Del 1. Generelle tips

Innhold Del 1. Generelle tips... 2 Bruk en "offline installer"... 2 Øk skriftstørrelsen... 3 Sett navn på koordinataksene... 3 Vis koordinater til skjæringspunkt, ekstremalpunkt m.m.... 4 Svar på spørsmålene i oppgaven... 5 Forklar framgangsmåten... 6 Litt om utskrift... 6 Direkte utskrift fra GeoGebra... 6 Kopiering fra GeoGebra til et skriveprogram... 7 Del 2. Eksempler på løsning av eksamensoppgaver med GeoGebra... 7 Eksamensoppgave 7 i 1P, våren 2011... 8 Oppgaven... 8 Løsning med GeoGebra 4.0... 8 Korrekt føring av løsningen... 10 Eksamensoppgave 8 i 1T, høsten 2011... 12 Oppgaven... 12 Løsning med GeoGebra 4.0... 12 Korrekt føring av løsningen... 14 Eksamensoppgave 5 i R2, høsten 2011... 15 Oppgaven... 15 Løsning med GeoGebra 5.0... 15 Korrekt føring av løsningen... 18

I den første delen av dette dokumentet følger noen generelle tips for god bruk av GeoGebra på eksamen. Dersom du ønsker å lære mer om mulighetene i GeoGebra 4.0, kan du laste ned heftet Lær å bruke GeoGebra 4.0. Ønsker du å sette deg inn i de nye mulighetene for kurvetilpasning (regresjon) i GeoGebra 4.0, klikker du her. I del to av dette heftet blir det gitt noen eksempler på hvordan en kan utnytte GeoGebra til å løse tre utvalgte eksamensoppgaver som har blitt gitt de siste årene. Det blir gitt eksempler fra 1P og 1T, løst med GeoGebra 4.0, og et eksempel fra R2, løst med betaversjonen av GeoGebra 5.0. Denne versjonen har et vindu for 3D. Del 1. Generelle tips Bruk en "offline installer" På eksamen er det selvsagt ekstra viktig at du ikke får problemer med bruken av programmet. Dersom du har installert den vanlige GeoGebtra-versjonen fra Webstart, kan du få opp feilmeldingen Unable to launch the application. Dette kan spesielt lett skje dersom du er bak et nettverk som er gjort utilgjengelig på eksamensdagen. For å unngå dette problemet, kan du installere en "offline" versjon av GeoGebra. Denne vil ikke søke etter oppdateringer automatisk, og vil derfor ikke skape problemer under eksamen. Du finner denne versjonen av GeoGebra her: Klikk på ikonet for det operativsystemet du har, og installer programvaren. 2

OBS! Ved denne installasjonsmetoden blir det både installert en vanlig versjon av GeoGebra og en versjon som heter GeoGebra Prim. Prim står for primary, og er en enklere versjon av programmet, beregnet for barnetrinnet. Slett derfor ikonet for GeoGebra Prim på skrivebordet. Øk skriftstørrelsen En vanlig feil som både lærere (ved demonstrasjon av GeoGebra) og elever (ved utskrifter til prøver og eksamener) gjør, er å bruke for liten skriftstørrelse i GeoGebra. Det blir mye lettere for sensor å lese en GeoGebra-utskrift som har en passe skriftstørrelse. Klikk derfor på Innstillinger, velg Skriftstørrelse og øk denne til for eksempel 16. I eldre versjoner av GeoGebra er Skriftstørrelse kalt for Fontstørrelse. Dersom du vil lagre dette til senere, kan du klikke Innstillinger, Innstillinger igjen og så velge Lagre innstillinger og Lukk. Sett navn på koordinataksene I eksamensveiledningene fra Utdanningsdirektoratet står det: "Dersom elevene bruker en slik graftegner, er det viktig at de inkluderer skala og navn på aksene når de tegner grafer." Kilde: www.udir.no 3

Dette kan vi gjøre på to måter: 1. Høyreklikk på grafikkfeltet og velg Grafikkfelt1. Klikk på arkfanen xakse og skriv inn en tekst i feltet Navn på aksen. Der kan du for eksempel skrive x (Timer etter midnatt). Klikk på arkfanen for y-aksen, og skriv inn en passende tekst der også. 2. Klikk på tekstverktøyet,og klikk deretter på et passende sted til høyre over x-aksen. Skriv inn teksten, og gjenta det samme for y-aksen. Vis koordinater til skjæringspunkt, ekstremalpunkt m.m. Det vil være en fordel for sensor å kunne lese av koordinatene til viktige punkt på en graf. I stedet for at punktene står angitt ved navn, kan en angi dem med verdi eller med både navn og verdi. En høyreklikker da på et punkt, velger Egenskaper, klikker på overskriften Punkt for å merke alle punktene samtidig, og skifter så fra Navn til Verdi. En kan også klikke på overskriften Funksjon, og forandre navngivningen av funksjonene fra Navn til Navn og verdi. 4

På figurene nedenfor ser vi forskjellene mellom før og etter at en tar hensyn til rådene ovenfor. Svar på spørsmålene i oppgaven Det er viktig at eksamenskandidaten svarer på spørsmålene i oppgaven med en konkluderende tekst. Det er ikke nok å skrive: "5c er løst med GeoGebra." I tillegg til en passende utskrift og forklaring på framgangsmåten, må en svare på spørsmålene med en tekst som for eksempel: Maksimumstemperaturen ved modell f er 4 C. Dette skjer kl. 01.00. En kan få to streker under svarene i et Word-dokument ved å bruke dobbel understreking fra nedtrekksmenyen under Skrift. 5

Forklar framgangsmåten Som det står i eksamensveiledningen, må elevene forklare hvilke kommandoer som er blitt benyttet til å finne for eksempel skjæringspunkt, nullpunkt og ekstremalpunkt. En trenger altså ikke å skrive opp alle tastetrykkene, men må skrive hvilke verktøy som er benyttet. Litt om utskrift Alle vedleggsark skal merkes med oppgavenummer og kandidatnummer. Se eksempler på slike besvarelser i del to av dette dokumentet. Det er ofte mye mer ryddig å kopiere grafer og konstruksjoner som en har laget med GeoGebra, og å lime disse inn i et skriveprogram som Word, Writer eller Pages. Da kan en lettere skrive nødvendig tekst til besvarelsen og samle svar på flere delspørsmål på ett ark. Det kan være frustrerende for en sensor å måtte bla gjennom mange separate ark med direkte utskrift fra GeoGebra, spesielt dersom det er brukt liten skriftstørrelse og arkene ikke er merket med navn, oppgavenummer, fremgangsmåte og konkluderende svar på oppgavene. I del to av dette heftet viser vi løsninger der en har kopiert fra GeoGebra til Word. Nedenfor følger en kort forklaring av hvordan du kan gå fram om du vil ha direkte utskrift fra GeoGebra. Personlig foretrekker jeg løsninger med kopiering til Word og fullføring av svarene der. Direkte utskrift fra GeoGebra Du starter med å bruke flyttverktøyet, og drar et rektangel over den delen av grafikkfeltet som du ønsker et utsnitt av. For å få med pilene i enden av aksene, kan det være lurt å flytte den delen du vil ha utskrift av til øvre høyre hjørne av grafikkfeltet. Nå velger du Fil og Forhåndsvis utskrift, eller trykker Ctrl og P. I feltet for Tittel kan du skrive oppgavenummeret, og i feltet for Laget av, skriver du kandidatnummeret. Dette er en kode med tre bokstaver, etterfulgt av et firesifret tall. Her har jeg kalt bokstavene XXX og tallet YYYY. Velger vi liggende utskrift, og justerer det aktuelle utsnittet vi har valgt til skalaen 5:1, vil grafene i dette tilfellet dekke det meste av arket. Ved direkte utskrift kan vi ikke få plassert flere deloppgaver på samme ark, så her kan en like gjerne utnytte plassen. En kan også skrive ut algebrafeltet ved å klikke et sted på dette, trykke Ctrl og P, fylle inn oppgave- og kandidatnummer og så ta utskrift. Ulempen med dette er at opplysningene i algebrafeltet gir lite informasjon isolert sett. Det kan dessuten bli mange tilleggsark å forholde seg til med denne metoden. Et alternativ er å dra likninger og annen informasjon fra algebrafeltet til grafikkfeltet med flyttverktøyet. 6

Kopiering fra GeoGebra til et skriveprogram For å kopiere et ønsket utsnitt fra grafikkfeltet i GeoGebra og lime dette inn i et skriveprogram, som for eksempel Word, går du fram slik: Bruk flyttverktøyet og dra et rektangel over det aktuelle området, slik det ble beskrevet under Direkte utskrift fra GeoGebra. Hold nede Ctrl og Shift (tasten over Ctrl) og trykk samtidig på C. Åpne skriveprogrammet, skriv inn oppgavenummer og kandidatnummer og lim inn utsnittet. Du limer inn grafen ved å trykke Ctrl og V. Svar på spørsmålene i oppgaven og sett to streker under svarene. Dette kan du enten gjøre i dokumentet der du har limt inn grafen fra GeoGebra, eller for hand på et vanlig eksamensark. Ta utskrift av dokumentet og legg det ved besvarelsen. Del 2. Eksempler på løsning av eksamensoppgaver med GeoGebra I denne delen vil vi vise noen eksempler på fremgangsmåter og korrekt føring av eksamensoppgaver der en har hatt nytte av GeoGebra. For hver eksamensoppgave forklarer vi først fremgangsmåten, slik at en kan klare å løse oppgaven selv ut fra forklaringen. Deretter viser vi hvordan en korrekt løsning kan se ut for hver av oppgavene. 7

Eksamensoppgave 7 i 1P, våren 2011 Oppgaven Løsning med GeoGebra 4.0 a) Skriv inn: OBS! Husk punktum som desimaltegn i GeoGebra. Du får eksponenten 2 ved å trykke Alt + 2. Still inn aksene ved å dra i dem med dette verktøyet til hele grafen viser. Vi må passe på å ha tekst langs aksene. Her har vi valgt å bruke tekstverktøyet, og å klikke på grafikkfeltet der en ønsker at teksten skal være. En får større muligheter for å redigere teksten ved å hake av for. En får da skrevet CO 2 ved å skrive CO_2. For å få mellomrom mellom ordene klikker en på pila til høyre for LaTex-formel og velger Mellomrom. 8

b) Vi skriver f(60), og får svaret 149,6 i algebrafeltet. c) Vi skriver inn Ekstremalpunkt[f] i inntastingsfeltet, og trykker Enter. Skift fra Navn til Verdi for punktet. Klikk på Innstillinger, velg Avrunding og merk av for 3 desimaler for å få vist alle desimalene i funksjonsuttrykket. 9

d) Vi skriver inn f(80) og trykker Enter. Vi får da at utslippet med denne farten er 144,4 gram CO 2 per km. På en halv time kjører bilen 40 km, når farten er 80 km/h. 144,4 gram CO2 Vi regner da ut at 40 km 5776 gram CO2 5,8 kg CO2. km Her kan vi også bruke GeoGebra og skrive inn 144,4*40 og trykke Enter. Programmet virker da som en kalkulator, og vi får svaret c = 5776 i algebrafeltet. Korrekt føring av løsningen På den neste siden viser vi hvordan en kan føre løsningen av denne oppgaven på en korrekt måte. 10

Oppgave 7 Kandidatnr. XXX YYYY a) Jeg brukte programmet GeoGebra og skrev inn: Funksjon[0.046x 2-6,7x + 386, 20, 100] for å avgrense grafen til x-verdier mellom 20 og 100. Jeg stilte så inn aksene til hele grafen viste. b) Jeg skrev inn f(60) i GeoGebra, og fant at utslippet var 149,6 gram CO 2 per km. Utslippet er ca.150 gram CO 2 per km når farten var 60 km/h. c) Jeg skrev inn kommandoen Ekstremalpunkt[f]. Det minste utslippet var på ca. 142 gram CO 2 per km. Farten var da ca. 73 km/h. d) Jeg skrev inn f(80) og fant at utslippet var på 144,4 gram CO 2 per km ved den farten. I løpet av en halv time kjører bilen da 40 km. 144,4 gram CO2 40 km 5776 gram CO2 5,8 kg CO2 km De totale utslippene blir på ca. 5,8 kg CO 2 11

Eksamensoppgave 8 i 1T, høsten 2011 Oppgaven Løsning med GeoGebra 4.0 Her har vi størst nytte av GeoGebra på oppgave c og d. c) Åpne sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra. Den finner du her: I oppgave a finner vi at sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person er fra Sør-Trøndelag er 0,6. Vi velger nå Binomisk fordeling og fyller inn opplysningene, slik figuren øverst på neste side viser. 12

Klikk på den lille trekanten med rød ring rundt på figuren ovenfor. Vi kan da velge Avrunding, og 4 desimaler fra minimenyen som dukker opp øverst til høyre i vinduet. Klikk på 0 helt til høyre. Vi kan da lese av at sannsynligheten for at 0 av 10 tilfeldig uttrekte personer er fra Sør-Trøndelag, er 0,5386. Vi kan også løse denne oppgaven med å skrive: (1-0,06) 10 = 0,94 10 = 0,5386. d) For å finne sannsynligheten for at minst 3 av 10 er fra Sør-Trøndelag, kan vi markere tallene fra og med 3 til og med 10 til høyre i sannsynlighetskalkulatoren. (Alternativt kan vi skrive inn verdiene 3 og 10 i intervallet.) Vi finner da at sannsynligheten for at minst 3 av 10 tilfeldig uttrekte er fra Sør- Trøndelag er 0,0188. 13

Korrekt føring av løsningen Oppgave 8 Kandidatnr. XXX YYYY a) Sannsynligheten for at en tilfeldig uttrekt person er fra Sør-Trøndelag er 300 000 3 0,06 5 000 000 50 b) Ved et binomisk forsøk har vi to mulige utfall og trekking med tilbakelegging. Det første vilkåret er oppfylt, fordi en person er enten fra Sør-Trøndelag, eller ikke. Det andre vilkåret er ikke helt oppfylt, fordi sannsynligheten forandrer seg ørlite for hver trekking når vi ikke kan trekke den samme personen flere ganger. Med et så stort antall personer å trekke fra, blir denne forskjellen så liten for hver trekking at vi kan regne det som et binomisk forsøk. c) Sannsynligheten for at en person ikke er fra Sør-Trøndelag, er 1-0,06 = 0,94. Sannsynligheten for at 10 personer etter hverandre ikke er fra Sør-Trøndelag er 0,94 10 = 0,5386. d) Jeg velger her å bruke sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra, og fyller inn opplysningene slik figuren nedenfor viser. Sannsynligheten for at minst 3 uttrekte personer er fra Sør-Trøndelag, er 0,0188. 14

Eksamensoppgave 5 i R2, høsten 2011 Oppgaven Løsning med GeoGebra 5.0 Du kan laste ned en betaversjon av GeoGebra 5.0 fra www.geogebra.org/webstart/5.0. Klikk på fila geogebra-50.jnlp og installer også denne versjonen av programmet. Det går fint å ha flere versjoner av GeoGebra installert samtidig. De legger seg ikke oppå hverandre, og hver versjon får et eget ikon på skrivebordet. a) Åpne GeoGebra 5.0 Beta. Klikk på Vis og hak av for Grafikkfelt 3D. Skriv i inntastingsfeltet: 2 2 2 x x y y z z 4 6 6 14 og trykk Enter. 15

Vi kan nå velge hvilken form likningen for kula skal ha. Vi ser i algebrafeltet at likningen kan omformes til ( x 2) ( y 3) ( z 3) 6 2 2 2 2. (I føringen av løsningen er det best å gjennomføre denne omformingen ved å fullføre kvadrater.) b) Vi ser av parameterframstillingen at linja går gjennom punktet (2, -3, 3), som er sentrum i kula. Linja har retningsvektoren r [2,4,4]. Vi skriver inn A = (2, -3, 3) og trykker Enter. Så skriver vi r = (2, 4, 4) og trykker Enter. Legg merke til at vi får en vektor når vi skriver navnet med liten bokstav, og et punkt når navnet har stor bokstav. I GeoGebra bruker en "vanlige parenteser" for å angi vektorer. Vi skriver så Linje[A, r] og trykker Enter. Kula har fått navnet a og linja har fått navnet b. Vi skriver Skjæring[a, b], og får da koordinatene til skjæringspunktene mellom kula og linja opp i algebrafeltet som punktene B = (0, -7, -1) og C = (4, 1, 7) c) Nå gjenstår det bare å finne likningene for de to planene som går gjennom skjæringspunktene, og som er vinkelrette på linja. Skriv Normalplan[B, b] og trykk Enter. Avslutt med å skrive Normalplan[C, b] og trykk Enter. Likningene for normalplanene kommer nå opp i algebrafeltet. 16

Likningene for planene kan omformes til: 1 2 2 16 x y z x 2y 2z 16 0 og 3 3 3 3 1 2 2 20 x y z x 2y 2z 20 0 3 3 3 3 17

Korrekt føring av løsningen Oppgave 5 Kandidatnr. XXX YYYY a) Kula har likningen 2 2 2 x x y y z z 4 6 6 14. Denne kan omformes ved å bruke metoden med fullstendige kvadrater: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x 4x 2 y 6y 3 z 6z 3 14 2 3 3. 2 2 2 ( x 2) ( y 3) ( z 3) 36 Kula har sentrum i (2, -3, 3) og har en radius på 6. b) Ut fra parameterfremstillingen av linja, vet vi at denne går gjennom sentrum av kula, som er A = (2, -3, 3), og har retningsvektoren r [2,4,4]. Jeg brukte GeoGebra, skrev inn likningen for kula, koordinatene til punktet A = (2, -3, 3) og r = (2,4, 4) for å få retningsvektoren r. Så skrev jeg inn Linje[A,r] og fikk tegnet linja i det samme koordinatsystemet som kula. Kula fikk navnet a og linja fikk navnet b i GeoGebra. Jeg skrev derfor Skjæring[a, b] og fikk da koordinatene til skjæringspunktene B og C i algebrafeltet i programmet. Skjæringspunktene mellom kula og linja er B = (0, -7, -1) og C = (4, 1, 7) c) For å finne likningene for planene som tangerer kula i skjæringspunktene B og C, skrev jeg Normalplan[b, B] og deretter Normalplan[b, C]. GeoGebra gav likningene 0,33 x 0,67 x 0,67z 5,33 og 0,33 x 0,67 x 0,67z 6,67. Disse likningene kan omformes til: 1 2 2 16 x y z 3 3 3 3 x 2y 2z 16 0 1 2 2 20 x y z 3 3 3 3 x 2y 2z 20 0 18