SF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK ENKEL LINJÄR REGRESSION. Jan Grandell & Timo Koski
|
|
- Haakon Lauritzen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 SF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 15. ENKEL LINJÄR REGRESSION Ja Gradell & Timo Koski Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
2 INNEHÅLL Ekel lijär regressio, repetitio Ekel lijär regressio: lijär algebra & umerisk aalys Modelles atagade, teoretisk regressioslije y = α + βx Mistakvadratskattigara α obs och β obs Skattade regressioslije, residualkvadratsumma Aalys av ekel lijär regressio Extra formler för mistakvadratskattigara α obs och β obs Normalfördelig, vätevärde och varias för α och β Kofidesitervall Kofidesitervall för α och β Kofidesitervall för α + βx Prediktiositervall för e y observatio Multipel regressio: Statistisk prediktio av viets kvalitet Bilaga i summaformler för regressiosaalys Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
3 ENKEL LINJÄR REGRESSION Teori och praktike hadlar om följade: Det föreligger par av värde (x 1,y 1 ),...,(x,y ) där x 1,...,x är giva storheter och y 1,...,y är observatioer av oberoede s.v. Y 1,...,Y, där Y i N(µ i, σ). Observera att σ förutsätts att ej bero av x, vilket ofta är det kritiska atagadet. Varje vätevärde µ i är lijärt beroede av x i, d.v.s. µ i = α+βx i, i = 1,...,. Lije y = α+ βx (1) kallas de teoretiska regressioslije. Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
4 ENKEL LINJÄR REGRESSION Ett fiktivt exempel x = y = Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
5 ENKEL LINJÄR REGRESSION Vi skattar parametrara α och β med Mista-Kvadratmetode, dvs. vi miimerar summa av de kvadrerade lodräta avståde mella de teoretiska lije och y-värdea, d.v.s vi miimerar Q(α, β) = (y i E (Y i )) 2 = (y i α βx i ) 2 m.a.p. α och β. De värde αobs och β obs MK-skattigara av α och β. som ger miimum kallas Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
6 ENKEL LINJÄR REGRESSION Vi får α obs = y β obs x och β obs = (x i x)(y i y) (x i x) 2. Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
7 MINSTA KVADRAT VIA LINJÄR ALGEBRA & NUMERISK ANALYS Låt oss skriva det ovaståede med e matrisformalism. y 1 1 x 1 y 2 1 x 2 y =. y,x =. 1 x, θ = ( α β 1 -vektor, 2 - matris, 2 1 -vektor. De teoretiska regressiomodelle är då y = Xθ+ǫ där ǫ = (ǫ 1,...,ǫ ) T är e 1 vektor av ormalfördelade variabler. ) Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
8 MINSTA KVADRAT VIA LINJÄR ALGEBRA & NUMERISK ANALYS För z e 1 -vektor, defiieras de euklidiska orme (i kvadrat) av z som z 2 = zi 2. Då gäller att Q(α, β) = (y i α βx i ) 2 = y Xθ 2 och Q miimeras av (X T är de traspoerade matrise, 1 är matrisiverse) ( 1X θ = X X) T T y. I Matlab TM ges detta av θ = X\y Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
9 MINSTA KVADRAT VIA LINJÄR ALGEBRA & NUMERISK ANALYS Geom att multiplicera matrisera och utveckla iverse ka ma verifiera att ( ) α ( 1X obs = θ = X X) T T y. β obs d.v.s vi har samma lösig som ova. Vi har att residualera y X θ är ortogoala mot kolorummet av matrise X Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
10 ENKEL LINJÄR REGRESSION Lije ŷ = α obs + β obs x. kallas de skattade regressioslije. De lodräta avståde ε i frå y i till de skattade regressioslije i x i, ε i = y i α obs β obs x i kallas observerade residualer. Q 0 defiieras som Q 0 = Q(α obs, β obs ) = ε 2 i. och kallas residualkvadratsumma. σ 2 skattas med s 2 = Q 0 2. Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
11 ENKEL LINJÄR REGRESSION I exemplet ova är skattade regressioslije, residualkvadratsumma och s 2 y = x, Q 0 = , s 2 = Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
12 FORMLERNA FÖR α obs OCH β obs OMSKRIVNA där vi sätter α obs = y β obs x och β obs = (x i x)(y i y) (x i x) 2. S xy = β obs = S xy och α = ȳ β obs x, (2) S xx (x i x)(y i ȳ) och S xx = (x i x) 2. Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
13 COVARIANCE AND CORRELATION COEFFICIENT with S x ad S y, c xy = 1 (x i x)(y i ȳ) S x = 1 j=1 (x j x) 2,S y = ad get the correlatio coefficiet as 1 j=1 (y j ȳ) 2 DEFINITION r xy def = c xy S x S y r xy 1. Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
14 RETURN TO THE MEAN (1) α obs = ȳ β obs x ad i.e., ŷ = αobs + β obs x = ȳ + β obs (x x) ŷ ȳ = β obs (x x). Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
15 RETURN TO THE MEAN (1) But by the above Hece (factor i 1/) ŷ ȳ = β obs (x x). β obs = (x i x)(y i ȳ) (x i x) 2 β obs = c xy S x S y S y S x = r xy S y S x Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
16 RETURN TO THE MEAN (2) with we get or β obs = r S y xy S x ŷ ȳ = β obs (x x) = r xy ŷ ȳ S y = r xy (x x) S x S y S x (x x) Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
17 RETURN TO THE MEAN (3) If 1 < r xy < 1, the we see by ŷ ȳ S y = r xy (x x) S x that the predicted stadardized value ŷ of y is closer to its mea ȳ tha the stadardized value of x is to its mea x. Thus the data poits (x i,y i ) display regressio toward the mea (as foud ad formulated by Fracis Galto). Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
18 RETURN TO THE MEAN (4) The idea of regressio toward the mea resolved a importat difficulty of Darwiia selectio: if offsprig were always idetical to parets, the evolutio by atural selectio was ot possible. But, o the other had, there was also itergeeratioal stability, as all experiece uder fairly costat evirometal coditios showed that the rage of variability o short time scales, as betwee two geeratios, was essetially costat. (Stephe Stigler) Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
19 OMSKRIVNING AV FORMLERNA Vi kommer u att äga oss åt e rätt så miutiös exercis i omskrivig av formlera för αobs och β obs. De (i sig ekla) räkeregler som kommer till avädig här ges i Bilaga till detta dokumet (se eda). Slutresultate igår avsitt 13.3 i Formelsamlige. Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
20 OMSKRIVNING AV FORMLERNA Viste med detta är att vi överför skattigara på e form som gör det tydligt, hur vi får ormalfördeligara för de mot svarade α obs och β obs stickprovsvariablera α och β (se avsitt 13.1 i Formelsamlige). Detta ger i si tur s.g.s automatiskt ett atal kofidesitervall (se avsitt 13.2 i Formelsamlige) för ekel lijär regressio. Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
21 FORMLERNA OMSKRIVNA Korssumma S xy ka skrivas på flera sätt och vi har (se (7) & (8) i Bilaga) S xy = = (x i x)(y i ȳ) = x i y i xȳ. x i (y i ȳ) = (x i x)y i Vi har här utyttjat att summora (x i x) (och (y i ȳ) båda) är 0. Se formel (6) i Bilaga. Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
22 FORMLERNA OMSKRIVNA Motsvarade likhet gäller för kvadratsumma S xx, formel (9) i Bilaga och/eller avsitt 13.3 i Formelsamlige: S xx = (x i x) 2 = xi 2 x 2. Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
23 FORMLERNA OMSKRIVNA Det är viktigt att otera att båda skattigara är lijära uttryck i observatioera y i. Ma har ju (aväd formel (4) i Bilaga upprepade ggr) ( β obs = S xy ) = 1 x i y i xȳ = S xx S xx ( = 1 x i y i x S xx ) y i = α = ȳ β obs x = 1 = ( 1 xc i ( xi x y i x ) y i = S xx ) y i = c i y i c i y i = d i y i. Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
24 FORMLERNA OMSKRIVNA D.v.s. β obs = c i y i och α obs = i y i d där c i = (x i x) / S xx och d i = 1 c i x. (3) De motsvarade stickprovsvariablera är β = c i Y i och α = d i Y i Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
25 De statistiska egeskapera Därmed är stickprovsvariablera α och β lijära fuktioer i Y-variablera, kom ihåg att xe är giva tal. β = c i Y i och α = d i Y i Därmed är β och α ormalfördelade! Det gäller att beräka de respektive vätevärdea och variasera. Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
26 VÄNTEVÄRDET PÅ α Vi ileder med E (α ) = Me vi vet att Y i N(α+βx i, σ), så att d i E (Y i ) = Vi kommer att visa att (1) d i = 1 (2) d i x i = 0 d i E (Y i ). d i (α+βx i ) = α d i + β d i x i Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
27 VÄNTEVÄRDET PÅ α : (1) d i = 1 Håll i miet att c i = (x i x) / S xx. d i = = 1 x ( 1 c i x) = c i = 1 x 1 S xx 1 c i x = 1 x 1 S xx 0 = 1. (x i x) ty (x i x) = 0 eligt (6) i Bilaga. Observera att vi äve fick c i = 0. Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
28 VÄNTEVÄRDET PÅ α : (2) d ix i = 0 Me och frå ova c i x i = (1/S xx ) = (1/S xx ) d i x i = = 1 ( 1 c i x)x i x i x c i x i. (x i x)x i = (1/S xx ) ) = (1/S xx )( xi 2 x x i = ( x 2i x 2 ) (x 2 i xx i ) = (1/S xx ) S xx = 1. Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
29 VÄNTEVÄRDET PÅ α : (2) d ix i = 0 Så vi fick att c i x i = 1 och detta ger d i x i = = 1 = 1 x i x ( 1 c i x)x i c i x i. }{{} =1 x i x = 0. Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
30 VÄNTEVÄRDET PÅ α : Således har vi visat att E (α ) = α dvs. α är vätevärdesriktig. d i + β d i x i = α. Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
31 HJÄLPRESULTAT Vissa hjälpresultat har vi dessutom visats: (A) (B) (C) c i x i = 1 c i = 0, d i x i = 0 Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
32 VÄNTEVÄRDET PÅ β Vi har β = c iy i och detta ger E (β ) = Me Y i N(α+βx i, σ), så att c i E (Y i ) = Hjälpresultate (A) och (B) ova ger och β är vätevärdesriktig. c i E (Y i ). c i (α+βx i ) = α E (β ) = β c i + β c i x i Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
33 VARIANS FÖR α Vi ha p.g.a oberoedet mella Y i a att V (α ) = Me Y i N(α+βx i, σ), så att Näst visar vi att d 2 i = 1 + x S xx di 2 V (Y i). di 2 V (Y i ) = σ 2 di 2 Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
34 VARIANS FÖR α = d 2 ( ) 1 2 i = c i x x c i + x 2 ci 2 Me hjälpresultatet (B) ova ger c i = 0. Av defiitio på c i och S xx fås c 2 i = (x i x) 2/ Sxx 2 = 1 S xx och 1 2 = 1/. Sammafattigsvis di 2 = 1 + x2. S xx Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
35 VARIANS FÖR α ( ) 1 V (α ) = σ 2 + x2. S xx I härledige fick vi äve hjälpresultatet (D) ci 2 = 1 S xx Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
36 VARIANS FÖR β Vi har β = c i Y i och p.g.a oberoedet mella Y i a att V (β ) = Me Y i N(α+βx i, σ), så att ci 2 V (Y i ). ci 2 V (Y i) = σ 2 ci 2 = σ2 S xx eligt det seaste hjälpresultatet (D). Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
37 De statistiska egeskapera SATS (1 α N α, σ + x 2 ) (x i x) 2 ( ) β 1 N β, σ (x i x) 2. Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
38 De statistiska egeskapera SATS Vidare gäller att, här betyder Q 0 stickprovsvariabel Q(α, β ), Q 0 σ 2 = ( 2)S2 σ 2 är χ 2 ( 2)-fördelad och att S 2 är oberoede av α och β. Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
39 De statistiska egeskapera E algebraisk exercis i ovaståede stil visar äve att Q 0 = Q(α obs, β obs ) = ε 2 i = = (y i αobs β obs x i) 2 = S yy S xy. S xx Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
40 Kofidesitervall Det ovaståede gör att vi ka kostruera kofidesitervall och test som förut, både då σ är kät och okät. För att ite behöva skriva alla itervall två gåger så betraktar vi fallet då σ är okät. Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
41 Kofidesitervall Eftersom α u förekommer som e parameter, så ger vi kofidesitervall med kofidesgrad 95%. Metode är defiiera ett θ och seda bilda där d(θ ) är skattige av D(θ ). I θ = θ obs ±t 0.025( 2)d(θ ), Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
42 MEDELFELET d(θ ) Vi aväder som skattig av σ i kofidesitervalle Q0 s = 2. (dvs.kvadratrote av residualkvadratsumma/ 2) Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
43 Kofidesitervall för α (1) θ = α I θ = θ obs ±t 0.025( 2)d(θ ), (1 ) Vi har V(θ ) = V(α ) = σ 2 + x 2 (x, vilket ger i x) 2 I α = α ±t ( 2)s (1 + x 2 ) (x i x) 2. Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
44 Kofidesitervall för β (2) θ = β Vi har V(β ) = σ 2 (x i x) 2, vilket ger I β = β obs ±t s 0.025( 2) (x i x). 2 Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
45 Hypotesprövig för β Det ka häda att iget sambad i form av e teoretisk regressioslije fis, dvs. β = 0. Vi ka testa detta geom mot Förkasta H 0 på ivå 0.05 om H 0 : β = 0 H 1 : β = 0 0 / I β = β obs ±t s 0.025( 2) (x i x). 2 Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
46 Kofidesitervall för regressioslije (3) θ = α+ βx 0 Detta är alltså ett kofidesitervall för de teoretiska regressioslije i pukte x = x 0. Vi observerar först och p.g.a. oberoedet E(α + β x 0 ) = E(α )+E(β x 0 ) = α+βx 0. ) V(α + β x 0 ) = V d i Y i + c i Y i x 0 = = V ( ( ) i +c i x 0 )Y i (d (d i +c i x 0 ) 2 V (Y i ) = σ 2 (d i +c i x 0 ) 2. Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
47 Kofidesitervall d i = 1 c i x så att = (d i +c i x 0 ) 2 ( ) 1 2 = +c i(x 0 x) = (x 0 x) c i +(x 0 x) 2 ci 2 = 1 +(x 0 x) 2 /S xx. ty hjälpresultatet (B) ova ger c i = 0 och hjälpresultatet (D) ger c2 i = 1/S xx. Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
48 Kofidesitervall Vi slår ihop frå ova V(α + β x 0 ) = σ 2 ( ) 1 +(x 0 x) 2 /S xx. Detta ger det slutliga kofidesitervallet som I α+βx0 = αobs + β obs x 1 0±t ( 2)s + (x 0 x) 2 (x i x) 2. Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
49 Kofidesitervall för lije i exemplet ova Data, regressioslije och αobs + β obs x 1 0±t ( 2)s + (x 0 x) 2 (x i x) 2 Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
50 Prediktiositervall Låt Y 0 vara e y observatio som svarar mot x 0 dvs. Y 0 N(α+βx 0, σ). Vi predikterar Y 0 geom Ŷ 0 som ges av de skattade regressioslije Prediktiosfelet Ŷ 0 = α obs + β obs x 0. Y 0 Ŷ 0 är ormalfördelat med vätevärdet oll. Eftersom Y 0 och Ŷ 0 är oberoede ) ) V (Y 0 Ŷ 0 = V (Y 0 )+V (Ŷ0 Ova har vi i fallet (3) visat att ) V (Ŷ0 = V(α + β x 0 ) = σ 2 ( ) 1 +(x 0 x) 2 /S xx. Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
51 Prediktiositervall Alltså ) V (Y 0 Ŷ 0 = σ ( ) +(x 0 x) 2 /S xx Vi skattar σ 2 med s 2. Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
52 Prediktiositervall Ma ka visa att kvote Y 0 Ŷ 0. s (x 0 x) 2 /S xx är t-fördelad med 2 frihetsgrader. Då ka vi på bekat maér visa att itervallet Ŷ 0 ±t ( 2)s (x 0 x) 2 /S xx täcker Y 0 med saolikhete Itervallet kallas ett 95%-igt prediktiositervall för Y 0 Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
53 Prediktiositervall i exemplet ova Data, regressioslije och Ŷ 0 ±t ( 2)s (x 0 x) 2 /S xx Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
54 Prediktiositervall och kofidesitervall i exemplet ova Regressioslije, αobs + β obs x 1 0±t ( 2)s Ŷ 0 ±t ( 2)s (x 0 x) 2 /S xx + (x 0 x) 2 och (x i x) 2 Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
55 MULTIPEL LINJÄR REGRESSIONSANALYS: VINETS KVALITET Multipel regressio med tre förklarade variabler x1, x2, x3 för statistisk prediktio (SPR) av (Bordeaux-)vieras kvalitet: där viets kvalitet = x x x3 x1 = ederbörd uder viter x2 = geomsittstemperature uder växtsäsoge x3 = ederbörd uder skördeperiode av Orley Ashefelter, se Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
56 MULTIPEL LINJÄR REGRESSIONSANALYS: VINETS KVALITET Statistisk prediktio (SPR) av (Bordeaux-)vieras kvalitet: viets kvalitet = x x x3 Poäge här alltså att vi vill uttala oss om kvalite hos e årgåg av (Bordeaux-)vi INNAN NÅGON smakat på viet. Detta tycks fugera, me upplevs trots detta (eller kaske just p.g.a detta) som stötade av måga goda viexperter. Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
57 Statistisk prediktiosregel (SPR) For a very wide rage of predictio problems, statistical predictio rules (SPRs), ofte rules that are very easy to implemet, make predictios tha are as reliable as, ad typically more reliable tha, huma experts. The success of SPRs forces us to recosider our views about what is ivolved i uderstadig, explaatio, ad good reasoig. Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
58 E bok om SPR Orley Ashefelters SPR för viets kvalitet är hämtad ur boke I.Ayres: Super Cruchers. How aythig ca be predicted. Joh Murray (Publishers), Paperback editio 2008, Lodo. Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
59 E bok om SPR Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
60 BILAGA : RÄKNEOPERATIONER MED SUMMOR DEFINITION (1) x i = x 1 +x x. SATS (2) a x i = a x i. SATS (3) (x i +y i ) = x i + y i. Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
61 BILAGA : RÄKNEOPERATIONER MED SUMMOR SATS (4) (ax i +by i ) = a x i +b y i SATS (5) (x i +y i ) 2 = x 2 i +2 x i y i + y 2 i. Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
62 BILAGA : RÄKNEOPERATIONER MED SUMMOR Låt x = 1 x i. Då gäller SATS (6) (x i x) = 0. SATS (7) (x i x) (y i y) = (x i x)y i = x i (y i y). Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
63 BILAGA : RÄKNEOPERATIONER MED SUMMOR SATS (8) (x i x) (y i y) = x iy i xy. SATS (9) (x i x) 2 = x 2 i x 2. Ja Gradell & Timo Koski Matematisk statistik / 63
Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 14: Enkel linjär regression
Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 14: Enkel linjär regression Anna Lindgren 21+22 november, 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F14: Regression 1/21 Hypotesprövning Olika metoder
DetaljerFormelsamling Matematisk statistik för D3, VT02
Sida 1 Formelsamling Matematisk statistik för D3, VT02 Sannolikhetsmått För två händelser A och B gäller alltid att P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A ) = 1 P (A) P (A \ B) = P (A) P (A B) Kombinatorik
DetaljerTMA4245 Statistikk. Øving nummer 12, blokk II Løsningsskisse. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag
Vår 205 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer 2, blokk II Løsigsskisse Oppgave a - β agir biles besiforbruk i liter/mil - Rimelig med α 0 fordi med x 0 ige
DetaljerMatematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 12, Hypotesprövning
Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 12, Hypotesprövning Anna Lindgren 14+15 november, 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F12: Hypotestest 1/17 Konfidensintervall Ett konfidensintervall
DetaljerMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 16 Johan Lindström 11 december 2018 Johan Lindström - johanl@mathslthse FMSF45/MASB03 F16 1/32 Repetition Linjär regression Modell Parameterskattningar
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
Høst 205 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer 2, blokk II Løsigsskisse Oppgave a - β agir biles besiforbruk i liter/mil - Rimelig med α 0 fordi med x 0 ige
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2016
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalt øvig 2 Løsigsskisse Oppgave a Miste kvadraters metode tilpasser e lije til puktee ved å velge de lija som miimerer kvadratsumme
DetaljerLineær regresjonsanalyse (13.4)
2 Kap. 13: Lieær korrelasjos- og regresjosaalyse ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for matematiske fag Kap. 13.1-13.3: Lieær korrelasjosaalyse. Disse avsitt er ikke pesum, me de lieære
DetaljerST1201 Statistiske metoder
ST Statistiske metoder Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsforslag - Eksame desember Oppgave a) Dette er e ANOVA-tabell for k-utvalg med k 4 og j 6 for j,,3,4.
DetaljerMOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2006 Løsninger til regneøving nr. 7 (s. 1) Oppgaver fra boka: n + (x 0 x) 2 σ2
MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2006 Løsninger til regneøving nr. 7 (s. 1) Oppgaver fra boka: Oppgave 11.27 (11.6:13) Modell: Y i = α + βx i + ε i der ε 1,..., ε n u.i.f. N(0, σ 2 ). Skal finne konfidensintervall
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
Eksamen i: UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet STK1110 FASIT. Eksamensdag: Tirsdag 11. desember 2012. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen 20. desember 2012
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksame 20. desember 202 Løsigsskisse Oppgave a Sasylighete for å få 5 kro er P 5 kro = = /32 = 0.03. 25 Sasylighete
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i STK desember 2010
Løsigsforslag til eksame i STK0 0. desember 200 Løsigsforslaget har med flere detaljer e det vil bli krevd til eksame. Oppgave a Det er tilpasset e multippel lieær regresjosmodell av forme β 0 + β x i
DetaljerOppgave 1 a) Minste kvadraters metode tilpasser en linje til punktene ved å velge den linja som minimerer kvadratsummen. x i (y i α βx i ) = 0, SSE =
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalte oppgaver 2, blokk II Løsigsskisse Oppgave a Miste kvadraters metode tilpasser e lije til puktee ved å velge de lija som
Detaljer0.5 (6x 6x2 ) dx = [3x 2 2x 3 ] 0.9. n n. = n. ln x i + (β 1) i=1. n i=1
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer 9, blokk II Løsigsskisse Oppgave a The probability is.9.5 6x( x dx.9.5 (6x 6x dx [3x x 3 ].9.5.47. b The likelihood fuctio
DetaljerContinuity. Subtopics
0 Cotiuity Chapter 0: Cotiuity Subtopics.0 Itroductio (Revisio). Cotiuity of a Fuctio at a Poit. Discotiuity of a Fuctio. Types of Discotiuity.4 Algebra of Cotiuous Fuctios.5 Cotiuity i a Iterval.6 Cotiuity
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen mai 2017
TMA445 Statistikk Eksame mai 07 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsskisse Oppgave a Når vi reger ut disse tre sasylighetee må ma huske på at de mulige verdiee
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-aturviteskapelige fakultet Eksame i STK2120 Statistiske metoder og dataaalyse 2 Eksamesdag: Madag 6. jui 2011. Tid for eksame: 09.00 13.00. Oppgavesettet er på 5 sider.
DetaljerSlope-Intercept Formula
LESSON 7 Slope Intercept Formula LESSON 7 Slope-Intercept Formula Here are two new words that describe lines slope and intercept. The slope is given by m (a mountain has slope and starts with m), and intercept
DetaljerHypotesetesting, del 4
Oversikt, del 4 t-fordelig t-test t-itervall Del 5 Kofidesitervall vs. test p-verdi t-fordelig Rett på defiisjo: Utgagspuktet er målemodelle med ormalatakelse: X 1,...,X,u.i.f.tilf.var.derX i Nμ, σ 2 ).La
DetaljerKp. 11 Enkel lineær regresjon (og korrelasjon) Kp. 11 Regresjonsanalyse; oversikt
Bjørn H. Auestad Kp. 11: Regresjonsanalyse 1 / 57 Kp. 11 Regresjonsanalyse; oversikt 11.1 Introduction to Linear Regression 11.2 Simple Linear Regression 11.3 Least Squares and the Fitted Model 11.4 Properties
DetaljerTMA4240/4245 Statistikk 11. august 2012
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA424/4245 Statistikk. august 22 Eksame - løsigsforslag Oppgave Vi har N Nµ,σ 2, µ 85 og X > 88. a X µ X > 88 σ > 88 µ Z > 88 85
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2009
TMA440 Statistikk Høst 009 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b6 Løsningsskisse Oppgave a) n 8, i x i 675, x 37.5, i y i 488, i x i 375, i x iy i
DetaljerOppgaver fra boka: Med lik men ukjent varians antatt har vi fra pensum at. t n1 +n 2 2 under H 0 (12 1) (12 1)
MOT30 Statistiske metoder, høste00 Løsiger til regeøvig r. 5 (s. ) Oppgaver fra boka: Oppgave 0.36 (0.0:8) Dekkslitasje X,..., X u.i.f. N(µ, σ ) og X,..., X u.i.f. N(µ, σ ) og alle variable er uavhegige.
DetaljerMOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 Løsninger til regneøving nr. 7 (s. 1) Oppgaver fra boka: n + (x 0 x) 2 1. n + (x 0 x) 1 2 ) = 1 γ
MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 Løsninger til regneøving nr. 7 (s. 1) Oppgaver fra boka: Oppgave 11.25 (11.27, 11.6:13) Modell: Y i = α + βx i + ε i der ε 1,..., ε n u.i.f. N(0, σ 2 ). Skal nne
DetaljerTMA4240 Statistikk 2014
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer 2, blokk II Løsigsskisse Oppgave a µ populasjosgjeomsitt, dvs. eit gjeomsitt for alle bilae som køyrer på vegstrekige
DetaljerMOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2006 Løsninger til regneøving nr. 8 (s. 1) Oppgaver fra boka:
MOT30 Statistiske metoder, høsten 2006 Løsninger til regneøving nr. 8 (s. ) Oppgaver fra boka: Oppgave.5 (.3:5) ) Først om tolking av datautskriften. Sammendrag gir følgende informasjon: Multippel R =R,
DetaljerLøsningsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2018
Løsigsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høste 2018 Oppgave 1 (a Et 100(1 α% kofidesitervall for forvetigsverdie µ er gitt ved formel (8.15 på side 403 i læreboka. For situasjoe
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 4
ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 21 Kp. 6, del 4 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 22. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 29 Bjør
DetaljerEKSAMEN. Oppgavesettet består av 5 oppgaver, hvor vekten til hver oppgave er angitt i prosent i oppgaveteksten. Alle oppgavene skal besvares.
EKSAMEN Emekode: SFB12003 Eme: Metodekurs II: Samfusviteskapelig metode og avedt statistikk Dato: 2.6.2014 Eksamestid: kl. 09.00 til kl. 13.00 Hjelpemidler: Kalkulator Faglærer: Bjørar Karlse Kivedal Eksamesoppgave:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Løsningsforslag: Statistiske metoder og dataanalys Eksamensdag: Fredag 9. desember 2011 Tid for eksamen: 14.30 18.30
DetaljerTil nå, og så videre... TMA4240 Statistikk H2010 (25) Mette Langaas. Foreleses mandag 15.november, 2010
TMA4240 Statistikk H2010 (25) 11.4: Egeskaper til MKE 11.5: Iferes om α og β 11.6: Prediksjo Mette Lagaas Foreleses madag 15.ovember, 2010 2 Til å, og så videre... Modell ekel lieær regresjo: Y = α + βx
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2009
TMA4240 Statistikk Høst 2009 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b6 Oppgave 1 Oppgave 11.5 fra læreboka. Oppgave 2 Oppgave 11.21 fra læreboka. Oppgave
DetaljerRep.: generelle begrep og definisjoner Kp. 10.1, 10.2 og 10.3
Kp. 1, oversikt ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Hypoteseig; ett- og to-utvalg Rep.: geerelle begrep og defiisjoer Kp. 1.1, 1.2 og 1.3 Rep.: ett-utvalgser for μ (...), p Kp. 1 og 1.8 Nytt: ett-utvalgs
DetaljerLøsningsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015
Løsigsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høste 2015 Oppgave 1 (a Et 100(1 α% kofidesitervall for forvetigsverdie µ er gitt ved formel (8.15 på side 403 i læreboka. For situasjoe
DetaljerLøsningsforslag eksamen 27. februar 2004
MOT30 Statistiske metoder Løsningsforslag eksamen 7 februar 004 Oppgave a) Y ij = µ i + ε ij, der ε ij uavh N(0, σ ) der µ i er forventa kopperinnhold for legering i og ε ij er feilleddet (tilfeldig variasjon)
DetaljerMOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011
MOT310 Statistiske metoder 1, høste 2011 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 24. august, 2011 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 1 / 32 Repetisjo; 9.1,
DetaljerGir vi de resterende 2 oppgavene til én prosess vil alle sitte å vente på de to potensielt tidskrevende prosessene.
Figure over viser 5 arbeidsoppgaver som hver tar 0 miutter å utføre av e arbeider. (E oppgave ka ku utføres av é arbeider.) Hver pil i figure betyr at oppgave som blir pekt på ikke ka starte før oppgave
DetaljerST1201 Statistiske metoder
ST20 Statistiske metoder Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsforslag - Eksame desember 2005 Oppgave a Ma beyttet radomisert blokkdesig. I situasjoe har ma k =
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 13: Lineær korrelasjons- og regresjonsanalyse Kap. 13.1-13.3: Lineær korrelasjonsanalyse. Disse avsnitt er ikke pensum,
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5
ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2008 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 53
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen august 2014
TMA4245 Statistikk Eksamen august 2014 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Oppgave 1 En bedrift produserer en type medisin i pulverform Medisinen selges på flasker
Detaljer5 y y! e 5 = = y=0 P (Y < 5) = P (Y 4) = 0.44,
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalte oppgaver 9, blokk II Løsigsskisse Oppgave a) Vi lar her Y være atall fugler som kolliderer med vidmølla i løpet av de gitte
DetaljerMOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2012
MOT310 Statistiske metoder 1, høste 2012 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 20. august, 2012 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 1 / 57 Iformasjo Litt om
DetaljerRepetisjon; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og Repetisjon; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10
Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 og Geerell defiisjo av : Situasjo: Data x 1,...,x ;utfallav:x 1,...,X ; u.i.f. tilfeldige variable Ukjet parameter i fordelige til X i ee: θ Dersom L og U L
DetaljerOppgave 1. . Vi baserer oss på at p 47 1 og p 2 er tilnærmet normalfordelte (brukbar tilnærming). Vi har tilnærmet at (n 1 = n 2 = 47)
MOT310 tatistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen vår 006, s. 1 Oppgave 1 a) En tilfeldig utvalgt besvarelse får F av sensor 1 med sannsynlighet p 1 ; resultatene for ulike besvarelser er uavhengige.
DetaljerOppgave 1. Kilde SS df M S F Legering Feil Total
MOT30 Statistiske metoder, høste0 Løsninger til regneøving nr. 0 (s. ) Oppgave Y ij = µ i + ε ij, der ε ij uavh. N(0, σ ) der µ i er forventa kopperinnhold for legering i og ε ij er feilleddet (tilfeldig
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1100 Statistiske metoder og dataanalyse 1 - Løsningsforslag Eksamensdag: Mandag 30. november 2015. Tid for eksamen: 14.30
DetaljerEstimering 2. -Konfidensintervall
Estimerig 2 -Kofidesitervall Dekkes av kap. 9.4-9.5, 9.10, 9.12 og forelesigsotatee. Dersom forsøket gjetas mage gager vil (1 α)100% av itervallee [ ˆΘ L, ˆΘ U ] ieholde de ukjete parametere θ (som er
Detaljer10.1 Enkel lineær regresjon Multippel regresjon
Inferens for regresjon 10.1 Enkel lineær regresjon 11.1-11.2 Multippel regresjon 2012 W.H. Freeman and Company Denne uken: Enkel lineær regresjon Litt repetisjon fra kapittel 2 Statistisk modell for enkel
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Statistiske metoder og dataanalyse 1 Eksamensdag: Mandag 30. november 2015. Tid for eksamen: 14.30 18.00. Oppgavesettet
DetaljerEKSAMEN. Oppgavesettet består av 5 oppgaver, hvor vekten til hver oppgave er angitt i prosent i oppgaveteksten. Alle oppgavene skal besvares.
EKSAMEN Emekode: SFB12003 Eme: Metodekurs II: Samfusviteskapelig metode og avedt statistikk Dato: 10.12.2014 Eksamestid: kl. 09.00 til kl. 13.00 Hjelpemidler: Kalkulator Faglærer: Bjørar Karlse Kivedal
DetaljerEKSAMEN I TMA4245 Statistikk
Noregs tekisk aturvitskaplege uiversitet Istitutt for matematiske fag Side 1 av 5 Fagleg kotakt uder eksame: Turid Follestad (98 06 68 80/73 59 35 37) Hugo Hammer (45 21 01 84/73 59 77 74) Eirik Mo (41
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK2120 Statistiske metoder og dataanalyse 2. Eksamensdag: Fredag 7. juni 2013. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er
DetaljerInnhold. Eksempel: Fig. 5.16a. Kovarians. Medisinsk statistikk Del II Forelesning 25 februar 2009 Korrelasjon. Korrelasjon
Medisisk statistikk Del II Forelesig 25 februar 2009 Korrelasjo av Stia Lyderse og Eirik Skogvoll Ihold Kovarias og korrelasjo (5.6.) Pearso s r (.7) T-test og z-test for korrelasjoskoeffisiet (.8) Kofidesitervall
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 5. Hypotesetesting, del 5
ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 7 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 59 Bjør
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5
ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2008 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 3. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 56
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer 12, blokk II I dee siste øvige fokuserer vi på lieær regresjo, der vi har kjete kovariater
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 5
ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2006 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 3. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1 / 56
DetaljerEksamensoppgave i Løsningsskisse TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i Løsningsskisse TMA440 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland a, Sara Martino b Tlf: a 48 18 96, b 99 40 33 30 Eksamensdato: 30. november
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 13: Lineær regresjon og korrelasjon
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 13: Lineær regresjon og korrelasjon Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag http://wiki.math.ntnu.no/st0202/2012h/start 2 Kap. 13: Lineær korrelasjons-
DetaljerOppgave 14.1 (14.4:1)
MOT30 Statistiske metoder, høste006 Løsninger til regneøving nr. 0 (s. ) Modell: Oppgave 4. (4.4:) Y ijk = µ + α i + β j + (αβ) ij + ε ijk, der ε ijk uavh. N(0, σ ) der µ er gjennomsnittseffekten, α i
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen august 2015
Eksame august 15 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsskisse Oppgave 1 a asylighetee blir og X > Z > 1 1 Z 1 Φ.3,.5 W > 5 X + Y > 5 b Forvetet samfuskostad blir
DetaljerEksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 20. desember 2016 Eksamenstid (fra til): 09:00
DetaljerVektorvärda funktioner
Vektorvärda funktioner En vektorvärd funktion är en funktion som ger en vektor som svar. Exempel på en sådan är en parametriserad kurva som r(t) = (t, t 2 ), 0 t 1, som beskriver kurvan y = x 2 då 0 x
DetaljerKonfidensintervall. Notat til STK1110. Ørnulf Borgan, Ingrid K. Glad og Anders Rygh Swensen Matematisk institutt, Universitetet i Oslo.
Kofidesitervall Notat til STK1110 Ørulf Borga, Igrid K. Glad og Aders Rygh Swese Matematisk istitutt, Uiversitetet i Oslo August 2007 Formål E valig metode for å agi usikkerhete til et estimat er å berege
DetaljerST0103 Brukerkurs i statistikk Forelesning 26, 18. november 2016 Kapittel 8: Sammenligning av grupper
ST0103 Brukerkurs i statistikk Forelesning 26, 18. november 2016 Kapittel 8: Sammenligning av grupper Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kapittel 8: Sammenligning av grupper Situasjon: Vi ønsker
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen august 2014
TMA4245 Statistikk Eksamen august 2014 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Oppgave 1 Ei bedrift produserer ein type medisin i pulverform Medisinen seljast på flasker
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2016
TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 12 Denne øvingen består av oppgaver om enkel lineær regresjon. De handler blant
DetaljerEksamensoppgave i PSY3100 Forskningsmetode - Kvantitativ
Psykologisk institutt Eksamensoppgave i PSY3100 Forskningsmetode - Kvantitativ Faglig kontakt under eksamen: Mehmet Mehmetoglu Tlf.: 91838665 Eksamensdato: Eksamenstid (fra-til): Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerLøsningsforslag: STK2120-v15.
Løsningsforslag: STK2120-v15 Oppgave 1 a) Den statistiske modellen er: X ij = µ i + ϵ ij, j = 1,, J, i = 1,, I Her indekserer i = 1,, I gruppene og j = 1,, J observasjone innen hver gruppe Feilleddene
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-aturviteskapelige fakultet Eksame i: STK2100 Løsigsforslag Eksamesdag: Torsdag 14. jui 2018. Tid for eksame: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerEndelig ikke-røyker for Kvinner! (Norwegian Edition)
Endelig ikke-røyker for Kvinner! (Norwegian Edition) Allen Carr Click here if your download doesn"t start automatically Endelig ikke-røyker for Kvinner! (Norwegian Edition) Allen Carr Endelig ikke-røyker
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1120 Statistiske metoder og dataanalyse 2 Eksamensdag: Mandag 4. juni 2007. Tid for eksamen: 14.30 17.30. Oppgavesettet er
DetaljerTMA4245 Statistikk Vår 2015
TMA4245 Statistikk Vår 2015 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer 12, blokk II Oppgave 1 Kari har ylig kjøpt seg e y bil. Nå øsker hu å udersøke biles besiforbruk
DetaljerLØSNINGSFORSLAG ) = Dvs
LØSNINGSFORSLAG 12 OPPGAVE 1 D j er differansen mellom måling j med metode A og metode B. D j N(µ D, 0.1 2 ). H 0 : µ D = 0 mot alternativet H 1 : µ D > 0. Vi forkaster om ˆµ D > k Under H 0 er ˆµ D =
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Estimering. Målemodellen. Konfidensintervall, innledning. Kp. 5 Estimering.
ÅMA0 Sasylighetsregig med statistikk våre 006 Kp. 5 Estimerig Estimerig. Målemodelle. Ihold:. (Pukt)Estimerig i biomisk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.3) 3. (Pukt)Estimerig i målemodelle (kp. 5.3)
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-aturviteskapelige fakultet Eksame i: STK11 Sasylighetsregig og statistisk modellerig. LØSNINGSFORSLAG Eksamesdag: Fredag 9. jui 217. Tid for eksame: 9. 13.. Oppgavesettet
DetaljerOppgave 1. X 1 B(n 1, p 1 ) X 2. Vi er interessert i forskjellen i andeler p 1 p 2, som vi estimerer med. p 1 p 2 = X 1. n 1 n 2.
Løsningsforslag til eksamen i MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 17 november 2008 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 Tabeller og formler i statistikk Tapir
DetaljerDet matematisk-naturvitenskapelige fakultet
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i IN 227 Numerisk lineær algebra Eksamensdag: 5. desember 2001 Tid for eksamen: 9.00 15.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg:
DetaljerLøsningsforslag Oppgave 1
Løsigsforslag Oppgave 1 a X i µ 0 σ X i µ 0 2 σ 2, i 1,..., er uavhegige og stadard N0, 1 fordelte. Da er, i 1,..., uavhegige og χ 2 -fordelte med e frihetsgrad. Da er summe χ 2 -fordelt med atall frihetsgrader
DetaljerLØSNING, EKSAMEN I STATISTIKK, TMA4240, DESEMBER Anta at sann porøsitet er r. Måling med utstyret gir da X n(x; r, 0,03).
LØSNING, EKSAMEN I STATISTIKK, TMA440, DESEMBER 006 OPPGAVE 1 Ata at sa porøsitet er r. Målig med utstyret gir da X (x; r, 0,03). a) ( ) X r P(X > r) P 0,03 > 0 P(Z > 0) 0,5. ( X r P(X r > 0,05) P 0,03
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Statistiske metoder og dataanalyse 1. Eksamensdag: Mandag 1. desember 2014. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet
DetaljerLøsningsforslag ST1101/ST6101 kontinuasjonseksamen 2018
Løsigsforslag ST/ST6 kotiuasjoseksame Oppgave a Defier hedelsee R, B, B rød kule i første trekig, blå kule i adre trekig, blå kule i tredje trekig. Vi skal fie PR B B for to ulike situasjoer. Geerelt vet
DetaljerMOT 310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 2006, s. 1. Oppgave 1
MOT 310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 2006, s. 1 Oppgave 1 a) Normalantakelse: Målingene x 1,..., x 21 og y 1,..., y 8 betraktes som utfall av tilfeldige variable X 1,..., X 21
DetaljerTMA4210 Numerisk løsning av part. diff.lign. med differansemetoder Vår 2005
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA40 Numerisk løsning av part. diff.lign. med differansemetoder Vår 005 Løsningsforslag Øving 5 a) Vi skal undersøke stabilitet
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK Mandag 12. desember 2011
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK Mandag 12. desember 2011 Oppgave 1 Oljeleting a) Siden P(A
DetaljerLøsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010
Løsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010 Oppgave 1 a Forventet antall dødsulykker i år i er E(X i λ i. Dermed er θ i λ i E(X i forventet antall dødsulykker per 100
DetaljerMedisinsk statistikk, del II, vår 2008 KLMED Lineær regresjon, Rosner Regresjon?
Medssk statstkk, del II, vår 008 KLMED 8005 Erk Skogvoll Førsteamauess dr. med. Ehet for Avedt klsk forskg Det medsske fakultet Leær regresjo, Roser..6 Bakgru (.) Modell (.) Estmerg av parametre modelle
DetaljerTilleggsoppgaver for STK1110 Høst 2015
Tilleggsoppgaver for STK0 Høst 205 Geir Storvik 22. november 205 Tilleggsoppgave Anta X,..., X n N(µ, σ) der σ er kjent. Vi ønsker å teste H 0 : µ = µ 0 mot H a : µ µ 0 (a) Formuler hypotesene som H 0
Detaljer211.7% 2.2% 53.0% 160.5% 30.8% 46.8% 17.2% 11.3% 38.7% 0.8%
Prøve-eksame II MET 1190 Statistikk Dato 31. mai 2019 kl 1100-1400 Alle svar skal begrues. Når besvarelse evalueres, blir det lagt vekt på at framgagsmåte og resultat preseteres så klart, presist og kortfattet
DetaljerMedisinsk statistikk, del II, vår 2009 KLMED 8005
Medssk statstkk, del II, vår 009 KLMED 8005 Erk Skogvoll Førsteamauess dr. med. Ehet for Avedt klsk forskg Det medsske fakultet Leær regresjo, Roser..6 Bakgru (.) Modell (.) Estmerg av parametre modelle
DetaljerKandidatene 4507, 4542, 4545 og 4569 har meget gode besvarelser supert!
MOT 310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 2006, s. 1 Flott! Samlet sett leverer dere gode resultater. Kandidatene 4507, 4542, 4545 og 4569 har meget gode besvarelser supert! Totalt
DetaljerSTK Oppsummering
STK1110 - Oppsummering Geir Storvik 11. November 2015 STK1110 To hovedtemaer Introduksjon til inferensmetoder Punktestimering Konfidensintervall Hypotesetesting Inferens innen spesifikke modeller/problemer
DetaljerSVM and Complementary Slackness
SVM and Complementary Slackness David Rosenberg New York University February 21, 2017 David Rosenberg (New York University) DS-GA 1003 February 21, 2017 1 / 20 SVM Review: Primal and Dual Formulations
Detaljerj=1 (Y ij Ȳ ) 2 kan skrives som SST = i=1 (J i 1) frihetsgrader.
FORMELSAMLING TIL STK2120 (Versjon av 30. mai 2012) 1 Enveis variansanalyse Anta at Y ij = µ + α i + ɛ ij ; j = 1, 2,..., J i ; i = 1, 2,..., I ; der ɛ ij -ene er uavhengige og N(0, σ 2 )-fordelte. Da
DetaljerX = 1 5. X i, i=1. som vil være normalfordelt med forventningsverdi E( X) = µ og varians Var( X) = σ 2 /5. En rimelig estimator for variansen er
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalte oppgaver 11, blokk II Løsigsskisse Oppgave 1 a) E rimelig estimator for forvetigsverdie µ er gjeomsittet X = 1 X i, som
DetaljerGruvedrift. Institutt for matematiske fag, NTNU. Notat for TMA4240/TMA4245 Statistikk
Gruvedrift Notat for TMA/TMA Statistikk Institutt for matematiske fag, NTNU I forbindelse med planlegging av gruvedrift i et område er det mange hensyn som må tas når en skal vurdere om prosjektet er lønnsomt.
DetaljerOversikt, del 5. Vi har sett på styrkefunksjon for ensidige tester. Eksempler (styrke, dimensjonering,...) Eksempler fra slutten av forrige uke
Hypotesetestig, del 4 oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Oversikt, del 5 Eksempler fra slutte av forrige uke Kofidesitervall p-verdi Eksempler Eksempler styrke, dimesjoerig,...
DetaljerTestobservator for kjikvadrattester
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 11: Anvendelser av kjikvadratfordelingen: Kjikvadrattester Situasjon: Et tilfeldig utvalg av n individer er trukket
Detaljer