Eksame REA08 S, Våre 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f 5 f 6 5 ) g g ) h l 9 9 6 4 h l h l b) I e aritmetisk tallfølge er a4 9 og a0. Bestem a 5. 9 a0 a4 0 4d 9 6d d 6 a 9 5 4 5 c) Forkort brøke 5 Hvis brøke lar seg forkorte, må være e faktor i tellere. Det er tilfelle hvis er et ullpukt i tellere. Jeg setter i i tellere. Eksame REA08 Matematikk S, Våre 0 Side
5 7 7 9 5 54 54 0 Da vil polyomdivisjoe gå opp 6 5 6 8 5: 6 5 5 5 5 5 0 Det betyr at 5 6 5 d) Forklar at de uedelige rekke edefor kovergerer. Bestem summe. 4 8 56 9 8 79 9 4 8 8 79 56 79 79 9 4 4 9 9 8 8 79 89 9 9 8 Dette viser at rekke er geometrisk, og side kvotiete kovergerer rekke. 9 7 79 79 79 Summe av rekke er S 9 9 9 9 7 9 9 Eksame REA08 Matematikk S, Våre 0 Side
e) Løs likige 8 8 l l8 l l l l 0 4 Eksame REA08 Matematikk S, Våre 0 Side
f) Vi har gitt sasylighetsfordelige 0 P X 8 8 8 8 ) Fi forvetigsverdie E E X P X i i 0 8 8 8 8 6 8 8 8 8 ) Vis at variase Var i 4 Var X P X i i 0 8 8 8 8 9 9 4 8 4 8 4 8 4 8 9 9 4 4 Tre gutter har tre ulike typer myter med ulik verdi i lommee. Tabelle edefor viser fordelige av mytee. Nav Atall myter av type Atall myter av type Atall myter av type Sum i kroer Ola 4 0 Per 75 Ige 5 05 Eksame REA08 Matematikk S, Våre 0 Side 4
g) Reg ut verdie til de tre myttypee ved å løse et likigssystem. Jeg lar verdie av myt av type være kroer, av type y kroer og av type z kroer. Opplysigee i tabelle gir da likigssystemet y 4z 0 y z 75 5y z 05 Jeg løser likigssystemet og fier verdie av de tre myttypee. y 4z 0 y 60 z 60 z z 75 5 4z 05 58z0 4z 90 5 60 z z 05 7z 95 5 8z 0 8 4 z 5 8 4 z 4z 88 90 5 46 4 90 0 88 70 950 8 6 z z 0 5 z z z z 0 8 4 0 0 y60 0 0 60 5 40 5 5 Verdie av myt av type er 0 kroer, av type er verdie 5 kroer og av type er verdie 0 kroer. Eksame REA08 Matematikk S, Våre 0 Side 5
Oppgave (6 poeg) Trekattallee er gitt ved formele a, der er et aturlig tall. a) Skriv opp de ti første trekattallee. 4 4 a a a 6 a4 0 55 66 77 88 a5 5 a6 a7 8 a8 6 99 00 a9 45 a0 55 Ige påstår at summe av to «abo-trekattall» alltid er lik et kvadrattall. b) Fi ut om dette gjelder for a4 a5 og for a0 a. 55 4 4 a4 a5 7558 57 8 55 5 00 a0 a 0 0 Dette gjelder for a a og for a a 4 5 0 c) Fi ut om a a alltid er et kvadrattall. a a Dette viser at summe av to «abo-trekattall» alltid er lik et kvadrattall. Eksame REA08 Matematikk S, Våre 0 Side 6
Del Tid: timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med utak av Iterett og adre verktøy som tillater kommuikasjo. Oppgave (9 poeg) Vi skal udersøke kostader og itekter for e bedrift. a) Forklar at overskuddet for bedrifte er størst år gresekostade er lik greseitekte. Gresekostade er økig i de totale kostade ved å produsere é ekstra ehet. Greseitekte er økige i itekte ved salg av é ekstra ehet. Når gresekostade er midre e greseitekte, vil økt produksjo gi ekstra overskudd, og produksjoe bør økes. Når gresekostade er større e greseitekte, vil økt produksjo gi midre overskudd, og produksjoe bør miskes. Det betyr at maksimalt overskudd oppås år gresekostade er lik greseitekte I bedrifte er dagsproduksjoe av e vare eheter. Kostadee per ehet er gitt ved 000 E 0,5 7 0,00 Etterspørsele etter vare er så stor at alt som produseres, blir solgt. Vare selges for 55 kroer per ehet. b) Fi fuksjosuttrykk for totalkostade K og itekte I ved produksjo og salg av eheter. Totalkostade er lik kostadee per ehet multiplisert med atall eheter som produseres. K E 000 0,5 7 0,5 7 000 Itekte er lik itekte per ehet multiplisert med atall eheter som selges. 55 I Eksame REA08 Matematikk S, Våre 0 Side 7
c) Teg grafee til fuksjoee K og I i samme koordiatsystem. Jeg teger grafee i Geogebra. d) Bruk grafee til å bestemme hvilke produksjosmegder som gir overskudd, og hvilke produksjosmegde som gir størst overskudd. Jeg fier skjærigspuktee mellom grafee i GeoGebra ved å bruke kommadoe «Skjærig mellom to objekt» Produksjosmegder mellom 49 og 7 eheter gir overskudd. (Se koordiatsystemet til høyre.) Vi får størst overskudd år greseitekte og gresekostade er like store. Itektsfuksjoe er lieær med stigigstall lik 55. Det vil si at greseitekte er kostat lik 55. Jeg lager e glider, a, i GeoGebra. Ved å justere glidere ser jeg at stigigstallet til tagete til kostadsfuksjoe i puktet a, K a er lik 55 år a 60. Bedrifte får størst overskudd år det produseres 60 eheter. e) Bestem ved regig hvor mage eheter som må produseres og selges for at overskuddet skal bli størst mulig. Jeg defierer kostadsfuksjoe og itektsfuksjoe i GeoGebra og løser likige K I. Det må produseres og selges 60 eheter for at overskuddet skal bli størst mulig. Eksame REA08 Matematikk S, Våre 0 Side 8
Oppgave 4 (4 poeg) Tre påfølgede kvadrattall ka alltid skrives på forme Med for eksempel, får vi kvadrattallee, 4 og 9. Summe av tre påfølgede kvadrattall er 65., og a) Sett opp e likig, løs dee og bestem og de tre kvadrattallee.. Jeg løser likige GeoGebra. Tallet er positivt. 0 65 i De tre kvadrattallee er 00, og 44. Summe av to påfølgede kvadrattall er 65. b) Bestem og de to kvadrattallee. Jeg løser likige Tallet er positivt. 65 i GeoGebra. De to kvadrattallee er 69 og 96. Eksame REA08 Matematikk S, Våre 0 Side 9
Oppgave 5 (4 poeg) Vi har gitt rekke a) 9 7 4 8 ) Bestem S 0 Jeg bestemmer verdie av uttrykket 0 S0 i GeoGebra. 5805 S0, 5 ) Fi et uttrykk for S S b) Hvor mage ledd må vi mist ta med for at S skal overstige 000 000? Jeg løser likige 000000 i GeoGebra. Vi må mist ha ledd. Eksame REA08 Matematikk S, Våre 0 Side 0
Oppgave 6 ( poeg) Fuksjoe f er gitt ved f, D f a) Bestem ullpuktee til f ved regig. Likige 0 f år Jeg løser likige 0 fordi 0 0. 0 i GeoGebra Nullpuktee til f er 0,,7 og,7 b) Teg grafe til f. Forklar hvorfor grafe til f ligger over lije y. Uttrykket er alltid positivt. Det betyr at alltid må være større e. Da må grafe til f alltid ligge over lije y. Eksame REA08 Matematikk S, Våre 0 Side
l c) Bruk kjereregele og vis ved regig at f f u f u u u f u u f f u u l f l f l d) Bestem ved regig for hvilke verdier av grafe til f vokser, og for hvilke verdier av grafe avtar. Bestem ved regig topp- og bupukter på grafe til f. Jeg defierer f i GeoGebra og reger ut de deriverte. Utregiger i GeoGeoGebra viser at de deriverte er ull for, og for. De deriverte er positiv, det vil si at grafe vokser år og år De deriverte er egativ, det vil si at grafe avtar år Det betyr videre at Grafe til f har toppukt, f,,08 Grafe til f har bupukt, f, 0,5 Eksame REA08 Matematikk S, Våre 0 Side
e) Bruk digitale hjelpemidler til å fie e positiv verdi for a slik at a 0 f d 0 Jeg defierer a som e glider i GeoGebra og fier itegralet fra 0 til a. Jeg justerer glidere itil arealet blir lik 0. a 0 f d 0 år a, Eksame REA08 Matematikk S, Våre 0 Side
Oppgave 7 (8 poeg) Ved et helsestudio registrerte de kroppsvekte til alle de 0 kudee. Gjeomsittsvekte var 79, kg med et stadardavvik på 6,4 kg. Vi atar at kroppsvekte er ormalfordelt. a) ) Hvor stor adel av kudee veide mellom 75,0 kg og 85,0 kg? Jeg bruker sasylighetskalkulatore i GeoGebra. Jeg velger ormalfordelig, setter forvetigsverdie til 79, og stadardavviket til 6,4. Jeg velger itervall med edre grese 75,0 og øvre grese 85,0. Sasylighetskalkulatore viser at 56, % av kudee veier mellom 75,0 kg og 85,0 kg. ) Hvor stor adel av kudee veide over 00,0 kg? Jeg velger å høyresidig sasylighet med 00,0 poeg som edre grese. Sasylighetskalkulatore viser at 0,06 % av kudee veier over 00,0 kg. Eksame REA08 Matematikk S, Våre 0 Side 4
Helsestudioet vil udersøke om treige påvirker kroppsvekte. De veier derfor 0 tilfeldig valgte kuder etter e periode med jevlig treig. Gjeomsittsvekte for disse 0 kudee er 76,0 kg. Vi atar at stadardavviket er uedret. b) Sett opp e ullhypotese og e alterativ hypotese som passer til dee problemstillige. Nullhypotese, H 0 : Treige har ikke påvirket kroppsvekte. Gjeomsittsvekte er uedret. Alterativ hypotese, H: Treige har ført til at kudees gjeomsittsvekt har gått ed. c) Udersøk om det er grulag for å hevde at gjeomsittsvekte til kudee i helsestudioet har gått ed. Bruk et sigifikasivå på 5 %. Vi atar at ullhypotese fortsatt gjelder, at gjeomsittsvekte til kudee er ormalfordelt med forvetigsverdi 79, kg og med stadardavvik på 6,4 kg. Da er gjeomsittsvekte til e stikkprøve med 0 kuder også ormalfordelt med forvetigsverdi lik 79, kg og med stadardavvik på 6,4,7 0 kg. Normalfordeligsfuksjoe gir P - verdie P Gjeomsittsvekte 76,0 0,00 0,% Det betyr at det bare er 0, % sasylig at gjeomsittsvekte på 76,0 kg til de 0 kudee ble oppådd ret tilfeldig. P - verdie på 0, % er midre e sigifikasivået på 5 % og gir dermed grulag for å forkaste ullhypotese. Det er altså gru til å si at treige har ført til at kudees gjeomsittsvekt har gått ed. Eksame REA08 Matematikk S, Våre 0 Side 5