KAPITTEL 6. STØRRELSER OG TALL I GRESK MATEMATIKK

KAPITTEL 6. STØRRELSER OG TALL I GRESK MATEMATIKK Gekee kjete de atulige tallee og de kjete til fohold - dvs det vi i dag vil ofatte som bøke. E guleggede ofatig va at to lijestykke måtte ha et felles miste mål - det vi i dag kalle miste felles diviso. Pythagoeee ble imidletid kla ove at dette ikke alltid va tilfelle. To lijestykke som ikke ha felles mål, kalles ikommesuable. Euklid skille mellom (geometiske) støelse og fohold og behadle disse å to stede - med take å støelse i bok 5 og med take å atulige tall i bok 7. Hele tide efeees det he til støelse og tall som e kommesuable dvs at foholdet mellom dem ka uttykkes som e asjoalt tall. Det ka ved føste øyekast vike foudelig at Euklid behadle dette temaet to gage. Ma skulle to at atulige tall ville falle ude de geeelle betegelse støelse. Ikke desto mide vike det som om fohold i ett tilfelle kue gjelde lijestykke, i et aet volume og i et tedje tall. Hos Euklid behadles disse seaat. Ikke desto mide sie ha om kommesuable lijestykke at: Kommesuable lijestykke ha samme fohold til hveade som et (atulig) tall ha til et aet 3. Vi skal ta utgagsukt i has defiisjoe av atulige tall 4. Ha state med å defiee e ehet og defiee et tall som e magfoldighet 5 av ehete. Aalogt med defiisjoe fo lijestykke defiee ha også et tall som e del (diviso) at et støe tall og kalle et tall fo multiel av et mide å det siste gå o i det føste. Et atall defiees ved at det ka deles i to like dele, et oddetall ikke. Et imtall gå bae o i ehete. Tall som e ibydes imiske ha bae ehete som felles mål (diviso). Iteessat e det også at oduktet av to tall beteges som e flate de de to tallee beteges som side; tilsvaede beteges oduktet av te tall som et isme og tallee som side. Tall (egetlig fohold) sies å væe oosjoale å det føste utgjø samme bøkdel av det ade som det tedje av det fjede. E slik oosjo ka væe et helt tall elle e bøkdel 6. Støelse og tall Om støelse dvs objekte 7 som ha utstekig elle mål, skive Euklid i Bok 5: Defiisjo. E støelse e e del av e ae støelse, de mide av de støe å de måle (gå o i) de støe. Defiisjo. De støe e et multilum av de mide å de bli målt av de mide. Defiisjo 3. Et fohold e e slags elasjo mellom to støelse av samme slag 8 med take å mål. Heath. Euclid. The thitee Books of Elemets Bok 5side 4-5. Heath. Euclid. The thitee Books of Elemets II bok 7side 77-78 3 Heath. Euclid. The thitee Books of Elemets II bok 5 Itoduksjo s 3 4 Heath. Euclid. The thitee Books of Elemets II bok 7 side 77-78 5 Dette e de æmeste ovesettelse av (πληθσς ) som tilsvae det egelsksåklige multitude. 6 Euclid ofatte he bøkdel som et asjoalt tall. Euklid II side 80 kom. Def. 3. 7 Dette mee jeg femgå av defiisjo 6, de det efeees til fie lije i oosjoe og ikke fie tall.

Defiisjo 4. Støelse sies å ha et fohold til hveade desom de e i stad til å ovegå hveade ved å multilisees o (med,, 3, ) Defiisjo 5. Støelse sies å stå avis i samme fohold til hveade, de føste til de ade og de tedje til de fjede, desom et gitt multilum av de føste e heholdsvis støe e, lik elle mide e et gitt (aet) multilum av de ade, medføe at det gitte multilum av de tedje e å tilsvaede vis støe e, lik elle mide e det gitte (aet) multilum av de fjede. Defiisjo 6. Defiisjo 7. Støelse som avis ha samme fohold sies å væe oosjoale. Nå fie støelse foholde seg avis slik, de føste til de ade og de tedje til de fjede, slik at et gitt multilum av de føste e støe e et gitt (aet) multilum av de tedje, me at det gitte multilum av de ade ikke e støe e det gitte (aet) multilum av de fjede, sies de føste støelse å ha et støe fohold til de ade, e de tedje til de fjede. Defiisjo 8. E oosjo med te ledd e de med fæest ledd. (Mellomoosjoal) Defiisjo 9. Nå te støelse e oosjoale (slik at foholdet mellom de føste og de ade og foholdet mellom de ade og de tedje e det samme) sies de føste å ha et fohold til de tedje som e et gjetatt fohold (sammesatt fohold) av det de føste ha til de ade. (Euklid buke ikke multilum av!) Desom vi foflytte oss til defiisjoee fo hele tall, Bok 7, fie vi fo oosjoe defiisjoe 0 de ha skive: Defiisjo 0. Tall e oosjoale å det føste e det samme multilum elle diviso (del) av det ade som det tedje e av det fjede. Det føste vi legge meke til i Euklid s defiisjoe fo hele tall i Bok 7, e at ha i motsetig til Bok 5, ikke omtale fohold i det hele tatt med take å tall. Vi se også at defiisjoee av oosjoalitet fo hele tall og fo støelse e gaske ulike. Vi skal imidletid gå tilbake til defiisjo 5 som tilskives Eudoxus (408 360 f.k). Hva ligge egetlig i dee defiisjoe? Vi skal se litt æmee å de. Vi ha å i eidig at ha abeide med støelse dvs lijestykke. Disse ka væe ikommesuable. Hva da med fohold? Vi se å foholdet a : b = A : B Det Euklid sie he e at fo ett hvet a av tall N og M gjelde; () Na > Mb NA > MB () Na = Mb NA = MB (3) Na < Mb NA < MB 8 Jeg ha he bukt mål fo πηλικοτηζ som i Heath s ovesettelse av Euklid e omsatt med size (dvs egeska) og støelse fo µεγεθζ som i samme ovesettelse e omsatt med magitude (dvs objektet)

Me hva desom det ikke e mulig å fie to tall slik at () gjelde? Det e etto det vi ha fo det tilfellet at a : b e et iasjoalt tall dvs at a og b e ikommesuable. Da gjelde () og (3). Hva bety dette igje? Fo alle talla gjelde ete () elle (), dvs alle talla ka deles i to megde X elle Y: { N, M } elle. Desom vi skive dette å modee otasjo, ha vi at Fo alle N, } X gjelde () a > M b N A M B : { M N > M N > a b M N > A B Fo alle N, } Y gjelde () a < M b N A M B : { M N < M N < a b M N < A B Vi se å at vi ka dele det vi kalle asjoelle tall, i i to megde. Elemetee i de ee ka M M skives som, de alle fylle ulikhete () - elemetee i de ade ka skives som N N de alle fylle ulikhete (). De tyske matematikee Richad Dedekid (83 96) fulgte, ove to tuse å seee, e tilsvaede vei da ha omkig 860 iføte betegelse sitt som ete e et asjoalt elle et iasjoalt tall. Et sitt dele de asjoale tallee i to megde de elemetee i de ee alltid e mide e elemetee i de ade. Dedekid iømmet alltid å ha væt isiet av Eudoxus idee. Om tall gi Euklid disse defiisjoee i Bok 7 Defiisjo. E ehet e de egeska tig (objekte) ha som vi kalle é Defiisjo. Et tall e e magfoldighet sammesatt av ehete. Defiisjo 3. Et tall e e del (diviso 9 ) av et støe tall å det måle (gå o i) det støe tallet Defiisjo 4. Me e bøkdel av det om det ikke gå o i det støe tallet Defiisjo 5. Et støe tall e et multilum av et mide å det bli målt av (gå o i) dette. Defiisjo 6. Et jevt tall e et tall som la seg dele i to like dele Defiisjo 7. Et odde tall e det som ikke la seg dele i to like dele, elle som e e ehet foskjellig fa et jevt Defiisjo 8 Defiisjo 9 Et jevt gage jevt tall e det som gå et jevt tall o i et jevt tall (e otes av ) Et jevt gage odde tall e det som gå et odde tall o i et jevt tall 9 Od og kommetae i aetes e tilføyd av meg.

Defiisjo 0. Et odde gage odde tall e det som gå et odde tall o i et odde tall. Defiisjo. Et imtall e et tall som itet aet tall utatt gå o i. Defiisjo. Tall som e ibydes imiske e de som bae ha som støste felles diviso 0. Defiisjo 3. Et sammesatt tall e det som et aet tall som diviso Defiisjo 4. Tall som e ibydes komositte e de som ha e støste felles diviso foskjellig fa Defiisjo 5 Et tall sies å gage o et aet tall, å det ade tallet bli lagt til seg selv så mage gage som det e ehete i det føste, ved dette femkomme et tall. Defiisjo 6. Nå to tall e multiliset og det femkomme et tall (oduktet), kalles dette et la (ektagel) og sidee e tallee som igå i multilikasjoe. Defiisjo 7. Nå te tall e multiliset og det femkomme et tall (oduktet), kalles dette et isme og sidee e tallee som igå i multilikasjoe. Defiisjo 8. Et kvadattall e likt tall gaget med likt tall Defiisjo 9. E kube e likt tall gaget med likt tall gaget med likt tall Defiisjo 0. Tall e oosjoale å det føste e det samme multilum elle diviso (del) av det ade som det tedje e av det fjede. Det som e iteessat he, e at fohold og oosjo defiees ut fa et geometisk sysukt, som legde. Defo bli defiisjo 8 å fostå som e oosjo de det tedje leddet stå i fohold til ehete som det føste til det ade. Desom vi se å Euklid s defiisjoe fo tall, fie vi ige aallell til defiisjoee 3-8. De eeste defiisjoe av oosjoalitet tilsvaede 5 og 6 e defiisjo 0, og det som e sælig iteessat e at odukte av tall defiees som side i la og isme og oosjoalitet kyttes til e geometisk betaktig. E koklusjo ma ka tekke e at atulige tall fo gekee hadde e geometisk kaakte og at bøke ble ofattet som fohold som igje elatete seg til lijestykke. Si Thomas Heath skive om dette at det e bemekelsesvedig at teoie fo oosjoe e behadlet to gage av Euklid. Føste gag i Bok 5 med hesy å støelse geeelt og de ette i Bok 7 med hesy å atulige tall. De siste femstillige efeee bae til kommesuable støelse og ka sies å eesetee de ådede ofatig fø Eudoxus odaget at støelse ka væe ikommesuable. 0 Jeg buke i det følgede diviso i stedet fo det me omstedelige et tall som måle et aet Heath. Euclid. The thitee Books of Elemets. Vol II. S -3.

Sikket e det at Pythagoeee defiete te fome fo oosjoe fo atulige tall, deiblat de geometiske (αναλοια). Olagt må dee ha foutsatt kommesuabilitet. Gekee fat imidletid e måte å uttykke et iasjoalt tall, e måte som tilsvae vå kjedebøk. I gesk matematikk fie vi i det hele tatt at e ummeisk elle algebaisk utviklig gå aallelt med e geometisk. I geometie state ma med to legde, f eks to dele av e sidekat elle e sidekat og e diagoal, og vise så at de miste gå o i de legste med e est dvs et mide lijestykke. Neste ti e e gjetagelse av dette i det este gå o i det miste av de to ma statet med - og slik gå osesse videe. Desom de to føste legdee ha e felles støste diviso, svae dee osesse ummeisk til Euklid s algoitme fo å fie dee divisoe elle felles geometisk mål. Desom de ikke ha et felles mål, fotsette osesse bae videe. Det va i de tilfelle da dee osesse ikke kue avsluttes at de geske matematikee fosto at det eksistete to legde som ikke hadde felles mål. De va ikommesuable. Nå de (uedelige) geometiske osesse fotsatte, fat ma e bede og bede tilæmig til et tall, et iasjoalt tall. Vi skal vise to eksemle, De geske matematikee fat imidletid e aoksimasjo til, som vi skal vise he. Utgagsuktet e Teoem 9 fa Euklid s bok II, me med e me modee bevisføsel. He e AC = CE og AC = CB og CB = BE. Vi se å føst ut fa Pythagoas setig fo e likebet ettviklet tekat () og (): G E F () () AE = AC + CB dvs AE = AC EF = EG + GF dvs EF = GF dvs EF = CD A C D B Pythagoas gi oss å (3) og (4) (3) (4) AF = AE + EF AF = AD + FD dvs AF = AD + BD Vi sette høyeside av (3) og (4) lik hveade og sette i fo AE fa () og EF fa (): (5) AC + CD = AD + BD

Desom vi å sette CD = x og BD = y, fie vi av (5) (6) ( x + y) + x = (x + y) + y som vi igje ka skive: (7) (x + y) ( x + y) = x y Av de siste se vi at desom det fies to atulige tall x og y som fylle: (8) x y = ± ka vi og kostuee to ye atulige tall x = (x + y) og y = (x + y) som også fylle (8). Ved å state med x = y =, ka vi å ved hjel av (7) og (8) kostuee e følge av odede a. (9) x = (x + y ) y = x + y + + Vi ka å vise at følge: y x gå mot. I teoem 0 fa Euklid s bok IV vises det hvoda ma ka kostuee e likebet tekat de de to like viklee hve e det doble av de tedje. Beviset e elativt omstedelig føt, vi vise imidletid sammehege edefo. På figue til høye ha vi statet med å tekke lijestykket BC og ha lasset D slik at vi ha, C (0) BC BD = DC u Vi kostuee å e likebet tekat ABC de AC = BC, og AB = CD. Demed e også ADC og ADB likebete. E u Da e CAD = ACD = u og BAC = ABC = w F D Fo vikelsumme i ADB og ABC ha vi da () u + w + (w - u) = 80 u w - u u w () u + w + w = 80 A B som gi oss at w = u Vi ka ekelt vise at om vi legge ut fa dee kostuksjoe ka kostuee e etago, dvs e femkat. De utvedige vikel til ADC, ADB = u.

Fa figue se vi også at CD gå o i BC med BD som est. Nå e AB lik CD, og FD = BD slik at dette tilsvae at AB gå o i BC med FD som est, vi se at FD gå o i CD med EF som est osv. Vi se å at BC = CD + BD. Videe se vi at BD = DE = CE. Demed ha vi at CD = CD + EF tilsvae at CD = BD + EF, og slik ka vi fotsette videe. Hve gag fie vi at e av de to like sidee tilsvae gulije luss e est, i este omgag e gulije lik side og este gulije i e mide likedaet tekat og slik fotsette det. Sette vi he α fo foholdet mellom side og diagoal, ha vi CD = α BC. Nå ka vi skive ligig () som: (3) BC ( + α ) BC = α BC α α = 0 De siste ligige ha e ositiv løsig som e det såkalte gyle sitt. (4) α = + 5 Vi ha he bukt e algebaisk femstillig de gekee bukte e geometisk. De geske matematikee hadde gode kuskae og sto isikt iefo geometi og tallteoi. Me algebae ble føst utviklet av aabiske matematikee og seee euoeiske. Det e vaskelig fo oss å foestille oss hvoda de geske matematikee kue abeide så sofistiket med obleme som dem ovefo ute å ha det algebaiske vektøyet som seee ble utviklet. Me det illustee også et aet feome jeg fie iteessat, det vike som om matematikee abeide med samme oblem sat algebaisk og sat geometisk. Vi skal møte dette seee å vi komme til de imagiæe tallee, de euoeiske matematikee fa eessase av abeide geometisk helt o til Casa Wessel klae å gi e tilfedsstillede geometisk avbildig av de komlekse tallee. Vektoegige e et aet eksemel som vi også komme til. Me i tallæe skal vi tilbake til Euklid og de geske matematikee

KAPITTEL 7. DELELIGHET PRIMTALL - KONGRUENSREGNING Defiisjoe og love Vi state med addisjo å e gitt tallmegde. Vi ka lett ovebevise oss om at disse sammehegee gjelde fo de hele tallee illustet ved eksemlee edefo:. a + e = a + 0 = ehets elemet. a + a = e 3 + (-3) = 0 motsatt tall 3. a + ( b + c) = ( a + b) + c 3 + ( + 4) = (3 + ) + 4 assosiativ lov 4. a + b = b + a 3 + 4 = 4 + 3 kommutativ lov I eksemel 3 e a det motsatte elle ivese av a med hesy å addisjo dvs a. Vi se ute videe at disse sammehegee også gjelde å megde av eelle tall. Vi se så å multilikasjo å e gitt tallmegde. Vi ovebevise oss også om sammehegee, 3, 4, og 5 gjelde fo de hele tallee - og at de samme i tillegg til gjelde fo de asjoale tallee. gjelde fo hele tall og asjoale tall i begge tilfelle utatt fo 0.. a e = a = ehets elemet. a a = e 4 = motsatt tall 4 3. a ( b c) = ( a b) c 3 ( 4) = (3 ) 4 assosiativ lov 4. a b = b a 3 4 = 4 3 kommutativ lov I tillegg ha vi dee love som sie at multilikasjo e distibutiv ove addisjo: 5. a ( b + c) = a b + a b distibutiv lov Det e egel 5 vi buke fo å vise sammehege at desom to tall begge et multilum av et tedje, vil også summe og diffeese av disse to tallee væe et multilum av det tedje. 3 Gue og ige E gue e e megde samme med e biæ oeasjo, dvs e oeasjo som til et hvet a av elemete i gue assosiee et tedje elemet i tilfellee ovefo ete e sum elle et odukt slik at eglee,, og 3 gjelde. I tilfellee ovefo ha vi heholdsvis e additiv og e multilikativ gue. Desom også 4 gjelde, ha vi e Abelsk gue. I dette komediet skal vi med tall fostå de hele tallee med mide oe aet e esiset. 3 Det tedje tallet ka utmeket godt væe ett av de to ade tallee,

Desom vi ha e megde de addisjo og multilikasjo e defiet og eglee -4 gjelde fo addisjo i tillegg til eglee,3 og 5 fo multilikasjo, ha vi e ig. Side egele e fafalt fo multilikasjo e megde av hele tall e ig. Det samme gjelde atuligvis også fo megde av asjoale tall og eelle tall. Multilum sammesatte tall og imtall. Vi ka å defiee multila av tall. Et multilum av et tall m e et tall som e et odukt av et tall m og et aet tall. Eksemelvis e 6 både et multilum av og av 3. Fo hvet tall i tallekke, ka vi defiee e ekke av multila av tallet som f eks fo :, 4, 6, 8 osv og fo 3: 3, 6, 9, osv. Desom vi støte å et tall som ikke e ieholdt i oe tidligee ekke av multila, kalle vi tallet et imtall. Det føste imtallet vi støte å e som gi oss ekke, 4, 6, osv. Det este e 3 som gi oss ekke 3, 6, 9 osv. Tallet 4 e ieholdt i ekke av multila av. Det este imtallet bli 5 som gi oss ekke 5, 0, 5 osv. Slik ka vi fotsette oove. Vi fie da imtallee, 3, 5, 7,, 3 osv. Tall som e ieholdt i e elle ae ekke av multila, kalle vi sammesatte tall. Sammesatte tall ka altså skives som odukte av mist to tall foskjellig fa. Delelighet Desom et tall e et multilum av et aet tall, sie vi at det ade tallet e delelig med det føste. Desom c = a b skive vi a c (evetuelt også b c ) Det siste ka vi lese som a gå o i c elle c e delelig med a. Desom a ikke gå o i c skive vi a ł b Vi se også umiddelbat at vi ha disse eglee, jf egel 5 ovefo: a b a c a ( b + c). a b a c a ( b c) b > c 3. a b a bc 4. Dessute gjelde alltid a, a a og - a a. Deimot e det litt foudelig at vi ha a 0 såfemt a 0. Me det hege samme med at å dividee 0 med et helt tall foskjellig fa 0, gi 0 som est. Tall å faktoiset fom. Divisoe. Vi ka skive sammesatte tall som odukte. Tallet 8 ka skives som 9. Det ka også skives som 3 6. Nå e både 9 og 6 igje sammesatte tall. Desom vi fotsette å faktoisee fie vi at 8 = 3 3 som vi imidletid velge å skive som 8 = 3 3. Da ha vi faktoiset tallet i imfaktoe og det gå defo ikke a å faktoisee tallet videe.

Alle tall som gå o i 8, kalle vi fo divisoe i 8. Dette e tallee,, 3, 6, 9. Vi vet at vi ka skive et tall som sum av flee ledd å foskjellige måte. Eksemelvis ka vi skive som 3 + + 7 elle + 3 + 6. Det e defo ikke så uimelig å søe om vi ka faktoisee et tall å foskjellige måte. Vi ka vise at hvet tall bae ha é faktoiseig 4 desom vi skive tallet som et odukt av imfaktoe. Vi skal vise dette og samtidig demostee e tye bevis vi kalle fo iduksjosbevis. Vi ka lett ovebevise oss om at de sammesatte tallee o til f eks 4 ku ha é faktoiseig. Dette e imidletid e iakttagelse o til 4, og som vi ikke ka åstå gjelde geeelt. Vi ata å at alle tall o til N (i våt tilfelle 4) ha e uik faktoiseig. Hva så med N +? Ete e N + et imtall og da e faktoiseige uik. Me hva om det e et sammesatt tall. Åebat må vi da kue skive N + = m, de både <N og m <N, og følgelig ha og m hve e uik faktoiseig. Demed ha vi vist at N + ha e faktoiseig i imfaktoe. Vi ka også ovebevise oss om at dee faktoiseige e uik. Det e dee sammehege som kalles aitmetikkes fudametalsetig. Det at et tall a e e diviso i b e det samme som at b e delelig med a, dvs a b. Desom a og b e heltall og det fies et tall c slik at c a og c b, kalle vi c e felles diviso i a og b. Vi skal så defiee hva vi mee med de støste felles diviso i to tall a og b: Desom a og b begge e heltall foskjellige fa 0, e heltallet c de støste felles diviso i a og b desom c e diviso i a og b - og diviso i alle hele tall d som e felles diviso i a og b. Vi skive (a,b) fo støste felles diviso til a og b i ha altså c = (a,b) Euklid s setig om est ved divisjo og Euklid s algoitme fo støste felles diviso. Desom vi fosøke å dele å 4, gå ikke divisjoe o og vi få e est, 3. Vi ka defo skive som = 4 + 3. Desom vi så fosøke å dele 4 å 3, få vi som est. Dette ha sammeheg med at felles diviso fo og 4 e. Tallee e ibydes imiske. Euclid s setig om est ved divisjo også kalt divisjoslemmaet, Setig i Bok 7, sie oss dette. Vi ka fomulee dee setige som at fo et hvet talla, k og, fies det to ade tall og q, slik at vi ha k = + q og at dee fome e uik, dvs det fies ige ade tall e og q som ha dee egeskae. Vi skal la beviset ligge he. I våt tilfelle ha tallaet og 4 det tilsvaede tallaet og 3. Vi se også at ette dee setige vil de siste este vi fie væe felles diviso fo de to tallee vi statet med. Vi skal å vise e femgagsmåte kalt Euklid s algoitme fo å fie de støste felles diviso fo to tall. Det e Setig i Bok 7 og de e bygget å de foutgåede Setig. Bevisføsele e de samme og geometisk 5 dvs de bygge å sammeligig av lijestykke! Vi skal illustee Euklid s algoitme med et talleksemel. 4 Utvide vi tallomådet til komlekse tall, ka vi fie flee faktoiseige. 5 Det e ved å legge meke til at mes Bok 5 hadle om støelse og Bok 7 om tall, e bevisføsele i de siste hele tide kyttet til sammeligig av lijestykke.

Vi se føst å et eksemel: 343 og 9. Vi dividee 343 å 9 og fie: 343 = 9 37 + 65 9 = 65 + 6 65 = 6 + 3 6 = 3 Av dette fie vi at 3 e støste felles diviso i 3 43 og 9. Hvofo? Desom 3 43 og 9 ha e felles diviso, må tallet også væe diviso i 65 som e est. Da må tallet også væe diviso i 9 og 65 - og følgelig også i 6. Slik ka vi fotsette itil vi fie 3 som gå o i 6. Ved å abeide oss bakove, se vi: 65 = 6 + 3 = 3 4 + 3 = 3 5 9 = 65 + 6 = 3 5 + 3 = 3 (5 + ) = 3 7 343 = 3 7 37 + 3 5 = 3 (7 37 + 5) = 3 64 Vi se å at side 343 = 3 64 og 9 = 3 7, og vi ha at 3 64-3 7 =, ha vi: 3 343-3 9 = 3. Dette illustee Euklid s divisjoslemma: Desom c e støste felles diviso i a og b, ka vi fie to tall m og slik at vi ha: c = m a + b Dette ka vi fomulee: desom ligige, ax + by = d med heltallige x og y, skal væe ofylt e det ødvedig og tilstekkelig at (a,b) d de (a,b) e støste felles diviso av a og b. Støste felles diviso og miste felles multilum Euklid s algoitme fo å fie støste felles diviso til to tall bygge å setige: a = b + ( a, b) = ( b, ) Olagt må vi ha at desom a og b ha felles diviso, må dee også væe diviso i. Dvs at (a, b) e diviso i. Olagt ka ikke b og ha e støste felles diviso som ikke e diviso i a. De to tallee og 8 ha hve si følge av multila, 4, 36, 48, og 8, 36, 54, Av dette se vi at de ha felles multila og det miste av disse e 36. Vi sie da et 36 e det miste felles multilum av og 8 og skive dette som 36 = [, 8]. Desom vi faktoisee, 8 og 36, se vi: = 3 8 = 3 3 36 = 3 3

Vi se at alle divisoee i hvet av tallee og 8 må væe med i miste felles multilum. Nå vet vi fa fø at støste felles diviso fo og 8 e 6. Videe vet vi at 8 = 6 samtidig som vi ha 6 36 = 6 - og vi sø om det alltid e slik at ( a, b) [ a, b]? Vi ka vise at det alltid e slik. Vi ha demed fuet e metode til å fie miste felles multilum av to tall i fall vi kjee støste felles diviso. Vi skive å [a,b] fo miste felles multilum at de to tallee a og b. Miste felles multilum av to tall gå o i oduktet av tallee. Det se vi av at ett multilum av de to tallee vil væe oduktet. Ete e dette det miste felles multilum elle så fies det et multilum som e mide, og da gå dette o i oduktet. Defo ha vi at det fies et tall, mist lik, slik at: ab = [ a, b] som vi ka skive som: ab [ a, b] =. Vi vet at vi ka skive to tall a og b med støste felles diviso (a,b) som: a = (a,b) m og b = (a,b) Vi ha da at miste felles multilum e: [a,b] = (a,b) m Vi ha å e ekel sammeheg: a b = (a,b) m (a,b) = (a,b) (a,b) m = (a,b) {(a,b) m }= (a,b) [a,b] Poduktet av to tall e lik oduktet av støste felles diviso og miste felles multilum. ab = ( a, b) [ a, b] Pefekte tall. I tallet 6 fie vi divisoee,, og 3. Vi se også at summe av divisoee e 6. Det samme gjelde fo tallet 8 som ha divisoee,, 4, 7 og 4. Disse to tallee e demed eksemle å det vi kalle efekte tall. Et efekt tall e lik halve summe av sie divisoe (å vi ege tallet selv som e diviso.) Uteom disse to kjee vi bae ti ade tall med disse egeskaee, 496, 88 og 50336 e de te føste. Disse iteffe fo m {, 3, 5, 7, 3, 7, 9, 3, 6, 89, 07, 7}. Alle disse efekte talee e atall og oe odde efekt tall kjee ma følgelig ikke. Euclid va e av de føste ma kjee som studete efekte tall og dee setige fo efekte atall, som vi skal komme tilbake til, tilskives ham 6. Desom ( ) e et imtall, e = P ( ) et efekt tall. Vi legge imidletid meke til aetese i fomele ( ). Dee gi oss de såkalte Mesee tall å e et imtall, okalt ette Mai Mesee (588-648). Vi skal komme me utfølig tilbake til de efekte tallee og Mesee tallee ude avsittet om imtall. To ade geske matematikee, Theo fa Smya og Nicomakos defiee også efekte tall og Nikomakos eve fie av dem, 6, 8, 496 og 88. 6 Det skulle gå 000 å fø de sveitsiske matematikee Leohad Eule viste at dette e de eeste fomele fo efekte atall.

KAPITTEL 8. PRIMTALL Vi defiee et imtall som et tall som bae ha og tallet selv som divisoe. Tallet e det miste av imtallee. Vi ha tidligee sett at om vi state med multila av, vil vi fie at 3 ikke e ieholdt blat disse, 3 e følgelig et imtall. Tallet 4 e ieholdt i multila av, mes 5 ikke e multilum hveke av elle 3. Slik ka vi fotsette å katlegge imtallee. Takegage he ka vi utytte i det som kalles Eathostees sold elle sil. I si oielige fom e dette abeidet tat, me vi kjee det fa Nichomacos vek Aitmetika. Vi ata at Eathostees levde i tide -76-94 f K) Vi skive o alle tall o til f eks 00. Tallet e føste imtall - vi styke så alle multila av, 3 e este imtall vi styke så alle multila av 3, og slik fotsette vi oove. De tallee vi ikke ha støket dvs de som ikke e multila av mide tall e imtall. 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Fo å udesøke om et tall, a, e et imtall ka vi dividee med e suksessivt økede følge av imtall, me det e ikke ødvedig å gå lege e til det høyeste imtall a. Pimtallee ha væt utsatt fo et omfattede studium. Det gjelde sesielt imtallees fodelig. Ma ha fuet at atall imtall iefo gitt itevall [, x] ka beskives med fuksjoe Li(x). Tabelle edefo vise atall imtall i itevall o til x sammeholdt med x dt l t vedie av fuksjoe Itevall o til 50 000 00 000 00 000 000 000 Atall imtall 5 34 9 593 7 985 78 499 Li (x) 5 67 9 630 8 036 78 68 Poset avvik 0.64 0.39 0.8 0.6 Desom vi studee itevallet o til 000 000 000, bli det osetuelle avviket 0.0033 Vi ka lett vise at det e uedelig mage imtall. Ata at vi kjee e følge imtall gitt som,,,..., }. Vi ka å kostuee et ytt imtall som { 3 = 3... + + Dette tallet ka ikke ha oe av imfaktoee {,, 3,..., } som diviso og må defo ete selv væe et imtall elle ieholde e imfakto støe e. Dette beviset tilskives Euklid, Setig 0 i Bok 9 i Elemetee. Ved e slik ekusiv tekikk ka vi etablee e følge imtall, me de vil olagt ikke ieholde alle imtall o til det siste.

Vi skal gi et eksemel, state vi med, fie vi dee følge: {, 3, 7, 43, 807,..}. He e 807 = 3 39, vi fie altså to ye imtall, foskjellig fa tallee i følge. Vi ka fo øvig utvide uttykket ovefo til: = 3... + =! + + Dette tallet ka ikke ha oe atulig tall o til og med som diviso og må defo væe et imtall støe e! +. Desom to tall a og b ha støste felles diviso =, sie vi de e ibydes imiske. Vi ha tidligee fuet at desom a og b begge e heltall foskjellige fa 0, e heltallet c de støste felles diviso i a og b desom c e diviso i a og b - og alle hele tall d som e felles divisoe i a og b, gå o i c. Vi skive (a,b) fo støste felles diviso til a og b dvs c = (a, b). Vi ka å skive at to tall, a og b, e ibydes imiske å (a, b) = Vi skal så ta fo oss et av de mest bemekelsesvedige setigee i Euklid s elemete. Setig 36 i Bok 9 om de efekte tall. Pefekte tall ha summe av divisoe lik tallet. Et eksemel e 6, de vi ha 6 = + +3. Et aet e 8, de vi ha 8 = + + 4 + 7 + 4. Setig 36 lyde slik: Desom vi føe o så mage tall vi måtte øske (i e ekke), fa til til 4 osv hele tide i fodoblig, itil summe e et imtall, vil dee summe multiliset med det siste leddet i ekke væe et efekt tall. Vi skal ikke gå i å Euklid s bevis fo setige, som e svæt omfattede, me se litt å beviset fa e me modee sysvikel, ekkeegige å vå algebaiske fom. I si bevisføsel gjø Euklid buk av de foegåede setig 35 som gi summe av e geometisk ekke I setig 36 sie altså Euklid at desom vi ha at S e et imtall så vil tallet P væe et efekt tall, de: S = + + +... + = og P = S Euklid vise å å e iteessat, skjøt svæt omstedelig måte at side vi ha: + + så vil vi ha at: +... + = dvs + + + +... + = S = S + ( + + +... + ) S = ( + + +... + ) + ( + + +... + ) S Ha må å vise at P = S ikke ka ade faktoe e disse to, Dette gjø ha ved et kotadiksjosbevis, i det ha ata at tallet ha e fakto x foskjellig fa disse to:

= x m S S m x = Nå e det bae tall i megde {,,,... + } som gå o i ieholdt i dee megde. Demed gå x ikke o i Side S e et imtall, e det imisk til m., og x va foutsatt ikke. Demed gå helle ikke S o i m Demed må m gå o i. Ha ata å at m =, og ha da at: : = S : S S = S : S = S = m x og side vi ha m =, må vi ha: x = S, som e e av leddee i følge { S,S, S,..., S } Dette igje motsie hyotese om at x e foskjellig fa de evte tallee. Demed ha ha vist at P {,,,...,,,,,... S S S S } = S ikke ka ha ade faktoe e sie divisoe, E måte å vise dette me diekte å e å gå fem å følgede måte: Desom e et imtall, e de eeste divisoee i tallet:, 4, 8,..,. Summe av disse divisoee e da:, ( ), ( ),., ( ) = = + = = ( ) = + ( ) = ( )[ + ] = ( ) Et aet søsmål e om alle efekte tall ka skives som ovefo. Alleede geske matematikee va otatt av dette og oblemet e fotsatt ikke løst. Eule viste at ett hvet efekt tall som e et atall e å dee fome. I dag ha ma ikke avklat om det fies odde efekte tall. Vi vet ved hjel av egemaskie at slike ikke eksistee o til e bestemt gese. Dee gese øke imidletid ette som egemaskiee udesøke tallomådet.

Pimtallee ette gekee Aabiske matematikee ovesatte Elemetee til aabisk og abeidet videe med tallteoie. Alleede Pythagoeee kjete til de såkalte veskaelig tall de divisoee av det ee e lik summe av det ade, et eksemel e 0 og 84. Aabiske matematikee abeidet videe å ave fa de geske matematikee og Tabit Be Quaa (836-90), som vi kjee bl a fo de utvidede Pythagoeiske setig, fat e fomel fo slike veskaelige tall selv om de ikke omfatte alle. De faske matematikee Piee de Femat (60-635) og Mai Mesee va otatt av imtallee og også de efekte tallee. Femat femsatte te setige i et bev til Mesee, de ha bygge å e tabell som kytte de atulige tallee til otese av - : 3 4 5 6 7 8 9. 3 7 5 3 63 7 55 5. He fie ha at følgede elasjoe syes å holde:. Desom eksoete ikke e et imtall, vil det tilsvaede tallet helle ikke væe et imtall, side ( a q ) alltid e delelig med ( a ) ) og ( a q ).. Desom eksoete e et imtall, vil det tilsvaede tallet bae væe delelig med det dobbelte av eksoete i det ( ) : = ( ) :. Dette e som ma vil se et sesialtilfelle av Femat s lille teoem: desom e et imtall og a e imisk til, så e ( a ) delelig med - alteativt a a (mod ). 3. Desom eksoete e et imtall, vil det tilsvaede tallet bae væe delelig med tall å fome ( m + ). Hvis det tilsvaede tallet ikke ha faktoe av dee fome, e det et imtall. Vi skal meke oss at Femat ikke gi oe bevis fo disse setigee, me sie at ma umiddelbat vil ise iktighete av dem 7. Mesee som vi ha omtalt tidligee, femsatte åstade om at tall å fome: M = va imtall desom va et imtall. Disse tallee kalles defo Mesee tall ette ham. Nå e f eks 57 et imtall, me det ble åvist i 95 ved hjel av e av de alle føste egemaskiee at M = 57 e et sammesatt tall. 57 Det e lett å se at desom = m e et atall, ha vi følgede ette kojugatsetige: m m m = = ( ) ( + ) Det e oe vaskeligee å se at desom = q e et odde, me sammesatt tall, e et sammesatt tall. 7 Euves de Femat Vol II

Vi state med fomele fo e geometisk ekke: q q a + a + a +... + a = a Vi sette å + ( ) + ( ) a =. Demed ha vi i fomele ovefo: +... + ( Som vi ka skive som: ( ) q = ) q q ( ) = ( ) q (( ) )( + ( ) + ( ) +... + ( ) ) Sette vi i = q i fomele ovefo, fie vi fo dette leddet q q = = ( ) som vi vet ka faktoisees som ovefo.

KAPITTEL 9. RESTKLASSER KONGRUENSREGNING Vi komme å til et eme i tallteoi som hete koguesegig. Dee gee av matematikke ble iføt av de tyske matematike Cal Fiedich Gauss (777 855) i 80. Det ha side vist seg å væe et ovemåte yttig vektøy 8. Ata at vi ha sammehege: a + = k og b = + De a, b, k,, og alle e hele tall. Ved divisjo med ha tallee a og b estee og. Desom vi addee tallee, fie vi: a + b = ( k + ) + ( + ) Desom vi multilisee tallee, fie vi: a b = k [ k + ( k + )] + + ( k + ) + = Vi fie da eglee, om vi addee to tall som ha estee s og t ved divisjo med, vil summe ha este (s +t), og desom vi multilisee, vil oduktet ha este s t. Desom vi dividee med 7, se vi at tallee 8 og 9 ha samme est, emlig. Tilsvaede ha 9 og 30 samme est,. Tallee 0 og 3 ha este 3. Dette skive vi slik: 8 (mod 7) leses modulo 7 9 (mod 7) 0 3 (mod 7) Nå vi skive 3 9 (mod 4) lese vi dette som 3 og 9 e koguete modulo 4 og med dette mee vi at de ha samme est ved divisjo med 4, emlig 3. E ae måte å betakte det å e å si at 3 og 9 e koguete modulo 4 fodi diffeese (3-9) = e delba med 4. Geeelt ha vi altså: Vi hadde i eksemlet ovefo at 9 (mod 7). Diffeese mellom 9 og e 8 som e et multilum av 7. Det e lett å ovebevise seg om at følgede egel gjelde: a b (mod ) (a b) 8 Disquisitioes Aithmeticae Del 7.

Vi illustee det med dette eksemlet: 77 4 (mod 9) 77 = 7 + 5 = 9 8 + 5 og 4 = 36 + 5 = 9 4 + 5 Vi ha å: (77 4) = (9 8 + 5) (9 4 + 5) = 9 4 Vi ka å udesøke disse åstadee: d a d ab d a d b d a + b d a d b d a - b Vi ha disse egeeglee som gjelde fo koguese: a b c d (mod ) (), (), (3), () a + c b + d (mod ) () a c b d (mod ) (3) k k a c (mod ) Vi abeide i megde av hele tall, Z, oe som gjø at vi ka abeide med koguese med egative tall. Dette skal vise seg å væe e sto fodel. Vi ha som eksemel 43 = 3 + 0 43 0 (mod ) 43 = 4-43 - (mod ) 43 0 849 00 (mod ) 00 (mod ) 43 ( ) 849 (mod ) Nå skal vi buke egel (3) samme med koguese med egative tall å et eksemel: Vi ha at 34 - (mod ) dette gi oss ette (3) 34 8 8 ( ) (mod ) Vi ha at Nå e Nå e 0 ( ) = 04 og 04 4 (mod ) ( = 80 8 ) 04 og 8 4 = 65536 4 (mod ) ( 80 8 ) 4 (mod ) Demed fie vi at 34 8 ( ) 4 = 8 og - 8 4 (mod )

Restklasse og estsystem. To hele tall sies å tilhøe samme estklasse modulo å de e koguete modulo. Megde av de hele tall ideles defo i estklasse modulo, svaede til de mulige vediee vi ka få fo est ette divisjo med, 0,,,, -. Desom vi se å tallee o til, tilhøe 3, 6, og 9 samme estklasse modulo 3, tilsvaede tilhøe, 4, 7 og 0 samme estklasse modulo 3, tallee, 5, 7 og tilhøe samme estklasse modulo 3. Disse tallee gi i ekkefølge 0,, og ved divisjo med 3. Vi sie å at disse estklasse modulo dae et fullstedig estsystem modulo. Vi skal vise e setig agåede estklasse, me illustee dette føst med et eksemel: He state vi med tallee 3 og 5 som e ibydes imiske og velge i tillegg det hele tallet 4. Vi se å å disse tallee: 4, 3 +4, 3 + 4, 3 3 + 4, 4 3 + 4, som gi 4, 7, 0, 3, 6. Studee vi disse modulo 5, fie vi: 4 4 mod 5, 7 mod 5, 0 0 mod 5, 3 3 mod 5, 6 mod 5, Disse tallee eesetee altså et fullstedig estsystem. Vi skal å vise setige: Desom tallee m og e ibydes imiske og k e et helt tall, så eesete de - tallee k, m + k, m + k, 3m + k,..,( -)m + k, et fullstedig estsystem modulo. Det e tilstekkelig fo beviset at vi vise at disse tallee e ibydes ikoguete modulo. Nå ha vi: ( m + k) - ( m + k) = ( - ) m de, < demed e ikke delelig med oe av faktoee å høyeside av (), og tallee ovefo e ibydes ikoguete. Avedelse av delelighetseglee Vi skive T() fo tvesumme av tallet skevet i 0 tall systemet. Vi vise føst at a 0 m a (mod 9) Vi ha 0 (mod 9) og egeegel () gi oss da 0 m (mod 9) m a 0 a (mod 9) Regeegel () gi oss da: a m m m 0 + am 0 +... + a 0 + a0 am + am +... + a + a0 (mod 9) Demed ha vi vist at T() (mod 9)

Dette gi oss igje at 9 9 T() Vi fie e tilsvaede egel fo delelighet med 3 Tilsvaede ha vi disse eglee: 9 +m 9 T() + T(m) 9 m 9 T() T(m) Vi skal så utlede e egel fo delelighet med Vi ha 0 (mod ) Dette gi oss: 0 m m ( ) (mod ) Som igje gi oss: a m m m m m 0 + am 0 +... + a 0 + a0 ( ) am + ( ) am +... a + a0 (mod ) Fo å udesøke om et tall e delelig med state vi med eesiffeet, fa dette tekke vi tiesiffeet, til dette legge vi hudedesiffeet osv desom esultatet vi da komme fem til e delelig med, e tallet delelig med. Fo divisjo med 3 ha vi disse koguesee: 0 3 (mod 3) 0 ( 3) (mod 3) Det at 0 9 (mod 3) ka vi imidletid skive som 0 4 (mod 3) 0 3 ( 4) ( 3) (mod 3) Det at 0 (mod 3) ka vi imidletid skive som 0 3 (mod 3) 0 4 ( ) ( 3) (mod 3) og vi ha 0 4 3 (mod 3)

Du ka selv ege videe og kotollee at 0 5 4 (mod 3) Demed fie vi: a m m= 0 m 0 a0 3a 4a a3 + 3a4 + 4a5 + a6... i det vi se at koeffisietee,-3,-4 gjeta seg med alteeede foteg. Nå vet vi fa fø at 43 e 3, me vi se i tillegg at 3 e fakto i 00. Dette bety igje at tall av tye abcabc, abcabcabc, osv alltid e delelig med 3 oe som ka væe til hjel fo e stesset læe som skal imovisee ogave. Dee sammehege ka vi fo øvig se av et aet fohold, både 7, og 3 gå o i 00. Dvs at tall som e å fome abcabc e delelig med 7, og 3. Vi skal vise et iteessat teoem også kalt Femat s lille teoem: Gitt et vilkålig a som ikke e delba med imtallet, da ha vi følgede: a a (mod ) tilsvaede a (mod ) Vi skal føe beviset som et iduksjosbevis. Vi ha føst: a (mod ) a a (mod ) Teoemet gjelde åebat fo a =. Vi foutsette defo i det følgede at teoemet gjelde fo a, og vil vise at da gjelde det fo (a + ) Vi ha å ( a + ) = a + a + a + a 3 3 +... Side alle biomialkoeffisietee ieholde som fakto, ha vi fo alle ledd ette a a m m 0 (mod ) Dette gi oss: ( a + ) a + (mod ) ( a + ) ( a + ) (mod ) ( a + ) (mod ) Demed ha vi bevist at setige også gjelde fo (a + ). Femats teoem e et sesialtilfelle av et me geeelt teoem som Leohad Eule (707-783) viste i 747.

Eule fomulete i 747 e geealiseig av dette teoemet til Femat. Ha defiee e ϕ() som atall atulige tall mide e som ikke ha felles fakto med. Fo et imtall, ha vi ϕ () =. Desom vi ha to imtall og q, ha vi at ϕ ( q) = ( )(q -) Nå ka vi skive Eule s teoem å dee fome: ( q) a ϕ = a ( )( q ) (mod q) De a og q ikke ha felles fakto. Vi skal komme tilbake til Eule s teoem i fobidelse med kodeteoi. Vi skal så se å et iteessat teoem, det såkalte Wilso s teoem. Sammehege ble faktisk føst fuet av de aabiske matematike ib al-haytham (965 040) og igje fuet av de bitiske matematike Joh Wilso (74 793). Setige ble bevist av Joseh-Louis Lagage (736 83) Det fomulees valigvis slik: Desom e et imtall, ha vi [( )! + ]. Vi se at vi ka fomulee dette som: ( )! (mod ) Alteativt også som: ( )! + N Fø vi gå ove å kodeteoi som e kaittel 0, skal vi vise et iteessat teoem som agå øttee i e algebaisk ligig med heltallige koeffisiete. Det vise seg emlig at vi ka vise at disse ete e hele tall elle iasjoale tall altså ikke bøke! Desom f ( x) = x + a x +... + a e et olyom i x med heltallige koeffisiete, a 0, a, a,..., a ), e øttee til ligige f ( x) = 0 ete hele tall elle iasjoale tall. ( Beviset føes som et kotadiksjosbevis. Vi ata at λ e e ot i ligige og ka skives som et asjoalt tall λ =, de og s ikke ha felles diviso >, dvs (, s) =. Ved multilikasjo med s å begge side gå ligige f ( x) = 0ove å s fome: = + a s +... + a s 0 som vi ka skive som: + s [ a +... + a s ] 0 = Av dette følge at fo at ligige skal væe ofylt, må og s ha e felles diviso c, og de eeste mulighet fo dette e at c =, dvs at λ e et helt tall Vi ha demed vist at ligige ikke ka ofylles fo et asjoalt tall som ikke e et helt tall.