1,5 s,74 s 1, 66 O π r +πrs O π +π O 5, 0,7 0,7 1,7 Overflten v vnntnken er 5, m. Ashehoug www.lokus.no Side 5 v 54

Tenk deg t vnnet hr dyden h. Volumet v vnnet skl være 500 L 500 dm 0,5 m. rh π V V πrh πr πr V h π r Vi må finne r uttrykt ved h, slik t vi re hr én ukjent. Løsninger til oppgvene i ok Forholdet mellom rdius og høyde er konstnt. Når vnntnken er full, er r 0,7 og h 1, 5. Vi hr: r h r h r 0,7 1, 5 7 15 7 h 15 Vi setter dette inn i likningen ovenfor og får: V h 7 π h 15 V h 7 π h 15 V hh h h h h 7 π 15 V 7 π 15 0,5 7 π 15,19 h h 1,,19 h Vnndyden er 1, m. Ashehoug www.lokus.no Side 5 v 54

Oppgve 7 Den indre dimeteren v kummen er 1,45 m, og den ytre dimeteren er 1,60 m. 1, 60 m 1, 45 m 0,075 m 0,075 m 0,075 100 m 7,5 m Bunnen og veggen er 7,5 m tykk. Løsninger til oppgvene i ok Kummen estår v to deler: unnen som er en sylinder med høyde 7,5 m og dimeter 1,60 m, og veggen som er en hul sylinder med høyde 1,80 m, indre dimeter 1,45 m og ytre dimeter 1,60 m. Vi finner volumet v veggen ved å trekke det indre volumet fr det ytre volumet. 1, 60 m Ytre rdius i veggen: 0,80 m 1, 45 m Indre rdius i veggen: 0,75 m Volumet v unnen: π rhπ 0,80 0, 075 0,1508 + Ytre volum v veggen: π rhπ 0,80 1,80,6191 Indre volum v veggen: π rhπ 0, 75 1,80,97 Volumet v kummen: 0,7976 Det går med 0,798 m etong til å støpe kummen. Oppgve 8 Vi ruker pytgorssetningen på den store treknten for å finne x. l + 7 l + 9 49 l 49 9 l 40 l 40 l 6, m x l,5 m x 6, m,5 m,8 m Deretter regner vi ut relet v treknten. l h 6,, 0 A 9,5 Arelet v treknten er 9,5 m. Ashehoug www.lokus.no Side 54 v 54