Forelesening INF 24 27/ - 25 Spektre - Fourier analyse Spektre - Fourier analyse og syntese Tosidig spektrum Beat notes Amplitudemodulasjon Periodiske og ikke-periodiske signaler Fourier rekker - analyse og syntese av periodiske signaler Et generelt signal kan tilnærmes med en sumavsinusoidermedulik frekvens Spekteret viser grafisk hvordan signalet kan dekomponeres i en slik sum Vi får informasjon om behovet for filtrering hvordan ulike filtre vil påvirke signalet tolkning innen seismikk, radra, ultralyd... INSTITUTT FOR INFORMATIKK INSTITUTT FOR INFORMATIKK 2 Spektre - Fourier syntese Et signal bestående av sinusoider har en kompakt representasjon ved sitt spektrum. Et slikt signal kan skrives som = A + A k cos(2πf k t +φ k ) k= { N = X +Re X k e j2πfkt}, k= der X = A er en reell konstant og X k = A k e jφk er den komplekse n. Det tosidige spekteret til defineres som settene av 2N + frekvenser og komplekse r. Vi kan skrive dette som settet av par { (,X ), (f, 2 X ), ( f, 2 X ),..., (f N, 2 X N), ( f N, 2 X N ) } Eulers inverse formler tillater følgende omskriving Dette kan sies å være en representasjon av i frekvensdomenet. = X + k= { Xk 2 ej2πf kt + X k 2 e j2πf kt } INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 4
Gitt ny notasjon for kompleks X k A for k = a k = 2 A k e j sgn(k)φ k for k har vi Grafisk plot av spekteret Gitt alle par av (f k,a k ),for plot en spektrallinje ved hver frekvens f k hver linje er a k høy merk linjene med a k gitt f =. = a k e j2πfkt, k= N Eksempel: = 5+ cos ( πt π 3 ) ( π) +5 cos 4πt+ 4 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 5 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 6 3 Plot av = 5 + cos(π t π/3) + 5 cos(4π t + π/4) 25 2 5 5 Beat notes 5 5 2..2.3.4.5.6 Tosidig spektrum for = 5 + cos(π t π/3) + 5 cos(4π t + π/4) = cos(2π f t) + cos(2π f 2 t) der f = f c f and f 2 = f c + f Da har vi også at = 2cos(2πf t) cos(2π f c t) 9 8 5/2 e jπ/4 7 5/2 e jπ/4 Gjelder generelt, men her vil vi se på tilfellet der f c >> f. Da oppstår beat fenomenet. absoluttverdi av a k 6 5 4 5 e jπ/3 5 5 e jπ/3 I de følgende figurene er n til normalisert til. 3 2 2 5 5 5 5 2 frekvens INSTITUTT FOR INFORMATIKK 7 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 8
Beat notes, f c = 4 Hz og f = Hz Beat notes, f c = 4 Hz og f = 3 Hz Summen av to sinusoider, (f = 4 and f2 = 399) eller produktet av to sinusoider (fd = og fc = 4). Summen av to sinusoider, (f = 43 and f2 = 397) eller produktet av to sinusoider (fd = 3 og fc = 4)..5.5.5.5.5.5.5.5 Utsnitt av figuren over, viser /5 av tidsaksen Utsnitt av figuren over, viser /5 av tidsaksen.5.5.5.5.5..5.2.25.3.5..5.2.25.3 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 9 INSTITUTT FOR INFORMATIKK Beat notes, f c = 4 Hz og f = 6 Hz Summen av to sinusoider, (f = 46 and f2 = 394) eller produktet av to sinusoider (fd = 6 og fc = 4). Amplitudemodulasjon Lavfrekvent, informasjonsbærende signal v(t) =.55 +.45 cos(2π f v t).5.5 Høyfrekvent bærebølge (carrier signal) c(t) = cos(2π f c t).5.5.5 Utsnitt av figuren over, viser /5 av tidsaksen Her gjelder det at f v f c. Det modulerte signalet = v(t) c(t).5.5..5.2.25.3 Hensikten er at informasjonssignalet skal modulere n til bærebølgen. Da vil det høyfrekvente signalet bære informasjonen med seg, og den kan leses av hos en mottaker. INSTITUTT FOR INFORMATIKK INSTITUTT FOR INFORMATIKK 2
Amplitudemodulasjon, eksempel Gitt f v = 5 Hz og f c = 75 Hz. har vi v(t) =.55 +.45 cos(2π 5 t) og c(t) = cos(2π 75 t) Amplitudemodulasjon, eksempel Informasjonssignalet modulerer bærebølgens, og = v(t) c(t) blir seende ut som på figuren..8 Komponenter i modulasjon, fc = 75 carrier informasjonssignal.8.6 Amplitudemodulert signal, fc=75. AM signal omhyllingskurve.6.4.4.2.2.2.2.4.4.6.6.8.8 5 5 5 5 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 4 Amplitudemodulasjon, eksempel 2 Bærefrekvensen endres til f c = 4 Hz, som gjør omhyllingskurven synlig med det blotte øyet. Amplitudemodulert signal, fc=4. Periodiske og ikke-periodiske signaler Signal med harmoniske relaterte frekvenser x (t) = 5 + cos ( 2π 5t π/3 ) + 5 cos ( 2π 2t + π/4 ) Signal uten harmonisk relaterte frekvenser x 2 (t) = 5 + cos ( 2π 5 2 t π/3 ) + 5 cos ( 2π 2 2 + t + π/4 ).8.6 3 Plot av = 5 + cos(π t π/3) + 5 cos(4π t + π/4).4 2.2.2.4.6.8 2..2.3.4.5.6 3 2 Plot av = 5 + cos(2π sqrt(5 2 ) t π/3) + 5 cos(2π sqrt(2 2 +) t + π/4) 5 5 2..2.3.4.5.6 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 5 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 6
Fourier-rekker Ethvert periodisk signal (periode T )kan uttrykkes som en sum av sinusoider, ved hjelp av ligningen for Fourier-syntese. = k= a k e j(2π T )kt Koeffesientene a k finnes fra analyseformelen a k = T T Reell gir a k = a k. e j(2π T )kt INSTITUTT FOR INFORMATIKK 7