GeoGebra 6 for Sinus 1P

SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL GeoGebra 6 for Sinus 1P

SINUS 1P ble skrevet med utgangspunkt i GeoGebra 5. I boka er det også lagt opp til at elevene har en enkel lommeregner i tillegg til datamaskin. I dag er det mange lærere og elever som bruker GeoGebra 6, og i flere klasser ønsker de ikke å bruke lommeregner i timene. I dette heftet har vi derfor forklart hvordan en kan bruke CAS som lommeregner og hvordan vi bruker GeoGebra 6, der det i boka er beskrevet fremgangsmåter med GeoGebra 5. Disse forklaringene er både samlet her i et eget hefte, og lagt ut under de aktuelle delkapitlene på de gratis nettsidene til Sinus. 30.06.18 Sigbjørn Hals og Tore Oldervoll Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarframstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel.

Innhold Regnerekkefølge Sinus 1P, side 10... 4 Forkorting av brøker Sinus 1P, side 17... 4 Brøkregning Sinus 1P, side 19... 5 Likninger Sinus 1P, side 33... 5 Kvadratrot Sinus 1P, side 34... 6 n-te røtter Sinus 1P, side 36... 7 Pytagorassetningen Sinus 1P, side 94... 7 Å finne radien i en sirkel Sinus 1P, side 11... 8 Indeksregning Sinus 1P, side 163... 8 Omforming av formler Sinus 1P, side 186... 9 Digital graftegning Sinus 1P, side 19... 10 Digital graftegning Sinus 1P, side 194... 11 Konstantledd og stigningstall Sinus 1P, side 199... 1 Digital løsning av likninger Sinus 1P, side 07... 13 Digital løsning av likninger Sinus 1P, side 08... 14 Digital løsning av likninger Sinus 1P, side 09... 14 Digital graftegning av andregradsfunksjoner Sinus 1P, side 4... 15 Funksjonsverdier Sinus 1P, side 4... 16 Nullpunkt, toppunkt og bunnpunkt Sinus 1P, side 4... 16 Avgrensing av grafer Sinus 1P, side 5... 17 Likninger Sinus 1P, side 7... 18 Simulering av terningkast Sinus 1P, side 45... 19

Regnerekkefølge Sinus 1P, side 10 Vi kan bruke CAS i GeoGebra 6 til all tallregning. Bruk CAS til å regne ut 3 (3 1) 4. Vi skriver inn hele uttrykket i CAS og trykker Enter. Vi bruker * som gangetegn og skriver ^3 for å få Vi kan også trykke Alt og 3 samtidig for å få 3. 3. Svaret blir 4 som vist ovenfor. Forkorting av brøker Sinus 1P, side 17 Forkort brøken 6 8. Når vi skal forkorte 6, skriver vi inn 6/8 i CAS-feltet og trykker Enter. 8 6/8 blir automatisk skrevet som 3 4. Svaret blir 3 4. 4

Brøkregning Sinus 1P, side 19 Vi kan gjøre all tallregning med brøker i CAS. Vi skriver inn regnestykket og trykker på Enter. Bruk CAS til å regne ut 7 3. 1 8 Vi skriver inn 7 3 i CAS på denne måten. 1 8 Vi må trykke høyrepil etter at vi har skrevet inn 1 for å få plusstegnet bak brøken 7 1. CAS gjør automatisk om / til en brøkstrek. Svaret blir 3. GeoGebra oppgir alltid brøker ferdig forkortet. 4 Likninger Sinus 1P, side 33 1 x 1 x 3 3 6 Løs likningen x 4 1 x 1 i CAS. Skriv inn likningen i CAS-feltet slik den står, og trykk på. Pass på å trykke høyrepil etter brøkene og for å komme bak parentesene. Likningen har løsningen x 1. 5

Kvadratrot Sinus 1P, side 34 I praktiske oppgaver kan vi trenge avrundingsverdier for eksakte verdier som kvadratrøtter. Finn en avrundingsverdi for 5. I CAS trykker vi på Alt og r samtidig for å få fram rottegnet. Så skriver vi inn 5 og klikker på. Vi kan også bruke tastaturet som vi får fram ved å klikke på dette symbolet hjørne. nede i venstre Dersom vi ønsker flere desimaler, kan vi klikke på dette ikonet oppe i høyre hjørne: Vi velger så Innstilinger og Avrunding og for eksempel 5 desimaler. Da får vi fram svaret med fem desimaler slik: 6

n-te røtter Sinus 1P, side 36 Vi kan også finne tredjerota og fjerderota av et tall med CAS. Finn en avrundingsverdi for 3 5 og en forenklet verdi for 4 16. For å finne en avrundingsverdi for 3 5 skriver vi nrot(5, 3) og klikker på. For å finne 4 16 skriver vi nrot(16, 4) og klikker på. 4 16 er eksakt lik. Pytagorassetningen Sinus 1P, side 94 Vi kan løse likningen i eksempelet på side 94 med CAS. En stige som er 3,00 m lang, står inntil en vegg. Stigen står på et horisontalt underlag. Den står 1,0 m fra veggen ved bakken. Hvor høyt opp på veggen når stigen? Vi kaller den ukjente høyden for x. Da får vi x 1,0 3,00. Vi skriver inn likningen i CAS-feltet og klikker på. Bruk punktum som desimaltegn. Enheten er meter. Vi må ha positive verdier for lengdene. Svaret blir da at stigen når,75 m opp på veggen. 7

Å finne radien i en sirkel Sinus 1P, side 11 Vi kan løse likningen i oppgave a i eksempelet på side 11 med CAS. En sirkel har arealet 38,5 cm. Finn radien. Vi skriver inn likningen og klikker på. Trykk på Alt og p samtidig for å få -tegnet. Enheten er centimeter og radien må være positiv. Svaret blir da at radien er 3,5 cm. Indeksregning Sinus 1P, side 163 Vi kan finne indeksen i eksempelet på side 163 med CAS. I 01 var indeksen for matvarer 13,8. En gjennomsnittsfamilie brukte da 39 573 kr til matvarer. I 007 brukte familien 35 961 kr til matvarer. Finn indeksen for matvarer i 007. Vi kaller den ukjente indeksen for x. VI kan sette opp denne likningen, ut fra opplysningene i oppgaven: x 13,8 35 961 39 573 Vi skriver inn likningen og klikker på. Indekser er uten enhet. Indeksen for 007 er 11,5. 8

Omforming av formler Sinus 1P, side 186 Vi kan også bruke CAS til å omforme formler. Finn et uttrykk for x, ut fra formelen B 10 000 800x. Skriv Løs( B 10000 800 x, x) og trykk Enter. Om vi ønsker å få uttrykket for x på én brøkstrek, kan vi gå fram slik: Klikk i den neste linja i CAS. Klikk på svaret i linje 1. Klikk på dette ikonet for å få faktorisert svaret:. 9

Digital graftegning Sinus 1P, side 19 Vi kan bruke digitale hjelpemidler til å tegne rette linjer og andre grafer. Her viser vi hvordan vi kan bruke GeoGebra 6 til slik tegning. Tegn linja y 1,5x Vi åpnet programmet og klikker inne i grafikkfeltet. Hvis vi ikke får fram koordinatsystemet eller rutenettet, klikker vi på dette symbolet oppe i høyre hjørne av programvinduet. Da får vi fram denne menyen, der vi mellom annet kan vise eller skjule aksene og rutenettet: Nå skriver vi inn likningen for linja i algebrafeltet. Bruk desimalpunktum. I GeoGebra 6 fungerer algebrafeltet også som et inntastingsfelt. Når vi trykker Enter får vi dette bildet i algebrafeltet. Da får vi fram linja nedenfor. Du får kanskje et helt annet utsnitt og andre tall langs aksene enn det vi har fått. For å endre på koordinatsystemet trykker vi på symbolet. Hvis vi nå plasserer musepekeren inne i koordinatsystemet og holder inne venstre musetast, kan vi flytte koordinatsystemet. Hvis vi vil endre på en av aksene, plasserer vi musepekeren på en av aksene og holder inne venstre musetast. Da kan vi dra i aksen og få den slik vi vil. Vi kan også bruke dette verktøyet for å flytte på grafikkfeltet: Shift-tasten og venstre musetast for å endre på aksene.. Da må vi holde nede 10

Digital graftegning Sinus 1P, side 194 Noen ganger kan det være vanskelig å finne ut hvilke verdier vi skal ha langs aksene. Ofte står det i oppgaven hvilke x-verdier vi skal bruke. Men vi må selv finne ut hvilke verdier vi trenger langs y-aksen. Da kan i gå fram som i dette eksemplet. Tanken på en bil inneholder 60 liter bensin. Bilen bruker 0,55 liter bensin per mil. Etter x mil er bensinmengden y i liter gitt ved y = 60 0,55x Tegn digitalt ei linje som viser hvor mye bensin det er igjen på tanken helt til vi har kjørt 100 mil. Vi bruker GeoGebra og skriver først inn likningen slik i algebrafeltet: Bruk punktum og ikke komma som desimaltegn. For å kunne se grafen, må vi forandre på verdiene langs aksene. Høyreklikk inne i koordinatsystemet, velg Grafikkfelt, xakse og fyll ut skjermbildet slik det er vist nedenfor. Gjenta det samme for yakse. Legg merke til at vi har merket av for Avstand, og satt denne til 10 langs begge aksene. Vi har også tatt med enheten mil langs x-aksen og liter langs y-aksen. Dette er veldig viktig i slike tekstoppgaver. I oppgaver uten enheter er det nok å bare ha navnet på aksene. Det mest vanlige er å bruke x og y. Vi bruker nå dette verktøyet figuren nedenfor. og drar i aksene til vi får en graf som ligner på grafen på 11

Konstantledd og stigningstall Sinus 1P, side 199 Vi kan finne stigningstallet og konstantleddet til ei rett linje gjennom to punkter ut fra opplysningene i algebrafeltet i GeoGebra. Finn stigningstallet og konstantleddet til linja som går gjennom punktene ( 1, ) og (3,10). Skriv inn ( 1, ) i algebrafeltet og trykk Enter. Punktet får automatisk navnet A. Skriv deretter inn (3,10) og trykk Enter. Dette punktet får navnet B. Dra i aksene slik at begge punktene er synlige. Skriv Linje(A, B) i algebrafeltet og trykk Enter. Du kan også velge dette verktøyet: og klikke etter tur på punktene A og B. Likningen er ikke slik vi pleier å skrive den. Hvis vi vil ha likningen på formen y ax b, høyreklikker vi på likningen og velger Likning y = ax + b. Det gir dette resultatet: Likningen er y x 4 Dermed er stigningstallet og konstantleddet 4. Dersom vi ønsker at linjer alltid skal vises på formen y ax b, klikker vi på dette symbolet oppe i høyre hjørne:. Deretter klikker vi på firkanten som er innringer i figuren nedenfor, velger Algebra og formen y ax b for likninger. Etterpå må vi velge Innstillinger og Lagre innstillinger. 1

Digital løsning av likninger Sinus 1P, side 07 Fredrik kjører fra Trondheim til Oslo med farten 70 km/h. Vi kaller antall timer han har kjørt for x og antall kilometer han har kjørt for y. Etter x timer er kjørelengden y, målt i km, gitt ved y 70x Finn grafisk hvor langt Fredrik har kjørt etter 3 timer. Vi tilpasser først aksene slik at x går fra 0 til 10 og y fra 0 til 500, slik vi lærte i kapittel 7.5. Deretter skriver vi y 70x i algebrafeltet og får fram linja l. Så skriver vi x 3 i algebrafeltet og får fram ei vertikal linje gjennom x 3. Deretter bruker vi verktøyet Skjæring mellom to objekt:. Dette verktøyet finner vi ved å klikke på dette ikonet:. Vi klikker deretter nær skjæringspunktet mellom de to linjene, slik at begge linjene blir markert. Vi har tatt med enhetene timer og km langs aksene. Vi får da dette resultatet: Vi kan bruke dette verktøyet og dra tekstene x = 3 og y = 70x inn i grafikkfeltet. For å få resultatet i figuren ovenfor, må vi høyreklikke på hver av tekstene, velge Innstillinger og så fjerne en av «true»-oppføringene under Basis og Definisjon. Her har vi i tillegg høyreklikket på skjæringspunktet, valgt Innstillinger og deretter Verdi. Vi ser av grafen at Fredrik har kjørt 10 km på 3 timer. 13

Digital løsning av likninger Sinus 1P, side 08 Her jobber vi videre med eksempelet på forrige side. Fredrik kjører fra Trondheim til Oslo med farten 70 km/h. Vi kaller antall timer han har kjørt for x og antall kilometer han har kjørt for y. Etter x timer er kjørelengden y, målt i km, gitt ved y 70x Finn grafisk hvor lang tid Fredrik bruker på å kjøre 385 km. Vi bruker den samme grafen som i forrige eksempel og skriver y = 385 i algebrafeltet. Så bruker vi verktøyet Skjæring mellom to objekt, og får vist koordinatene til det nye skjæringspunktet på samme måte som i forrige eksempel. Vi ser av grafen at Fredrik bruker 5,5 timer på å kjøre 385 km. Digital løsning av likninger Sinus 1P, side 09 Vi jobber også her videre med eksemplene med Fredrik som kjørte fra Trondheim til Oslo. Vanja kjører skuter til Oslo. Hun kjører med farten 40 km/h og har et forsprang på 10 km da Fredrik startet. Vi kaller antall timer Vanja har kjørt for x, og antall kilometer hun har kjørt for y. Etter x timer er kjørelengden hennes y, målt i km, gitt ved y 40x 10 Finn grafisk når Fredrik tar igjen Vanja. Vi sletter linjene for x = 3 og y = 385 i algebrafeltet. Så skriver vi inn y 40x 10 og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekt. Da får vi resultatet som er vist på neste side. 14

Vi ser av grafen at Fredrik tar igjen Vanja etter 4 timer. De er da 80 km fra Trondheim. Digital graftegning av andregradsfunksjoner Sinus 1P, side 4 Tegn digitalt grafen til f, der f x x x ( ) 4 3 Når vi skal skrive x i GeoGebra, kan vi skrive x^. Men vi kan også trykke Alt og samtidig for å få fram eksponenten. Vi skriver funksjonsuttrykket x 4x 3 inn i algebrafeltet og trykker Enter. Vi trenger ikke skrive f() x foran utrykket. Vi tilpasser koordinatsystemet, og får denne grafen: 15

Funksjonsverdier Sinus 1P, side 4 Finn funksjonsverdien f (4) digitalt når f x x x ( ) 4 3 Det er lett å regne ut funksjonsverdien f (4) uten hjelpemiddel: f (4) 4 4 4 3 f (4) 16 16 3 f (4) 3 Når vi skal regne dette ut digitalt må vi passe på at funksjonen f er definert. Det kan vi gjøre ved å skrive funksjonsuttrykket inn i algebrafeltet, slik vi gjorde i det forrige eksempelet. Det går også å definere funksjonen i CAS. Da må vi bruke :=, slik det er vist nedenfor: Det er bedre å finne funksjonsverdien i CAS enn i algebrafeltet. Det er fordi vi da ikke bare får a = 3, slik v vil få i algebrafeltet, men ser hva som er regnet ut. Nullpunkt, toppunkt og bunnpunkt Sinus 1P, side 4 Finn eventuelle nullpunkter og topp- eller bunnpunktet til f når f x x x ( ) 4 3 Nullpunktene er de x-verdiene der grafen skjærer x-aksen. Dersom grafen ikke skjærer x-aksen, har ikke funksjonen noen nullpunkter. Vi skriver Nullpunkt(f) i CAS. Andregradsleddet til f er positivt. Det betyr at grafen har den hule siden opp, og f har derfor et bunnpunkt. For å finne dette bunnpunktet skriver vi Ekstremalpunkt(f) i CAS. Nullpunktene er x = 1 og x = 3. Bunnpunktet har koordinatene (, 1). 16

Avgrensing av grafer Sinus 1P, side 5 Noen ganger får vi bruk for å tegne grafer til funksjoner som bare er definert i et bestemt område. Vi kaster en stein opp i lufta. Vi kaller høyden over bakken for h og tiden etter at steinen blir kastet for t. Vi måler høyden i meter og tiden i sekunder. Sammenhengen mellom høyden h og tiden t er gitt ved h( t) 5t 0t Steinen treffer bakken etter 4 sekunder. Tegn grafen til h når t er et tall mellom 0 og 4. Første metode Skriv i algebrafeltet: h( t) Funksjon( 5t 0 t, 0, 4). Vi skriver h(t) = foran Funksjon for at funksjonen skal få navnet h og variabelen navnet t. Vi skriver t (sekunder) langs førsteaksen og h (meter) langs andreaksen. Det gir denne grafen: Andre metode I stedet for å skrive h( t) Funksjon( 5t 0 t, 0, 4), kan vi skrive h( t) 5t 0 t, 0 t 4. Vi får fram tegnet ved å skrive <= eller ved å bruke matematikkeditoren. Ved den første måten får vi alltid med endepunktene, som her er 0 og 4. Dersom vi ikke ønsker å ha med endepunktene, kan vi skrive h( t) 5t 0 t, 0 t 4. 17

Likninger Sinus 1P, side 7 Løs denne likningen grafisk og med CAS x x x 6 8 GRAFISK Skriv x 6x 8 i algebrafeltet og trykk Enter. Da får vi tegnet grafen til funksjonen gitt ved f x x x ( ) 6 8 Skriv deretter x i algebrafeltet. Da får vi tegnet grafen til funksjonen gitt ved g( x) x Tilpass taksene og velg verktøyet Skjæring mellom to objekt. Klikk etter tur på hver av de to grafene. Da får vi dette resultatet i grafikkfeltet: Her er det bare x-verdiene til skjæringspunktene som vi er ute etter. Likningen har løsningene x = 1 og x = 6. LØSNING MED CAS: Skriv x x x 6 8 inn i CAS og klikk på. Likningen har løsningene x = 1 og x = 6. 18

Simulering av terningkast Sinus 1P, side 45 Vi kan bruke CAS i GeoGebra til å simulere terningkast. a) La GeoGebra lage et tilfeldig tall mellom 1 og 6. b) La GeoGebra lage 600 tilfeldige tall mellom 1 og 6, og telle opp hvor mange av disse som er 6. a) Åpne CAS og skriv inn TilfeldigMellom(1,6). Her fikk vi 5. Hvis vi klikker på uttrykket og trykker på Enter, får vi på nytt et tilfeldig valgt tall mellom 1 og 6. b) Fordelen med simuleringer er at det går raskere enn å gjennomføre mange virkelige hendelser. Det er for eksempel tungvint å kaste 600 terninger og så telle opp hvor mange seksere vi får. Dersom vi skriver Sum(Dersom(TilfeldigMellom(1,6) == 6, 1, 0), teller GeoGebra opp hvor mange seksere vi får på 600 kast. Legg merke til at vi har skriver to = etter hverandre. Da får vi dette tegnet i CAS:. Her er x en variabel som skal gå fra 1 til 600. Den forteller oss at forsøket blir gjentatt 600 ganger. Når vi får en sekser, får x verdien 1. Ellers får x verdien 0. Funksjonen Sum legger sammen alle de 600 verdiene x har fått. Det blir da antall seksere på 600 kast. Sannsynligheten for å få en sekser når vi kaster en terning er 1. Vi kan derfor forvente at 6 omtrent 1 6 av de 600 kastene blir seksere. Vi kan altså forvente å få 100 seksere. Vi fikk 101 seksere, som er omtrent som forventet. Om vi gjentar forsøket får vi gjerne et annet tall i nærheten av 10 19