Tore Oldervoll Odd Orskaug Audhild Vaaje Finn Hanisch Sinus 1TIP Matematikk for teknikk og industriell produksjon Yrkesfaglig utdanningsprogram Bokmål CAPPELEN
8 1
Tall og tallregning Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder regne med potenser med rasjonal eksponent og tall på standardform, bokstavuttrykk, formler, parentesuttrykk og rasjonale og kvadratiske uttrykk med tall og bokstaver, og bruke kvadratsetningene til å faktorisere algebraiske uttrykk
1.1 Regnerekkefølge På ungdomsskolen har du lært mange regneregler for regning med tall. Vi repeterer noen regler: Positivt tall positivt tall positivt tall + + + Positivt tall negativt tall negativt tall + Negativt tall positivt tall negativt tall + Negativt tall negativt tall positivt tall + Når vi ganger to tall, blir svaret et positivt tall hvis fortegnene er like. Svaret blir et negativt tall hvis fortegnene er forskjellige. EKSEMPEL Regn ut. ( 2) ( ) 12 ( ) ( ) 12 ( 2) 8 ( ) 12 6 ( ) ( ) 1 ON Regnestykkene ovenfor kan vi regne ut på lommeregneren. Da er det viktig å vite at det på mange lommeregnere er to ulike minustegn. Slike lommeregnere har både et differansetegn og et fortegn. Differansetegnet bruker vi når vi for eksempel skal regne ut 12. Fortegnet bruker vi hvis vi skal legge inn et negativt tall, f.eks. 2. Differansetasten står på høyre side av lommeregneren. Fortegnstasten ( ) finner du enten på den venstre siden eller i den nederste rekken. OFF 10 10 Sinus 1TIP > Tall og tallregning Fortegnstast: ( ) Differansetast: I uttrykket ( 2) er minustegnet et fortegn. Da må vi bruke fortegnstasten ( ). Vi taster slik: Svaret blir 8. ( ) 2 Hvis du bruker Casio, får du som oftest rett svar når du bruker differansetasten der du skulle brukt fortegnstasten.
Når vi for eksempel skal regne ut + 2, er det viktig å vite hvordan vi skal gjøre det. Vi må regne ut 2 før vi legger sammen. Da får vi + 6 10. I regnestykket + 2 må vi ikke legge sammen og først. Da får vi svaret 2 1. Det blir feil. Utregninger gjør vi alltid i denne rekkefølgen: 1 Først multiplikasjon ( ) og divisjon ( : ) 2 Deretter addisjon (+) og subtraksjon ( ) EKSEMPEL Regn ut. + 2 ( ) 2 + 2 + 2 + 8 1 Multiplikasjon før addisjon 1 12 Multiplikasjon før subtraksjon ( ) 2 + 2 6 + 10 Multiplikasjon før addisjon ON OFF Gode lommeregnere regner slik vi lærte ovenfor. Når vi skal regne ut + 2, taster vi + 2 Det gir svaret 1. Hvis du får 28, bør du kjøpe deg en bedre lomme regner.? Oppgave 1.10 Regn ut både med og uten lommeregner. 6 ( ) ( 6) ( ) ( 6) Oppgave 1.11 Regn ut både med og uten lommeregner. 6 + 2 + ( ) ( 6) + ( ) ( ) 6 ( ) 2 + ( ) 11
Når du skal regne ut et uttrykk som også inneholder potenser eller parenteser, må du alltid gjøre det i denne rekkefølgen: 1 Regn først ut parentesuttrykkene. 2 Regn deretter ut potensene. Gjør deretter multiplikasjonene og divisjonene. Gjør til slutt addisjonene og subtraksjonene. EKSEMPEL Regn ut. 2 ( + 1) + 2 2 + (2 ) 2 2 ( + 1) + 2 1 Regn først ut uttrykket i parentesen. 2 + 2 2 Regn ut potensen. 2 + 8 Gjør multiplikasjonene. 8 + 2 2 Gjør til slutt addisjonen. 2 + (2 ) 2 1 Regn først ut uttrykket i parentesen. 2 + ( ) 2 2 Regn ut potensene. 9 + 9 0 Gjør til slutt addisjonen.!! Legg spesielt merke til hvordan vi regner ut 2. Det er ikke det samme som 8. Når vi skriver 2, er det bare 2-tallet som skal opphøyes i tredje potens. Vi får 2 8 2 Hvis vi vil at -tallet også skal opphøyes i tredje potens, må vi sette en parentes og skrive ( 2) 8 12 Når vi skriver 2, er det bare tallet som skal opphøyes i andre potens, ikke tallet. Dermed er 2 9 Hvis vi vil opphøye tallet i andre potens, må vi skrive ( ) 2. ( ) 2 9 La oss nå regne oppgave a i eksempelet ovenfor på lommeregneren. 12 12 Sinus 1TIP > Tall og tallregning
ON Vi skal regne ut 2 ( + 1) + 2. OFF Casio Vi taster ( ) 2 ( + 1 ) + 2 X Vi får svaret 2. Legg merke til at vi bruker tasten X når vi skal opphøye et tall i tredje potens. Hvis vi skal regne ut 2, bruker vi tasten x og taster 2 x. Texas Vi taster ( ) 2 ( + 1 ) + 2 ^ Vi får svaret 2. Legg merke til at vi bruker tasten ^ når vi skal regne ut 2. Vi taster 2 ^. Hvis vi skal regne ut 2, taster vi 2 ^.? Oppgave 1.12 Regn ut både med og uten lommeregner. 2 2 ( 2) 2 2 ( ) 2 Oppgave 1.1 Regn ut både med og uten lommeregner. 2 ( ) + 2 ( 12) + 2 2 (8 ) ( ) 2 2 + (1 2 ) + ( 2 2 2 ) 1.2 Desimaltall og brøker Et tall som ikke er et helt tall, skriver vi til vanlig som et desimaltall eller som en brøk. Tallet 0,6 er et desimaltall, og tallet er en brøk. Tallet over brøkstreken kaller vi telleren, og tallet under brøkstreken kalles nevneren. telleren nevneren Det husker du lett ved hjelp av denne regelen: T elleren er på t oppen, og n evneren er n ede. En brøk kan vi alltid skrive som et desimaltall. Vi dividerer da telleren med nevneren. Denne divisjonen gjør vi enklest på lommeregneren. 1
EKSEMPEL Skriv brøkene 21 og 8 Vi bruker lommeregneren og får : 0, 21 21 : 8 2,62 8 som desimaltall. Noen ganger går ikke divisjonen opp. Da blir det uendelig mange desimaler i desimaltallet. Lommeregneren viser i slike tilfeller bare noen av desimalene. EKSEMPEL Skriv brøkene 6 1 og 1 som desimaltall. : 6 0,8 0,8 6 1 1 : 1 1,0692 1,08 1? Oppgave 1.20 Skriv tallene som desimaltall. 1 2 1 2 8 e) 20 f) 16 Oppgave 1.21 Skriv tallene som desimaltall. 1 1 6 2 9 e) 2 11 f) 1 Når vi skal sammenlikne to brøker, gjør vi først om brøkene til desimaltall. Da er det enklere å se hvilket tall som er størst eller minst. 1 1 Sinus 1TIP > Tall og tallregning
EKSEMPEL Hvilken brøk er størst? og 9 og 8 Vi bruker lommeregneren og gjør brøkene om til desimaltall. : 2, 9 9 : 1,8 er størst. Vi regner om til desimaltall og får 0,1 er størst. 8 8 0,62? Oppgave 1.22 Hvilken brøk er størst? og 1 6 12 og 2 11 2 og 1 18 29 19 og 0 Oppgave 1.2 Hvilken brøk er størst? og 2 19 og 29 og 9 12 9 2 og 1. Forkorting og utviding av brøker Brøkene og 2 8 1 1 : 0,2 2 8 2 : 8 0,2 Begge tallene er lik 0,2. Brøkene kan vi skrive som desimaltall på denne måten: og 2 8 må derfor være like. 1
Det kan vi også finne ut ved å se på en pizza. Pizzaen til venstre nedenfor er delt i fire like store deler. Hege spiser ett stykke av denne pizzaen. Hun spiser dermed pizza. 1/ 1/8 1/8 Pizzaen til høyre ovenfor er delt i 8 like deler, og hver del er altså 8 pizza. Thomas spiser to slike stykker. Han spiser dermed 2 pizza. Figurene viser 8 at Hege og Thomas spiser like mye. Dermed er 2 8 Dette kan vi få fram ved å dividere telleren og nevneren med 2. 2 8 2 : 2 8 : 2 Vi har forkortet brøken. Når vi forkorter en brøk, dividerer vi med det samme tallet i telleren og nevneren. Brøken endrer da ikke verdi. EKSEMPEL Forkort brøkene. 6 8 6 8 6 : 2 8 : 2 2 21 2 21 2 : 21 : 9 16 16 Sinus 1TIP > Tall og tallregning
Til vanlig fører vi forkortingene på denne måten: 6 8 9 2 21 9! Når du regner med brøk, må du passe på å forkorte alle svar. I brøken 9 er telleren større enn nevneren. Vi har da en uekte brøk. En uekte brøk kan vi skrive som et blandet tall. Brøken 9 er det samme som det blandede tallet 1 2. I den videregående skolen trenger du vanligvis ikke å gjøre uekte brøker om til blandede tall. Vi kan bruke lommeregneren til å forkorte brøker og til å gjøre uekte brøker om til blandede tall. Vi løser nå oppgaven i eksempelet foran på lommeregneren. ON Casio Når vi skal legge inn brøken 6 taster vi 8, 6 8 Vi får svaret som vist på figuren nedenfor: Vi går fram på tilsvarende måte når vi skal forkorte brøken 2. Men nå 21 viser lommeregneren dette svaret: Texas Når vi skal legge inn brøken 6 taster vi 6 A b/c 8 Vi får svaret nedenfor: 8, som vist på figuren Vi går fram på tilsvarende måte når vi skal forkorte brøken 2. Men nå 21 viser lommeregneren dette svaret: Lommeregneren skriver svaret som en uekte brøk. Svaret er 9. Hvis vi vil ha svaret som blandet tall, trykker vi på tasten SHIFT og deretter på tasten S D. Lommeregneren skriver svaret som et blandet tall. Svaret er 1 2. Hvis vi vil ha svaret som en uekte brøk, trykker vi nå på tasten 2nd og deretter på tasten A b/c. 1
OFF Svaret blir 1 2 figuren: som vist på denne Svaret blir 9 når vi trykker på.? Oppgave 1.0 Forkort brøkene både uten og med lommeregner. 9 18 2 6 1 21 Oppgave 1.1 Bruk lommeregneren til å forkorte brøkene. 2 126 _ 12 _ 1 120 29 198 1 e) 11 _ 8 f) 08 _ 21 Når vi forkorter en brøk, dividerer vi med det samme tallet i telleren og i nevneren. Vi kan også multiplisere med det samme tallet i telleren og nevneren uten at brøken endrer verdi. Dette kaller vi å utvide brøken. Vi utvider en brøk ved å multiplisere med det samme tallet i telleren og nevneren. Brøken endrer da ikke verdi. EKSEMPEL Utvid brøkene, 6 og 8 1 8 8 8 2 6 6 20 2 8 8 9 2 slik at alle brøkene får 2 som nevner. Vi ganger med 8 for å få 2 i nevneren. 18 Tallet kan vi skrive som en brøk med som nevner: 1 1 1 18 Sinus 1TIP > Tall og tallregning
EKSEMPEL Skriv tallet som en brøk med som nevner. 1 1? Oppgave 1.2 Skriv brøkene med 12 som nevner. 1 2 2 6 Oppgave 1. Skriv brøkene med 6 som nevner. 1 11 9 12 6 e) 2 f) 11 18 Oppgave 1. Skriv tallene med 8 som nevner. 2 1, 0, 1. Brøkregning Når vi regner med brøker, bruker vi disse regnereglene: Når vi skal summere brøker, må vi først finne fellesnevneren. Deretter utvider vi alle brøkene så de får den samme nevneren. Til slutt summerer vi tellerne og lar nevneren stå som den er. Når vi skal multiplisere et helt tall og en brøk, multipliserer vi det hele tallet med telleren og lar nevneren stå som den er. Når vi skal multiplisere to brøker, multipliserer vi telleren med telleren og nevneren med nevneren. Vi trenger ikke å finne fellesnevneren. Når vi skal dividere med en brøk, multipliserer vi med den omvendte brøken. 19
EKSEMPEL Regn ut. + 6 + 9 1 18 1 1 6 9 12 : 28 2 Fellesnevneren for de to brøkene er 18.! + 6 + 9 1 + 6 + 9 18 1 18 + 6 + 2 9 2 18 + 1 18 + 8 18 1 1 18 1 1 18 6 6 2 1 1 6 9 _ 1 6 1 9 2 2 12 : 28 2 12 2 _ 2 28 12 28 9 16 2 9 + 1 + 8 18 18 Vi gjør om tallet til en brøk ved å skrive 1. Vi forkorter brøken før vi multipliserer tallene i telleren og i nevneren.? Oppgave 1.0 Regn ut. 1 12 + 9 + 12 1 12 9 e) 12 1 12 : 9 f) : 12 Oppgave 1.1 Regn ut. 2 ( 8 + ) ( 6 2 9 ) ( 6 + 1 12 ) : 2 9 ( 6 2 9 ) ( 1 + 1 ) All tallregning med brøker kan vi gjøre på lommeregneren. 20 20 Sinus 1TIP > Tall og tallregning
ON OFF EKSEMPEL Regn ut på lommeregneren. 12 + : 9 10 Casio Vi taster 1 2 + Svaret blir som vist her: Hvis vi vil ha svaret som blandet tall, trykker vi på tasten SHIFT og deretter på tasten S D. Svaret blir 1. Vi taster 9 1 0 Det gir svaret når vi 6 trykker på. Texas Vi taster A b/c 1 2 + A b/c Svaret blir 1 som vist her: Hvis vi vil ha svaret som en uekte brøk, trykker vi nå på tasten 2nd og deretter på tasten A b/c. Svaret blir Vi taster A b/c 9 A b/c 1 0 Det gir svaret når vi 6 trykker på..? Oppgave 1.2 Bruk lommeregneren og regn ut. + 9 12 9 e) : 12 1 : 9 f) + 12 21
? Oppgave 1. Bruk lommeregneren og regn ut. 2 ( 8 + 1 ) ( 6 2 9 ) ( 6 + 1 12 ) : 2 9 ( 6 2 9 ) ( 1 + 1 ) 1. Brøkdelen av et tall Anne skal kjøpe et dataspill som koster 0 kr. Anne skal betale far betaler 2. Hvor mye skal hver av dem betale? Anne skal betale tredjedelen av prisen. Det er 0 kr : 180 kr Dette kan vi også regne ut slik: selv, og Å dividere med er det samme som å multiplisere med 1. 1 0 kr 180 kr Når far skal betale 2, skal han betale dobbelt så mye som Anne. Det er 2 180 kr 60 kr Vi kan også regne slik: 2 0 kr 60 kr Å finne 2 av 0 kr er det samme som å multiplisere 2 med 0 kr. Vi går fram på tilsvarende måte for alle brøkdeler og alle tall. Brøkdelen av et tall finner vi ved å multiplisere brøken med tallet. EKSEMPEL Regn ut 8 av 20 kr. 8 av 20 kr 8 20 kr 120 kr 22 22 Sinus 1TIP > Tall og tallregning
? Oppgave 1.0 Regn ut av tallene. 8 0 6 12 Oppgave 1.1 Hvor mye er 2 Hvor mye er 8 av 8 kr? Hvor mye er av 2 kr? Hvor mye er av 9 kr? av 2 kr? EKSEMPEL Arne og Gro deler en jobb. Ei uke arbeider Arne fem dager og Gro to dager. Til sammen får de 2800 kr i lønn. Hvor mye skal hver av dem ha i lønn? Arne og Gro arbeider sju dager til sammen. Ettersom Arne arbeider fem av de sju dagene, skal han ha av 2800 kr 2800 kr 2000 kr Gro arbeider to av de sju dagene og skal ha 2 av 2800 kr 2 2800 kr 800 kr EKSEMPEL Martin og Sondre skal dele 20 kr. Martin får 20 kr. Hvor stor del av pengene får Martin, og hvor stor del får Sondre? Den brøkdelen Martin får, er 20 kr 20 kr _ 20 20 _ 20 20 2 2 2 2 12 2 12 Sondre får 20 kr 20 kr 00 kr. Den brøkdelen Sondre får, er 00 kr 20 kr _ 00 20 _ 00 20 0 2 0 2 12 2 0 2 12 2
På forrige side forkortet vi brøken ved regning. Vi kan også forkorte brøken ved hjelp av lommeregneren slik vi lærte i kapittel 1..? Oppgave 1.2 En blanding av saft og vann inneholder saft og 6 6 vann. Hvor mye saft og hvor mye vann er det i liter blanding? Hvor mye saft og hvor mye vann er det i,6 liter blanding? Hvor mye vann er det når det er 2 liter rein saft? l Oppgave 1. Per, Anne og Jan skal dele 9600 kr. Jan skal ha 2, Anne skal ha, og Per 6 skal ha resten. Hvor mange kroner skal Anne og Jan ha hver? Hvor mange kroner skal Per ha? Hvor stor brøkdel skal Per ha? 1.6 Prosentfaktor Ordet prosent kommer fra latin og betyr hundredel. 1 % 1 100 0,1 Her har vi fargelagt 1 % av et rektangel. Rektangelet er delt i 20 like ruter. Hver rute er da 1 20 _ 100 % Tre ruter er da % 1 % av hele rektangelet. Prosent regner vi alltid som hundredeler av noe. Mads er med i et tippelag som har vunnet 20 000 kr. Mads skal ha 1 % av 1 denne gevinsten. Det er det samme som av 20 000 kr. 100 1 % av 20 000 kr _ 1 av 20 000 kr 100 _ 1 20 000 kr 0,1 20 000 kr 000 kr 100 2 2 Sinus 1TIP > Tall og tallregning
Vi finner 1 % av et tall ved å multiplisere tallet med 0,1. Tallet 0,1 kaller vi prosentfaktoren til 1 %. På tilsvarende måte er 0,2 prosentfaktoren til 2 % og 0,08 prosentfaktoren til 8 %. Prosentfaktoren til p % er p _ 100. EKSEMPEL Finn prosentfaktorene til 8 %, 1 % og 2, %. Prosentfaktorene er _ 8 100 0,08 _ 1 100 0,1 _ 2, 100 0,02? Oppgave 1.60 Finn prosentfaktoren til 6 % 19 % 12 % % e) % f) 2 % Oppgave 1.61 Finn prosentfaktoren til, % 1,9 % 12, %, % e) 0, % f) 0,2 % Når vi kjenner prosentfaktoren, er prosenten prosentfaktoren 100 % EKSEMPEL Finn prosenten når prosentfaktoren er 0,09, 0,2 og 0,12. Prosentene er 0,09 100 % 9 % 0,2 100 % 2 % 0,12 100 % 12, % 2
? Oppgave 1.62 Finn prosenten når prosentfaktoren er 0,0 0,2 0,1 0,01 e) 0, f) 0,0 Oppgave 1.6 Finn prosenten når prosentfaktoren er 0,0 0, 0,012 0,002 e) 1,2 f) 0,0012 1. Prosentregning Prosentfaktoren til 1 % er 0,1. I kapittel 1.6 så vi at 1 % av 20 000 kr er 0,1 20 000 kr 000 kr Vi ser at prosentfaktoren hele tallet delen av tallet EKSEMPEL Finn prosentfaktoren til 12 %. Bruk prosentfaktoren til å regne ut 12 % av beløpene 2 00 kr og 9 000 kr. Prosentfaktoren til 12 % er _ 12 100 0,12 Her kjenner vi prosentfaktoren og hele tallet. 12 % av 2 00 kr 0,12 2 00 kr 2820 kr 12 % av 9 000 kr 0,12 9 000 kr 11 00 kr? Oppgave 1.0 Finn 12 % av beløpene. 00 kr 200 kr 12 00 kr 26 26 Sinus 1TIP > Tall og tallregning
? Oppgave 1.1 I legeringen nysølv er det 0 % kopper, 2 % nikkel og 2 % sink. Hvor mange kilogram kopper, nikkel og sink er det i 6, kg nysølv? Vi vet at Dermed er prosentfaktoren hele tallet delen av tallet prosentfaktoren delen av tallet hele tallet Vi finner prosentfaktoren ved å dividere delen av tallet med hele tallet. EKSEMPEL En metallplate veier 12, kg. Ved skjæring av platen er svinnet 2,8 kg. Hvor mange prosent svinn er det? Prosentfaktoren er delen av tallet _ 2,8 kg hele tallet 12, kg 0,226 Når prosentfaktoren er 0,226, er prosenten 0,226 100 % 22,6 % Svinnet er på 22,6 %.? Oppgave 1.2 Martin setter 200 kr i banken og får 8 kr i rente på ett år. Hvor mange prosent rente svarer det til? Oppgave 1. Ved skjæring av en stålplate på 6 kg var svinnet på 10 kg. Hvor mange prosent svinn var det? 2
Vi vet at Dermed er prosentfaktoren hele tallet delen av tallet hele tallet delen av tallet prosentfaktoren EKSEMPEL Et messingstykke består av 60 % kopper, 0 % sink og 10 % bly. Det er, kg sink i stykket. Hvor mye veier dette messingstykket? Det er 0 % sink i messingen. Prosentfaktoren til 0 % er _ 0 100 0,0 Vekten av messingen er hele tallet. Vi har hele tallet delen av tallet prosentfaktoren Messingstykket veier 18 kg., kg 18 kg 0,0? Oppgave 1. Hanne skal kjøpe bil og får 6 % avslag i prisen. Det svarer til 16 00 kr. Hvor mye koster denne bilen uten avslag? Oppgave 1. Ved skjæring av en stålplate gikk det bort 8,0 kg. Det var 2 % svinn. Hva veide denne platen før skjæring? 28 28 Sinus 1TIP > Tall og tallregning
SAMMENDRAG Fortegnsregler Positivt tall positivt tall positivt tall + + + Positivt tall negativt tall negativt tall + Negativt tall positivt tall negativt tall + Negativt tall negativt tall positivt tall + Regnerekkefølge 1 Regn først ut parentesuttrykkene. 2 Regn deretter ut potensene. Gjør deretter multiplikasjonene og divisjonene. Gjør til slutt addisjonene og subtraksjonene. Forkorting av brøker Når vi forkorter en brøk, dividerer vi med det samme tallet i telleren og nevneren. Brøken endrer ikke verdi. Utviding av brøker Vi utvider en brøk ved å multiplisere med det samme tallet i telleren og nevneren. Brøken endrer da ikke verdi. Brøkdelen av et tall Vi finner brøkdelen av et tall ved å multiplisere brøken med tallet. Prosentfaktor Prosentfaktoren til p % er Noen prosentformler prosenten prosentfaktoren 100 % _ p 100. Prosentfaktoren til % er prosentfaktoren hele tallet delen av tallet prosentfaktoren hele tallet delen av tallet hele tallet delen av tallet prosentfaktoren _ 100 0,0. 29
Oppgaver
1 Tall og tallregning KATEGORI 1 1.1 Regnerekkefølge Oppgave 1.110 Regn uten og med lommeregner. 8 9 6 ( ) 6 ( 9) Oppgave 1.111 Regn uten og med lommeregner. 2 8 2 ( 2) + 8 ( ) ( ) + 2 Oppgave 1.112 Regn uten og med lommeregner. 6 + 2 6 + 2 8 6 e) + f) 6 Oppgave 1.11 Regn uten og med lommeregner. 2 ( + 2) 2 ( 1) (2 ) (9 2 8) e) ( 2 2) f) (8 2 ) Oppgave 1.11 Regn uten og med lommeregner. 2 + ( + 2 ) 2 (2 9) 1.2 Desimaltall og brøker Oppgave 1.120 Skriv disse tallene som desimaltall. 1 _ 1 10 100 1000 e) 1 f) Oppgave 1.121 Skriv disse tallene som desimaltall. 1 1 1 20 2 0 Oppgave 1.122 Finn hvilken brøk som er størst, ved å skrive tallene som desimaltall. og 2 og 8 og 2 9 og 19 10 1
1. Forkorting og utviding av brøker Oppgave 1.10 Fyll ut. 2 2 8 10 Oppgave 1.11 Forkort brøkene. 6 10 9 2 6 9 12 16 10 80 Oppgave 1.12 Forkort brøkene uten og med lommeregner. 1 21 8 20 Oppgave 1.1 Fyll ut. 6 2 1 18 2 8 21 1 2 Oppgave 1.1 Skriv brøkene med 18 som nevner. 2 9 6 Oppgave 1.1 Skriv brøkene med 2 som nevner. 11 6 8 12 Oppgave 1.16 Skriv brøkene med 0 som nevner og avgjør hvilken brøk som er størst. 6 1 og 1 1. Brøkregning Oppgave 1.10 Regn ut. + 2 + 8 + 8 Oppgave 1.11 Regn ut. 2 2 6 6 1 2 6 Oppgave 1.12 Regn ut. 1 12 + 12 2 + 2 Oppgave 1.1 Regn ut. 6 2 9 : 8 2 + 10 Oppgave 1.1 Regn ut på lommeregneren. 2 2 2 21 + 2 : 1 Oppgave 1.1 Regn ut på lommeregneren. 9 2 + 2 : 2 2 1 Sinus 1TIP > Tall og tallregning
1. Brøkdelen av et tall Oppgave 1.10 Regn ut. av 2 av 20 1 6 av 2 2 av Oppgave 1.11 Regn ut. 2 av 0 kr av 1 km Oppgave 1.12 Nysølv er en legering av nikkel, sink og resten kopper. Hvor mye av hvert metall er det i en gjenstand av nysølv som veier 6,0 kg? Oppgave 1.1 I en klasse med 0 elever er av elevene gutter. Hvor mange gutter er det i klassen? Hvor mange jenter er det i klassen? Hvor stor brøkdel av klassen er jenter? Oppgave 1.1 Guri og Petter skal dele 200 kr. Guri skal ha av pengene og Petter resten. Hvor mange kroner får Guri, og hvor mange kroner får Petter? Oppgave 1.1 I en klasse er det 8 jenter og 18 gutter. Hvor stor brøkdel av elevene er jenter? Hvor stor brøkdel av elevene er gutter? Oppgave 1.16 Ei kanne saftogvann inneholder dl saft og 2,8 l vann. Hvor mye saftogvann er det på kanna? Hvor stor brøkdel av innholdet er saft? Oppgave 1.1 På Stortinget er det 169 representanter. Ved forslag om endringer i Grunnloven må minst 2/ av representantene stemme «ja» for at forslaget skal bli vedtatt. Hvor mange stemmer trengs for å få vedtatt et slikt forslag? 1.6 Prosentfaktor Oppgave 1.160 Finn prosentfaktoren til 20 % 0 % 12 % 1 % e) % f) 9 % Oppgave 1.161 Finn prosentfaktoren til 0 % % 60 % 2 % e) % f) 99 % Oppgave 1.162 Finn prosenten når prosentfaktoren er 0, 0,0 0, 0,1 e) 0,01 f) 0,001 1. Prosentregning Oppgave 1.10 Finn 1 % av 20 2 % av 00 0 % av 00 8 % av 1 Oppgave 1.11 Ei jakke koster 0 kr. Så blir prisen satt opp 20 %. Hvor mange kroner blir prisen på jakka satt opp med? En kjole koster 00 kr og blir satt ned 1 %. Hvor mange kroner blir prisen på kjolen satt ned med? 1
Oppgave 1.12 Ved skjæring av en stålplate på 6 kg var svinnet på 1 %. Hvor mange kilogram var svinnet på? Hvor mye veide den ferdige platen? Oppgave 1.1 Einar tjener 22 00 kr på en sommerjobb. Han må betale 28 % skatt. Hvor mye skatt må Einar betale? Gro får kr timen på en jobb. Så får hun en lønnsøkning på 2 %. Hvor mange kroner øker timelønna til Gro med? Oppgave 1.1 Ved skjæring av en stålplate på 2,0 m 2 var svinnet på 0,0 m 2. Hvor mange prosent var svinnet på? Ved skjæring av en stålplate på 18 kg var svinnet på,6 kg. Hvor mange prosent var svinnet på? Oppgave 1.1 Martine setter 000 kr i banken og får 112 kr i rente på ett år. Hvor mange prosent rente svarer det til? Yngve kjøper et stereoanlegg som koster 200 kr. Han får 80 kr i avslag. Hvor mange prosent avslag får han? Oppgave 1.16 En feriereise koster 20 kr. Prisen på denne reisen blir satt opp med 10 kr. Hvor mange prosent går prisen opp? En flybillett koster 180 kr. Prisen blir satt ned med 18 kr. Hvor mange prosent går prisen ned? KATEGORI 2 1.1 Regnerekkefølge Oppgave 1.210 Regn uten og med lommeregner. 2 6 + (2 ) 2 (8 2 ) 2 ( 2 8) Oppgave 1.211 Regn uten og med lommeregner. 2( 2) ( + 2) + ( 2)( ) (2 ) + (2 1) 2( ) 2( ) (6 2) + ( 1) ( 1) + ( 2) (2 ) Oppgave 1.212 Regn uten og med lommeregner. 6 2 2 2 + 2 2 (2 ) + 2 2 2 2 + 2 1.2 Desimaltall og brøker Oppgave 1.220 Skriv disse tallene som desimaltall. 8 9 8 10 20 0 Oppgave 1.221 Skriv disse tallene som desimaltall. 1 1 6 9 11 Er det noe system i desimalene? Oppgave 1.222 Hvilken brøk er størst? 8 12 1 og 1 1 og 8 12 og 2 11 2 19 og 6 1 16 Sinus 1TIP > Tall og tallregning
1. Forkorting og utviding av brøker Oppgave 1.20 Forkort brøkene uten og med lommeregner. 8 6 19 8 2 6 28 Oppgave 1.21 Forkort uten og med lomme regner. _ 112 _ 116 22 8 _ 10 600 _ 1200 2 000 Oppgave 1.22 Skriv brøkene med 18 som nevner. 1) 2) 2 ) 1 ) 1 6 9 6 Skriv tallene som en brøk med 0 som nevner. 1) 2) ) 0,8 ) 21 6 90 1. Brøkregning Oppgave 1.20 Regn ut. 2 16 2 0 2 + ( 1 2 Oppgave 1.21 Regn ut. 6 6 1 1 + 6 18 : 1 28 0 ) 1 ( 1 : 6 6 + 2 ) ( 2 + 1 2 ) 2 Oppgave 1.22 Simen, Grete og Kristine skal dele 1200 kr. Simen skal ha, Grete skal ha og Kristine resten. Hvor stor del skal Simen og Grete ha til sammen? Hvor stor del skal Kristine ha? Oppgave 1.2 Guri skal klippe ut noen like rektangler fra en stor metallplate slik figuren viser. Guri klipper ut 12 rektangler av platen. Hvor stor brøkdel av platen klipper hun ut? Hvor stor brøkdel blir det igjen av platen? Oppgave 1.2 Bruk lommeregner og regn ut. _ 100 1 : 9 10 1 6 2 2 + 1 6 : 2 + 2 Oppgave 1.2 Bruk lommeregner og regn ut. 12 21 9 : 2 8 6 10 + 1 2 0 ( 1 + 2 ) : 22 1. Brøkdelen av et tall Oppgave 1.20 Hvor mye er av 8 kr? 8 Hvor mye er av 62 kg? Hvor mye er 12 av 80 m? Hvor mye er 1 1 20 av 2, m? Oppgave 1.21 Regn uten bruk av lommeregner. Finn 2 av 0,12 0,086 1 2 8 1
18 Oppgave 1.22 Alf, Berit og Kristian skal dele 2 000 kr. Alf skal ha, Berit 2 og Kristian resten. Hvor stor del skal Kristian ha av de 2 000 kr? Hvor mange kroner skal Kristian ha? Oppgave 1.2 Jon, Ellen og Tora skal kjøre bil sammen til hytta. De skal dele på å kjøre den 20 km lange veien. Jon kjører 80 km, mens Ellen og Tora kjører like lange strekninger. Hvor stor del av veien kjører Jon? Hvor stor del av veien kjører hver av de to andre? 1.6 Prosentfaktor Oppgave 1.260 Finn prosentfaktoren til 20 % 0 % 12 % 8 % e), % f) 2,8 % Oppgave 1.261 Finn prosenten når prosentfaktoren er 0,2 0,08 0,82 0,00 e) 1,0 f) 2,0 1. Prosentregning Oppgave 1.20 En vare koster normalt 20 kr. Bruk prosentfaktoren og finn prisendringen når prisen øker med, % prisen går ned med 6,2 % Sinus 1TIP > Tall og tallregning Oppgave 1.21 Prisen på en vare gikk opp fra 8 kr til 9 kr. Hvor mange prosent ble prisen satt opp? Prisen på en annen vare ble satt ned fra kr til 8 kr. Hvor mange prosent ble prisen satt ned? Oppgave 1.22 Av en stålplate på 2 kg kapper vi til en plate på 19 kg. Hvor mange prosent er svinnet på? Vi bearbeider platen videre slik at den til slutt veier 1 kg. Hvor mange prosent var det totale svinnet på? Oppgave 1.2 I en klasse er det 1 jenter og 1 gutter. Hvor mange prosent av klassen er jenter, og hvor mange prosent er gutter? Litt ut i skoleåret slutter tre av jentene, mens det begynner en ny gutt. Hvordan er prosentfordelingen mellom jenter og gutter i klassen nå? Oppgave 1.2 En vare koster 120 kr. Prisen på varen blir satt ned to ganger i løpet av kort tid, først med 10 % og seinere med 20 %. Hvor mange kroner har prisen på varen gått ned i alt etter disse to prisendringene? Hvor mange prosent har prisen på varen gått ned i alt etter disse to prisendringene?
Oppgave 1.2 En stålplate er på 2 dm 2. Vi har kappet til platen fra en større plate og fått et svinn på 20 %. Hvor stor var platen før kappingen? Ved å kappe på en annen måte kunne vi klart oss med et svinn på 1 %. Hvor stor måtte platen da ha vært før kappingen? BLANDEDE OPPGAVER Oppgave 1.00 Trekk sammen. 1) 2 + 8 2) 2 6 + ( ) ( ) Bruk lommeregneren og regn ut. 1) 12 1 0 2) 8 2 : 9 8 Oppgave 1.01 Rolf har en ettermiddagsjobb der han tjener 12 kr per time. Neste måned får Rolf 1 % lønnsøkning. Hva blir timelønna til Rolf da? Jannike arbeider normalt 1 timer per uke i en butikk. Eksamen nærmer seg, og Jannike reduserer antallet arbeidstimer med 0 %. Hvor mange timer per uke arbeider Jannike nå? Lise jobber av og til i en sko forretning. I år får hun 108 kr per time, og det er 20 % mer enn hun fikk per time i fjor. Hvor mye fikk hun per time i fjor? Grete jobber i butikk noen dager i uka og tjener 8800 kr i måneden. Hun blir trukket 260 kr i skatt. Hvor mange prosent er skattetrekket? Oppgave 1.02 I den kjemiske analysen av en metallprøve på 2, g ble det funnet 0,069 g nikkel og 0,2 g krom. Hvor mange prosent var det av disse to metallene i prøven? Tinnbronse består hovedsakelig av kopper, tinn og nikkel. I en prøve av metallet på nøyaktig g ble det funnet følgende mengder metall: Kopper,0 g Tinn 0,88 g Nikkel 0,080 g Finn den prosentvise sammensetningen av legeringen. Oppgave 1.0 Trekk sammen. 1) 2 + ( ) 6 2) ( ) ( ) Bruk lommeregneren og regn ut. 1) 2 2) 8 : 2 Oppgave 1.0 1 tomme (") er 2, mm. Hvor mange millimeter er 1 /2" /" /8" 2 1 /" Oppgave 1.0 Finn prosentfaktoren til 1) % 2) 20 % Finn prosenten når prosentfaktoren er 1) 0,02 2) 2,02 Oppgave 1.06 Bruk lommeregneren og regn ut. 6 6 : 6 1 1 + 12 18 ( 2 + 2 ) 2 19
180 Oppgave 1.0 Et stykke bronse veier, kg og består av kopper og resten tinn. Hvor mange kilogram kopper og hvor mange kilogram tinn er det i dette materialstykket? Bronsestykket blir smeltet sammen med 00 g tinn. Hvor mange prosent kopper og hvor mange prosent tinn er det i denne legeringen? Oppgave 1.08 Vi har sammenliknet kaffeprisen i de tre butikkene Arma, Bimi og Centro. En pose kg gullkaffe koster 12,90 kr hos Arma. Hos Bimi er prisen 16,90 kr. Hvor mange prosent dyrere er kaffen hos Bimi enn hos Arma? Hos Centro er prisen på den samme kaffen 12, % høyere enn hos Arma. Hvor mange prosent billigere er kaffen hos Centro enn hos Bimi? På en bensinstasjon kan du også få kjøpt gullkaffe i kg poser. En dag satte de opp prisen med 2,0 kr. Det svarte til en prisøkning på 12, %. Hva kostet kg gullkaffe på bensinstasjonen før og etter prisøkningen? Oppgave 1.09 En plate av syrefast stål veier 26 kg. Vi kapper den til, og svinnet blir på 20 %. Hvor mye veier platen nå? Deretter bearbeider vi platen videre slik at den ferdige platen veier 1,2 kg. Hvor mange prosent var det samlede svinnet på? En annen plate skal også bearbeides. Den ferdige platen skal veie 1,1 kg. Hvor mye må denne platen veie fra begynnelsen dersom svinnet skal være like stort som i oppgave b? Sinus 1TIP > Tall og tallregning Oppgave 1.10 Randi har tenkt å kjøpe seg et nytt snøbrett. Hun får tre ulike tilbud på det snøbrettet hun ønsker seg. 1) Forretningen Sporten kan gi 18 % rabatt på prisen, som er 800 kr. 2) På en sportsmesse kan hun få kjøpt brettet med en rabatt på 2 %. Prisen uten rabatt er 899 kr. ) Gjennom idrettsklubben Aktiv kan hun få kjøpt brettet med et avslag på 22 %. Det svarer til 902 kr i rabatt. Finn ut hvor Randi bør kjøpe snøbrettet. Oppgave 1.11 Bruk lommeregneren og regn ut. + 2 2( ) 2 + ( 2) 2 2 + 2 2 + 6 Oppgave 1.12 Regn uten lommeregner. 1) 2 + 2) 2 + : 2 Regn ut med lommeregner. 1) 2 9 + (2 2 ) 2) 6 2 ( 1 2 ) Oppgave 1.1 1) Et par joggesko koster ordinært 99 kr. Anne kjøper et par og får 1 % avslag. Hvor mye betaler hun for skoene? 2) Noe seinere betaler Odd 99 kr for samme type joggesko. Hvor mange prosent avslag får Odd på den ordinære prisen? Ola og Ida kjøper hver sin lommespiller. Ola betaler 260 kr for sin, og Ida betaler 2 kr for sin. Hvor mange prosent mer betaler Ida? Berit kjøper en joggedress på salg. Hun får 22 kr i avslag på den ordinære prisen. Det svarer til 0 % avslag. Hvor mye betaler Berit for joggedressen?
Oppgave 1.1 Bruk lommeregneren og forkort brøkene. 11 1 _ 2 121 10 91 62 Oppgave 1.1 Vi skal blande mel og sukker. Blandingen skal inneholde mel og resten sukker. Hvor mye mel og hvor mye sukker må vi bruke til en blanding på 1, kg? Hvor mye mel og hvor mye sukker må vi bruke til 2, kg blanding? Hvor mye sukker må vi bruke til 2,1 kg mel? Oppgave 1.16 Bruk lommeregneren og regn ut. 2 ( ) 2 2 e) 1 21 : 10 + 2 9 11 22 2 Oppgave 1.1 På et stort fat ligger det frukt. Det er i alt 0 frukter. av fruktene er epler, 2 appelsiner, og resten er bananer. Hvor mange av hver fruktsort ligger det på fatet? Ola tar vekk ett eple og tre appelsiner og legger en ny banan på fatet. Hvor stor brøkdel er det nå av hver av de tre fruktsortene på fatet? Oppgave 1.18 Tre elever har gjort et arbeid sammen. De skal dele inntekten av arbeidet etter hvor mye hver enkelt har gjort. Den ene eleven har gjort 2 av arbeidet, mens elev nr. 2 har gjort. Hvor stor del av inntekten skal den tredje eleven ha? I en undersøkelse svarte av elevene på en skole at de røykte, mens 2 svarte at de ikke røykte. Hvor stor del av elevene svarte ikke på spørsmålet om de røykte? Oppgave 1.19 En vare koster 2 kr. Prisen på varen blir så satt opp til 28 kr. Hvor mange prosent steg prisen? En annen vare koster 60 kr. Prisen på varen blir så satt opp til 80 kr. Hvor mange prosent steg prisen? Oppgave 1.20 Et støperi har fått bestilling på en støpelegering av aluminiumbronse som skal inneholde 90 % kopper og 10 % aluminium. I en smelte på,800 kg blir det målt 88 % kopper og 12 % aluminium. Hvor mye kopper og hvor mye aluminium er det i denne smelta? Hvor mye kopper må de tilsette for at det skal bli 90 % kopper i legeringen? 181