Innledning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

8 1

Innledning Mål for opplæringen er at eleven skal kunne løse likninger, ulikheter og likningssystemer av første og andre grad og enkle likninger med eksponential- og logaritme funksjoner, både ved regning og med digitale hjelpemidler regne med potenser med rasjonal eksponent og tall på standardform, bokstavuttrykk, formler, parentesuttrykk og rasjonale og kvadratiske uttrykk med tall og bokstaver, og bruke kvadratsetningene til å faktorisere algebraiske uttrykk omforme en praktisk problemstilling til en likning, ulikhet eller et likningssystem, løse dette og vurdere gyldigheten av løsningen

1.1 Regnerekkefølge På ungdomsskolen har du lært mange regneregler for regning med tall. Vi repeterer noen regler. Når vi skal regne ut et uttrykk, gjør vi det i denne rekkefølgen: 1 Regn først ut parentesene. 2 Regn deretter ut potensene. 3 Gjør deretter multiplikasjonene og divisjonene. 4 Gjør til slutt addisjonene og subtraksjonene. Vi viser nå med et eksempel hvordan vi går fram. EKSEMPEL Regn ut 2 (3 + 1) (6 + 2) : 4 + 4 2 3. 2 (3 + 1) (6 + 2) : 4 + 4 2 3 1 Regn først ut parentesene. 2 4 8 : 4 + 4 2 3 2 Regn ut potensene. 2 4 8 : 4 + 4 8 8 2 + 32 22 3 Gjør multiplikasjonene og divisjonene. 4 Gjør til slutt addisjonene og subtraksjonene.!! Legg spesielt merke til hvordan vi regner ut 4 2 3. Det er ikke det samme som 8 3. Når vi skriver 4 2 3, er det bare 2-tallet som skal opphøyes i tredje potens, slik at 4 2 3 4 8 32. Hvis vi vil at 4-tallet også skal opphøyes i tredje potens, må vi sette en parentes og skrive (4 2) 3 8 3 512. Når vi skriver 3 2, er det bare tallet 3 som skal opphøyes i andre potens, ikke tallet 3. Dermed er 3 2 9. Hvis vi vil opphøye tallet 3 i andre potens, må vi skrive ( 3) 2. Det gir ( 3) 2 9. Uttrykket i eksempelet ovenfor kan vi regne ut på lommeregneren. Da er det viktig å vite at det er to ulike minustegn på lommeregneren. Lommeregneren har både et differansetegn og et fortegn. Differansetegnet bruker vi når vi for eksempel skal regne ut 45 12. Fortegnet bruker vi hvis vi skal legge inn et negativt tall, f.eks. 4. Differansetasten står på høyre side av lommeregneren. Fortegnstasten ( ) finner du i den nederste rekka. 10 10 Sinus 1T > Innledning

ON Casio Trykk på tasten ON og velg deretter RUN på ikonmenyen. Legg så inn uttrykket på denne måten: Texas Trykk først på tasten ON og legg inn uttrykket slik det er vist på figuren nedenfor. OFF Legg merke til at det første minustegnet er et fortegn, og at det andre minustegnet er et differansetegn. Legg også merke til at i potenser trykker vi på tasten ^ foran eksponenten. Vi får svaret 22 når vi trykker på EXE. Hvis du ikke får svaret 22, har du tastet feil. Da trykker du på piltasten. Du kan nå flytte markøren framover og bakover i uttrykket ditt og rette opp den feilen du gjorde. Finn også ut hvordan tastene DEL og INS virker. Legg merke til at det første minustegnet er et fortegn, og at det andre minustegnet er et differansetegn. Legg også merke til at i potenser trykker vi på tasten ^ foran eksponenten. Vi får svaret 22 når vi trykker på ENTER. Hvis du ikke får svaret 22, har du tastet feil. Da trykker du på ENTRY. ENTRY står skrevet med gult over tasten ENTER. Du trykker da først på 2nd og deretter på ENTER. Nå kan du flytte markøren framover og bakover i uttrykket ditt og rette opp den feilen du gjorde. Finn også ut hvordan tastene DEL og INS virker.? Oppgave 1.10 Regn ut både med og uten lommeregner. a) 4 2 2 b) 4 ( 2) 2 c) 5 3 2 d) (5 3) 2 e) 2 2 + 3 2 2 ( 2) f) ( 2) 2 + ( 3) 2 2 2 g) ( 3) 2 + 5 ( 3) + 6 Oppgave 1.11 Regn ut både med og uten lommeregner. a) 2(7 5) + 2 b) 3(4 12) + 2 3 2 c) (8 4) ( 3) 2 d) 2 4 + 3(17 3 2 ) + (3 4 2 2 5 2 ) 11

1.2 Bokstavregning og parenteser I uttrykket 2x + 4x står x for en variabel eller et ukjent tall. Uttrykket består av to ledd, 2x og 4x. Bokstavuttrykk eller tall med plusstegn eller minustegn mellom kaller vi ledd. Disse to leddene er av samme type, og dermed kan vi trekke dem sammen: I uttrykket 2x + 4x 6x 4a 2 + 2a + 1 a 2 + 3a 1 er det seks ledd. Leddene 4a 2 og a 2 er av samme type, og vi kan trekke dem sammen. Leddene 4a 2 og 2a er ikke av samme type og kan derfor ikke trekkes sammen. Vi samler ledd av samme type og trekker sammen. 4a 2 + 2a + 1 a 2 + 3a 1 4a 2 a 2 + 2a + 3a + 1 1 3a 2 + 5a Når vi regner med bokstavuttrykk, får vi bruk for å løse opp parenteser. Når vi løser opp en parentes, fjerner vi parentesen. Fra ungdomsskolen kjenner vi reglene nedenfor. Når vi skal løse opp en parentes som har et minustegn foran, må vi skifte fortegn på alle leddene inne i parentesen. En parentes med et plusstegn foran kan vi fjerne uten å endre noe fortegn inne i parentesen. EKSEMPEL Trekk sammen 5a + (3a + 2b) (4a + 2b). 5a + (3a + 2b) (4a + 2b) 5a + 3a + 2b 4a 2b 5a + 3a 4a + 2b 2b 4a 12 12 Sinus 1T > Innledning

? Oppgave 1.20 Trekk sammen uttrykkene. a) 2x 5y + 3x + 7y + 1 b) a 2 + 2a + 3 + a 2 3a 1 c) 2x 2 + x + y 2 2x 2y 2 d) 2xy + xy 2 x 2 y 2xy 2 yx Oppgave 1.21 Løs opp parentesene og trekk sammen. a) (5x + y) + (2x y) b) a + 2b ( a + b) c) (x 2 + 2x + 1) (x 2 2x + 1) d) 2a 2 a 3 + ( a 2 + a + 3) Når vi multipliserer parentesuttrykk, bruker vi disse reglene: Når vi skal multiplisere et tall og et parentesuttrykk, må vi multiplisere tallet med hvert ledd som står inne i parentesen. Når vi skal multiplisere to parentesuttrykk, må vi multiplisere hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre. EKSEMPEL Regn ut. a) 3(x 2 + 3x 2) b) 3(2x 4) c) (2x 3) (x + 2) d) 2y 2 (y + 3)(2y 1) a) 3(x 2 + 3x 2) 3 x 2 + 3 3x 3 2 3x 2 + 9x 6 b) 3(2x 4) ( 3) 2x ( 3) 4 6x + 12 c) (2x 3)(x + 2) 2x x + 2x 2 3 x 3 2 2x 2 + 4x 3x 6 2x 2 + x 6 d) 2y 2 (y + 3)(2y 1) 2y 2 (y 2y + y ( 1) + 3 2y + 3 ( 1)) 2y 2 (2y 2 y + 6y 3) 2y 2 (2y 2 + 5y 3) 2y 2 2y 2 5y + 3 5y + 3 Når vi multipliserer uttrykk med minus foran, må vi beholde parentesen. 13

Et produkt av tre faktorer kan vi regne ut på flere måter. Her skal vi vise hvordan vi kan regne ut 2(t 5)(t + 1 ) på tre forskjellige måter. Metode 1 Vi kan multiplisere parentesene med hverandre først: 2(t 5)(t + 1 2 ) 2(t2 + 1 2 t 5t 5 2 ) 2(t2 9 2 t 5 2 ) 2t2 9t 5 Metode 2 Vi kan multiplisere 2 med (t 5) først: 2(t 5)(t + 1 1 ) (2t 10)(t + 2 2 2t t + 2t 1 2 2 ) 1 10t 10 2 2t2 + t 10t 5 2t 2 9t 5 Metode 3 Vi kan multiplisere 2 med (t + 1 2 ) først: 2(t 5)(t + 1 2 ) (t 5)(2t + 2 1 ) (t 5)(2t + 1) 2 2t 2 + t 10t 5 2t 2 9t 5 Vi ser at alle de tre metodene gir samme svar, og vi kan velge fritt hvilken metode vi vil bruke. Her er kanskje den tredje metoden den beste, for den gir minst brøkregning.!? Når vi skal regne ut 2(t 5)(t + 1 ), må vi ikke multiplisere begge parentesene med 2 2. Oppgave 1.22 Regn ut. a) 2(x + 4) b) 2(t 3) c) 3(2x + 1) 2(3x + 1) d) 5(x 2 + 3x + 2) 5(x 2 + 1) Oppgave 1.23 Trekk sammen. a) 2(2a b) + 3( 2a + 3b) b) 2a(ab b 2 ) 2b(a 2 ab) c) (x + 1)(2x 3) d) (3t 2)(2t + 1) Oppgave 1.24 Trekk sammen. a) (2x 1)(x + 3) + (x 1)(x 4) b) (x + 3)(4x 1) (2x + 1)(2x 3) c) 2(x 1)(2x +3) d) 3 (t + 3)(8t 4) 4 14 14 Sinus 1T > Innledning

1.3 Kvadratsetningene I kapittel 1.2 multipliserte vi parentesuttrykk med hverandre. Vi skal nå multiplisere ut tre spesielle uttrykk: (a + b) 2 (a + b) (a + b) a a + a b + b a + b b a 2 + ab + ab + b 2 a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 (a b) (a b) a a a b b a + ( b) ( b) a 2 ab ab + b 2 a 2 2ab + b 2 (a + b)(a b) a a + a ( b) + b a + b ( b) a 2 ab + ab b 2 a 2 b 2 Vi har nå bevist de tre kvadratsetningene: Første kvadratsetning: (a + b) 2 a 2 + 2ab + b 2 Andre kvadratsetning: (a b) 2 a 2 2ab + b 2 Tredje kvadratsetning: (a + b) (a b) a 2 b 2 I den tredje kvadratsetningen regner vi ikke ut noe kvadrat. Mange kaller denne setningen for konjugatsetningen. Men vi bruker ofte denne setningen den andre veien. Vi får da at a 2 b 2 (a + b)(a b). Det gir oss et uttrykk for en differanse mellom to kvadrater. Vi kaller derfor også denne setningen for en kvadratsetning. EKSEMPEL Regn ut. a) (x + 3) 2 b) (y 5) 2 c) (2t + 1)(2t 1) d) (x + 3) 2 + (x 3) 2 2(x + 3)(x 3) a) (x + 3) 2 x 2 + 2 x 3 + 3 2 x 2 + 6x + 9 b) (y 5) 2 y 2 2 y 5 + 5 2 y 2 10y + 25 c) (2t + 1)(2t 1) (2t) 2 1 2 4t 2 1 Legg merke til at d) (x + 3) 2 + (x 3) 2 2(x + 3)(x 3) (x 2 + 6x + 9) + (x 2 6x + 9) 2(x 2 9) x 2 + 6x + 9 + x 2 6x + 9 2x 2 + 18 0x 2 + 0x + 36 36 (2t) 2 2t 2t 4t 2 15

? Oppgave 1.30 Bruk kvadratsetningene til å regne ut. a) (x 1) 2 b) (x + 4) 2 c) (t + 5) 2 d) (t + 3)(t 3) e) (y 4)(y + 4) f) (t 1 2 )(t + 1 g) (x + 1 2 ) 2 h) (2x 5)(2x + 5) i) (3x 2) 2 2 ) Oppgave 1.31 Bruk om mulig kvadratsetningene når du regner ut og trekker sammen. a) (x + 1) 2 (x + 1)(x 1) b) (x + 3) 2 (x 3) 2 c) (2x 3) 2 4(x + 2)(x 3) d) 2(t 4)(t + 4) + 3(t + 4)! Du kan regne eksemplene på forrige side uten å bruke kvadratsetningene, men du bør likevel bruke dem. Vi skal snart bruke kvadratsetningene baklengs. Hvis vi skal få til det, må vi ha god trening i å bruke kvadrat setningene slik som vist foran. Vi kan også bruke kvadratsetningene til vanlig tallregning. EKSEMPEL Regn ut ved hjelp av kvadratsetningene. a) 19 21 b) 31 31 c) 39 39 d) 53 47 a) 19 21 (20 1) (20 + 1) 20 2 1 2 400 1 399 b) 31 31 31 2 (30 + 1) 2 30 2 + 2 30 1 + 1 2 900 + 60 + 1 961 c) 39 39 39 2 (40 1) 2 40 2 2 40 1 + 1 2 1600 80 + 1 1521 d) 53 47 (50 + 3) (50 3) 50 2 3 2 2500 9 2491? Oppgave 1.32 Regn ut ved hjelp av kvadratsetningene. a) 29 31 b) 19 2 c) 21 2 d) 28 32 e) 35 45 f) 103 97 Oppgave 1.33 Regn ut uten å bruke lommeregner. a) ( 2 + 1)( 2 1) b) ( 5 2)( 5 + 2) c) ( 7 + 3)( 7 3) 16 16 Sinus 1T > Innledning

1.4 Brøkregning På grunnskolen lærte vi å forkorte og utvide brøker. Når vi vil utvide en brøk, multipliserer vi med det samme tallet i telleren og nevneren. Når vi vil forkorte en brøk, dividerer vi med det samme tallet i telleren og nevneren. EKSEMPEL a) Utvid brøken 5 slik at nevneren blir 56. 8 b) Forkort brøken 18 30. a) Ettersom 8 7 56, multipliserer vi telleren og nevneren med 7. 5 8 5 7 8 7 35 56 b) 6 er det største tallet som går opp i både 18 og 30. Vi dividerer derfor telleren og nevneren med 6. 18 30 18 : 6 30 : 6 3 5 Vi kan bruke lommeregneren til å forkorte brøker. ON Casio Velg RUN på ikonmenyen og tast 18 30. Tegnet får du fram ved å trykke på tasten a b / c. Trykk nå på EXE. Da får du svaret 3 som vist 5 på denne figuren: Texas Tast først 18/30. Tegnet / får du fram ved å trykke på tasten. Trykk så på tasten MATH og velg 1: Frac. Trykk nå på ENTER. Da får du svaret 3 5. OFF 17

? Oppgave 1.40 Forkort brøkene både uten og med lommeregner. a) 4 b) 9 c) 18 6 15 21 Oppgave 1.41 Bruk lommeregneren til å forkorte brøkene. 72 a) b) 126 c) 132 120 294 198 d) 153 e) 117 f) 308 51 78 231 d) 42 54 Når vi regner med brøker, bruker vi disse regnereglene: Når vi skal summere brøker, må vi først finne fellesnevneren. Deretter utvider vi alle brøkene så de får den samme nevneren. Til slutt summerer vi tellerne og lar nevneren stå som den er. Når vi skal multiplisere et helt tall og en brøk, multipliserer vi det hele tallet med telleren og lar nevneren stå som den er. Når vi skal multiplisere to brøker, multipliserer vi telleren med telleren og nevneren med nevneren. Vi trenger ikke å finne fellesnevneren. Når vi skal dividere med en brøk, multipliserer vi med den omvendte brøken. EKSEMPEL Regn ut. a) 3 + 5 6 + 4 9 b) 3 17 18 c) 14 15 6 49 d) 35 12 : 28 27 a) Fellesnevneren for de to brøkene er 18. 3 + 5 6 + 4 9 3 1 + 5 6 + 4 9 3 18 1 18 + 5 3 6 3 + 4 2 9 2 54 18 + 15 18 + 8 18 54 + 15 + 8 77 18 18 Vi gjør om tallet 3 til en brøk ved å skrive 3 1. 18 18 Sinus 1T > Innledning

! b) 3 17 1 18 3 17 17 18 6 6 2 2 14 c) 15 6 49 14 6 15 49 2 2 5 7 4 35 5 7 5 9 d) 35 12 : 28 27 35 12 27 35 27 28 12 28 5 9 4 4 4 4 45 16 Vi forkorter brøken før vi multipliserer tallene i telleren og i nevneren. Svarene ovenfor kan vi la stå som uekte brøk. For eksempel trenger vi ikke gjøre om 45 til 2 13. I den videregående skolen bruker vi slike blandede 16 16 tall svært lite. Grunnen er at det er vanlig å utelate multiplikasjonstegn. Tallet 2 13 kan vi derfor lett oppfatte som 2 13 i stedet for 2 + 13, som er det 16 16 16 rette.! Du trenger altså ikke gjøre uekte brøker om til blandede tall, men du må passe på å forkorte alle svar. Alle brøkstykkene foran kan vi også regne på lommeregneren. Vi skal ta noen eksempler. ON Casio Når vi skal regne ut 3 + 5 6 + 4 9 velger vi først RUN på ikon menyen. Tast inn uttrykket og husk på å trykke på tasten a b / c for å få fram symbolet for brøkstrek. Når du trykker på EXE, får du svaret 4 5 18. Texas Når vi skal regne ut 3 + 5 6 + 4 9 taster vi inn uttrykket og bruker det vanlige delingstegnet som brøkstrek. Trykk deretter på MATH og velg 1: Frac. Når du trykker på ENTER, får du svaret 77 18. 19

Legg merke til hvordan lommeregneren skriver blandede tall. Hvis vi vil ha svaret som en uekte brøk, trykker vi på tasten d/c. Symbolet d/c står skrevet med gult over tasten a b / c. Du trykker da på SHIFT og deretter på a b / c. Nå får du svaret 77 som vist på figuren nedenfor. 18 Hvis vi skal regne ut 35 12 : 28 27, setter vi parentes om hver brøk slik som på figuren nedenfor. Grunnen er at lommeregneren ikke skiller mellom brøkstrek og delingstegn. Alle de andre oppgavene i eksempelet foran kan vi regne på tilsvarende måte. OFF Alle de andre oppgavene i eksempelet foran kan vi regne på tilsvarende måte. En brøk med brøker i telleren eller nevneren kaller vi en brudden brøk: 6 5 4 15 Brøkene i teller og nevner kaller vi småbrøker. Her er det 6 5 og 4 som er 15 småbrøkene. Brøkstreken mellom småbrøkene kaller vi hovedbrøkstreken. Når vi skal forenkle en brudden brøk, finner vi først fellesnevneren for småbrøkene. Fellesnevneren i dette tilfellet er 15. Deretter utvider vi den brudne brøken. Det gjør vi ved å multiplisere med fellesnevneren over og under hovedbrøkstreken. 6 6 5 4 5 15 3 1 4 15 1 1 15 15 6 3 3 3 9 4 2 2 2 Den brudne brøken ovenfor kan vi også forenkle ved å dividere: 6 5 4 3 3 3 6 : 4 5 15 6 15 5 4 3 1 3 2 9 2 15 1 2 Den første metoden er mest praktisk når vi skal forenkle brudne brøker som har flere ledd i telleren eller i nevneren. 20 20 Sinus 1T > Innledning

EKSEMPEL Trekk sammen den brudne brøken 2 3 + 5 9 1 + 7 6 Fellesnevneren for småbrøkene er 18. ( 2 1 + 7 3 + 5 ) 9 18 2 6 ( 1 + 7 ) 6 18 3 18 + 5 9 18 1 1 1 18 + 7 6 18 2 3 + 5 9 2 6 + 5 2 18 + 7 3 6 2 12 + 10 18 + 21 22 39 1 3 Lommeregneren kan også brukes til å forenkle brudne brøker. Vi regner ut den brudne brøken i eksempelet. Figurene viser framgangsmåten. ON Casio Texas OFF Legg merke til at vi på begge lommeregnerne må sette parentes om telleren og om nevneren.? Oppgave 1.42 Regn ut både med og uten lommeregner. 1 a) 12 + 4 9 d) 3 + 5 12 1 b) 12 4 9 e) 3 5 12 1 c) 12 : 4 9 f) 3 : 5 12 21

? Oppgave 1.43 Regn ut. a) 2 ( 3 8 + 1 4 ) b) ( 5 6 2 9 ) 3 c) 5 ( 5 36 + 1 12 ) : 2 9 d) ( 7 6 2 9 ) ( 1 5 + 1 4 ) Oppgave 1.44 Regn ut både uten og med lommeregner. a) 2 3 5 6 b) 21 36 c) 14 45 3 2 + 5 8 1 4 + 25 2 d) 3 + 4 3 5 12 + 5 1.5 Rasjonale uttrykk Et rasjonalt bokstavuttrykk er en brøk som inneholder en variabel. Vi bruker de vanlige regnereglene for brøker når vi regner med slike uttrykk. EKSEMPEL Regn ut. a) 5 7 x 2x + 1 4 b) a 2 4 ab c) x 4 : x 12 a) Fellesnevneren for x, 2x og 4 er 4x. Vi utvider brøkene slik at alle får nevneren 4x. 5 7 x 2x + 1 4 4 5 4 x 2 7 2 2x + 1 x 4 x 20 4x 14 4x + x 20 14 + x 6 + x 4x 4x 4x b) Vi multipliserer telleren med telleren og nevneren med nevneren. a 2 4 ab a 4 1 2 2 ab a 4 2 a b 2 b 1 1 c) Når vi dividerer med en brøk, multipliserer vi med den omvendte brøken. 3 x 4 : x 12 x 4 12 x 12 x 4 x 12 x 1 4 x 3 1 3 1 1 22 22 Sinus 1T > Innledning

? Oppgave 1.50 Trekk sammen. a) a 2 + a 3 + a 6 b) 1 2a + 1 3a + 1 6a c) 2 + 3 x 2x 4 3x Oppgave 1.51 Trekk sammen. a) 2a 3 6 b) 2x2 a 3y 5y2 4x c) 8a 5 : 4a 15 d) 6a 5 : 2a Oppgave 1.52 Trekk sammen. a) 2 3 5 + 1 a 2 7 3a b) 2 x ( 5x 3 7x 6 ) c) ( x2 3 + 5x 6 ) : x 12 Hvis telleren inneholder en sum, må vi sette parentes om summen når vi setter uttrykkene på felles brøkstrek. EKSEMPEL Regn ut. a) 2x + 3 3 x + 1 6 b) 8 3 x + 1 4 a) 2x + 3 3 x + 1 6 2 (2x + 3) 2 3 4x + 6 6 b) 8 3 x + 1 8 (x + 1) 4 3 4 2 x + 1 6 x + 1 6 (4x + 6) (x + 1) 6 4x + 6 x 1 6 3x + 5 6 1 2(x + 1) 2x + 2 3 3 23

Brudne brøker som inneholder en variabel, er det lettest å forenkle hvis vi multipliserer over og under hovedbrøkstreken med fellesnevneren for småbrøkene. EKSEMPEL Regn ut. x 2 + 2 x 4 + 1 2 Fellesnevneren for småbrøkene er 4. Vi multipliserer derfor med 4 over og under hovedbrøkstreken. x 2 + 2 4 ( x 2 + 2 ) x 4 + 1 4 2 ( x 4 + 1 2 ) 2 4 x 2 + 4 2 1 2x + 8 4 x 4 + 4 1 1 2 x + 2 2 1 1? Oppgave 1.53 Regn ut. a) 2x + 3 x + 1 4 4 c) x + 2 2x 2x 1 3x b) a + 2 2 d) 2 + a 2 a 2a 1 6 2a a + 3 3a Oppgave 1.54 Regn ut. 2x 5 + 1 2 a) x 2 1 10 b) 1 x + 1 2 1 + 2 x c) 1 2 a b 2 a 1 b d) 1 + 1 x 6 1 2x 1 3x 24 24 Sinus 1T > Innledning

1.6 Likninger På ungdomsskolen lærte vi å løse likninger. Vi bruker disse reglene: Vi kan trekke fra eller legge til det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet. Vi kan multiplisere eller dividere med det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet dersom tallet ikke er null. Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av likhetstegnet hvis vi samtidig skifter fortegn på leddet. Når vi har løst en likning, kan vi sette prøve på svaret. Vi setter da inn løsningen i likningen og kontrollerer at begge sidene av likhetstegnet har samme verdi. EKSEMPEL Løs likningen og sett prøve på svaret. 5x + 3 2x 11 5x + 3 2x 11 5x + 2x 11 3 7x 14 7x 7 14 7 x 2 Vi kontrollerer løsningen ved å sette prøve. Venstre side: 5x + 3 5 ( 2) + 3 10 + 3 7 Høyre side: 2x 11 2 ( 2) 11 4 11 7 Venstre og høyre side er like. Løsningen er derfor riktig.? Oppgave 1.60 Løs likningene og sett prøve på svaret. a) 2x + 1 5 b) 3x 1 x + 2 c) 2x + 2 2x 2 d) 2x + 2 3x + 7 25

? Oppgave 1.61 Løs likningene. a) 12x 13 9x 7 b) 7x + 11 2x 3 c) 0,02x + 0,7 0,03x + 0,2 Når vi skal løse en noe mer sammensatt likning, kan det ofte svare seg å bruke denne framgangsmåten: 1 Løs opp parenteser. 2 Multipliser med fellesnevneren på begge sidene av likhetstegnet hvis det fins brøker. 3 Trekk sammen leddene på begge sidene av likhetstegnet. 4 Samle alle leddene med den ukjente på venstre side og alle andre ledd på høyre side. 5 Trekk sammen leddene på begge sidene av likhetstegnet. 6 Finn løsningen ved å dividere på begge sider av likhetstegnet med det tallet som står foran den ukjente. EKSEMPEL Løs likningen x 2 ( 1 + x 3 ) x + 1 6 x 2 ( 1 + x 3 ) x + 1 6 x 2 1 x 3 x + 1 6 1 ( x 2 1 x 3 ) 6 ( x + 1 6 ) 6 2 x 2 6 1 6 x 3 6 x 6 + 1 6 6 3x 6 2x 6x + 1 x 6 6x + 1 3 x + 6x 1 + 6 4 7x 7 5 x 1 6 Tallene viser til numrene i framgangsmåten foran. Fellesnevneren er 6. Vi dividerer med 7. 26 26 Sinus 1T > Innledning

I noen likninger finner vi den ukjente i nevneren. I slike tilfeller bruker vi regnereglene slik vi har gjort foran, men da må vi alltid kontrollere den løsningen vi kommer fram til. Noen ganger kan den gi null i en nevner. Da kan vi ikke bruke løsningen. EKSEMPEL Løs likningene. a) 5 x + 3 1 x + 1 b) x 1 2x + 1 6x 1 3 1 3x a) Vi multipliserer med x på begge sidene av likhetstegnet. 5 x + 3 1 x + 1 x 5 x x + 3x 1 x x + x 5 + 3x 1 + x 3x x 1 5 2x 4 x 2 x 2 gir ikke null i noen nevner og er dermed en løsning på oppgaven. b) Fellesnevneren for 2x, 6x, 3 og 3x er 6x. Vi multipliserer derfor med 6x på begge sidene av likhetstegnet. x 1 2x ( x 1 2x + 1 6x 1 3 1 3x + 1 6x ) 6x ( 1 6x 3 1 3x ) 6x x 1 3 6x + 1 2x 6x 6x 1 3 6x 2 1 3x 6x 2 (x 1) 3 + 1 2x 2 3x 3 + 1 2x 2 3x 2 2x 2 3x 2x 2 + 2 x 0 x 0 gir null i tre av nevnerne i likningen i oppgaven. Da kan vi ikke sette inn x 0. Likningen har ingen løsning. 27

? Oppgave 1.62 Løs likningene og sett prøve på svaret. a) 1 3 x + 2 1 2 x 1 3 x 2 c) 3 2 x 2 b) 2(x 1) 1 (x 3) 3 d) 1 2x 3 4 + 2x 3 5 5 Oppgave 1.63 Løs likningene. a) 2 + 3 0 b) 5 3 8 x x c) x 1 + 2 1 x x d) x 1 x 2 + 2 3 x 2 Oppgave 1.64 Løs disse oppgavene ved hjelp av likninger. a) Finn tre hele tall som følger etter hverandre og er slik at summen av tallene blir 123. b) Finn fem partall som følger etter hverandre og er slik at summen av tallene blir 240. 1.7 Innsettingsmetoden Likningssettet 5x 2y 4 x + y 5 er et eksempel på to likninger med to ukjente.! Å løse et slikt likningssett med to ukjente er det samme som å finne verdier for x og y som passer i begge likningene samtidig. Nå skal vi løse likningssettet ved regning. Da bruker vi en metode som vi kaller innsettingsmetoden. Først finner vi et uttrykk for enten x eller y i en av likningene og setter dette uttrykket inn i den andre likningen. Her velger vi å finne et uttrykk for x fra den andre likningen. x + y 5 x 5 y 28 28 Sinus 1T > Innledning

Deretter setter vi inn dette uttrykket for x i den første likningen: 5x 2y 4 5 (5 y) 2y 4 25 5y 2y 4 7y 4 25 7y 21 Vi dividerer med 7. y 3 Til slutt finner vi x ved å sette inn i uttrykket x 5 y. x 5 y 5 3 2 Løsningen blir x 2 og y 3. EKSEMPEL Løs likningssettet 2x y 8 3x + 4y 1 Vi velger å finne et uttrykk for y fra den første likningen. 2x y 8 y 2x + 8 Multipliser alle leddene med 1. y 2x 8 Dette uttrykket for y setter vi inn i den andre likningen. 3x + 4y 1 3x + 4(2x 8) 1 3x + 8x 32 1 11x 33 x 3 Vi finner y ved å sette x 3 inn i uttrykket for y. y 2x 8 2 3 8 6 8 2 Løsningen er x 3 og y 2.? Oppgave 1.70 Løs likningssettet ved regning. x + 2y 4 2x + y 3 29

? Oppgave 1.71 Løs likningssettene ved regning. a) x + 2y 5 b) 3x + 4y 1 x + y 2 6x + y 7 c) x 2y 4 d) x + 2y 2 3x y 3 1 2 x + y 1 Vi kan også løse likningssett på lommeregneren. Det gjør vi med likningssettet i eksempelet på forrige side. ON Casio Vi velger EQUA på ikonmenyen, trykker på F1 (Simultaneous). Så velger vi to ukjente ved å trykke på F1. Tallene i likningssettet legger vi inn på denne måten: Texas Vi må legge inn det programmet som står bak i boka. Du kan også få det overført via kabel fra en som allerede har lagt det inn. Med programmet på plass trykker du på PRGM og velger LIKNSETT. Så legger du inn tallene på denne måten: Til slutt trykker vi på F1 (SOLV). Det gir dette skjermbildet: Du får så fram løsningen slik: OFF Løsningen er x 3 og y 2. Løsningen er x 3 og y 2. 30 30 Sinus 1T > Innledning

? Oppgave 1.72 Løs likningssettene ved hjelp av lommeregneren. a) 2x + y 1 b) x + 2y 2 1 2 x y 3 x + y 2 2 c) x + 2y 7 d) 0,1x + y 2,4 2x y 5 0,4x + y 3,4 2 1.8 Ulikheter I mange praktiske sammenhenger har vi bruk for å vite om en størrelse er større enn eller mindre enn en annen størrelse. I matematikken kaller vi slike problemer ulikheter. Vi har fire forskjellige ulikhetssymboler. Det er < (mindre enn), (mindre enn eller lik), > (større enn) og (større enn eller lik). Når vi skriver x < 3, betyr det at x er et tall som er mindre enn 3. Uttrykket x 5 forteller at x er et tall som er større enn eller lik 5. Vi legger merke til at åpningen i ulikhetstegnet alltid peker mot det største tallet. Ulikheter løser vi omtrent på samme måten som likninger. Vi har disse regnereglene: Vi kan legge til eller trekke fra det samme tallet på hver side av ulikhetstegnet. Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av ulikhetstegnet hvis vi skifter fortegn på leddet. Vi kan multiplisere eller dividere med et tall som ikke er null, på begge sidene av ulikhetstegnet. Hvis tallet er negativt, må vi snu ulikhetstegnet. På slutten av kapittelet forklarer vi hvorfor vi må snu ulikhetstegnet når vi ganger med negative tall på begge sidene av ulikhetstegnet. 31

EKSEMPEL Løs ulikhetene. a) 3x + 4 < x + 8 b) x 2(4 x) 5x + 2 a) Vi bruker reglene på forrige side. 3x + 4 < x + 8 3x x < 8 4 2x < 4 2x 2 < 4 2 x < 2 b) x 2(4 x) 5x + 2 x 8 + 2x 5x + 2 x + 2x 5x 2 + 8 2x 10 Nå dividerer vi med 2 på begge sidene av ulikhetstegnet. Da må vi snu tegnet. 2x 2 10 2 x 5? Oppgave 1.80 Løs ulikhetene. a) 3x + 2 > 8 b) 2x + 5 > x 1 c) x 3 < 3x 1 d) 2(x 1) 3(x 6) Oppgave 1.81 Løs ulikhetene. a) 2x 5 > 4x + 1 b) 2(3 x) < 2 + 3(x 1) c) 2 + 3x 6(1 x 2 ) > 0 d) 2 5 3 2 x < 1 3 x 5 e) 2 x 1 6 > 7 6 + 9 2 x Vi har til nå arbeidet med ferdig oppsatte ulikheter. I praktiske oppgaver må vi stille opp ulikhetene selv. 32 32 Sinus 1T > Innledning

EKSEMPEL I Øverbygda er det 120 cm snø i påska. Etter påske minker snømengden med 4 cm per dag. Når er det mindre enn 40 cm snø i Øverbygda? Etter x dager er snømengden s målt i centimeter gitt ved formelen s 120 4x Vi skal finne ut når snømengden er mindre enn 40 cm. Det er det samme som at s < 40. Ettersom s 120 4x, gir det ulikheten 120 4x < 40 4x < 40 120 4x < 80 4x 4 > 80 4 x > 20 Vi dividerer med 4. Da må vi snu ulikhetstegnet. Når det har gått mer enn 20 dager, er snømengden mindre enn 40 cm.? Oppgave 1.82 La x være lengden av en drosjetur målt i kilometer. Prisen U i kroner er gitt ved U 9,40x + 20 a) Hvor langt kan vi kjøre hvis prisen skal være mindre enn 255 kr? b) Hvor langt kan vi kjøre hvis prisen skal være større enn 302 kr? Oppgave 1.83 Temperaturen i ei bestemt termosflaske er 86 C og synker med 2,5 grader per time. a) Når er temperaturen over 61 C? b) Når er temperaturen under 71 C? 33

? Oppgave 1.84 Anne og Einar er på tur. Anne har med seg 1200 kr og bruker 60 kr per dag. Einar har med seg 1000 kr og bruker 40 kr per dag. Når har Einar mer penger enn Anne? Oppgave 1.85 Løs ulikhetene. a) 8 2 ( a 1 ) 2 < 2 3 a 3 ( 2 a 3 ) b) 6 4(t 8) + 2t > 34 6t 2s + 1 c) 4(2s 1) < 1 2 Nå skal vi vise at vi kan multiplisere med et tall a på begge sidene av ulikheten x > y. At x > y, er det samme som at x y > 0. Tallet x y er dermed positivt. La nå a være et positivt tall. Hvis også (x y) er et positivt tall, får vi et positivt tall når vi ganger sammen tallene a og (x y). Det bruker vi i denne utledningen: x > y x y > 0 a (x y) > 0 a x a y > 0 a x > a y Vi ser at i ulikheten x > y kan vi multiplisere med et positivt tall a på begge sidene av ulikhetstegnet. La nå a være et negativt tall. Hvis (x y) da er et positivt tall, er produktet av a og (x y) et negativt tall. Det gir x > y x y > 0 a (x y) < 0 a x a y < 0 a x < a y I ulikheten x > y må vi snu ulikhetstegnet når vi multipliserer med et negativt tall på begge sidene av ulikhetstegnet. Det gjelder i alle ulikheter og for alle de fire ulikhetstegnene <,, > og. 34 34 Sinus 1T > Innledning

1.9 Formler Marit arbeider i en forretning som er åpen hver dag. Hun får 120 kr timen på hverdagene og 150 kr timen på søndagene. Hvis Marit ei uke arbeider x timer på hverdagene og y timer på søndagen, blir lønna L i kroner L 120x + 150y Dette er en formel for lønna L. Vi kan bruke denne formelen til å regne ut lønna når vi vet hvor mye hun har arbeidet på hverdager og på søndager. Hvis hun arbeider 10 timer på hverdagene og 4 timer på søndagen, blir lønna i kroner L 120 10 + 150 4 1800 Lønna blir 1800 kr. Her har vi satt x 10 og y 4 inn i formelen for L. Lønna L har vi funnet ved å sette inn i formelen. EKSEMPEL Mona Mo har nettopp fylt opp tanken på mopeden sin med bensin. Når hun har kjørt x mil, er antallet liter bensin på tanken gitt ved formelen b 6 0,2x a) Hvor mye bensin er det på tanken når hun har kjørt 15 mil? b) Hvor langt har hun kjørt når det er 2 liter bensin igjen på tanken? c) Hvor langt kan hun kjøre før tanken er tom? a) Når hun har kjørt 15 mil, er x 15. Antallet liter bensin er da b 6 0,2x 6 0,2 15 6 3 3 Det er 3 liter bensin igjen på tanken. b) Når det er 2 liter bensin igjen på tanken, er b 2. Det gir denne likningen: b 2 6 0,2x 2 0,2x 2 6 0,2x 4 35

0,2x 0,2 4 0,2 4 x 0,2 x 20 Hun har kjørt 20 mil. c) Tanken er tom når det er 0 liter bensin igjen. Det gir denne likningen: b 0 6 0,2x 0 0,2x 0 6 0,2x 6 0,2x 0,2 6 0,2 6 x 0,2 x 30 Hun kan kjøre 30 mil. EKSEMPEL 36 36 Sinus 1T > Innledning I skihopping er det en fordel å være lett. I 2005 ble det innført regler som skulle hindre at hoppere slanket seg for mye. Reglene bygger på kroppsmasseindeksen. Dette tallet blir ofte kalt BMI etter engelsk body mass index. BMI-verdien regner vi ut slik: vekt BMI høyde høyde der høyden er i meter. Vekten er i kilogram, og da er hopputstyret medregnet. For å få hoppe i konkurranser må hopperne ha en BMI-verdi over 20. a) Skriv formelen med vanlige matematiske symboler. b) Sverre Sletta er 178 cm høy og veier 64 kg medregnet hopp utstyret. Finn BMI-verdien hans. Får Sverre hoppe? c) Kåre Kulen er 175 cm høy. Hvor mye må Kåre minst veie medregnet hopputstyret om han skal få lov å hoppe?

a) Vi lar h være høyden i meter, v er vekten i kilogram, og BMIverdien kaller vi b. Da er v b h h b v h 2 b) Vi setter v 64 og h 1,78. BMI-verdien er da b v h 2 64 1,78 2 20,2 Ettersom BMI-verdien er over 20, får Sverre Sletta lov til å hoppe. c) Vi snur formelen og setter inn de størrelsene vi kjenner. v h 2 b v 1,75 2 20 v 20 3,0625 3,0625 v 3,0625 20 3,0625 3,0625 v 20 3,0625 61 Kåre Kulen må veie minst 61 kg.? Oppgave 1.90 Martin brukte mobiltelefonen og ringte hjem. For en samtale som varer i x minutter, er prisen i kroner gitt ved formelen p 0,89x + 0,54 a) Hvor mye koster en samtale som varer i 5 minutter? b) Hvor lenge varte samtalen når den kostet 6,77 kr? Oppgave 1.91 Mona Mo kjøper en moped som koster 18 000 kr. Hun regner med at verdien minker med 300 kr per måned. a) Finn en formel for verdien V av mopeden om t måneder. b) Bruk formelen til å finne verdien om 2 år. c) Hvor lang tid går det før verdien av mopeden er halvert? 37

? Oppgave 1.92 Mona har i alt 4200 kr i faste utgifter til mopeden per år. I tillegg regner hun med at det går 2 kr per mil til bensin. a) Finn en formel for utgiftene U kroner når hun kjører x mil per år. b) Finn utgiftene når hun et år kjører 2000 km. c) Hvor langt har hun kjørt når utgiftene er 4700 kr? Ved hjelp av en formel kan vi lage nye formler. Vi bruker da regnereglene for likninger. La U være salgsprisen uten merverdiavgift for en vare. Hvis merverdiavgiften er 25 %, er prisen P med merverdiavgift P 1,25 U Vi skal finne en formel for prisen U uten merverdiavgift. Først lar vi de to sidene i formelen bytte plass. Deretter deler vi med 1,25 på begge sidene av likhetstegnet: 1,25 U P 1,25 U 1,25 U P 1,25 P 1,25 Nå har vi funnet formelen. Hvis prisen med merverdiavgift er 1062,50 kr, er prisen uten merverdiavgift 1062,50 kr U 850 kr 1,25 EKSEMPEL Mari har mobiltelefon. Hvis hun en måned ringer i x minutter, er utgiftene U i kroner gitt ved formelen U 1,39x + 50 a) Finn en formel for ringetida x. b) Hvor mange minutter kan Mari ringe for 1000 kr? 38 38 Sinus 1T > Innledning

a) Først snur vi formelen. 1,39x + 50 U 1,39x U 50 1,39x 1,39 U 50 1,39 x U 50 1,39 b) Vi setter U 1000 inn i formelen og får x U 50 1,39 1000 50 1,39 950 1,39 683 For 1000 kr kan Mari ringe i 683 minutter.? Oppgave 1.93 Hvis Sara kjører x mil med mopeden på ett år, er utgiftene i kroner gitt ved U 3x + 3500 a) Finn en formel for x uttrykt ved utgiftene U. b) Bruk formelen til å finne hvor mange mil hun kan kjøre for 5000 kr. Hva blir utgiftene per mil da? Oppgave 1.94 Med et abonnement er prisen P i kroner for x tekstmeldinger P 0,69x + 49 a) Finn en formel for x uttrykt ved prisen P. b) Bruk formelen til å finne hvor mange tekstmeldinger vi kan sende for 250 kr. Oppgave 1.95 BMI-verdien b til en person er gitt ved formelen b v h 2 der v er vekten i kilogram og h høyden i meter. a) Finn en formel for vekten v uttrykt ved høyden h og BMI-verdien b. b) Bruk formelen til å finne vekten til en person som er 183 cm høy når BMI-verdien er 25. 39

SAMMENDRAG Regnerekkefølge 1 Regn først ut parentesene. 2 Regn deretter ut potensene. 3 Gjør deretter multiplikasjonene og divisjonene. 4 Gjør til slutt addisjonene og subtraksjonene. Å løse opp parenteser Når vi skal løse opp en parentes som har et minustegn foran, må alle leddene inne i parentesen skifte fortegn. En parentes med et plusstegn foran kan vi fjerne uten å endre noe fortegn inne i parentesen. Multiplikasjon med parentes Når vi skal multiplisere et tall og et parentesuttrykk, må vi multiplisere tallet med hvert ledd som står inne i parentesen. Når vi skal multiplisere to parentesuttrykk, må vi multiplisere hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre. Kvadratsetningene Første kvadratsetning: (a + b) 2 a 2 + 2ab + b 2 Andre kvadratsetning: (a b) 2 a 2 2ab + b 2 Tredje kvadratsetning: (a + b) (a b) a 2 b 2 Regneregler ved brøkregning Når vi forkorter en brøk, dividerer vi med det samme tallet i telleren og nevneren. Brøken endrer ikke verdi. Vi utvider en brøk ved å multiplisere med det samme tallet i telleren og nevneren. Brøken endrer da ikke verdi. Når vi skal summere brøker, må vi først finne fellesnevneren. Deretter utvider vi alle brøkene så de får den samme nevneren. Til slutt summerer vi tellerne og lar nevneren stå som den er. Når vi skal multiplisere et helt tall og en brøk, multipliserer vi det hele tallet med telleren og lar nevneren stå som den er. Når vi skal multiplisere to brøker, multipliserer vi telleren med telleren og nevneren med nevneren. Vi trenger ikke finne fellesnevneren. Når vi skal dividere med en brøk, multipliserer vi med den omvendte brøken. 40 40 Sinus 1T > Innledning

Regneregler for likninger Vi kan trekke fra eller legge til det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet. Vi kan multiplisere eller dividere med det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet dersom tallet ikke er null. Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av likhetstegnet hvis vi samtidig skifter fortegn på leddet. Regneregler for ulikheter Vi kan legge til og trekke fra det samme tallet på begge sidene av ulikhetstegnet. Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av ulikhetstegnet hvis vi skifter fortegn på leddet. Vi kan multiplisere eller dividere med et tall som ikke er null, på begge sidene av ulikhetstegnet. Hvis tallet er negativt, må vi snu ulikhetstegnet. Innsettingsmetoden Når vi skal løse et likningssett ved regning, finner vi et uttrykk for x eller y i en av likningene. Dette uttrykket setter vi inn i den andre likningen. Det gir oss en likning med én ukjent som vi løser. 41