1T kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka

T kpittel Alger Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve. 0 8 ( 0) + 0 + ( 0) 0 8 Oppgve. 7 ( ) + + ( ) 7 Oppgve. ( ) + Oppgve. 0 ( ) 0 ( 0) ( ) 0 ( 0) : ( ) 0 : ( ) Oppgve. ( ) ( ) ( ) (,) ( ) (,) 9 Oppgve. 8 ( ) ( ) ( ) Ashehoug www.lokus.no Sie v

Oppgve.7 ( ) ( ) ( ) 9 ( ) ( ) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) 7 ( ) ( ) 7 Oppgve.8 ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) 8 8 ( ) 8 8 ( ) ( ) ( ) Oppgve.9 9 7 00 0 0 000 00 Oppgve.0 ( ) ( ) ( ), er et tll mellom og 9, fori er et tll mellom og, fori ( ) I stigene rekkefølge får vi erme Oppgve. 8 8 ( ), 8 8 9 8 8 0 og 9 og 8 + ( ) 8 + ( ) 8 + ( ) 8 7 Oppgve. : : 9 7 9.. 9 0, 8 0, 0 0, ( ) () () () + Ashehoug www.lokus.no Sie v

Oppgve. 0 ( + ) 0 0 8 8 8 8 ( ) ( ) ( ) 9 Oppgve. Kine ener opp me tllet, og Mri ener opp me tllet 7. ( 7+ ) ( 7) ( 7 + ) ( 7) ( ) ( 7) ( ) + 7 Oppgve. 9 9 ( 9) + 9 ( 9) 7 e 9 : ( ) Oppgve.7 7 C ( 9 C) 7 C + 9 C 9 C Temperturforskjellen mellom smeltepunktet og kokepunktet for kvikksølv er 9 C. Oppgve.8 8 ( ) ( ) ( ) 9 er et tll mellom 8 og 9, fori ( ) ( ) ( ) ( ) 8 9 9 7 I stigene rekkefølge får vi erme 9 Oppgve.9 + + + 8 0 ( 8) ( ) 7 8 7 9 7 8 8 og ( ) ( ) ( ) 0 9 8. Ashehoug www.lokus.no Sie v

Oppgve.0 ( ) + ( ) ( ) + 9 + + 9 9 ( ) ( ) ( 8) ( ) + 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + Oppgve. 0 00 0 00 70 ( ) : : : ( + ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( 0) 0 Oppgve. Svret er feil, fori + + 7. Me prentes lir svret riktig: ( + ) 9 7 Svret er feil, fori + 9 + 8 +. Me prentes lir svret riktig: ( ) + + + 0 Svret er feil, fori 8 0 Me prentes lir svret riktig: ( ) Oppgve. ( ) 9 + + +. + ( ) + ( ) + 9 + er et tll mellom 8 og 9, men nærmest 8, fori 8 8 og 9 8. 80 er et tll mellom 8 og 9, men nærmest 9. Dessuten er 80 > sien 80 >.,,,, >,, 0 I stigene rekkefølge får vi erme ( ) 80 ( ) 9 ( ), 8 er et tll mellom 9 og 0, fori,7 er et tll mellom og 9, fori 9 8 og 0 00. og 9. 99 0,9 er et tll mellom 0 og (men nærmest 0 sien eksponenten er stor). ( ) ( ) ( ) I stigene rekkefølge får vi erme ( ) 99 0,9,7 ( ) 8 Ashehoug www.lokus.no Sie v

Oppgve. Vi kn for eksempel tenke på tllet 7. Det gir regnestykket 7 (7 ) + 7 9 7 + 7 9 7 8 + 0 Det viser seg t vi llti ener opp me 0, unsett hvilket tll vi strter me. ( ) + ( ) 9 ( ) + ( ) 9 Oppgve. ( 8) + ( 0) + 8 0 0 + ( ) + ( ) + + 0 ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 9) ( ) + 9 + + + + + + 9 + + 8 8 Oppgve. 8, er ikke et helt tll, 8,. 7 er et rsjonlt tll, 7. 7 er et reelt tll, 7. er ikke et nturlig tll, sien ikke er positivt,. e f π π er ikke et rsjonlt tll, sien π ikke er rsjonlt,., er et rsjonlt tll, sien,,,. 00 Oppgve.7 9 [ 0,9] sien intervllet er lukket., sien intervllet er åpent., sien <. 9, [ 0,9] sien 9, > 9. π π e, sien, 7 <. f 0, sien,. Ashehoug www.lokus.no Sie v

Oppgve.8,8,8 [,8 ], e,8 Oppgve.9 Intervllet [,] inneholer tllene fr og me til og me. Intervllet, inneholer tllene fr og me til. Intervllet, inneholer tllene som er minre enn. Oppgve.0, etyr t tllet er minre enn, <. y, etyr t tllet y er større enn eller lik, y. z [,] etyr t tllet z er større enn eller lik og minre enn eller lik, z. Oppgve. [, ] etyr et smme som, ltså utsgn 8., etyr et smme som < <, ltså utsgn., etyr et smme som <, ltså utsgn., etyr et smme som <, ltså utsgn. e, etyr et smme som, ltså utsgn. f, etyr et smme som >, ltså utsgn 7. Ashehoug www.lokus.no Sie v

g, etyr et smme som, ltså utsgn. h, etyr et smme som <, ltså utsgn. Oppgve., og 7 er rsjonle tll, mens er irrsjonlt. De rsjonle tllene er ltså, og. Oppgve. er ikke et nturlig tll, sien ikke er positivt,., er et rsjonlt tll, sien π er et reelt tll, π. er et helt tll,. Oppgve.,7 sien intervllet er åpent.,,9 sien, >., sien <. [,] sien intervllet er lukket.,,,. 0 Oppgve. Tllene mellom og 7 svrer til intervllet,7. Tllene som er minre enn 7 svrer til intervllet,7. Oppgve. Intervllet, inneholer tllene mellom og. Intervllet, inneholer tllene som er minre enn. Intervllet,0 inneholer tllene fr og me til 0. Ashehoug www.lokus.no Sie 7 v

Oppgve.7 Løsninger Tllene som er større enn og minre enn eller lik svrer til intervllet,. De negtive tllene er tllene som er minre enn 0, ltså intervllet,0. De reelle tllene svrer til et intervll som er uegrenset i egge ener, ltså,. Oppgve.8 9 er ikke et nturlig tll, sien 9 ikke er positivt,. er ikke efinert, sien et ikke finnes noe reelt tll som kvrert lir lik. Altså er.,, er et rsjonlt tll,,. ( ) ( ) ( ) er ikke me i intervllet, sien intervllet er åpent i nere ene. Altså er Oppgve.9 ( ),., etyr t tllet er minre enn, <., etyr t tllet er større enn og minre enn, < <., etyr t tllet er større enn eller lik og minre enn, <. Intervllet, inneholer tllene som er større enn. Når ikke er me i ette intervllet, etyr et t må være minre enn eller lik,. Oppgve.0 0q q 0,...,...,...,... Smtiig vet vi t 0q q 9q. Dette etyr t 9q, eller q 9 som viser t q er et rsjonlt tll, q. Ashehoug www.lokus.no Sie 8 v

00r r 00,...,...,,... 09 Smtiig vet vi t 00r r 99r. Dette etyr t 99r 09, eller 09 r 99 som viser t r er et rsjonlt tll, r. Oppgve. 8 + 8+ y y y y y y y 8 8 + + + 8 9 9 0 + 0 + Oppgve. ( y) y y (8 ) 8 ( y) y 8 y 8 y ( ) 7 Oppgve. + + y y 7 ( ) ( ) 7 y ( y) y 8y Oppgve. ( ) ( ) 8 ( ) ( ) 8 8 y y y ( y ) Ashehoug www.lokus.no Sie 9 v

Oppgve. 9 9 9 9 8 ( ) 98 ( ) ( ) Løsninger ( ) + + 7 8 ( ) 7 9 7 7 7 ( 7) 7 7 7 7 7 7 0 9 ( 0) 0 0 9 8 0 8 0 8 0 80 0 ( 0) 0 0 9 Oppgve. ( ) 9 Oppgve.7 0 ( ) 8 ( ) 8 8 + 8 ( ) ( )( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0+ ( ) ( ) Oppgve.8 0, 0, 0, 0 0, 0, 0 0, I stigene rekkefølge får vi erme 0 0, Ashehoug www.lokus.no Sie 0 v

Oppgve.9 + 8 : 7 7 + + 7 9 0 ( ) e ( ) f Oppgve.0 0 0 π ( ) 0 0 0 (Forutstt t 0.) Oppgve. ( ) 9 9 ( ) 8 + + 8 7 + 7 ( ) 9 9 + e f + + 9 9 9 0 0 + Oppgve. : ( ) ( ) 8 ( ) + 8 9 9 9 Ashehoug www.lokus.no Sie v

e f ( ) ( )( ) Oppgve. y y y y y y y ( ) ( ) + + + 9 8 98 n n n n n n ( n) n 8n 8 n Oppgve. Tllet Tllet Tllet Tllet 0,, og tilsvrer erfor punktet G. 0, og tilsvrer erfor punktet H. 0,, og tilsvrer erfor punktet F. ( ), og tilsvrer erfor punktet I. Tllet ( ), og tilsvrer erfor punktet D. Oppgve. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) + 0 y y y y y y y y y y ( ) + ( ) + 7 ( ) 7 ( ) 7+ 8 Oppgve. + 8 ( ) 8 + + + + 7 8 ( ) 8 8 8 8 8 8 Ashehoug www.lokus.no Sie v

( )( ) 0 0 ( ) 0 0 0 0 0 ( )( ) + 7 e ( ) ( ) f ( ) Oppgve.7 ( ) ( ) ( ) ( ) 8 + + 7 7 7 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) Oppgve.8 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) 8 ( ) 0, ( ) ( ) ( ) ( ) Oppgve.9 + ( ) ( ) + Løsninger + ( ) ( ) + ( ) ( ) + + Tllet 0,, og tilsvrer erfor punktet G. 0 Tllet,, og tilsvrer erfor punktet I. Tllet 0 0,, og tilsvrer erfor punktet E. 0 0, og tilsvrer erfor punktet B. Tllet ( ) Tllet Tllet 0, 0,, og tilsvrer erfor punktet F. 0,8,, og tilsvrer erfor punktet J. Ashehoug www.lokus.no Sie v

Oppgve.0 n n n n n n n n 9 + ( ) n n n + n + n ( ) ( n) n n n n n n n+ n n+ Oppgve. 8 ( ) 0 0 0 0 0, 0 0 00 ( ) 0 0 Oppgve. ( ) ( ) 8 9 Sien 9> 8 er Oppgve. 9 > 8. Det største tllet er ltså ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( )( ) ( ) 000 0 000 0 000 0 ( ) 000 0 000 0 000 ( ) 000 0 000 00 00 000 + 0 er ikke efinert for 0. I tillegg hr vi elt på flere steer i uttrykket. Vi må erfor forutsette t 0. Oppgve., 0 er ikke skrevet på stnrform, sien,. 0,8 0 er ikke skrevet på stnrform, sien 0,8 <. 7 0 er ikke skrevet på stnrform, sien 0. Det eneste tllet som er skrevet på stnrform er ltså,, 0. Ashehoug www.lokus.no Sie v

Oppgve. 8 000 000 8 000 000 8 0 00 000,0 000 000,0 0 0,000 0 0,000 0 0 0,0, 0,0, 0 Oppgve. 9 0 000 000 000 000 000 000,8 0,8 00 000 80 000,99 0,99 0, 000 0, 000 99,00 0,00 0,00 0,00 00 Oppgve.7, 0 0, 0 0 7 0 7 0 7 7 7+, 0,0 0,,0 0 0 9, 0 9, 0,9 0 9 9 + 9 000 000 0 0 0, 0 0, 0 0 8 0 8 0 8 0 Oppgve.8 ( ) 0 9 7 000 000 0,000 7, 0 0 7, 0 0 0 0, 0 00 000 0 0 0 0 7 7 0,000 000, 0, 0 7 7 7 ( 7) 000 00 000, 0 0, 0 0 ( ) 0 + 0 0,000 00 0 0 Oppgve.9 70 000,7 0 0,00 0,000 00 7,8 0, 0,8 0, 0,00 0,9 0 ( ) 7 8 0 Ashehoug www.lokus.no Sie v

Oppgve.70 9 000 000 J 9 0 J 9 MJ 000 g 0 g kg 0,00 s 0 s ms 9 00 000 000 W, 0 W, GW Oppgve.7 9 GB 0 B 0 0 B 0 MB 000 MB Moiltelefonen hr et minne på 000 MB. Oppgve.7 7 7, MW 7, 0 W 7 00 000 W 7, 0 W 8, 0 W, 0 0 W, 0 MW 0 MW,8 0 W,8 0 0 W,8 0 mw 0, 8 mw Oppgve.7 Vekt per insulinenhet: 7 g, 0 0 enheter 9,8 0 g/enhet Vekt for 0 enheter : 0 9,8 0 g,8 0 g 0, 8 mg 0, mg Insulinet i én ose veier. 0, mg. Oppgve.7 0 0, 00 9 0 9 00 000 900 000 9 0 9 0,000 0 0,000 09,7 0,7 000 000 70 000 Oppgve.7 800 000 8 00 000 8 0 9 000 9, 0 000 9, 0 0,008 8, 0,00 8, 0 0, 0 0, 0, 0 + 7 Ashehoug www.lokus.no Sie v

Oppgve.7 Vi skriver først lle tllene på stnrform. 0,00 0 8 70 000 000,7 0 0,000 0 I stigene rekkefølge får vi erme 0 0,000 0 0,00 70 000 000 8 0 Oppgve.77 00 000 00 000 0 0 0 0 0 0 + 0 0,00 0,000 00 0 0 0 0 9 0 9 0 00 000 0 0 0 0 0, 00 0 0 9 ( ) 8 0 0 0 0 8 0 8 0 Oppgve.78 + 000 J 0 J kj 9 0 Hz 9 MHz 0,000 00 m 0 m µ m 9 70 0 m 70 nm Oppgve.79 Oljeprouksjon per uke: uker Oljeprouksjon i løpet v tre uker: I løpet v tre uker prouserte Norge. Oppgve.80 0,00, 0,00, 0 0 8, 0 L, 0 9 L/uke 7 0 7, 0 0 7, 0 7, 0 + 7 0,8 0 8 0, 0 8 0 8 0 ( ) 8 9 9 9, 0 L,90 0 L,9 0 L 9,9 0 L olje. 0, 00,0 0 0,0 0 0,0 0 0,0 0 8 ( 8) Ashehoug www.lokus.no Sie 7 v

Oppgve.8,0 0 000 000,0 0, 0,0, 0 0 7 7, 0, 0, 0 + 7 8 8 8 9,0 0 9,0 0 9,0 0 9,0 8 ( ) ( ) 0,8 0, 0 0, 00, 0 0, 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 0, 008 0 0 0 0 0 0 0 Oppgve.8 ( ) 9 9 0 0 0 0 0, 0 0 0 9 9 ( 0) 0 0 8 0 mm 0 0 m 0 m 0 m 0 0 m 0,0 µ m Lengen v kterien er µ. 8 0 m 0,0 m mm 0 000 0 mm 0 000 kterier gir en smlet lenge på mm. m 7 0 0 000 000 8 0 m 0 000 000 kterier gir en smlet lenge på m. Oppgve.8 Lyset eveger seg Løsninger 8,0 0 meter på ett sekun. Ett år estår v 00 sekuner. 8,0 0 00 m 9, 0 m 9, 0 m Et lysår er. 9, 0 m., 9, 0 m, 0 m Avstnen fr sol til Proim Centuri er, 0 m. Oppgve.8 Ett år estår v 0 minutter 00 minutter. Oljeprouksjon per minutt: 0 8, 0 L Oljeprouksjon i løpet v minutter: 70 L/min 00 min I løpet v minutter prouserte Norge. 70 L 7 77 00 L 7, 0 L 7, 0 L olje. Ashehoug www.lokus.no Sie 8 v

Oppgve.8 + + + + + + + + + + + 0 Oppgve.8 + (0 ) + 0 (0 ) 0 + 7 (0 ) 0 0 (0 ) 0 + 0 Oppgve.87 9 (y+ ) 9 y 9 y 0 y y(y ) + 0y y yy + 0y y 0y+ 0y y y( y ) y y+ y y+ 0y ( + ) + + y y y y y y y Oppgve.88 ( )( ) 7 y+ y+ y + y+ y+ y + y+ (y+ )( y ) y y+ y y + y ( )( ) 8 0 8 y y y y y+ y y+ y y+ y+ y y y + y+ ( )( ) Oppgve.89 + 7 ( ) + + 9 ( ) 8 + ( 8)( ) + + + Oppgve.90 + 0 0 ( ) Ashehoug www.lokus.no Sie 9 v

Oppgve.9 ( ) ( + )( ) ( + 0) + + + ( 0) 0 ( y y ) y( + y) y y y y y ( z) ( z )( + z) + z z (z+ z z) + z Oppgve.9 z (z + z ) + z zz z+ + z 8 z ( m)( m+ ) ( m+ m m) ( m m+ ) m m+ + + + + + + + ( n )( n) ( n 8)( n) n 0n 8 0n 0n n 8 ( s)(s+ )(8 + s) (8s+ s s)(8 + s) ( s + 7s+ )(8 + s) + + + + + + + Løsninger s 0s s s 0s 0s 9s 7s Oppgve.9 Sum: ( + ) + ( ) + + 7 Differnse: ( + ) ( ) + + Proukt: ( + ) ( ) + ( + ) ( + ) ( + ) 9 + + + 9 + + ( ) ( ) ( ) 0 0 + 0 + Oppgve.9 Det store rektnglet hr sier og +. Arelet er erfor ( + ). Vi kn ele et store rektnglet i to små rektngler. De to små rektnglene hr sier og, og og. Summen v relene er erme +. Altså er ( + ) +. Det store rektnglet hr sier + og +. Arelet er erfor ( + )( + ). Vi kn ele et store rektnglet i fire små rektngler. De fire små rektnglene hr sier og, og, og, og og. Summen v relene er erme + + +. Altså er ( + )( + ) + + +. Rektnglet til venstre (tegnet i lyserøt) hr sier og. Arelet er erfor ( ). Vi kn også finne ette relet ve å t iffernsen mellom relet v et store rektnglet og relet v rektnglet til høyre. Det gir. Altså er ( ). Ashehoug www.lokus.no Sie 0 v

Oppgve.9 ( + ) + + + + 9 + + ( ) 9 ( + ) + + + + ( 8) 8 + 8 + Oppgve.9 ( ) + + ( ) ( ) + 9 0+ (+ ) ( ) + + + + ( ) ( ) + y ( ) + y + y + 8y + y Oppgve.97 Figuren viser et kvrt me sie og rel. De stiplee linjene eler figuren inn i fire områer. Vi er interessert i et største v isse områene, som er et kvrt me sie og erme rel ( ) (mrkert me lyserøt). I tillegg estår et store kvrtet v: To rektngler me sier og Arel: ( ) Kvrt me sie Arel: Arelet v et lyserøe kvrtet er erme ( ) ( ) + Oppgve.98 + ( )( ) + ( + )( ) ( )( + ) Oppgve.99 ( )( ) ( ) 9 + + y y ( ) y y ( )( ) ( ) + ( ) Ashehoug www.lokus.no Sie v

Oppgve.00 ( + y) + y+ y + y+ y ( + ) + + + 8+ ( ) 0 + + ( + )( ) 9 Oppgve.0 ( + 9) + 9 + 9 + 8+ 8 ( + ) + + + + ( n ) n n + n 8n+ ( + )( ) Oppgve.0 ( 9) 9 + 9 8+ 8 ( + ) + + 9 + + ( m ) m m + m m+ (8 )(8 + ) 8 Oppgve.0 + + + + + ( 8) ( ) 8 8 80 ( ) + ( ) + ( ) ( ) + 9 + (+ 7 )( 7 ) (7 ) 9 Oppgve.0 ( 8) 8 8 + + + + + + ( ) ( + ) ( + ) + ( + ) ( + + ) ( + 0 + ) 0 0 ( + )( ) ( ) ( ) + Oppgve.0 ( + ) + + + + 9 ( n ) n n + n 0n+ Ashehoug www.lokus.no Sie v

Oppgve.0 (+ 9) ( ) + 9 + 9 + + 8 ( ) ( ) + + 9 + + + + + + Oppgve.07 ( ) ( ) ( + ) ( ) + + ( + 0 + ) 0 0 ( ) + ( ) (9 + ) 8 8+ ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + + ) + + + + + + + + (n+ ) (n+ )(n ) ( n) + n + ( ( n) ) Oppgve.08 + + + + + + n n (n ) n n n n Tenk t e to heltllene vi skl multiplisere er n og n +. Differnsen mellom tllene er ( n+ ) ( n ) n+ n+ Det ene tllet er ltså større enn et nre tllet. Prouktet v tllene finner vi fr treje kvrtsetning: ( n )( n+ ) n n Vi ser ltså t prouktet er minre enn kvrtet v tllet n, som er mit mellom e to opprinnelige tllene. Oppgve.09 98 0 (00 ) (00 + ) 00 0 000 999 Oppgve.0 I utgngspunktet fyller ropsene et kvrt me sie n og rel n. Tenk t lengen v rektnglet skl være n+ m og reen skl være n m. Det svrer til t vi «klipper ut» rektnglet i røt neerst på figuren, roterer et 90, og flytter et opp til høyre. Dropsene vi får til overs er tegnet i lått på figuren, og svrer ltså til et kvrt me sie m og rel m. Antll rops til overs er erfor et kvrttll. Vi kn også regne ut ntll rops vi får til overs. Det opprinnelige kvrtet hr rel n, og et nye rektnglet hr sier n+ m og n m. Det gir n ( n+ m)( n m) n ( n m ) n n + m m Ashehoug www.lokus.no Sie v

Oppgve. y y y y 7 y y 99 Oppgve. + + ( + ) ( + ) 8 ( ) ( ) 7 ( ) ( ) 8 + 8 + ( + ) 8 ( + ) Oppgve. 8 ( ) ( ) + + + + + + + + 8 y y y y y y ( y) 8 y( y) ( + ) ( + ) + + 9 9 ( ) 9( ) Oppgve. + + + + ( + ) + + ( ) Uttrykket + psser ikke me noen v kvrtsetningene, og kn erfor ikke fktoriseres. ( + )( ) Oppgve. + + + + ( + ) Uttrykket psser ikke me noen v kvrtsetningene, og kn erfor ikke fktoriseres ve hjelp v em. ( + )( ) ( + )( ) Oppgve. + ( ) ( )( ) 9 (7 ) 7 7 9 + Ashehoug www.lokus.no Sie v

( ) ( ) ( ) (+ )( ) ( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) ( + 7)( ) ( )( ) Oppgve.7 + 8+ er et fullstenig kvrt, fori + + er ikke et fullstenig kvrt, fori + + 8 er ikke et fullstenig kvrt, fori + er et fullstenig kvrt, fori Oppgve.8 Uttrykket Uttrykket Uttrykket Uttrykket Oppgve.9 + 8 mngler leet 8 mngler leet + mngler leet 8 8. 8 + + mngler leet (( ) )(( ) ). ( ).. 8 ( ) 0 0 + 0 + 0+ + 0+ + 0+ ( + ) ( + ) + + + ( + )( ).... 8 + 8 + ( ) ( ) 8 + 8 ( ) 9 ( ) (( ) )(( ) ) + ( + )( ) Ashehoug www.lokus.no Sie v

( ) 7 + + + + + + + + + + + + + Fori et står pluss mellom e to leene, kn ikke uttrykket fktoriseres ve å ruke treje kvrtsetning. Vi kn erfor ikke fktorisere + +. Oppgve.0 7 + 0 + ( + ) ( + ) 9 ( + )( ) Oppgve. 0 8 + + + + 8 7 7 7 ( ) 7 ( ) π r + π rh π r r+ π r h π r ( r+ h) π r( r+ h) Oppgve. 7y y y y + + ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( + )( ) Oppgve. 7+ 7y 7 + 7 y Leene 7 og 7 y 7 7 7 7 ( ) 7( ) ( + )( ) hr ingen felles fktorer. Uttrykket kn erfor ikke fktoriseres. Uttrykket + + psser ikke me noen v kvrtsetningene, sien et står pluss mellom leene. Uttrykket kn erfor ikke fktoriseres. Oppgve. Arelet v et skrverte områet er gitt ve S s S s S s ( + )( ). Ashehoug www.lokus.no Sie v

Oppgve. Uttrykket + 8+ ( + ) + 8+ er et fullstenig kvrt, fori 8. Uttrykket Uttrykket 0+ 00 ( 0) + + 8 er ikke et fullstenig kvrt, fori 0+ 00 er et fullstenig kvrt, fori 8 0 ( 0) 00.. Oppgve. Uttrykket + 9 + psser ikke me noen v kvrtsetningene, sien et står pluss mellom leene. Uttrykket kn erfor ikke fktoriseres. 9 ( ) 7 (+ 7)( 7) + + + + ( + ) 0 0 + 0+ + 0+ + + 0+ + + 0+ + ( + ) 9 ( + ) (( ) )(( ) ) + + + ( + 8)( + ) Oppgve.7 + 9 ( ) 9 (9 ) ( ) (+ )( ) 0 ( ) ( ) ( + )( ) ( + )( ) ( + )( ) ( + )( + )( ) ( ) Oppgve.8 Den store sirkelen hr rius R, og en lille sirkelen hr rius r. Arelet v en store sirkelen er erfor π R, og relet v en lille sirkelen er Arelet v et skrverte områet er erme πr π r π ( R r ) π ( R+ r)( R r) π r. Ashehoug www.lokus.no Sie 7 v

Oppgve.9 Kvrtet ( ) Løsninger + m kn lri li negtivt. Den minste verien kvrtet kn h, er null. Den minste verien uttrykket Uttrykket hr sin minste veri når + m 0 m Uttrykket ( ) ( + m) + n kn h, er erfor 0 + n n. ( m) 0 + + + + + ( + ) 0 + 0 Oppgve.0 +. + + + + + 9 9 + + + ( + ) + hr sin minste veri når + + + + Uttrykket i prentes er et fullstenig kvrt hvis D lir ( ) ( + ) 0. Verien er. 9 9 + + + + + + 9 ( + ). y y+ y y+ Uttrykket i prentes er et fullstenig kvrt hvis 7 D lir y y+ y y+ y. Ashehoug www.lokus.no Sie 8 v

Oppgve. Ettersom 0, multipliserer vi me i teller og nevner. 0 Ettersom, multipliserer vi me i teller og nevner. Ettersom ( + ) ( ), multipliserer vi me i teller og nevner. ( ) + ( + ) ( ) Oppgve. 8 0 7 8 7 y y y y y y Oppgve. ( ) + ( + ) + 0 + ( + ) + + y + Teller og nevner hr ingen felles fktor. Brøken kn ikke forkortes. 8 ( ) ( ) Oppgve. + + ( + ) ( + ) ( ) + ( + ) ( + ) ( + ) ( ) Ashehoug www.lokus.no Sie 9 v

( + ) ( ) ( ) + + + 9 + ( ) ( ) ( ) 9 ( + ) ( ) ( + ) ( ) + Oppgve. Nevnerne er og 8. Fellesnevneren er erfor 8. 8 + 9 + + + 8 8 8 Nevnerne er, og. Fellesnevneren er erfor. 0 + 0 7 + + + Nevnerne er og. Fellesnevneren er erfor. + + + + Nevnerne er, og. Fellesnevneren er erfor + + 9 0 + 9 0 9 + 0 +. Oppgve. Nevnerne er, og. Fellesnevneren er erfor. ( ) () + ( ) Nevnerne er og. Fellesnevneren er erfor. () + Nevnerne er og +. Fellesnevneren er erfor ( + ) ( ) + + + ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( ) 9 +. + + + + ( )( + ) ( + )( ) ( + )( ) ( + )( ) 9 Ashehoug www.lokus.no Sie 0 v

Oppgve.7 Nevnerne er ( ) og. Fellesnevneren er erfor ( ). + + ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) + + + + ( ) ( ) ( ) Nevnerne er ( + ) ( ) og +. Fellesnevneren er erfor ( + ) ( ). ( ) + ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) + ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) Vi fktoriserer nevnerne. + 0 + ( + ) ( + ) ( ) Fellesnevneren er ( + ) ( ). ( ) + 0 ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 Oppgve.8 8 8 ( ) ( ) ( ) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) Ashehoug www.lokus.no Sie v

Oppgve.9 () 9 ( ) 9 ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) (7 + ) (7 ) (7 ) 9 (9 ) 0 7 0 (7 ) 7+ + 7 Oppgve.0 9 : 7 7 9 7 9 : : 7 7 0 : 8 Oppgve. ( ) : () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) 8 + 9 8 (8 ) (9 + ) : + 9 ( + 9) (9 ) (9 +) 9 Oppgve. 7 : 7 7 7 7 7 : Ashehoug www.lokus.no Sie v

: 0 0 : 0 0 Oppgve. Vi skriver lle tllene me fellesnevneren. 7 7 8 I stigene rekkefølge får vi erme 7 Oppgve. 8 0 8 y y y y y y y y y y y y y + ( + ) + Oppgve. + 9 ( + ) + 7 ( ) 7 7 + ( + ) + ( ) + + + + ( + ) + Ashehoug www.lokus.no Sie v

Oppgve. 7 7 7 Teller og nevner hr ingen felles fktor. Brøken kn ikke forkortes. n 9 n 7 ( n + 7) ( n 7) n 7 n+ 7 n+ 7 ( n + 7) n + n + Telleren n + kn ikke fktoriseres, sien et står pluss mellom leene. Teller og nevner hr erfor ingen felles fktor. Brøken kn ikke forkortes. n n n+ n+ Teller og nevner hr ingen felles fktor. Brøken kn ikke forkortes. Oppgve.7 Nevnerne er og. Fellesnevneren er erfor. 8 8+ + + + 8 : Oppgve.8 9 9 8 8 : 8 8 : 8 8 8 8 Ashehoug www.lokus.no Sie v

Oppgve.9 Nevnerne er og. Fellesnevneren er erfor. + 0 + + + Nevnerne er, og. Fellesnevneren er erfor. + + + + Nevnerne er,, og. Fellesnevneren er erfor. + + + + + + + + 0 Nevnerne er, og. Fellesnevneren er erfor. 7 7 7 + + + Oppgve.0 0 9 7 0 + 9 7 + Nevnerne er og. Fellesnevneren er erfor. + ( + ) ( ) + + + + + + Nevnerne er og 0. Fellesnevneren er erfor 0. + 7 ( + ) (7) + + () 0 0 0 0 0 + + 0 (8 ) 8 0 0 Løsninger Nevnerne er og. Fellesnevneren er erfor. + ( + ) + + ( ) + + + Nevnerne er og. Fellesnevneren er erfor. + + ( + ) (+ ) + + 9 + + + 9 8+ + + + Ashehoug www.lokus.no Sie v

Oppgve. : 8 : y : y y y y y : y y y y Oppgve. 0 0 0 : 0, 0 0 : : Fellesnevneren for tllene er. Vi skriver tllene me som nevner. 0 0 0 9 I stigene rekkefølge får vi erme 0, Ashehoug www.lokus.no Sie v

Oppgve. 8 ( ) ( + ) ( ) 9 ( ) ( ) ( + ) + ( ) ( + ) ( ) ( ) + ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) ( ) ( + ) ( ) + ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) 8 Oppgve. + + + 8 ( ) ( + ) ( ) Teller og nevner hr ingen felles fktor. Brøken kn ikke forkortes. y + 0y y ( y+ ) ( ) y y ( y+ ) y y y ( y + ) ( y ) ( y) y + 9 ( + ) ( + ) 8 ( 9) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) + ( + ) Oppgve. + ( + ) + ( ) : ( + ) ( + ) ( ) ( ) 8 + + (+ ) (+ ) + ( ) (+ ) ( + 7) ( + ) ( + ) () ( + 7) () 0 9 ( 9) ( ) ( ) + + ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) + 9 Ashehoug www.lokus.no Sie 7 v

Oppgve. Nevnerne er, og. Fellesnevneren er erfor. 8 + 8 9 + + + : Nevnerne er og. Fellesnevneren er erfor. 7 7 7 7 7 7 7 7 + + + 0 0 7 0 Oppgve.7 7 7 0 7 0 7 + + + + 0 0 0 0 0 7 Løsninger + kg smågot koster 8 kr. 8 kr 8 Pris per kg: 8 : kr/kg 8 kr/kg kr/kg kr/kg 0 kr/kg kg 7 7 0 7 Pris i kr for kg : 0 + 0 + 0 0 0 kg smågot koster 0 kr. Oppgve.8 + 8 (+ 8) ( + ) + ( + ) ( + ) + + + (+ ) ( ) ( + ) ( ) : + ( ) ( + ) ( ) ( + ) 8+ 8 ( ) (8+ 8) ( ) ( + ) + 8 ( + ) (8) ( + ) ( ) + + + + + ( ) ( ) : + ( + ) ( + ) ( + ) ( + + ) + + 8 8 8 Ashehoug www.lokus.no Sie 8 v

Oppgve.9 Nevnerne er + og ( ) + +. Fellesnevneren er erfor +. + 7 + + + + + ( + ) + + + + + Nevnerne er,, og. Fellesnevneren er erfor. 8 + + + + + + + 8+ 8 ( ) Nevnerne er, og. Fellesnevneren er erfor. + () ( ) + 9 + (9 ) ( + ) 9+ Oppgve.0 Nevnerne er, ( ) 9 ( + )( ) og. Fellesnevneren er erfor () ( + ) ( 9) 9 ( ) ( ) 9 ( 9) + 8 + 9 9 9 + + + 9 9 9. ( 8) 8 ( ) 9 ( + ) ( ) + Vi fktoriserer nevnerne. ( + ) ( ) 0 ( ) Fellesnevneren er ( + ) ( ). ( + ) + 0 ( ) (0) ( + ) ( + )( ) ( + )( ) (+ ) + + ( )( ) ( )( ) ( ) 0 Ashehoug www.lokus.no Sie 9 v

Nevnerne er + og 9 ( + )( ). Fellesnevneren er erfor 9. ( ) ( ) + + 9 ( + ) ( ) 9 ( + )( ) ( + )( ) Oppgve. 7 7 : 7 0 7 Løsninger + ( ) + + ( + )( ) ( + )( ) ( + )( ) 9 : 0 Fellesnevneren for smånevnerne er 0. Vi utvier erfor teller og nevner me 0. 0 0 + + 0 + 0 + 0 0 0 0 : e Fellesnevneren for smånevnerne er. Vi utvier erfor teller og nevner me. + + + + 0 0 Oppgve. Tllet vi strter me: Vi multipliserer me 7: 7 Vi legger til : 7 + Vi trekker fr tllet selv: 7+ Vi ivierer me : 7+ Til slutt forkorter vi røken: 7+ + ( + ) Vi ener til slutt opp me tllet vi tenkte på pluss. Hvis vi trekker to fr svret, vet vi ltså hv personen tenkte på. + Ashehoug www.lokus.no Sie 0 v

Oppgve. y y y : y + y y y y y y y y y y y y y 8 7 8 8 8 :8 8 8 8 7 7 8 7 8 7 ( )( ) ( y ) y y y y y 9y 9y ( ) 9y y y : y 9y 9y y + 9 y 9 Oppgve. + + + + + + + : + + + + + 8 + + + : + + + + + + Vi ser t neste nivå hele tien er pluss en omvente røken fr forrige nivå. Derme finner vi rskt e fire neste nivåene: 8 + + 8 8 8 8 8 8 + + + + + + Telleren lir ltså nevner i neste røk. Summen v teller og nevner lir neste teller. Hvis vi fortsetter rekken, ser vi t tilnærmingsverien går mot,8. (Grenseverien er en løsning v likningen +. Løsningen er +,8.) Ashehoug www.lokus.no Sie v

Oppgve. 000 0 0 Det finnes ikke noe reelt tll som opphøy i fjere potens er lik. er erfor ikke efinert. ( ) ( ) 00 000 0 0 0 Oppgve. 000 0 0 7 7 7 9 0 er et tll som ligger mellom og, sien ( ) I stigene rekkefølge får vi erme 7 0 9 000 Oppgve.7,0 0,8 0, 0,8 7 7,0 og 8. Oppgve.8 8 8 8 9 ( ) 7 7 7 7 ( ) ( ) ( ) ( ) 8 0 0 I stigene rekkefølge får vi erme 0 ( ) ( ) 7 8 Ashehoug www.lokus.no Sie v

Oppgve.9 n n n n n ( ) ( ) ( ) ( ) y y y 8 8 Oppgve.70 8 8 000 0 0 0 e 0,9 f 7, 09 g ( ) 7 7 7 7 h 7 7 7 7 Oppgve.7 e f g h 7 7 7 7 7 Ashehoug www.lokus.no Sie v

Oppgve.7 ( ) ( ) + + Oppgve.7 Tllet Tllet 7 7, og tilsvrer erfor punktet E., og tilsvrer erfor punktet C. Tllet, og tilsvrer erfor punktet F. Tllet ( ) ( ) Tllet, og tilsvrer erfor punktet D., og tilsvrer erfor punktet H. Oppgve.7 ( ) ( n ) ( ) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Oppgve.7 0, Tllet, og tilsvrer erfor punktet E. Tllet 0,, og tilsvrer erfor punktet F. Tllet Tllet, og tilsvrer erfor punktet B. ( ), og tilsvrer erfor punktet C. Ashehoug www.lokus.no Sie v

Oppgve.7 Vi kn erfor velge f.eks. og. Vi kn erfor velge f.eks. og. 8 Vi kn erfor velge f.eks. og. Vi kn erfor velge f.eks. og. Oppgve.77 Oppgve.78 9 0 9 9 8 7 7 7 7 e 0 Oppgve.79 8 8 8 8 00 000 00 000 0 0 0 0 0 0 0 8 8 0 0 0 0 000 0 0 Ashehoug www.lokus.no Sie v

Oppgve.80 Løsninger ( 8) ( ) 8+ ( 8) 8+ 8 + 8 + 8 ( + 8) ( ) + 8 + ( 8) + 8 + 8 + + 8 + + 8 ( 8+ )( 8 ) ( 8) ( ) 8 Oppgve.8 + 8 8 8 0 + + 0 8 0 0 0 0 0 + + + + + + Oppgve.8 8 8 9 9 7 Oppgve.8 9 9 8 8 8 8 8 8 Ashehoug www.lokus.no Sie v

Oppgve.8 ( ) ( ) ( ) 8 8 ( ) ( 7 ) 7 7 8 9 ( )( ) ( ) + Oppgve.8 + + + + 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 + + Oppgve.8 9 9 9 7 n n n n 8 8 Oppgve.87 + + + ( ) + + Ashehoug www.lokus.no Sie 7 v

Oppgve.88 ( ) + + + ( ) + + + + ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) + 8 8 + ( + )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Oppgve.89 9 8 0 0 0 + 8 + + + 7 7 9 9 8 8 Oppgve.90 7 + 8 + + + + 8 7 8 + 7 + 7 + 7 + 8 + 9 9 Ashehoug www.lokus.no Sie 8 v

Oppgve.9 ( )( ) ( ) m+ n m n m n m n Sien m og n er nturlige tll, er ( ) ( ) ( ) m n et helt tll. ( ) ( ) + ( ) ( ) + + + + + Løsninger Kpitteltest Del Uten hjelpemiler Oppgve + 7 ( ) + 7 ( ) + 7 ( 8) + 8 ( ) + 8 + + + : + + + + + 9 9 9 9 9 8 8 8 8 ( ) ( ) 8 8 8 ( 8) + 8 00 000 00 000 0 0 0, 0 0,008 8 0,00 8 0 8 0 Oppgve ( ) 0, 0 0, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0 + 8 8 8 + 8 7 ( ) (+ ) + (( ) + + ) ( ) + + + + 9 9 9 9 8 + () ( 7) 9 + ( 9) ( + ) ( + 7) ( 7) ( + ) 0 0 + + + + + + + ( 7) ( ) 7 7 8 7 Ashehoug www.lokus.no Sie 9 v

Oppgve ( ) + n n n n n n n n n n n n ( ) ( ) ( ) 8n n n n n n 7 7 7 n n n n n n n n n 7 n + ( ) + ( ) ( 7) + 7 Oppgve ( ) ( ) ( ) 9 9 9 ( ) + ( ) ( ) () + + + ( ) + + + Vi fktoriserer nevnerne. 9 ( + ) ( ) + ( + ) Fellesnevneren er ( + ) ( ). ( ) 9 + ( 9) (+ ) ( ) ( + )( ) ( + )( ) ( ) + ( + ) ( + )( ) ( + )( ) ( + ) ( ) ( ) Ashehoug www.lokus.no Sie 0 v

Oppgve Vi forenkler tllene: 0 0 0 0 7 9 ( ) 8 0 7 7,7 0,7 0,000 0,000 7 00 000 7 9 Vi ser t lle tllene unnttt 0 er rsjonle. 0 er et tll mellom og 7, sien og 7 9. Smmen me oversikten i oppgve kn vi erme skrive tllene i stigene rekkefølge: 7, 7 0 7 0 7 0 Del Me hjelpemiler Oppgve, 0 J, 0 9, 0 J Det er Oppgve 7 8 8, 0 fotoner i lserpulsen. Arelet v hele metllplten er y. Hvert v e fire hjørnene som er fjernet hr relet Arelet som er igjen v metllplten er erfor y y ( ) y+ y ( )( ). Ashehoug www.lokus.no Sie v