Sinus Påbyggingsboka T

Sinus Påbyggingsboka T Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS

Innhold Litt om programmene... 4 GeoGebra 4.2... 4 wxmaxima... 4 Microsoft Mathematics... 4 WordMat... 4 TI-Nspire CAS... 5 Nullpunkt. Side 11 i læreboka... 5 GeoGebra 4.2... 5 wxmaxima... 5 Microsoft Mathematics... 6 WordMat... 6 TI-Nspire... 7 Andregradslikninger. Side 18 i læreboka... 7 GeoGebra 4.2... 7 wxmaxima... 8 Microsoft Mathematics... 8 TI-Nspire... 9 Momentan vekstfart. Side 47 i læreboka... 9 GeoGebra 4.2... 9 wxmaxima... 9 Microsoft Mathematics... 10 WordMat... 10 TI-Nspire... 10 Lineær regresjon. Side 81 i læreboka... 11 GeoGebra 4.0 og 4.2... 11 GeoGebra 4.0 og 4.2... 12 wxmaxima... 13 Microsoft Mathematics... 14 WordMat... 14 TI-Nspire... 15 Polynomregresjon. Side 86 i læreboka... 16 GeoGebra 4.0 og 4.2... 16 wxmaxima... 18 2

Microsoft Mathematics... 19 WordMat... 19 TI-Nspire... 19 Eksponentialregresjon. Side 93 i læreboka... 21 GeoGebra 4.0 og 4.2... 21 wxmaxima... 22 Microsoft Mathematics... 23 WordMat... 23 TI-Nspire... 25 Potensregresjon. Side 100 i læreboka... 26 GeoGebra 4.0 og 4.2... 26 wxmaxima... 27 Microsoft Mathematics... 28 WordMat... 28 TI-Nspire... 29 Parameterframstilling for kurver. Side 172 i læreboka... 30 GeoGebra 4.2... 30 wxmaxima... 30 Microsoft Mathematics... 31 WordMat... 33 TI-Nspire... 34 Forsøk og simuleringer. Side 184 i læreboka... 34 GeoGebra 4.0 og 4.2... 35 Binomiske modeller. Side 229 i læreboka... 36 wxmaxima... 36 TI-Nspire... 37 Hypergeometriske modeller. Side 236 i læreboka... 38 wxmaxima... 38 3

Litt om programmene I læreboka har vi vist digitale løsninger med GeoGebra. I dette heftet viser vi hvordan en kan finne de samme løsningene med annen programvare, og i noen tilfeller på alternative måter med GeoGebra. Vi presenterer her først kort de ulike programmene vi har valgt. GeoGebra 4.2 De digitale løsningene i læreboka er laget med GeoGebra 4.0. Denne versjonen inneholder ikke en fullstendig CAS-del, slik versjon 4.2 og andre kommende versjoner gjør. I skrivende stund (juli 2012), finnes GeoGebra 4.2 bare som en uferdig betaversjon. Den er likevel så god at vi velger å vise løsninger i utvalgte oppgaver også med denne versjonen, som kan lastes ned fra www.geogebra.org/webstart/4.2. Klikk der på fila geogebra-42.jnlp. wxmaxima Den norske versjonen av wxmaxima er et gratisprogram som er bearbeidet og tilpasset den norske læreplanen av Bjørn Ove Thue ved Møglestu videregående skole i Lillesand. Programmet er menybasert og svært lett å bruke. Du kan laste ned wxmaxima fra denne adressen: http://www.moglestu.com/maxima/ Microsoft Mathematics Microsoft Mathematics inneholder to deler: - en frittstående del som m.a. kan brukes til å finne trinnvise løsninger av andregradslikninger og likningssett med flere ukjente. - en del som kan installeres som et tillegg i Word, og som gjør det svært enkelt å gjøre matematiske beregninger direkte i skriveprogrammet. Du kan lære mer om den generelle bruken av Microsoft Mathematics i heftet "Lær å bruke Microsoft Mathematics, matematikk-tillegget i Word og WordMat". WordMat WordMat er et avansert, gratis og brukervennlig dansk program, som kan installeres som et tillegg til Word. Det inneholder mange flere muligheter enn Microsoft Mathematics-tillegget, og er samtidig svært enkelt å bruke. Programmet vil etter hvert bli oversatt til norsk. Det kan lastes ned fra http://www.eduap.com/wordmat/ Du kan lære mer om den generelle bruken av WordMat i heftet "Lær å bruke Microsoft Mathematics, matematikk-tillegget i Word og WordMat". 4

TI-Nspire CAS TI-Nspire er en integrert pakke av matematikkverktøy, med svært mange muligheter. Programmet er ikke gratis. Prisen er avhengig av antallet lisenser som blir bestilt. TI-Nspire kan bestilles fra Alfasoft AS. http://www.alfasoft.no/produkt/ti-nspire/tinspire.html Texas Instruments har gode og informative opplæringshefter i bruken av TI-Nspire CAS. Du finner heftet "Kom i gang med TI-Nspire CAS" av Kjetil Idås på denne adressen: http://www.alfasoft.no/produkt/ti-nspire/filer/komigang.pdf Nullpunkt. Side 11 i læreboka Her skal vi vise hvordan vi kan finne nullpunktene til funksjonen f gitt ved f(x) = x 2-4x + 3. GeoGebra 4.2 Skriv inn Nullpunkt[x 2-4x + 3] i CAS-delen, og trykk Enter. Tips: Du får eksponenten 2 ved å holde nede Alt-tasten og trykke 2. Nullpunkt: x = 1 og x = 3 wxmaxima Skriv inn x^2-4x+3 i inntastingsfeltet. Klikk på Nullpunkt. Nullpunkt: x = 1 og x = 3 5

Microsoft Mathematics Hold nede Alt og Shift og trykk «=» («0») på tastaturet. Du får da åpnet et "matematisk felt" i Word. Skriv inn x^2-4x+3=0. Dette blir automatisk omformet til x 2 4x + 3 = 0. Klikk på Beregn og velg Løs for x. Vi får da løsningen rett under likningen. x 2 4x + 3 = 0 x = 1 eller x = 3 OBS! For nullpunkt skriver vi: x = 1 og x = 3, selv om vi bruker eller i løsningen av likningen. Nullpunkt: x = 1 og x = 3 WordMat Trykk Alt og M for å få et "matematisk felt". Skriv inn x^2-4x+3=0. Dette blir omformet til x 2 4x + 3 = 0. Trykk Alt og L for å løse likningen. Klikk OK i menyen som kommer opp. Løsningen kommen nå rett under likningen. x 2 4x + 3 = 0 x = 1 x = 3 OBS! For nullpunkt skriver vi: x = 1 og x = 3, selv om vi bruker eller i løsningen av likningen. Nullpunkt: x = 1 og x = 3 6

TI-Nspire Sett inn et kalkulatorfelt i programmet. Velg Algebra og Nullpunkt. Skriv inn x^2-4x+3,x i parentesen. Dette blir automatisk ordnet til slik det står i figuren nedenfor. OBS! Pass på å flytte markøren en til høyre når du har skrevet 2-tallet. Da kommer du ut av eksponentinnskrivningen og ned på hovedlinja. (Vi kan også skrive inn zeros(x^2-4x+3,x) direkte.) Trykk Enter. Svaret kommer nå på listeform, helt til høyre på samme linje. Nullpunkt: x = 1 og x = 3. Andregradslikninger. Side 18 i læreboka Her skal vi vise hvordan vi kan finne løsningen av andregradslikningen 2 3x 5x + 2= 0med ulike matematikkprogram. GeoGebra 4.2 Skriv inn likningen i CAS-feltet. Klikk på ikonet som er ringet inn nedenfor. 7

Løsning: x = 2 eller x = 1. 3 wxmaxima Denne løsningen er vist i læreboka på side 18. Microsoft Mathematics Trykk Alt, Shift og 0 for å lage et matematisk felt. Skriv inn likningen, velg Beregn og Løs for x. 3x 2 5x + 2 = 0 x = 2 3 eller x = 1 Løsning: x = 2 eller x = 1. 3 WordMat Trykk Alt og M for å lage et matematisk felt. Skriv inn likningen og trykk Alt og L. Klikk OK i menyen som dukker opp. 3x 2 5x + 2 = 0 x = 2 3 x = 1 Løsning: x = 2 eller x = 1. 3 8

TI-Nspire Skriv Solve(3x 2-5x+2=0,x) i et kalkulatorfelt. Trykk Enter. Svaret kommer helt til høyre på den same linja. Løsning: x = 2 eller x = 1. 3 Momentan vekstfart. Side 47 i læreboka Her vil vi vise hvordan vi finner den momentane vekstfarten når x = 2 for funksjonen f, gitt ved f(x) = x 2-2x + 4. GeoGebra 4.2 Den momentane vekstfarten blir funnet enklest slik det er forklart i læreboka på side 47 for GeoGebra 4.0. wxmaxima Definer funksjonen f ved å skrive f(x):= x^2-2x + 4, og trykk deretter Enter. Skriv f '(2) og trykk Enter. Vekstfarten er 2 når x = 2 9

Microsoft Mathematics Trykk Alt, Shift og 0 for å lage et matematisk felt. Skriv inn uttrykket x 2-2x +4. Velg Beregn og Differensier på x. x 2 2x + 4 2 x 2 Vi ser nå lett at den deriverte er 2 når x = 2. Vi trenger ikke matematikkprogram til å finne den deriverte av x 2-2x + 4, men her er det viktig å vise fremgangsmåten. Den kan også brukes på mer utfordrende funksjonsuttrykk. Vekstfarten er 2 når x = 2 WordMat Trykk Alt og M for å definere et matematisk felt. Trykk Alt og D. Da kommer ordet Definer: fram. Skriv inn f(x) = x 2-2x + 4. Trykk Shift og Enter for å lage et nytt matematisk felt rett under det første. Skriv f '(2). Trykk Alt og B for å beregne verdien av dette. Vekstfarten er 2 når x = 2 Definer: f(x) = x 2 2x + 4 f (2) = 2 TI-Nspire Velg kalkulatormodus. Velg Kalkulus og Derivert i et punkt. 10

Fyll inn opplysningene slik figuren nedenfor viser. Klikk OK. Vekstfarten er 2 når x = 2 Lineær regresjon. Side 81 i læreboka Her vil vi vise hvordan vi kan finne likningen for den rette linja som passer best til punktene som står i tabellen på side 81 i læreboka. Det er flere måter vi kan gjøre dette på, i tillegg til den som er beskrevet i læreboka. Dette gjelder både for GeoGebra 4.0 og senere versjoner. Det lar seg ikke gjøre å få til regresjon i Microsoft Mathematics på en enkel måte. GeoGebra 4.0 og 4.2 Alternativ metode 1: Åpne regnearket og skriv inn tallene, slik de står i læreboka. Merk tallene, høyreklikk og velg Lag og Lag liste med punkt. Still inn aksene ved å dra i dem med dette verktøyet til alle punktene vises. Dersom vi ikke ønsker at navnene på punktene skal vises, kan vi høyreklikke på et punkt på grafikkfeltet, velge Egenskaper, klikke på overskriften Punkt, og så fjerne haken foran Vis navn. Vi kan også velge å bare vise første kvadrant i koordinatsystemet. Det gjør vi ved å merke av for Bare i positiv retning for x- og y-aksen. 11

Vi velger så verktøyet Beste tilpasset linje fra menyen, og drar et rektangel over punktene. Vi får da likningen -6512x +275y = 616975. Vi kan høyreklikke på denne i algebrafeltet, og omforme den til y = 23,7x + 2243,5 Likningen for den linja som passer best med utviklingen av folketallet i Norge er y = 23,7x + 2244 GeoGebra 4.0 og 4.2 Alternativ metode 2: Skriv inn tallene i regnearket, slik det er beskrevet i læreboka, og merk dem. Velg Regresjonsanalyse fra menyen som hører til regnearket. 12

Velg Lineær fra nedtrekksmenyen for ulike regresjonsmodeller. OBS! Legg merke til at y-aksen er kuttet, slik at aksene ikke krysser hverandre i origo. Med avrunding til 1 desimal, blir likningen y = 23,7x + 2243,5. Likningen for den linja som passer best med utviklingen av folketallet i Norge er y = 23,7x + 2244 wxmaxima Velg Funksjonsanalyse og Regresjon. Fyll inn x- og y-verdiene med komma mellom. Velg Tilpass til y = ax + b, og klikk OK. 13

Vi får nå tegnet punktene og den rette linja som passer best til disse. Lukk grafikkvinduet. Likningen er også skrevet i hovedvinduet til wxmaxima. Likningen for den linja som passer best med utviklingen av folketallet i Norge er y = 23,7x + 2244 Microsoft Mathematics Det er ingen direkte og enkel måte å få til regresjon i Microsoft Mathematics. WordMat Klikk på WordMat, velg Settings, og still inn Signifigant numbers (gjeldende siffer) til 4. Fyll ut tabellen, slik det er vist nedenfor, og merk tallene der. Klikk på WordMat igjen, velg Regression og Linear 0 2304 10 2486 20 2738 30 2882 40 3075 50 3411 60 3709 70 3998 80 4146 90 4348 100 4606 y = 23,68x + 2244 14

Likningen for den linja som passer best med utviklingen av folketallet i Norge er y = 23,7x + 2244 TI-Nspire Du finner en mer detaljert beskrivelse av regresjonsverktøyene i TI-Nspire på side 30 i heftet "Kom i gang med TI-Nspire" http://www.alfasoft.no/produkt/tinspire/filer/komigang.pdf Sett inn Lister og regneark. Skriv inn dataene. Kall kolonne A for x og kolonne B for y. Merk kolonne A og kolonne B. Velg Data og Hurtig-graf. Klikk på Analyser, Regresjon og Vis lineær (mx + b) 15

Vi får nå resultatet i vinduet til høyre nedenfor. Likningen for den linja som passer best med utviklingen av folketallet i Norge er y = 23,7x + 2244 Polynomregresjon. Side 86 i læreboka Framgangsmåten for regresjon med GeoGebra 4.0 er grundig beskrevet i læreboka. Her viser vi framgangsmåten for det menybaserte hurtigregresjonsverktøyet som finnes i GeoGebra 4.0 og i senere versjoner. Vi viser også polynomregresjon for de andre verktøyene vi har valgt i dette heftet. Microsoft Mathematics har ikke et eget verktøy for kurvetilpasning, og WordMat kan bare utføre polynomregresjon for andregradsfunksjoner. GeoGebra 4.0 og 4.2 Alternativ metode til den som er beskrevet i læreboka Skriv inn tallene i regnearket og merk dem. Velg Regresjonsanalyse fra menyen som hører til regnearket. 16

Velg Polynom og grad 3. I figuren ovenfor har vi valgt 3 gjeldene siffer. Det kan vi gjøre ved å klikke på Innstillinger, velge Avrunding og så velge antall desimaler eller antall gjeldende siffer. Den beste tredjegradsfunksjonen er gitt ved 3 2 f( x) = 0,000088x 0,0146x + 0,223x + 39,6 Vi ser at grafen stiger mot høyre når x er større enn ca. 103. Det betyr at andelen som arbeider i primærnæringene skulle øke igjen fra ca. år 2003. Det er ikke riktig, så vi må være forsiktige med å trekke modellen for langt i forhold til det vi har grunnlag for. For å regne ut hvor stor andel av befolkningen som arbeidet i primærnæringene i 1930, skriver vi inn 30 i ruta bak x = og trykker Enter. Vi kan selvsagt gjøre det samme for 1960, ved å skrive inn 60 i ruta, og trykke Enter. Ut fra modellen arbeidet 35,5 % i primærnæringene i 1930 og 19,3 % i 1960. Dette stemmer godt med de faktiske opplysningene. 17

wxmaxima Klikk på Funksjonsanalyse og velg Regresjon. Skriv inn tallene for x- og y-verdiene med komma mellom, slik figuren nedenfor viser. Velg y = ax^3 + bx^2 +cx + d og klikk OK. Lukker vi dette grafvinduet, får vi også opp likningen for tredjegradsfunksjonen i hovedvinduet i wxmaxima. Den beste tredjegradsfunksjonen er gitt ved 3 2 f( x) = 0,000088x 0,0146x + 0,223x + 39,6 Vi kan nå finne ut hvor stor andel som arbeidet i primærnæringene i 1930 og i 1960, ut fra modellen, ved å skrive inn f(30) og deretter f(60), og trykke Til desimaltall etter hver av disse inntastingene. 18

OBS! Det er veldig viktig å lukke grafvinduet før du skriver inn f(30) og f(60) i inntastingsfeltet. Ut fra modellen arbeidet 35,5 % i primærnæringene i 1930 og 19,3 % i 1960. Microsoft Mathematics Det er ingen direkte og enkel måte å få til regresjon i Microsoft Mathematics. WordMat WordMat kan bare utføre polynomregresjon for andregradsfunksjoner. TI-Nspire Vi kan her bruke samme fremgangsmåte som beskrevet under Lineær regresjon, men når vi skal bruke funksjonsuttrykket til videre utregninger kan det lønne seg å velge en annen framgangsmåte: Sett inn Lister og regneark. Lag en tredelt side, slik at du får et grafvindu og et kalkulatorvindu til høyre for Lister og regneark. Skriv inn dataene i regnearket. Kall kolonne A for x og kolonne B for y. Merk kolonne A og kolonne B. 19

Velg Statistikk, Stat beregning og Kubisk regresjon. Vi ser at regresjonslikningen blir lagret som f1. Klikk OK. Markøren hopper nå til grafvinduet. Trykk Enter og still inn aksene til et passe utsnitt av grafen viser. Vi kan også lese av tredjegradslikningen fra kolonne C og D i regnearket. Den beste tredjegradsfunksjonen er gitt ved 3 2 f( x) = 0,000088x 0,0146x + 0,223x+ 39,6 20

Gå til kalkulatorvinduet og skriv f1(30). Trykk Enter. Skriv f1(60) og trykk Enter. Ut fra modellen arbeidet 35,5 % i primærnæringene i 1930 og 19,3 % i 1960. Eksponentialregresjon. Side 93 i læreboka Vi viser her framgangsmåtene på tilsvarende måte som for polynomregresjon. GeoGebra 4.0 og 4.2 Alternativ metode til den som er beskrevet i læreboka: Skriv inn tallene i regnearket og merk dem. Velg Regresjonsanalyse fra menyen som hører til regnearket. Velg Eksponentiell. Den eksponentialfunksjonen som passer best er: ( ) = A x 158,0 1,315 x 21

For å finne antallet mobilabonnenter 1. januar 2001 og 1. januar 2006, skriver vi først inn 11 (2001 er 11 år etter 1990) i ruta for x, og trykker Enter. Deretter skriver vi inn 16 og trykker Enter igjen. Vi kan da lese av antallet mobilabonnement i tusen for de to aktuelle årene, ut fra modellen. Se kommentar om gyldigheten av modellen i læreboka. wxmaxima Klikk på Funksjonsanalyse og velg Regresjon. Skriv inn tallene for x- og y-verdiene med komma mellom, slik figuren nedenfor viser. Velg y = ab^x og klikk OK. 22

Den eksponentialfunksjonen som passer best er: ( ) = A x 158,0 1,315 x Lukk grafvinduet, og skriv inn f(11) i inntastingsfeltet. Trykk Enter. Gjenta dette for f(16). Microsoft Mathematics Det er ingen direkte og enkel måte å få til regresjon i Microsoft Mathematics. WordMat 0 180,6 2 234,4 4 368,5 6 981,3 8 1676,7 10 2663,5 12 3593,2 Vi får en feilmelding dersom vi forsøker med eksponentiell regresjon med WordMat på datasettet i tabellen ovenfor. Dette skjer selv om vi har valg komma som desimaltegn i Settings. (Se figuren til høyre nedenfor.) 23

Vi kan omgå problemet ved å velge WordMat, Show Graph og GnuPlot. Vi skriver inn punktene og stiller inn aksene, slik figuren til høyre nedenfor viser. Den eksponentialfunksjonen som passer best er: ( ) = A x 158,0 1,315 x Vi kan nå definere denne funksjonen i WordMat ved å trykke Alt og D. Så skriver vi inn likningen for funksjonen. (Vi trykker Alt og G for gangetegn.) Definer: A(x) = 158 1,315 x Deretter er det lett å regne ut A(11) og A(16). Det gjør vi ved å trykke Alt og M, skrive A(11) og trykke Alt og B for å beregne verdien. Vi gjentar deretter dette for A(16). 24

A(11) = 3212 A(16) = 1,263 10 4 TI-Nspire Lag et tredelt vindu som forklart under polynomregresjon. Skriv inn dataene i regnearket. Kall kolonne A for x og kolonne B for y. Merk kolonne A og kolonne B. Velg Statistikk, Stat beregning og Eksponentiell regresjon. Trykk Enter etter f1(x). Den eksponentialfunksjonen som passer best er: ( ) = A x 158,0 1,315 x Vi skriver nå inn f1(11) og f1(16) i kalkulatorvinduet for å få regnet ut antallet mobiltelefonabonnement i tusen 1. januar 2001 og 1. januar 2006. 25

Potensregresjon. Side 100 i læreboka GeoGebra 4.0 og 4.2 Alternativ metode til den som er beskrevet i læreboka: Skriv inn tallene i regnearket og merk dem. Velg Regresjonsanalyse fra menyen som hører til regnearket. Velg Potensregresjon 3.226 Den beste potensfunksjonen er T( x) = 0.000877 x. Ut fra modellen skulle tallet på fasttelefonabonnenter 1. januar 2001 være 1 309 000 og 1. januar 2006 skulle det være 2 997 000. Se kommentarer i læreboka om hvordan modellen stemmer med de faktiske tallene. 26

wxmaxima Klikk på Funksjonsanalyse og velg Regresjon. Skriv inn tallene for x- og y-verdiene med komma mellom, slik figuren nedenfor viser. Velg y = ax^b og klikk OK. Lukk grafvinduet. 3.226 Den beste potensfunksjonen er T( x) = 0.000877 x. Vi skriver nå inn f(82) og trykker Til desimaltall. Til slutt skriver vi f(106) og trykker Til desimaltall. Vi får da tallet på fasttelefonabonnement i tusen, ut fra modellen. 27

Ut fra modellen skulle tallet på fasttelefonabonnenter 1. januar 2001 være 1 309 000 og 1. januar 2006 skulle det være 2 997 000. Microsoft Mathematics Det er ingen direkte og enkel måte å få til regresjon i Microsoft Mathematics. WordMat Klikk på WordMat, velg Settings, og still inn Signifigant numbers (gjeldende siffer) til 4. Fyll ut tabellen, slik det er vist nedenfor, og merk tallene der. Klikk på WordMat igjen, velg Regression og Power. Likningen blir nå skrevet på formen y = 50 291 60 455 70 708 80 1114 90 2070 100 2448 y = 0,0008747 x 3,227 3.226 Den beste potensfunksjonen er T( x) = 0.000877 x. Vi kan nå definere denne funksjonen ved å trykke Alt og D, og skrive inn likningen. Definer: T(x) = 0,000877 x 3,226 Vi trykker Alt og M for å lage et matematisk felt. Deretter skriver vi Inn T(82) og trykker Alt og B for å beregne denne verdien. Vi gjentar det samme for T(106). T(82) = 1309 T(106) = 2997 28

Ut fra modellen skulle tallet på fasttelefonabonnenter 1. januar 2001 være 1 309 000 og 1. januar 2006 skulle det være 2 997 000. TI-Nspire Lag et tredelt vindu som forklart tidligere. Skriv inn dataene i regnearket. Kall kolonne A for x og kolonne B for y. Merk kolonne A og kolonne B. Velg Statistikk, Stat beregning og Potensregresjon. Klikk OK for å lagre funksjonen som f1(x). Trykk Enter etter f1(x) for å få plottet grafen. Vi skriver nå inn f1(82) og f1(106) i kalkulatorvinduet for å få regnet ut antallet fasttelefonabonnement i tusen 2001 og i 2006. 29

Parameterframstilling for kurver. Side 172 i læreboka GeoGebra 4.2 Den enkleste måten å få til parameterframstillingen av en kurve med GeoGebra, er beskrevet i læreboka. wxmaxima Klikk på Grafer og Graf 2d. Klikk på Varianter i vinduet som dukker opp, og velg Parametrisk plott. Fyll inn opplysningene fra oppgaven, slik figuren nedenfor viser, og klikk OK. Velg GnuPlot i Format-menyen, og klikk OK. 30

Microsoft Mathematics Her velger vi å bruke den frittstående versjonen av Microsoft Mathematics. Åpne den frittstående versjonen og klikk på Graf. 31

Velg Parametrisk og skriv inn likningene. Klikk på Diagram. Klikk på Skjul ytre ramme. Klikk på Plotteområde og skriv inn innstillingene, slik figuren til høyre nedenfor viser. Klikk OK. 32

WordMat Klikk WordMat, Show Graph og velg GnuPlot. Velg Param, og fyll inn opplysningene slik venstre del av figuren nedenfor viser. Klikk Update. 33

TI-Nspire Åpne et grafvindu. Velg Graftype og Parametrisk. Fyll inn opplysningene slik figuren til venstre nedenfor viser, og trykk Enter. Forsøk og simuleringer. Side 184 i læreboka Vi vil her vise hvordan vi kan simulere et selvvalgt antall kast med en terning, og oppsummere resultatene for dette. Vi vil også vise hvordan vi kan simulere to kast med to terninger, og vise en fordeling av summen av disse kastene. Vi forklarer her bare hvordan vi utfører disse simuleringene ved hjelp av to ferdige GeoGebra-filer. På Sinussidene finnes også flere interaktive simuleringer i Flash. 34

GeoGebra 4.0 og 4.2 Last ned GeoGebra-fila Kast med en terning.ggb. Denne finner du på Sinussidene. Still inn antall kast ved å dra i glideren for n, eller ved å skrive for eksempel n = 200 i inntastingsfeltet. Trykk F9 for å oppdatere resultatene. Last ned GeoGebra-fila Sum av to terninger.ggb fra Sinussidene. Still inn antall kast, og trykk F9 for å oppdatere resultatene. 35

Binomiske modeller. Side 229 i læreboka Vi vil her vise hvordan vi kan finne svarene på oppgaven i eksempelet på side 229 i læreboka med wxmaxima og TI-Nspire. Det finnes muligheter for beregning av binomiske modeller i WordMat, men dette er ikke like intuitivt og enkelt som i GeoGebra, wxmaxima eller TI-Nspire. Løsningen med sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra er grundig forklart i læreboka. wxmaxima Vi viser her etter tur innstillingene for de ulike deloppgavene i eksempelet på side 229 i læreboka. Vi finner binomisk fordeling ved å klikke på Sannsynlighet og deretter velge Binomisk fordeling PX= ( 5) = 0,1861 P(2 X 5) = 0, 6625 PX ( 6) = 0,8474 36

PX ( 4) = 0, 6783 TI-Nspire Sett inn et kalkulatorvindu. Klikk på Sannsynlighet, Fordelinger og Binomisk Pdf. Fyll inn opplysningene slik figuren nedenfor til venstre viser. PX= ( 5) = 0,1861 I resten av oppgavene i eksempelet på side 229, velger vi Sannsynlighet, Fordeling og Binomisk Cdf. 37 P(2 X 5) = 0, 6625 OBS! Det er viktig å skrive inn øvre grense først, ellers kan en få problemer med å skrive inn nedre grense.

PX ( 6) = 0,8474 PX ( 4) = 0, 6783 Hypergeometriske modeller. Side 236 i læreboka Vi vil her vise hvordan vi kan finne svarene på oppgaven i eksempelet på side 236 i læreboka med wxmaxima. Det finnes ikke en tilsvarende metode å beregne hypergeometriske fordelinger med TI-Nspire som vi viste for binomiske fordelinger. Løsningen med sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra er grundig forklart i læreboka. wxmaxima Vi finner hypergeometrisk fordeling ved å klikke på Sannsynlighet og deretter velge Hypergeometrisk fordeling PX= ( 6) = 0,3058 38

P(4 X 7) = 0,8588 PX ( 6) = 0, 6500 PX ( 4) = 0,9758 39