8.5.5 EKSAMEN øigforlg Emekode: ITD5 ITD5 Dto: 8. mi 5 Hjelpemidler: Eme: Mtemtikk dre delekme Ekmetid: 9.. Fglærer: - To A-rk med vlgfritt ihold på begge ider. - Formelhefte. Chriti F Heide Klkultor er ikke tilltt. Ekmeoppgve: Oppgveettet betår v ek ider ikluiv dee foride to vedlegg. Kotroller t oppgveettet er komplett før du begyer å bevre pørmålee. Oppgveettet betår v 8 oppgver med i lt delpørmål. Ved eur vil lle delpørmål telle like mye. Der det er mulig kl du: vie utregiger hvord du kommer frm til vree begrue die vr elv om dette ikke er ekpliitt gt i hvert pørmål Seurdto:. jui 5 Krkteree er tilgjegelige for tudeter på tudetweb eet virkedger etter oppgitt eurfrit. Følg itrukjoer gitt på: www.hiof.o/tudetweb ITD5 ITD5 Mtemtikk dre delekme mi 5 løig Side v
Oppgve Figure vier fukjoe y co. 5 5-5 5 5 5 5 5 5 55 6 65 7 co - -5 ) Fi relet v det krverte området ltå relet uder grfe til co fr = til der grfe kjærer -ke. Dette relet fier vi ved å itegrere co mellom der fukjoe kjærer - ke. Dette kjer der co = ltå ved A co d [i ] (i i ) b) Det krverte feltet rotere om y-ke. Fi volumet v det omdreiiglegemet om d frmkommer. Omkrete v et ifiiteimlt tyt yliderkll om y-ke vil være fordi rdiu vil være. Høyde til kllet vil være y = co. Arelet v dette yliderkllet er omkrete gger høyde vil følgelig være. Volumet v et likt yliderkll om hr e tykkele på d vil være. Volumet v hele omdreiiglegemet vil derfor være itegrlet v dv co d dette mellom : : O r A co V co d co d Her må vi bruke delvi itegrjo for å fie itegrlet (derom ikke det tår i formelmlige). Regele for delvi itegrjo k krive lik: u ' v d uv uv' d Vi velger u' co v = ITD5 ITD5 Mtemtikk dre delekme mi 5 løig Side v
om gir u = i v = Følgelig får vi V i i d ( i ) i i d [ co ] ( co ( ) ( co)) Oppgve ø differeilligige y' y Dee er ikke eprerbr me k vi løe ved å bruke metode med itegrerede fktor. Vi må ført brige de på tdrd form ved å dele lle ledd med : y' y Vi fier å e tiderivert til fktore for y: d l Side det er oppgitt t > treger vi ikke å t boluttverdie til følgelig hr vi t l l De itegrerede fktor fier vi ved å ekpoetiere dette dv: e l Vi k videre beytte regele l b l b på ekpoete får t dette er ITD5 ITD5 Mtemtikk dre delekme mi 5 løig Side v
e l e l Vi gger å hele differeilligige med om er de åklte itegrerede fktor får y' om etter ordig blir y y' y 6 Vetre ide k å forekle lik t vi k krive ligige lik: 6 ( y)' Vi itegrerer å begge ider med hey på : om gir 6 ( y)' d ( ) d y 7 7 5 5 C Vi løer å med hey på y ved å gge hele ligige med : dv. y y C 7 5 7 5 C 7 5 Oppgve ø differeilligige y' ' y' y med greebetigelee y ( ) 7 y '(). Dee differeilligige hr kotte koeffiieter vi k derfor bruke tekikke med krkteritik ligig. De krkteritike ligige er med løiger ITD5 ITD5 Mtemtikk dre delekme mi 5 løig Side v
( ) ( ) Med to reelle løiger v de krkteritike ligige vil de geerelle (llmee) løige v differeilligige være (det er ikke gitt i oppgve hv de frie vribele heter å jeg velger å klle de ): y Ce C e Vi bruker å greebetigelee geerelle løige. gir: y( ) 7 y( ) 7 y' () for å fie kottee i de dv. eller C C e Ce C 7 C 7 C 7 For å kue bruke de dre greebetigele må vi derivere de geerelle løige: y' C e C e Setter vi å i betigele y' () får vi om gir C e Ce C C Setter vi å i det vi ft ovefor ltå C 7 C får vi om gir dv. følgelig C (7 C) C C 7 C C 7 5 øige blir derfor ITD5 ITD5 Mtemtikk dre delekme mi 5 løig Side 5 v
y e 5 e Oppgve Bruk lplcetrformjoe til å løe følgede iitilverdiproblem hvor ehetpul (Dirc delt): (t) er e y' ' y ( t) y ( ) y'() plcetrformerer vi ligige får vi Y Y Vi order dee lik t lle ledd med Y kommer på vetre ide rete på høyre ide: Y Y Vi etter Y utefor prete på vetre ide: ( ) Y Vi deler med ( ) på begge ider får Y Vi er t evere ikke hr reelle røtter (fordi ikke hr reelle løiger). Vi må derfor e om vi k bruke lplcetrformee til iu coiu for å fie y(t). Vi deler d opp uttrykket på følgede måte: Y Fr tbelle med lplcetrformjoer er vi t Dette betyr t (co t ) (i t ) co t ITD5 ITD5 Mtemtikk dre delekme mi 5 løig Side 6 v
i t Dv y(t) = cot i t Oppgve 5 Fi egeverdier tilhørede egevektorett til følgede mtrie: A Vi fier ført egeverdiee. Egeverdiee er de om er løiger v ligige. Vi fier ført dee determite: det( A I) det( A I) ( )( ) ( )( ) 5 Vi fier å de om gjør dee lik : om gir 5 ( 5) ( 5) 5 5 6 5 Egeverdiee er følgelig 5 5 Egevektoree er de -vektorer om er ikke-trivielle løiger v ligigytemee I = A I A = Egevektorettet tilhørede : Koeffiietmtrie til dette ligigytemet er A I ITD5 ITD5 Mtemtikk dre delekme mi 5 løig Side 7 v
A I øige v ligigytemet = fier vi å ved elemetære rekkeoperjoer på dee koeffiietmtrie: ~ R ' R R ~ ' R ( ) R Her vil d kue være e fri vribel vi etter Førte rekke gir følgede ligig: om med gir Skrevet på vektorform blir dee løige: = Egevektorettet tilhørede : Koeffiietmtrie til dette ligigytemet er A I A I øige v ligigytemet = fier vi å ved elemetære rekkeoperjoer på dee koeffiietmtrie: ~ R ' R R k være e fri vribel vi etter t ITD5 ITD5 Mtemtikk dre delekme mi 5 løig Side 8 v
Førte rekke gir følgede ligig: dv. om med t gir t Skrevet på vektorform blir dee løige: t = t t t eller derom vi vil ugå brøker k vi krive (ide t er vilkårlig): = r r Oppgve 6 Gitt e mtrie A De reduerte trppforme til dee mtrie er ) Der koloevektoree i mtrie A e bi for R? Begru vret. For t koloevektoree i A kl de e bi må de være lieært uvhegige. Fordi e v rekkee i de reduerte trppeforme betår v bre uller vet vi t determite til A er. Dette iebærer t koloee i A ikke er lieært uvhegige de der derfor ikke e bi for R. Dette k ltertivt begrue med t ligigytemet A = hr ikke-trivielle løiger. b) Et vektorrom V er defiert ved ITD5 ITD5 Mtemtikk dre delekme mi 5 løig Side 9 v
ITD5 ITD5 Mtemtikk dre delekme mi 5 løig Side v V = Sp Merk t die vektoree er koloevektoree i mtrie A. Fi e bi for V. V er det vektorrommet om koloevektoree i A utpeer å klt koloerommet til A. E bi for dette rommet er de koloee i A om hr ledede elemeter i de reduerte trppforme (om ble oppgitt i pørmål ) ltå koloe. E bi for V er følgelig c) Fi e bi for ullrommet til mtrie A. Nullrommet til A er megde v lle løiger til ligigytemet A = e bi fier vi år vi kriver løigee på vektorform. Av de reduerte trpperforme til A om ltå er lik ut er vi t vi k velge om fri vribel vi etter. Fr rekke fier vi følgelig Fr rekke fier vi følgelig Fr rekke fier vi
ITD5 ITD5 Mtemtikk dre delekme mi 5 løig Side v følgelig Skrvet på vektorform blir dee løige E bi for ullrommet til A er derfor Oppgve 7 Begru t følgede uedelige rekke kovergerer fi umme: Dette er e geometrik rekke. Derom e ikke er dette direkte k e krive ut rekke lik: Vi er t et ledd delt på det foregåede lltid er k rekke er følgelig geometrik. Side k kovergerer rekke. Det førte leddet er umme er derfor 6 k S
Oppgve 8 Fi fourierrekke til de periodike fukjoe f (t) om hr periode om er gitt ved: f ( t) t t Vi k ført lge e kie v fukjoe for å h e ide om hvord de er ut: π π π π π t π Fourierrekke til e periodik fukjo er gitt ved f ( t) ~ co( t) b i( t med fourierkoeffiieter gitt ved f ( t) dt ) f ( t) co( t) dt f ( t) i( b t) dt Vår fukjo hr periode hlve periode vil følgelig være prmetere om igår i fourieritegrlee om er lik. Dee fukjoe er ymmetrik om.-ke (t-ke). vil derfor være. Dette vil vi å e derom vi reger ut : f ( ) d ( t) dt t ITD5 ITD5 Mtemtikk dre delekme mi 5 løig Side v
( ) Så reger vi ut koeffiietee for coiu-leddee: ( t) co( t) Fukjoe vår er e odde fukjo (like fukjoer hr de egekpe t Coiu er e like fukjo (krkteriert ved t dt f ( t) f ( t) fukjo er e odde fukjo. Itegrlet v e odde fukjo fr uett hv p er. Itegrlet vårt vil derfor være lle Koeffiietee for iu-leddee er gitt ved b ( t) i( t) dt t i( t) dt f ( t) f ( t) ). E like gger e odde. t p Vi må bruke delvi itegrjo for å fie dette itegrlet. Vi velger o til t p vil være ). om gir u' i t u cot v t v' Vi får d b ) t ( cot) ( cot dt co ( )co( ) i t Fordi coiu er e like fukjo vil co( ) co. Dette bruker vi år vi reger ut de førte pretee uttrykket blir d b co co i i( ) Fordi iu er e odde fukjo vil dre pretee uttrykket blir d i( ) i. Dette bruker vi år vi reger ut de b co i ( i co i ) ITD5 ITD5 Mtemtikk dre delekme mi 5 løig Side v
Nå vet vi t å lege er et heltll (for ekempel er ). Det dre leddet blir derfor vi tår igje med t i i i i b co co vil vekle mellom etterom er heholdvi et prtll et oddetll (for ekempel er ). Vi k derfor krive co co co b ( ) Fourierrekke for fukjoe er derfor ( ) f ( t) ~ ( ) i( t) i( t) i t i t i t i t ITD5 ITD5 Mtemtikk dre delekme mi 5 løig Side v