MATEMATIKK Yrkesfag TALL I ARBEID P. Odd Heir / John Engeseth / Håvard Moe. Bokmål. Tall i arbeid P H. Aschehoug & Co.

Transkript

1 MATEMATIKK Yrkesfag TALL I ARBEID P Odd Heir / John Engeseth / Håvard Moe Bokmål

2 Del 1 av 4 Dette er en elektronisk versjon av læreboka til bruk på skoler som har undertegnet en avtale med Aschehoug forlag for skoleåret 011/01. Filene må behandles i henhold til åndsverksloven, og må ikke kopieres og/eller distribueres til personer som ikke er omfattet av avtalen. Alle filer skal være slettet innen 1. juli 01 dersom ikke annen avtale er gjort med Aschehoug.

3 TALL I ARBEID P Odd Heir John Engeseth Håvard Moe BOKMÅL

4 Tall i arbeid P dekker målene i matematikklæreplanen av 005 Vg1 for yrkesfaglige utdanningsprogram, basert på læreplanen Matematikk Vg1P 005. H. Aschehoug & Co. (W. Nygaard) utgave /. opplag 010 Det må ikke kopieres fra denne boka i strid med åndsverkloven eller i strid med avtaler om kopiering inngått med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Kopiering i strid med lov eller avtale kan føre til erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Redaktør: Dag-Erik Møller og Jon Arne Corell Grafisk formgivning og omslag: Mona Dahl og Marit Heggenhougen Ombrekning: Type-it AS Bilderedaktør: Tone Svinningen Tekniske illustrasjoner: Framnes Tekst og Bilde AS Grunnskrift: Sabon 10,8/1 Papir: 100 g Multiart matt 0,9 Trykk: 07 Gruppen AS Innbinding: Bokbinderiet Johnsen AS, Skien ISBN Bildeliste, se side 48

5 Guide Aktivitet i starten av hvert kapittel: AKTIVITET: Hva stiger mest i pris? Vi tenker oss at en bestemt mopedtype kostet kr i 00 og kr i 008. I den samme tidsperioden steg prisen på en bestemt sykkeltype fra 4000 kr til 6000 kr. Var det prisen på sykkelen eller prisen på mopeden som økte mest? Tenk over dette og diskuter gjerne med andre før du leser videre. Læringsmål i margen ved starten av hvert underkapittel: Teori: I.5 skal du lære å forstå og gjøre beregninger på arbeidstegninger og kart..5 ARBEIDSTEGNINGER OG KART Målestokk Et kart er et forminsket bilde av terrenget (virkeligheten). En arbeidstegning er et forminsket eller forstørret bilde av en gjenstand, et hus osv. Når vi lager et kart eller en arbeidstegning, bruker vi prinsippet om formlikhet. p Hvis to trekanter har parvis like store vinkler, er trekantene formlike. Eksempler: Eksempel Forstørret eller forminsket, rotert eller ikke rotert, speilet eller ikke speilet når vinklene i to trekanter er like store, da er trekantene formlike. Kvitt deg med parenteser! Vi skal løse likningen 6 ( x ) = 4 ( + x). Før vi kan samle x-ledd og tall på hver sin side, må vi regne ut parentesene. 6 ( x ) = 4 ( + x) Vi regner ut parentesene. 6 x+ 4= 4 x Vi trekker sammen ledd av samme type. 10 x = x Innlæringsoppgaver, med henvisninger til elevnettstedet og til oppgavesamlingen bak i boka: Lokus NETTINNHOLD Stifinner: side 169 Oppgave 1.56 I en matoppskrift beregnet på fire personer står det at det går med 850 gram fisk. Tenk deg at du skal servere denne matretten i et selskap. a Hvor mye fisk trenger du til 19 personer? b Hvor mange personer kan du servere retten til hvis du har 1500 gram fisk? Oppgavesamling bak i boka, med tre forslag til stier:.1 Forhold Sti 1 Sti Sti 00, 01, 0, 04 0, 0, 04, 05, 07, 10 04, 05, 07, 09, 10, Regn ut a b c 50 d Elevnettstedet:

6 Forord Tall i arbeid P Læreverket Tall i arbeid P er skrevet for matematikklæreplanen av 005 Vg1 for yrkesfaglige utdanningsprogram, basert på læreplanen Matematikk Vg1P 005. Utdrag fra læreplanen finner du på side 4. Læreverket består av Læreboka, alt-i-ett, med teori, eksempler, innlæringsoppgaver og oppgavesamling. Elevnettstedet, på Lokus.no, med bl.a. interaktive oppgaver og innlæringsressurser. Læreboka Hvert kapittel innledes med en kort aktivitet som kan gi deg en idé om hva kapitlet inneholder. Aktivitetene egner seg godt for samtale. I hvert underkapittel finner du teori, eksempler og innlæringsoppgaver. Innlæringsoppgavene er plassert løpende i teksten, slik at du hele tiden kan kontrollere om du har forstått lærestoffet. Du bør regne alle innlæringsoppgavene. Du kan så gå til oppgavesamlingen bak i boka for videre arbeid og utdypning. I slutten av hvert kapittel finner du en kapitteltest og et sammendrag. Her kan du kontrollere om du har forstått helheten i kapitlet. Sammendragene inneholder bl.a. norsk-engelske ordlister med ti sentrale begreper fra kapitlet. Du finner løsninger til innlæringsoppgavene og kapitteltestene på elevnettstedet. Underveis har vi plassert bilder som kan utdype teksten og knytte stoffet til samfunn og kultur. Vi oppfordrer til aktiv bruk av bildene. På den bakerste klaffen finner du viktige geometriske formler. * Oppgavesamlingen bak i læreboka I oppgavesamlingen finner du varierte oppgaver av mange forskjellige typer og vanskelighetsgrader. Du finner blandede oppgaver i slutten av hvert kapittel. Oppgavene innenfor et underkapittel er ordnet etter vanskelighetsgrad. De letteste er ikke markert. De noe vanskeligere er markert med trekanter: eller. De blandede oppgavene har ikke markeringer for vanskelighetsgrad. Noen oppgaver fra oppgavesamlingen har løsninger på elevnettstedet. Disse oppgavene er merket med stjerne *.

7 Til hjelp i arbeidet har vi laget Stifinneren, en tabell med tre forskjellige forslag til «stier». En sti er et utvalg av oppgaver satt i en passende rekkefølge. Sti 1 er lettest. Sti er vanskeligst. Lokus NETTINNHOLD Elevnettstedet Elevnettstedet har samme kapittelinndeling som læreboka. Til hvert kapittel har vi laget interaktive oppgaver av mange typer. Her får du vite med en gang om du har svart riktig, og ofte kan du velge å se hint og løsningsforslag. Vi har også laget levende lærebok, animasjoner, regneark, basisoppgaver, lenkesamling og opplæringskurs i bruk av digitale verktøy. Elevnettstedet vil være i stadig utvikling. Underveis i læreboka har vi plassert henvisninger til innhold på elevnettstedet. Digitale verktøy I læreboka har vi tatt med forklaringer på bruk av lommeregner og regneark. Under Verktøyopplæring på elevnettstedet finner du opplæringskurs i bruk av digitale verktøy som lommeregnere, GeoGebra, TI-nspire og regneark. Takk Vi takker konsulentene Jostein Walle, Petter Callin og Terrence Baine for gode forslag og innspill. En spesiell takk til redaktørene Dag-Erik Møller og Jon Arne Corell, og teknisk redaktør Fred W. Alvad. Lykke til I årenes løp har vi fått mange nyttige tilbakemeldinger fra elever og lærere. Ønsker du å gi kommentarer, kan du bruke adressen talliarbeid@aschehoug.no. Vi ønsker deg lykke til med bruken av læreverket! Hilsen Odd Heir, John Engeseth og Håvard Moe

8 Innhold 1 Tall og algebra 1.1 Regning med hele tall 9 1. Brøk Store og små tall Bokstavuttrykk Likninger Formler Hverdagsmatematikk Proporsjonalitet Grafiske og skriftlige framstillinger 47 Kapitteltest. Sammendrag 50 Økonomi.1 Forhold 5. Prosentregning 57. Prisindeks 66.4 Konsumprisindeks. Reallønn 7.5 Lønnsutregning 78.6 Skattetrekk. Ferielønn 8.7 Budsjett og regnskap 88.8 Utregning av skatt 9.9 Forbrukerkalkulatorer 97 Kapitteltest. Sammendrag 106

9 Geometri.1 Lengde og areal 109. Formlikhet 115. Areal og omkrets av plane figurer 11.4 Rettvinklede trekanter. Pytagorassetningen 16.5 Arbeidstegninger og kart 18.6 Volum og volumenheter 1.7 Overflate av romfigurer 17.8 Perspektivtegning Former som kan fylle planet 150 Kapitteltest. Sammendrag 160 Oppgavesamling 16 Utdrag fra læreplanen 4 Fasit Innlæringsoppgaver og kapitteltester 6 Fasit Oppgavesamling Register 4

10 1 Tall og algebra Astronomisk klokke i Praha, Tsjekkia AKTIVITET: Gangekryssord Her er et eksempel på et ferdig utfylt «gangekryssord»: (7 5 = 5) (6 4 = 4) (7 6 = 4) (5 4 = 0) I et gangekryssord skal produktet av tallene som skal stå i rutene, stemme både vannrett og loddrett. Fyll ut disse gangekryssordene: Lag et gangekryssord selv, og gi det til en medelev. 10

11 Tall og algebra I 1.1 skal du lære å håndtere fortegn og bruke riktig regnerekkefølge. 1.1 REGNING MED HELE TALL Tallene som er markert på tallinja nedenfor, er hele tall Negative tall Positive tall Negative tall er mindre enn null. Positive tall er større enn null. Vi skal nå repetere noen regneregler for hele tall og legger spesielt vekt på negative tall. Negative tall Du har 800 kr igjen på kontoen din. Saldoen er da 800 kr. Men så tar du ut 1000 kr i en minibank. Da skylder du banken 00 kr. Vi sier at saldoen nå er negativ. På matematikkspråket skriver vi = NB! For en del kontotyper er det ikke tillatt med negativ saldo. Minustegnet mellom 800 og 1000 er et regnetegn. Det forteller at vi skal trekke 1000 fra 800. Da kommer vi under 0. Minustegnet foran 00 er ikke et regnetegn. Det er et fortegn. Det forteller at svaret er et negativt tall. Eksempel 1 Addisjon og subtraksjon med negative tall Å legge til et negativt tall er det samme som å trekke fra det tilsvarende positive tallet: 5+ ( ) = 5 = 5+ ( ) = 5 = 8 Å trekke fra et negativt tall er det samme som å legge til det tilsvarende positive tallet: 5 ( ) = 5+ = 8 5 ( ) = 5+ = Oppgave 1.1 Regn ut. a 10 b 10 + ( ) c 10 d 10 ( )

12 10 Tall og algebra 1.1 Oppgave 1. En sein høstkveld er utetemperaturen C. a Hva blir temperaturen neste morgen hvis den faller 11 grader i løpet av natta? b Hvor mange grader har temperaturen falt hvis den er 5 Cneste morgen? Fra negativt til positivt Eksempel Multiplikasjon med negative tall Når vi ganger, er fortegnet på svaret avhengig av hvor mange negative faktorer det er. Med 1,, 5,... minustegn blir svaret negativt. Ellers blir svaret positivt. 6 ( ) = 18 ( 1) ( 4) = 4 ( 6) ( ) = 18 ( 1) ( ) ( 4) = 4 ( 6) ( ) ( 1) = 18 ( 1)( )( )( 4) = 4

13 Tall og algebra Oddetall: 1,, 5,... Partall:, 4,... Multiplikasjon med negative tall Når antall negative faktorer er et oddetall, er produktet negativt. Når antall negative faktorer er et partall, er produktet positivt. Tilsvarende regel gjelder når vi deler: 6:( ) = ( 6): = ( 6):( ) = Oppgave 1. Regn ut. a 10 ( ) b 10:( ) c ( 10) ( ) d ( 10) : ( ) Lokus TEORI Oppgave 1.4 Regn ut. a ( 1) ( ) ( ) b ( )( 4)( )( 1)( 1) c ( 4) ( ) d ( ) ( ) ( ) Du kan lese historien om de negative tallene på nettstedet på Lokus. 4 eksponent grunntall NB! Potenser 4 er et eksempel på det vi kaller en potens. I denne potensen er grunntallet ogeksponenten 4. Eksponenten i en potens forteller hvor mange ganger grunntallet skal stå som faktor: 4 er det samme som Grunntallet kan også være negativt: ( ) 4 er det samme som ( ) ( ) ( ) ( ) Merk deg forskjellen på ( ) 4 og 4 : 4 ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = 16 4 = ( ) = 16 Når vi skriver ( ) 4, er grunntallet. Svaret er likevel positivt, for vi har fire negative faktorer. Når vi skriver 4, er grunntallet. Minustegnet er fortegnet til potensen 4, ikke til grunntallet. Svaret er derfor negativt.

14 1 Tall og algebra 1.1 Eksempel Potenser og fortegn Når grunntallet i en potens er negativt, er det eksponenten som avgjør om uttrykket er et positivt eller negativt tall. Hvis eksponenten er et oddetall, blir fortegnet minus. Er eksponenten et partall, blir fortegnet pluss: 4 5 ( ) = 4 ( ) = 8 ( ) = 16 ( ) = Oppgave 1.5 Skriv ned og regn ut en potens med a som grunntall og som eksponent b som eksponent og 5 som grunntall Oppgave 1.6 Regn ut. a ( ) b c ( ) d Oppgave 1.7 Regn ut. a ( 1) b ( 1) 8 c 1 8 d ( ) Regnerekkefølge Hva får du som svar på regnestykket + 4? Hvis du er blant dem som får det gale svaret 0, har du feiltolket uttrykket. Da bør du lære deg mer om regnerekkefølge. Vi tar for oss to dagligdagse situasjoner med de samme tallene, men hvor regnerekkefølgen er forskjellig. Ti elever i en klasse skal på kino på en bursdag. En billett koster 50 kr, og de skal få hver sin popkornpose til 0 kr. De setter opp et regnestykke for å finne ut hvor mye det koster til sammen: ( ) 10 = = 700 Legg merke til at de regner ut parentesen først. Til bursdagsselskapet etter kinoen har de kjøpt inn saft og salte nøtter. Saftkanna kostet 50 kr, og hver elev får en nøttepose til 0 kr per stykk. For å finne ut hva det koster til sammen, regner de slik: = = 50 Legg merke til at de multipliserer først. Vi kan tenke oss en parentes rundt gangestykket: I regnestykkene ovenfor regnet de først ut parenteser. Deretter ganget de, og til slutt la de sammen. Dette førte til riktige svar ( 0 10)

15 Tall og algebra Så tar vi for oss et rom der gulvet har form som et kvadrat med sider 5 m. Arealet av gulvet er 5 m. To slike gulv har derfor arealet 50 m. Vi fører regnestykket slik: 5 = 5= 50 Legg merke til at vi regner ut potensen før vi ganger. Hvis vi ganger først, får vi i stedet arealet av et rom der sidene er dobbelt så lange: ( 5) = 10 = 100 Legg merke til at vi regner ut parentesen før potensen. La oss oppsummere med den generelle regnerekkefølgen vi må bruke når vi regner ut et uttrykk: Først regner vi ut alle parenteser. Deretter regner vi ut potenser. Så ganger eller deler vi. Til slutt legger vi sammen eller trekker fra. Eksempel 4 Regnerekkefølge ( 5 7) : 8 parenteser 4 = 8 + ( ) : 8 potenser = : 8 gange og dele = legge sammen og trekke fra = 8 Oppgave 1.8 Regn ut. a 8 b ( 8 ) c 8 d 8+ ( 5) Oppgave 1.9 Regn ut. a 6 : 4 b 8 ( + 5) c 4 ( 4 7) d 9 ( 8) + 1

16 14 Tall og algebra 1.1 Digitale verktøy I tillegg til en rekke forskjellige lommeregnere, fins det dataprogrammer som kan regne for oss. Du må gjøre deg kjent med det digitale verktøyet du bruker, men vi tar opp et par ting generelt. For det første har de fleste digitale verktøy to ulike taster for minus: Regneminus, som i 9 6 Fortegnsminus ( ), som i 9 ( 6) For det andre skrives potenser vanligvis ved å bruke tasten grunntallet og eksponenten. mellom Potensen taster du da slik: Merk deg at noen verktøy har en tast ( x y eller a n ) som gir en «mal» for potenser:. Nedenfor ser du hvordan vi regner ut 158 ( 7) 4 på to digitale verktøy. Legg merke til at eksponenten 4 vises forskjellig. De fleste digitale verktøy er programmert til å følge den regnerekkefølgen du nå har lært. Du må være nøye med hva du skriver inn, for verktøyet gjør bare det du gir det beskjed om! Eksemplet nedenfor viser at du må bruke parenteser for å sikre at rekkefølgen blir som du ønsker, for det som står inni parentesen, blir regnet ut først. Eksempel 5 Regnerekkefølge og digitale verktøy Vi vil regne ut opphøyd i 6. For at fortegnet skal bli riktig, må vi taste en parentes rundt grunntallet: Så vil vi regne ut multiplisert med summen av 17 og 8. Da må vi taste en parentes rundt summen:

17 Tall og algebra Ferdig oppstilte uttrykk kan vi taste inn slik de står. Som eksempel velger vi å vise inntastingen av uttrykket fra eksempel 4 side 1: 8 + ( 5 7) 4 : 8 Lokus NETTINNHOLD Stifinner: side 16 Oppgave 1.10 Regn ut ved å bruke et digitalt verktøy. a b : :( 11 1) ( 6) c 5 opphøyd i 4 d 1508 dividert med summen av 7 og 89 I 1. skal du lære å regne med brøker. 1. BRØK En brøkstrek betyr det samme som et divisjonstegn. Divisjonen : 5uttrykker derfor det samme som brøken. 5 I brøken er teller og 5 nevner. 5 Telleren kan godt være større enn nevneren, som for eksempel i 5 brøken. Da er brøken større enn 1, og vi sier at brøken er uekte. Vi kan multiplisere eller dividere med det samme tallet i teller og nevner uten at verdien av brøken endrer seg. Det bruker vi når en brøk skal utvides eller forkortes. Eksempel 1 Utviding og forkorting Vi vil først utvide brøken slik at nevneren blir Da må vi multiplisere med i teller og nevner. 5 = = Så vil vi forkorte brøken mest mulig er det største tallet som går opp i både teller og nevner. Vi dividerer derfor med 6 i teller og nevner. Det kan vi føre på to måter: 1 18 = 1 : 6 18 : 6 = eller 1 = 18

18 16 Tall og algebra 1. Hele tall og desimaltall kan vi se på som brøker der nevneren er 1. 5 Heltallet 5 er det samme som brøken. 1 Når vi skal gjøre desimaltall om til brøk, utvider vi slik at både teller og nevner blir hele tall. Eksempel Fra desimaltall til brøk 1, 1, 10 1 Desimaltallet 1, er det samme som brøken = = , 1, : 5 Desimaltallet 1,06 er det samme som brøken = = = = : 50 Oppgave 1.11 a Utvid brøken slik at nevneren blir b Forkort brøken 0 mest mulig. c Skriv desimaltallet 1, som brøk. d Skriv desimaltallet,5 som brøk. e Skriv heltallet som en brøk med 7 som nevner. Lokus TEORI NB! Addisjon og subtraksjon med brøker Når vi skal trekke sammen brøker, må vi sørge for at de får lik nevner. Det minste tallet som alle nevnerne går opp i, kaller vi fellesnevneren. Når vi har funnet fellesnevneren, må vi utvide alle brøkene slik at de får denne nevneren. Du kan lese mer om å finne fellesnevner på nettstedet på Lokus. Når vi regner med brøker, er det vanlig å forkorte svaret så mye som mulig. Eksempel Vi adderer og subtraherer brøker 1 Først regner vi ut Her blir fellesnevneren 0. Vi utvider den første brøken med 5 og den andre brøken med = + + = + = = Så regner vi ut Her blir fellesnevneren 18. Vi utvider den første brøken med og lar den andre stå uendret = = = = =

19 Tall og algebra Til slutt regner vi ut Nevnerne er her 4, 6 og 1, for vi kan skrive som. Derfor blir fellesnevneren 1. Vi utvider den første brøken med, den andre med og det hele tallet med = + = = + = + 4 = Oppgave 1.1 Regn ut a + b c + d Oppgave 1.1 I en undersøkelse om prøver ved en skole kom det fram at halvparten av elevene ønsket seg færre prøver. Én femdel av elevene svarte at de mente det var passelig slik det var. Resten svarte at de ville ha hatt flere prøver. Hvor stor brøkdel av elevene ved skolen ønsket seg flere prøver? Multiplikasjon og divisjon med brøker Når vi multipliserer brøker, multipliserer vi tellerne og nevnerne hver for seg. Vi behøver ikke å finne fellesnevner først. Eksempel 4 Vi multipliserer brøker Det er lurt å forkorte før vi multipliserer ut tallene i teller og nevner: = = = Hele tall skriver vi som brøker med nevner lik 1: = = = Vi kan på tilsvarende måte multiplisere flere enn to brøker: = = NB! Å multiplisere en brøk med et helt tall vil i praksis si å multiplisere telleren med tallet og beholde nevneren: og 17 5 = = = 17 = 17

20 18 Tall og algebra 1. Når vi skal dividere med en brøk, multipliserer vi med den omvendte brøken. Vi behøver heller ikke her å finne fellesnevner først. Eksempel 5 Vi dividerer med brøk Vi snur brøken vi skal dividere med, og multipliserer: 7 4 : = = = Også ved divisjon er det lurt å forkorte mest mulig underveis: : = = = = Hele tall skriver vi som brøker med nevner lik 1: : = : = = = Oppgave 1.14 Regn ut. 4 7 a b : c : d Oppgave 1.15 Regn ut. a 6 1 b c d 5 : 1 5 : Oppgave 1.16 I en klasse er det 1 elever. Én tredel er jenter. a Hvor mange jenter er det i klassen? b Hvor stor brøkdel av elevene er gutter? En dag var av guttene og ingen av jentene borte fra skolen. 7 c Hvor stor brøkdel av elevene var borte denne dagen? Eksempel 6 Brøkregning med digitale verktøy 5+ 9 Vi vil regne ut og med digitalt verktøy. 6 7 Noen digitale verktøy har en tast som gir en mal for brøk: Da taster du uttrykkene rett inn og navigerer med piltastene:

21 Tall og algebra Alternativt kan du bruke divisjonstegn. Men da må du passe på å bruke parenteser der det trengs: Lokus NETTINNHOLD Stifinner: side 164 Som eksemplet viser, varierer det om du får svaret som brøk eller som desimaltall. Du kan lære mer om brøkregning med digitale verktøy på nettstedet på Lokus. Oppgave 1.17 Regn ut med digitalt verktøy. Skriv svaret som brøk a b I 1. skal du lære å regne med store og små tall uttrykt ved tierpotenser eller prefikser. 1. STORE OG SMÅ TALL Når vi skal regne med svært store eller svært små tall, får vi bruk for potenser med 10 som grunntall tierpotenser. La oss se nærmere på de enkleste tierpotensene: 1 10 = = = = = = = Legg merke til at eksponenten i en tierpotens forteller oss hvor mange nuller det er i tallet. Oppgave 1.18 a Skriv tierpotensene som vanlige tall b Skriv tallene som tierpotenser én million hundre millioner

22 0 Tall og algebra 1. Du kjenner nok igjen disse reglene for regning med potenser: Vi multipliserer potenser med samme grunntall ved å beholde grunntallet og legge sammen eksponentene Eksempel: = 10 = 10. Vi dividerer to potenser med samme grunntall ved å beholde grunntallet og trekke den siste eksponenten fra den første Eksempel: 10 : 10 = 10 = 10 = Vi vil nå regne ut 10 : Ved å bruke divisjonsregelen ovenfor får vi 10 : 10 = 10 = 10. Men hva skal bety? 10 1 Vi skriver divisjonen som en brøk og forkorter så mye som mulig: : 10 = = = = , 5 Dette viser at 10 1 må være det samme tallet som 0,1. 10 n 1 = = 000, 01 n 10 n nuller Oppgave 1.19 a 1 Regn ut : 10 ved å bruke divisjonsregelen. Regn ut : 10 ved å skrive som brøk og forkorte. Hva betyr 10? b Hva tror du 10 betyr? Du har kanskje oppdaget mønstret? = = = , = = = , 1 1 = = = , = = = , Tierpotenser med negativ eksponent er tall mellom 0 og 1. Merk deg at eksponenten forteller hvor mange nuller det er i tallet.

23 Tall og algebra 1. 1 Eksempel 1 Multiplikasjon og divisjon med tierpotenser Når vi regner med store tall, lønner det seg å gjøre om til tierpotenser før vi ganger eller deler = = 10 = : = 10 : 10 = 10 = ( ) , 0001 = = 10 = 10 = ( ) : 0, 0001 = 10 : 10 = 10 = 10 = Oppgave 1.0 a Skriv tierpotensene som vanlige tall b Skriv tallene som tierpotenser. 1 0, én tusendel 0, Oppgave 1.1 Skriv regnestykkene som tierpotenser før du regner ut. a b : c 0, 001: 0, d : 0, 001 Oppgave 1. Hvor stor gjennomsnittsfart har et elektron som forflytter seg m på 0,001 s? Standardform Du skal nå bruke det du har lært om tierpotenser til å skrive store og små tall på standardform. Et tall er skrevet på standardform når det er skrevet på formen n a 10 Her er n et helt tall, og a er et tall mellom 1 og 10.

24 Tall og algebra 1. Eksempel Omforming til standardform Tall større enn 1 gir positiv eksponent i tierpotensen: = = = 4, = 4, =, =, Tall mellom 0 og 1 gir negativ eksponent i tierpotensen: 005, = 5 001, = , 0049 = 4, 9 0, 001 = 4, , =, 08 0, 0001 =, = 6, plasser mot venstre 0,0068 = 6,8 10 plasser mot høyre Eksemplet ovenfor gir oss denne huskeregelen: For å finne eksponenten i tierpotensen kan du telle hvor mange plasser du må flytte kommaet for å få fram et tall mellom 1 og 10. Eksponenten er positiv hvis du må flytte kommaet mot venstre negativ hvis du må flytte kommaet mot høyre Oppgave 1. Skriv tallene på standardform. a b c 0,006 d 0, Oppgave 1.4 Skriv som vanlige tall. a b 8, 10 5 c 599, 10 4 d, Eksempel Regning med tall på standardform Når vi regner med store og små tall, er det lurt å skrive tallene på standardform først =, =, = 7 10 = ( ) 0, , = , 5 10 = 4 1, = 6 10 = = = = 1810 = 1810 = , = 1810, Divisjoner bør vi skrive som brøk, for da risikerer vi ikke å glemme å dele med tierpotensen : 0, = = = 7 7 0, , 5, ( ) = 10 =

25 Tall og algebra 1. Oppgave 1.5 Skriv tallene på standardform før du regner ut. a b 0, , 004 c , 000 d : Når du regner med store og små tall på digitale verktøy, vil skrivemåten for tall på standardform variere. Vi lister opp noen varianter, som alle betyr : 5, , * 10^9 5, E+09 5, E9 Undersøk hvordan ditt digitale verktøy viser tall på standardform. Oppgave 1.6 Regn ut med digitalt verktøy. Skriv svaret på standardform. a c , 10 55, d 4110, b 0, , , «Måne og jord», av Mark Garlick. Vi bruker ofte standardform når vi oppgir astronomiske avstander.

26 4 Tall og algebra 1. prefiks = forstavelse Prefikser Det er vanlig å bruke egne navn prefikser for noen av de mest brukte tierpotensene. For eksempel sier vi ofte 1 kilometer i stedet for meter. Prefikset kilo betyr tusen. Forkortelsen for kilo er k m = 1 10 m = 1 km Tabellen nedenfor gir en oversikt over noen prefikser du bør kjenne til. T tera billion G giga milliard M mega million k kilo tusen h hekto hundre da deka ti d desi 10 01, tidel c centi , hundredel m milli 10 0, 001 tusendel μ mikro 10 0, milliondel n nano 10 0, milliarddel p piko 10 0, billiondel Eksempel 4 Prefikser Det daglige energiforbruket ditt kan være omtrent 1 MJ. 6 Det er det samme som 1 10 J = J. En PC kan ha en,4 GHz prosessor. 9 Det er det samme som, 4 10 Hz = Hz. En kroppscelle kan ha en utstrekning på 15 μm. 6 Det er m = 0, m. 6 Men det er også m = m = mm = 0, 015 mm. mm Lokus NETTINNHOLD Stifinner: side 165 Oppgave 1.7 Skriv disse lengdene med meter som enhet: a 150 km b 0,75 km c mm d 40 mm e nm f 60 nm Oppgave 1.8 Skriv disse effektene med megawatt (MW) som enhet: a W b 60 W c 7 GW d 51,8 kw

27 Tall og algebra I 1.4 skal du lære å regne med bokstavuttrykk. 1.4 BOKSTAVUTTRYKK Begrepene faktor og ledd er sentrale i forbindelse med bokstavregning: ledd + ledd = sum faktor faktor = produkt Uttrykkene a og a er likeverdige. De er produkter som består av faktorene og a. Når vi som her har en tallfaktor og en bokstavfaktor, er det vanlig å sløyfe gangetegnet og skrive tallfaktoren først: a Uttrykkene a + 8og 8+ a er likeverdige. De er summer som består av leddene a og 8. Legg merke til at leddet a består av to faktorer. Uttrykkene ( a+ 8)( a+ ) og ( a+ )( a+ 8) er likeverdige. De er produkter som består av faktorene a + 8 og a +. Hver faktor består igjen av to ledd. Oppgave 1.9 a Hva er faktorene i produktene? 1 5ab ab 7( a+ 5)( b) b Hvor mange ledd er det her? 1 5a+ b + a b 7( a+ 5) + ( b) Ledd

28 6 Tall og algebra 1.4 NB! Innsetting av tall i bokstavuttrykk Kjenner vi verdien av de ulike bokstavene i et bokstavuttrykk, kan vi regne ut verdien av uttrykket. Et bokstavuttrykk representerer altså et tall. Eksempel 1 Innsetting av tall i bokstavuttrykk Vi tar for oss uttrykket 5a 4b. Hvis a = og b = 7, er verdien av uttrykket 5a 4b= = = 45 8 = 17 Hvis a = og b = 6, er verdien av uttrykket 5a 4b = 5 ( ) 4 ( 6) = = = 44 Slike utregninger kan du kontrollere med digitale verktøy. Du taster slik hvis a = og b = 6 : 5 ( ( ) ) 4 ( ( ) 6 ) Oppgave 1.0 Regn ut verdien av uttrykkene når a = 5 og b =, uten å bruke hjelpemidler. Kontroller svarene med digitalt verktøy. a a+ b b a + b c 4 ( a+ 5b) d a ab + 10 Forenkling av bokstavuttrykk Hvis verdien av de ulike bokstavene i et bokstavuttrykk er ukjent, kan vi ikke regne ut verdien av uttrykket. Men vi kan forenkle uttrykket ved å gange ut parenteser og trekke sammen ledd av samme type. Med ledd av samme type mener vi at de inneholder de samme bokstavfaktorene. Ledd av samme type: a og 4a ab og 8ba Ledd som ikke er av samme type: a, b, ab og 4a Eksempel Sammentrekking av ledd av samme type Hvis alle leddene i et uttrykk er av samme type, kan vi forenkle det til ett ledd: 4a+ a a = a 4ab + ab ab = ab Hvis leddene i et uttrykk er av to ulike typer, kan vi forenkle det til to ledd: 4a+ b+ a 9b = 4a+ a+ b 9b = 7a 8b Hvis leddene i et uttrykk er av tre ulike typer, kan vi forenkle det til tre ledd: a + b + ab b + 4a + 5ba = a + 4a + b b + ab + 5ab = 5a + b + 8ab

29 Tall og algebra Eksempel Regning med parenteser En parentes med pluss foran kan vi fjerne uten å endre på det som står i parentesen: 5a+ ( a ) = 5a+ a = 7a En parentes med minus foran kan vi fjerne hvis vi samtidig bytter fortegn på alle leddene i parentesen: 5a ( a ) = 5a a+ = a+ Når vi skal multiplisere et tall med en parentes, må vi multiplisere tallet med hvert ledd i parentesen: 5 ( a ) = 5 a 5 = 10a 15 4a 5 ( a ) = 4a ( 5 a 5 ) = 4a ( 10a 15) = 4a 10a+ 15= 6a+ 15 Når vi skal multiplisere to parenteser med hverandre, må vi multiplisere hvert ledd i den ene parentesen med hvert ledd i den andre: ( a+ )( 4b) = a a 4b+ 4b= a 4ab+ 6 8b ( a )( a ) = a a a a+ = a a a+ 6 = a 5a+ 6 NB! Vær oppmerksom på uttrykk av typen 5a+ ( a ) 6. Her kan du ikke uten videre fjerne parentesen. Du må multiplisere med 6 først: 5a+ ( a ) 6 = 5a+ ( 1a 18) = 5a+ 1a 18 = 17a 18 Lokus VERKTØYOPPLÆRING Du kan lære om bokstavregning med symbolbehandlende verktøy på nettstedet på Lokus. Oppgave 1.1 Regn ut. a a+ a+ a b 7a+ a a+ a c + ( 10 a) d ( 10 a) Lokus NETTINNHOLD Stifinner: side 166 Oppgave 1. Regn ut. a 4 ( a + 5) b 9 4 ( a + 5) c 5 ( a) + ( 8a 1) d ( a )( 4a 5) Oppgave 1. Finn summen og produktet av a 8a og a b a+ b og 4a 5b

30 8 Tall og algebra 1.5 I 1.5 skal du lære å løse likninger og bruke likninger til å løse praktiske problemer. 1.5 LIKNINGER Likningen x = 6 sier at multiplisert med et ukjent tall er lik 6. Å løse likningen vil si å finne hvilket tall x må være for at x skal bli lik 6. Du ser kanskje med én gang at tallet må være. Vi sier at erløsning på likningen. De fleste likninger er slik at vi ikke kan se løsningen med én gang. Da må vi omforme likningen for å finne løsningen. Vi bruker to grunnleggende regler når vi løser likninger: 1 Vi kan flytte et ledd over på andre siden av likhetstegnet hvis vi samtidig skifter fortegn på leddet. Vi kan multiplisere eller dividere med det samme tallet på begge sider av likhetstegnet. Eksempel 1 x-leddogtallpåhversinside! Vi skal løse likningen 6x 5= x+. 6x 5= x+ 6x x = + 5 4x = x = 8 4 x = Vi flytter over x og 5 og skifter fortegn. Vi trekker sammen ledd av samme type. Vi dividerer med 4 på begge sider. Vi forkorter på begge sider. Vi kan kontrollere at svaret i eksempel 1 er riktig ved å regne ut venstre og høyre side av likningen for x =. Dette kalles å sette prøve. VS = 6x 5= 6 5= 1 5= 7 HS = x + = + = 4+ = 7 Siden VS = HS når x =, er en løsning på likningen. Legg merke til at er den eneste løsningen på likningen i eksempel 1. For alle andre verdier av x er VS HS. Oppgave 1.4 Løs likningene ved regning. Sett prøve på svarene. a 4x 9= x b x 1 = 6x+ 18 c 15 = x + 1 d 1, 6x+ 5, 8 = 9x 4,

31 Tall og algebra x Eksempel Kvitt deg med parenteser! Vi skal løse likningen 6 ( x ) = 4 ( + x). Før vi kan samle x-ledd og tall på hver sin side, må vi regne ut parentesene. 6 ( x ) = 4 ( + x) 6 x+ 4= 4 x 10 x = x x+ x = 10 x = 8 x 8 = 1 1 Vi regner ut parentesene. Vi trekker sammen ledd av samme type. Vi flytter over og skifter fortegn. Vi trekker sammen ledd av samme type. Vi dividerer med 1 på begge sider. x = 8

32 0 Tall og algebra 1.5 Oppgave 1.5 Løs likningene ved regning. a ( + x) = 1 x b 10 ( x 1) = x ( 5x+ 8) c 1, x ( 18, x 8, ) = 45, d 7x+ ( x ) = 6x Eksempel Kvitt deg med brøker! x Vi skal løse likningen x = Fellesnevneren for de to brøkene i likningen er 6. Multipliserer vi begge sider av likningen med 6, kan vi forkorte bort nevnerne. x x = x x = x = 18x 1 x+ 0= 18x x 18x = 0 15x = 15x = x = 15 1 Vi multipliserer alle ledd med 6. Vi forkorter så mye som mulig. Mange digitale verktøy kan løse likninger. Strukturen i det du må skrive inn, er vanligvis slik: kommando(likning, ukjent) I eksemplet på neste side har vi løst tre likninger med digitalt verktøy.

33 Tall og algebra Eksempel 4 Å løse likninger med digitalt verktøy Legg merke til at vi kan bruke andre symboler for den ukjente enn x. Undersøk hvordan du kan løse likninger med det digitale verktøyet du bruker. Oppgave 1.6 Løs likningene ved regning. x a b = 10 x x = x 7 1 c 1 = x d 10 x+ 9 = + x Løs oppgave c og d med digitalt verktøy. Kryssmultiplikasjon I denne likningen har vi to like brøker: x 5 = Vi multipliserer med fellesnevneren x = 5 x 5 = x = 5 og får x = 5 x 5 Å gå direkte fra = til x = 5 kaller vi å kryssmultiplisere.

34 Tall og algebra 1.5 Eksempel 5 Kryssmultiplikasjon 1 Vi vil løse likningen =. 5 x Her er to brøker like, og vi kan derfor kryssmultiplisere. 5 1 = x x = 5 1 x = 60 x = 0 Oppgave 1.7 Løs likningene ved å kryssmultiplisere. 1 5 x 6 57 a = b = x c d x = x 1 x = Uoppstilte likninger Et praktisk problem kan vi ofte løse ved at vi oversetter informasjonen i en tekst til matematisk språk. Det er vanlig å bruke x som symbol for den ukjente. I tabellen ser du hvordan vi kan uttrykke noen vanlige sammenhenger mellom den ukjente og andre størrelser. Informasjon fem mer enn x fem mindre enn x dobbelt så mye som x halvparten så mye som x Matematisk språk x + 5 x 5 x x Oppgave 1.8 Vi lar x være symbolet for et ukjent tall. Lag et uttrykk for et tall som er a ti ganger så stort som x b tre mindre enn x c tre mindre enn halvparten av x

35 Tall og algebra 1.5 Oppgave 1.9 Vi lar x være symbolet for et ukjent tall. Forklar med ord hva uttrykkene nedenfor forteller. x a x + 1 b c ( x 4) Klarer vi å sette sammen informasjonen i en tekst til en likning som x må oppfylle, kan vi finne den ukjente ved å løse likningen. Eksempel 6 Likning løser stafettproblem Vi skal lage en stafett i en løype som er 900 m lang. Den andre etappen skal være 00 m lengre enn den første etappen. Den tredje (og siste) etappen skal være dobbelt så lang som den andre etappen. Vi vil finne ut hvor lang hver etappe må være. Vi setter lengden av den første etappen lik x meter. Da er den andre etappen ( x + 00) meter, og den tredje er ( x + 00) meter. x x + 00 (x + 00) 900 De tre etappene er til sammen 900 meter. Det gir oss likningen x+ ( x+ 00) + ( x+ 00) = 900, som vi løser på vanlig måte: x+ ( x+ 00) + ( x+ 00) = 900 x+ x x+ 600 = 900 x+ x+ x = x = 000 4x = x = 750 Den første etappen må altså være 750 m. Den andre etappen må være ( x + 00) m = ( ) m = 1050 m. Den tredje etappen må være ( x + 00) m = 1050 m = 100 m.

36 4 Tall og algebra Oppgave 1.40 Anne, Siri og Trygve er til sammen 6 år. Siri er tre år eldre enn Anne, mens Trygve er dobbelt så gammel som Anne. a Sett alderen til Anne lik x år. Finn alderen til Siri og Trygve uttrykt ved x. b Sett opp og løs en likning for å finne ut hvor gamle hver av dem er. Lokus NETTINNHOLD Stifinner: side 167 Oppgave 1.41 Suzanne har til sammen 80 topper, bukser og gensere. Hun har tre ganger så mange topper som bukser, og hun har fem gensere mer enn hun har bukser. Hvor mange topper, bukser og gensere har Suzanne? I 1.6 skal du lære å regne med formler. 1.6 FORMLER En formel gir sammenhengen mellom to eller flere størrelser. Vi tar for oss noen eksempler: s 1 v = t Formelen sier at gjennomsnittsfarten v er tilbakelagt strekning s dividert med tiden t. y = 18, x+ Formelen sier at antall fahrenheitgrader (y) er 1,8 ganger antall celsiusgrader (x), pluss. 4 A = gh Formelen sier at arealet A av en trekant er grunnlinja g ganget med høyden h, delt på. m I = h Formelen sier at kroppsmasseindeksen I er massen m dividert med høyden h i andre. Massen måles i kilogram og høyden i meter. Det er vanlig å oppgi indeksen uten enhet. Kroppsmasseindeksen kalles ofte BMI (Body mass index). Når vi kjenner noen av størrelsene i en formel, kan vi bytte ut symbolene for dem med tall. Står vi da igjen med bare én ukjent størrelse, kan vi regne ut verdien av den.

37 Tall og algebra Eksempel 1 Innsetting Bill veier 114 kg og er 175 cm høy. Vi skal finne kroppsmasseindeksen hans. Vi har fått vite at m = 114 og h = 175,. Vi setter inn i formel 4 og regner ut: m 114 I = = = 7, h 175, Bill har en kroppsmasseindeks på 7,. Oppgave 1.4 Bruk formlene 1 4 i denne oppgaven. a Ali springer 60 m på 8,0 s. Finn gjennomsnittsfarten. b Vann koker ved 100 C. Hva er kokepunktet i F? c I en trekant er grunnlinja 4 cm og høyden cm. Finn arealet av trekanten. d Håvard veier 75 kg og er 177 cm høy. Hvilken kroppsmasseindeks har han? Eksempel Innsetting gir en likning Helsemessig er det en betydelig risiko for en voksen person å ha en kroppsmasseindeks større enn 0. Vi tar igjen for oss Bill fra eksempel 1 og vil nå finne ut hvilken grense dette gir for vekten hans. Nå setter vi I = 0 og beholder h = 175,. Vi setter inn i formel 4 og løser likningen vi da får. m I = h m 0 = 175, m 0 =, 065 m, 065 0, 065 =, , 875 = m m = 91, 875 Fettmåling. (Bill?) Bill bør altså veie mindre enn 9 kg.

38 6 Tall og algebra 1.6 NB! BMI tar bare hensyn til høyde og vekt. Alder, muskelmasse og beinbygning spiller også inn når helsetilstanden skal vurderes. De anbefalte grensene for BMI er derfor veiledende og omdiskutert. Oppgave 1.4 Bruk formlene 1 4 på side 4 i denne oppgaven. a Liv sykler med en gjennomsnittsfart på 4 km/h i en halvtime. Hvor langt har hun da syklet? b Charles måler kroppstemperaturen sin til 100 F. Hva er den i C? c Arealet av en trekant er 5 cm. Hva er høyden i trekanten hvis grunnlinja er 10 cm? d Martin har en kroppsmasseindeks på 5,1 og er 175 cm høy. Hvor mye veier Martin? Av og til er det lurt å omforme formlene før du setter inn tall. I alle formler har vi et likhetstegn. Du kan derfor regne med formler på samme måten som du regner med vanlige likninger. Eksempel Omforming av en formel m Vi tar igjen for oss formelen I = fra side 4. h Nå vil vi bruke den til å finne en formel som vi kan bruke til å beregne massen m når indeksen I og høyden h er kjent. m I = h Vi multipliserer med h på begge sider. m I h = h h Vi forkorter. mh Ih = h Ih = m m = Ih En del digitale verktøy kan hjelpe oss med omformingen. Eksemplet nedenfor er hentet fra TI-nspire. Legg merke til at dette programmet ikke skiller mellom store og små bokstaver.

39 Tall og algebra Oppgave 1.44 Bruk formlene 1 på side 4 i denne oppgaven. a Finn en formel for strekningen s som er tilbakelagt etter tiden t når gjennomsnittsfarten er v. b Finn en formel for høyden h i en trekant med grunnlinje g og areal A. c Finn en formel for antall celsiusgrader x uttrykt ved antall fahrenheitgrader y. Oppgave 1.45 Volumet V av en pyramide med grunnflate G og høyde h er V = Gh. Lokus NETTINNHOLD Stifinner: side 168 a Finn h uttrykt ved V og G. b Før ble gelé solgt i pakninger som tilnærmet hadde form som en pyramide. De rommet desiliter, dvs. 00 cm. Bunnen var formet som en trekant med areal 85, 4 cm. Bruk formelen du fant i oppgave a til å regne ut hvor høy en slik pakning var. 1.7 HVERDAGSMATEMATIKK I 1.7 skal du lære å gjøre overslag, å runde av tall og regne praktiske oppgaver ved «å gå veien om 1». Overslag Ofte er det nok å vite omtrent hva resultatet av en utregning blir, for eksempel når du er i kiosken og lurer på om du har nok penger til det du vil kjøpe deg. I slike tilfeller kan vi nøye oss med å gjøre et overslag. Det vil si at vi bytter ut tallene med andre tall, som det er lettere å regne med. Eksempel 1 Grovt og fint overslag Tone var på Biltema og handlet et tau for 169,50 kr, motorolje for 49,50 kr og dekk for 99 kr. Vi vil gjøre overslag over hvor mye Tone handlet for. Grovt overslag: Fint overslag: = = 4550 Riktig svar er 169, 50 kr + 49, 50 kr + 99 kr = 4548 kr. Om vi skal gjøre grovt eller fint overslag, avhenger blant annet av hvor travelt vi har det, hvor viktig det er at svaret blir nærmest mulig det eksakte svaret, og hvor flinke vi er i hoderegning.

40 8 Tall og algebra 1.7 Eksempel Opp eller ned? Ved addisjon og multiplikasjon får vi best resultat om vi veksler mellom å bytte ut med større og mindre tall: = ( Riktig svar: 795) 64, 875, = ( Riktig svar: 561,75) Ved subtraksjon og divisjon får vi best resultat om vi bytter ut begge tallene med enten større eller mindre tall: Riktig svar: 407 = ( ) 585 : : 00 = ( Riktig svar:,5) Oppgave 1.46 Gjør først et overslag. Regn deretter ut med digitalt verktøy. a b 087, + 196, + 8, c 871, 46, d 105, 89 9, 47 Oppgave 1.47 Gjør først et overslag. Regn deretter ut med digitalt verktøy. a b 0, 04 0, 019 c 4, 5 : 4, 9 d 67 : 7, Oppgave 1.48 Ivar kjøper 19 kiwier for 7 kr. Omtrent hvor mye koster én kiwi? Oppgave 1.49 Gjør et overslag over hvor mye Karoline skal ha igjen på en tusenlapp når hun kjøper en bukse til 89 kr, en topp til 79,90 kr og et sjal til 9 kr. Oppgave 1.50 Gjør et overslag over det Margot må betale når hun kjøper,8 hg smågodt til 11,50 kr per hg og,1 hg nøtter til 7,90 kr per hg. Avrunding Ofte får du mange sifre i svaret når du bruker digitalt verktøy. Da må du runde av svaret på en fornuftig måte.

41 Tall og algebra Det er vanlig å ta med alle desimalene når vi løser en oppgave, og så runde av sluttsvaret. Når vi skal runde av et desimaltall, må vi se på den første desimalen vi sløyfer. Er denne desimalen 5 eller større, skal desimalen foran økes med 1. Eksempel Avrunding Vi tar for oss tallet 419, Avrundet til tre desimaler: 419,458 Avrundet til to desimaler: 419,46 Avrundet til én desimal: 419,5 På tilsvarende måte kan vi runde av til nærmeste hele tall, tier, hundrer og så videre: Avrundet til nærmeste hele tall: 419 Avrundet til nærmeste tier: 40 Avrundet til nærmeste hundrer: 400 Oppgave 1.51 Ta for deg tallet 5875,145. Rund av til a nærmeste tusener b nærmeste hundrer c nærmeste tier d nærmeste hele tall e én desimal f to desimaler Oppgave 1.5 Rund av til én desimal. a 4,74 b 4,651 c 4,748 d 4,98 Veien om 1 Hvis vi skal sammenlikne prisen på ulike varer, kan det ofte være lurt å regne ut for eksempel prisen per liter eller prisen per kilogram av varen. Eksempel 4 Pris per kilogram På fisketorget i Bergen selges fisk i løs vekt. Hos fiskehandler Olsen koster 4,1 kg torskefilet 570 kr. Hos fiskehandler Hansen koster,9 kg torskefilet 461 kr. Vi vil finne ut hvilken av fiskehandlerne som er billigst. Vi regner ut prisen per kilogram torskefilet: Olsen: 570 kr = 19 kr 41, Hansen: 461 kr = 159 kr 9, Fiskehandler Olsen er billigst, for hun har lavest pris per kilogram.

42 40 Tall og algebra 1.7 Når vi som i eksempel 4 har funnet prisen per kilogram, er det enkelt å finne ut hva et visst antall kilogram koster. Å kjøpe 5 kg torskefilet hos fiskehandler Olsen koster fem ganger så mye som prisen per kilogram: 19 kr 5 = 695 kr Dette er en tankegang som vi ofte kan bruke til å løse praktiske problemer. Vi kaller det gjerne «å gå veien om 1». Eksempel 5 Veien om 1 Olga og Frode fyller bensin. Olga betaler 55 kr for 1,5 L bensin. Vi vil finne ut hvor mye Frode må betale hvis han fyller 50 L bensin. 55 Vi finner først prisen per liter bensin: kr = 11, 86 kr 1, 5 Når vi vet hva én liter bensin koster, kan vi lett finne ut hva 50 L koster: 11, 86 kr 50 = 59 kr Oppgave 1.5 Et saftmerke selges i to forskjellige flasker. Den ene flasken inneholder 1,5 L saft og koster 4,90 kr. Den andre inneholder 5,0 L saft og koster 69,90 kr. Hva er literprisen for safta i de to flaskene?

43 Tall og algebra Oppgave 1.54 Beate betaler 8,5 kr for en elgsteik på,75 kg. a Hva koster elgsteika per kg? b Hvor mye koster en elgsteik på 4,7 kg? c Hvor mye koster 800 g elgsteik? Vi kan også gå veien om 1 i situasjoner som ikke handler om pris. Eksempel 6 To veier om 1 Magda beiser huset. Det første spannet med beis var på 8 L, og det ble nok til å beise 16 m vegg. Her kan vi gå veien om 1 på to forskjellige måter: 8 1 Beis som går med til én kvadratmeter vegg: L = 05, L Veggareal som hun kan dekke med én liter beis: m = m 8 Vi vil nå finne ut hvor mye beis som går med til å beise 100 m vegg. Da bruker vi 1: 0, 5 L 100 = 50 L Så vil vi finne ut hvor langt 5 L beis rekker. Da bruker vi : m 5= 70m Oppgave 1.55 Ronaldo maler et hus. Etter å ha arbeidet i,5 timer hadde han malt 0 m. a Hvor stort areal har han malt etter 6 timer? b Hvor lang tid trenger han på å male 75 m? Lokus NETTINNHOLD Stifinner: side 169 Oppgave 1.56 I en matoppskrift beregnet på fire personer står det at det går med 850 gram fisk. Tenk deg at du skal servere denne matretten i et selskap. a b Hvor mye fisk trenger du til 19 personer? Hvor mange personer kan du servere retten til hvis du har 1500 gram fisk?

44 4 Tall og algebra PROPORSJONALITET I 1.8 skal du lære å regne med proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser. Proporsjonale størrelser Maria jobber på kaffebar og tjener 10 kr per time. Jobber hun to timer, har hun tjent 40 kr. Jobber hun fire timer, har hun tjent 480 kr. En dobling av antall arbeidstimer fører til en dobling av lønna. En firedobling av antall arbeidstimer fører til en firedobling av lønna. Vi sier at lønna øker proporsjonalt med antall timer hun jobber, eller at lønna og antall arbeidstimer er proporsjonale størrelser. Når to størrelser varierer slik at en dobling av den ene fører til en dobling av den andre, sier vi at de to størrelsene er proporsjonale. Vi lar y være lønna i kroner når Maria jobber x timer. Da er y = 10x Vi ser at stigningstallet er 10, altså timelønna i kroner. Når vi snakker om proporsjonale størrelser, kaller vi tallet som x skal multipliseres med, for proporsjonalitetsfaktoren. Når y og x er proporsjonale størrelser, kan vi skrive y = kx der tallet k kalles proporsjonalitetsfaktoren. Vi tegner grafen til y = 10x. y x

45 Tall og algebra NB! Grafen er en rett linje som går gjennom origo. Stigningstallet er 10. En graf som viser sammenhengen mellom to proporsjonale størrelser, vil alltid være en rett linje som går gjennom origo. Hvis vi dividerer med x på begge sider i likningen y. x = k, får vi Forholdet mellom y og x er altså konstant. Det gir oss en metode til å kontrollere om to størrelser er proporsjonale. y Når x og y er to variable størrelser og forholdet er konstant, er y og x proporsjonale. x y = kx Hvis y for eksempel er gitt ved likningen y = x, er y proporsjonal med x, med som proporsjonalitetsfaktor. Men hvis y er gitt ved y = x+, er y ikke proporsjonal med x. En dobling av x her fører ikke til en dobling av y. (Kontroller dette.) Eksempel 1 Er to variable størrelser proporsjonale? I en kjøttdisk ligger det forskjellige pakker med kjøttdeig. Tabellen viser vekten i kilogram og prisen i kroner på pakkene. Vekt i kg 0,400 0,600 0,700 0,900 Pris i kr 6,00 9,00 45,50 58,50 Er prisen proporsjonal med vekten? pris i kr Vi utvider tabellen med en rad til og regner ut forholdet. vekt i kg Vekt i kg 0,400 0,600 0,700 0,900 Pris i kr 6,00 9,00 45,50 58,50 Pris i kr Vekt i kg Vi ser at forholdet mellom pris og vekt er det samme for alle pakkene, altså er prisen proporsjonal med vekten. Hva står proporsjonalitetsfaktoren for i dette eksemplet? Oppgave 1.57 Stormarkedet selger poteter i poser på 1,5 kg,,5 kg og 10 kg. Vekt i kg 1,5,5 10 Pris i kr 6,60 11,00 44,00 a Vis at prisen og vekten er proporsjonale størrelser. b Hva står proporsjonalitetsfaktoren for? c Finn en formel for prisen y uttrykt ved vekten x.

46 44 Tall og algebra 1.8 Oppgave 1.58 Vaskepulveret Superrent selges i pakninger på 0,5 kg, 0,8 kg og 1, kg. Vekt i kg 0,5 0,8 1, Pris i kr 0,00 4,00 48,00 Undersøk om prisen og vekten er proporsjonale størrelser. Oppgave liter Sunnhetsjuice koster 10 kr, og,5 liter koster 5 kr. a Vis at prisen er proporsjonal med mengden. b Hva koster juicen per liter? c Finn en formel for prisen y uttrykt ved mengden x. d Tegn grafen til y. Omvendt proporsjonale størrelser Lise og Ole skal sammen med noen venner leie en hytte i vinterferien. For en hytte med 16 sengeplasser må de betale 600 kr for en uke. Hvis de blir 4 personer, må hver betale 600 kr = 8400 kr 4 Hvis de blir 8 personer, må hver betale kr = 400 kr Hvis de blir 16 personer, må hver betale kr = 100 kr En dobling av antall personer fører til en halvering av beløpet som hver enkelt må betale. Vi sier at det beløpet som hver enkelt må betale, er omvendt proporsjonalt med antall personer som blir med på turen. Når to størrelser varierer slik at en dobling av den ene fører til en halvering av den andre, sier vi at de er omvendt proporsjonale. Lar vi y kroner være det beløpet som hver enkelt må betale når x personer deler hytteleia på 600 kr, får vi 600 y = x

47 Tall og algebra Når to størrelser y og x er omvendt proporsjonale, kan vi skrive y k = x der k er et fast tall. k Hvis vi multipliserer begge sider i y = med x, får vi yx = k. x Produktet av x og y er altså konstant. Når x og y er to variable størrelser og produktet konstant, er y og x omvendt proporsjonale. x y er Eksempel Omvendt proporsjonalitet og fest En klasse planlegger en elevfest. De vurderer å leie et lokale som koster 4000 kr. Lar vi y kr være leien per deltaker når det kommer x deltakere, får vi y = 4000 x Leien per deltaker og antall deltakere er altså omvendt proporsjonale størrelser. Vi vil tegne grafen til y = x Vi setter opp en tabell for noen verdier av x. Antall deltakere (x) Pris per deltaker (y) Regn ut y x for hver av de fem kolonnene. Hva ser du? Av tabellen og grafen ser du at når antall deltakere fordobles, blir prisen per deltaker halvert. Hvordan går det med prisen per deltaker hvis antall deltakere blir firedoblet? y x