MATTESIRKELEN

Transkript

1 MATTESIRKELEN HANS MUNTHE-KAAS AUGUST 29, 2017 Innholdsfortegnelse 1. Innledning Rosettsymmetrier Frisesymmetrier Tapetsymmetrier 3 2. Isometrier i planet Tallplanet Isometrier 6 3. Introduksjon til grupper og gruppevirkninger Det abstrakte gruppebegrepet Homomorfier og isomorfier Gruppevirkninger Symmetrier Klassifikasjon av isometrigrupper Leonardos teorem og rosett-gruppene Frisegruppene Tapetgruppene Abelske grupper Sykliske grupper Endelige- og endelig-genererte abelske grupper Homomorfier og matrisenotasjon Det kinesiske rest teorem Eulers φ-funksjon og de multiplikative gruppene Z n Coset og kvotientgrupper Anvendelse: Kodeteori Anvendelse: Kryptografi Introduksjon til Fourieranalyse Komplekse tall Ortogonale vektorer Komplekse fourierrekker Fourieranalyse på abelske grupper Konvolusjonsteoremet med anvendelser Avsluttende kommentarer og perspektiv 59 Appendix A. Mengder og funksjoner 60 Date: August 29,

2 2 HANS MUNTHE-KAAS AUGUST 29, 2017 A.1. Mengder 60 A.2. Funksjoner 61 Appendix B. Euclids utvidete algoritme 62 Stikkordsliste Innledning Symmetri er begrep med dype røtter i naturen, fysikk, biologi, kunst, kultur og matematikk. I hverdagsspråk er symmetri en ikke presist definert betegnelse på harmoniske proporsjoner og ballanse. I matematikken er symmetriene til et objekt definert som en mengde av bevegelser (eller mer generelle transformasjoner ) som bevarer objektets form og egenskaper. Dette er en veldig generell ide som vi i løpet av de første forelesningene vil se kan beskrives presist ved hjelp av såkalt gruppeteori. Mengen av alle symmetriene til et objekt danner en gruppe. Gruppeteori startet gradvis som matematisk teori på begynnelsen av tallet gjennom studier av konkrete eksempler i tallteori, løsning av likninger og i geometri. Mot slutten av 1800 tallet utviklet det moderne abstrakte gruppebegrepet seg. I det 20 århundret utviklet gruppeteorien seg til en hjørnesten i matematikken, et emne som gjennomsyrer mange ulike grener av ren og anvendt matematikk, mekanikk, fysikk og kjemi. Gruppeteorien er en gren av matematikken der norske matematikere har vært sentrale. Niels Henrik Abel ( ) brukte gruppeteori for å forstå hvorfor det ikke er mulig å løse 5. gradslikninger med rotutdragninger. Sophus Lie ( ) utviklet gruppeteori for å forstå løsning av differensiallikninger som beskriver bevegelser og mekaniske systemer. Lies teorier er fundamentale i mange grener av fysikk. Ludwig Sylow ( ) gjorde grunnleggende arbeider om strukturen av (endelige) grupper. I det 20. århundre har Atle Selberg ( ) og Ernst Selmer ( ) gjort fundamentale matematiske arbeider som er relatert til gruppeteori. Ernst Selmer var professor i matematikk ved Universitetet i Bergen. Han laget bla. personnummersystemet i Norge og har fått sitt navn for evig knyttet til det som nå heter selmergruppen i tallteori. Også Abel, Lie og Sylow har fått sine navn knyttet til spesielle typer grupper (abelske grupper, Lie grupper og Sylow grupper er mer kjente norske oppfinnelser enn ostehøvelen!) Vi skal i dette kurset se på grupper og symmetrier i ulike sammenhenger. Vi starter med å se på symmetrier i 2-dimensjonale mønstre og figurer. Før vi går i gang med en matematisk beskrivelse vil vi la oss inspirere av noen eksempler: 1.1. Rosettsymmetrier. Dette er symmetriene vi finner f.eks. i gipsrosetter i tak rundt lysekroner, blomster, maneter og i mange andre sammenhenger. Rosettsymmetriene inneholder alltid rotasjonssymmetrier rundt et bestemt punkt, de kan inneholde speilingssymmetrier, men har ikke symmetri med hensyn på forskyvninger (translasjonssymmetrier). Her er to eksempler:

3 MATTESIRKELEN Begge disse her 3-fold rotasjonssymmetri om senterpunktet. Den venstre har også speilingssymmetrier om tre linjer gjennom sentrum, mens den høyre ikke har noen speilingssymmetri (den speilvendte figuren er forskjellig fra den originale) Frisesymmetrier. Friser betegner egentlig det horisontale feltet mellom søylegangen og taket på greske templer. Frisene var ofte dekorert med møstre som gjentok seg med horisontale forskyvninger. Frisegrupper betegner symmetriske mønstre i planet som inneholder symmetrier med hensyn på forskyvninger i én retning. Frisesymmetrier er symmetriene som vi ofte ser i rette border. Eksempler fra Wikipedia: 1.3. Tapetsymmetrier. Tapeter er typisk trykket med mønstre som gjentar seg både under vertikale forskyvninger og under forskyvninger horisontalt eller på skrå. Tapetgruppene er definert som symmetrier i planet som gjentar seg under forskyvninger i to ulike retninger. Disse finner vi i tapetmønstre, flislegginger og mosaikker og i krystaller. Eksempler fra arbeidene til den nederlandske grafikeren Maurits C. Escher

4 4 HANS MUNTHE-KAAS AUGUST 29, Vi vil bruke en del tid p a a klassifisere ulike symmetrier. De fleste er nok enige i at bildet av firfisler øverst til venstre ikke har samme symmetri som bildet av svaner

5 MATTESIRKELEN Figure 1. Addisjon av punkter i planet nede til høyre. Men har alle de tre første tegningene (firfisler, nisser og fugler) samme symmetri? Dette er litt vanskeligere å svare på, og det er heller ikke klart hva som menes med samme symmetri. Et annet spøsmål er hvor mange mulige ulike symmetrigrupper vi kan ha i planet. Igjen er dette ikke mulig å besvare uten å være mer presis på hva vi mener. 2. Isometrier i planet Alle eksemplene over er figurer som har symmetrier som består av stive bevegelser, dvs. bevegelser som vi kan gjøre ved å kombinere forskyvninger, rotasjoner og speilinger. Slike bevegelser kalles isometrier, som betyr avstandsbevarende bevegelser (iso-metri = likt mål ). Vi skal se spesielt se på isometrier i det 2-dimensjonale planet Tallplanet. Definition 2.1. Det Euklidske planet, eller tallplanet er mengden 1 som består av alle par av reelle tall R 2 : tpx 1, x 2 q x 1, x 2 P Ru Punkter i tallplanet skriver vi med fete typer, eksempler x p3, 4q y py 1, y 2 q, y 1, y 2 P R 0 p0, 0q (origo). Vi kan legge sammen og trekke fra hverandre punkt ved å legge sammen (trekke fra) hver koordinat: x y px 1, x 2 q py 1, y 2 q px 1 y 1, x 2 y 2 q. 1 Hver gang dere ser symboler eller notasjon dere ikke forstår, si fra enten i klassen eller med epost til hans@math.uib.no. Jeg samler opp alle disse kommentarene og lager en Appendix der ulik notasjon blir forklart.

6 6 HANS MUNTHE-KAAS AUGUST 29, 2017 Definition 2.2. Lengden av et punkt x px 1, x 2 q, definert som avstanden mellom x og origo, betegnes x og regnes ut ved Pythagoras setning som b x : x 2 1 x2 2. Avstanden mellom to punkt x px 1, x 2 q og y py 1, y 2 q er gitt som x y a px 1 y 1 q 2 px 2 y 2 q Isometrier. En isometri betyr en avstandsbevarende avbildning på et rom der vi har et avstandsmål. Vi skal studere isometrier på R 2. Definition 2.3. En isometri på R 2 er en funksjon f : R 2 Ñ R 2 slik at fpxq fpyq x y, for alle x, y P R 2. Eksempel 2.4. Eksempler på isometrier på R 2 : Identitetsavbildningen er avbildningen som sender alle punkt på seg selv Idpxq : x for alle x P R 2. Dette er opplagt en isometri fordi Idpxq Idpyq x y. Translasjon. For v P R 2 betegner τ v : R 2 Ñ R 2 translasjonen (forskyvningen) Dette er en isometri fordi τ v pxq τ v pyq x τ v pxq : x v. v y v x y. Rotasjon. For et punkt p P R 2 og en vinkel θ P r0, 2πq betegner ρ p,θ rotasjon en vinkel θ mot urviseren omkring punktet p. Spesielt for p 0 har vi formelen (1) ρ 0,θ pxq px 1 cos θ x 2 sin θ, x 1 sin θ x 2 cos θq. Er du enig i denne formelen? Hvis ikke, tegn en figur og sjekk at dette er rett! Øvelse: Sjekk at ρ 0,θ er en isometri ved å bruke formelen over. Speiling. For en rett linje L R 2 (ikke nødvendigvis gjennom origo) betegner σ L speiling om linjen L. Dersom L går gjennom origo og danner vinkelen θ med x-aksen

7 MATTESIRKELEN så er speilingen gitt ved formelen (sjekk!): (2) σ L pxq px 1 cos 2θ x 2 sin 2θ, x 1 sin 2θ x 2 cos 2θq. Øvelse: Sjekk at σ L er en isometri ved å bruke formelen over. Definition 2.5 (Funksjons-sammensetning). La f g betegne sammensetningen (bruk først g deretter f på resultatet). f gpxq : fpgpxqq. Sats 2.6. Hvis f og g er isometrier så er også f g en isometri. Bevis. Om både f og g er isometrier har vi f gpxq f gpyq fpgpxqq fpgpyqq gpxq gpyq x y. Vi ønsker å vise at alle isometrier på R 2 kan lages ved å sette sammen rotasjoner, translasjoner og speilinger. Om man tenker på stive forskyvninger av et papirark virker det som om dette er opplagt. Men for å være helt sikker må vi tenke oss om, det er ikke sikkert at intuisjonen er korrekt! Det er verd å merke seg at en isometri f er entydig bestemt om vi kjenner fpxq, fpyq og fpzq for tre punkt x, y, z som ikke ligger på en rett linje: Teorem 2.7. La x, y, z P R 2 være tre punkt som ikke ligger på en rett linje. Dersom f og g er to isometrier slik at fpxq gpxq, fpyq gpyq og fpzq gpzq, så er fppq gppq for alle p P R 2. Bevis. La x, y, z være punkter som ikke er på linje og la f og g være to isometrier som har samme verdi på disse tre punktene. Ved trekant-ulikheten følger at fpxq, fpyq og fpzq heller ikke kan ligge på linje (øving). La p P R 2 være et vilkårlig punkt. La r x p x fppq fpxq gppq gpxq og la tilsvarende r y, r z betegne avstandene mellom p og hhv. y og z. Både fppq og gppq må ligge på et skjæringspunkt mellom tre sirker med radier r x, r y, r z og sentre i hhv. fpxq, fpyq, fpzq. Figuren

8 8 HANS MUNTHE-KAAS AUGUST 29, 2017 viser at tre sirkler der sentrene ikke ligger på rett linje kan ha høyst ett felles punkt. Dermed må fppq gppq og vi konkluderer at f g. Teorem 2.8. En isometri f der fp0q 0 er enten en rotasjon om origo eller en speiling om en linje gjennom origo. Vi begynner med å vise en hjelpesetning, som i matematikken gjerne kalles et lemma, dvs. et resultat som bevises som hjelp i et større bevis. Lemma 2.9. Om f er en isometri slik at fp0q 0 så er fppq p for alle p. Bevis. Siden fp0q 0 har vi fppq fppq fp0q p 0 p. Bevis Teorem 2.8. La f være en isometri slik at fp0q 0. Velg x p1, 0q og la p være et vilkårlig punkt. Vi vil vise at f alltid sender 0, x og p på de samme tre punktene som enten en rotasjon eller en speiling gjør. I første omgang antar vi at p ikke ligger på x-aksen, slik at 0, x og p ikke er på linje. Fra Lemma 2.9 har vi at x og fpxq ligger på enhetssirkelen og fppq ligger på en sirkel C 1 med radius r p. Videre har vi at fppq fpxq p x r, så fppq ligger også på en sirkel C 2 med radius r og senter i fpxq. Siden p, x og 0 ikke ligger på rett linje er r så stor at sirklene C 1 og C 2 skjærer hverandre i to ulike punkt w og z.

9 MATTESIRKELEN Vi har to muligheter, enten er fppq w eller så er fppq z. Om fppq w lar vi ρ 0,θ være rotasjonen om origo som sender x på fpxq. Da må også ρ 0,θ ppq w, så f og ρ 0,θ er identiske på tre punkt og dermed er f ρ 0,θ. Om fppq z lar vi σ L betegne speiling om linjen som går gjennom origo og midt mellom x og fpxq. Her har vi σp0q 0, σpxq fpxq og σppq z. Nå har vi at f og σ L er like på tre punkt, og dermed f σ L. Til slutt merker vi oss at dersom p ligger på x-aksen så er σ L ppq ρ 0,θ ppq, så vi kan uansett velge samme svar som for punktene p som ikke ligger på x-aksen. Teorem Enhver isometri f kan skrives som enten f τ v ρ 0,θ eller som f τ v σ L der L er en linje gjennom origo. I begge tilfelle er v fp0q. I det første tilfellet sier vi at f er en jamn isometri, i det andre tilfellet sier vi at f er en odde isometri. Bevis. Gitt en isometri f og la v fp0q. La f r τ v f. Dette er en isometri slik at rfp0q 0. Dermed er enten f r ρ0,θ eller f r σl, og vi får f τ v f. r Et Korollar er et resultat som følger lett fra et Teorem.

10 10 HANS MUNTHE-KAAS AUGUST 29, 2017 Korollar Enhver isometri f på R 2 kan skrives på formen (3) fpxq pax 1 bx 2, cx 1 dx 2 q pv 1, v 2 q der ad bc 1, og hvor ac bd 1 for jamne isometrier og ad bc 1 for odde isometrier. Bevis. For f τ v ρ 0,θ bruker vi formelen (1), setter a cos θ, b sin θ, c sin θ og d cos θ som gir ad bc cos 2 θ sin 2 θ 1. For f τ v σ L bruker vi (2), setter a cos 2θ, b sin 2θ, c sin2θ og d cos2θ som gir ad bc cos 2 2θ sin 2 2θ 1. Merknad Jeg vil ikke bruke matrisenotasjon i disse forelesningene, siden jeg ikke forutsetter at dere har lært dette. Det er likevel fristende å skrive opp dette resultatet i matrisenotasjon: fpxq a b c d x1 x 2 v1 v 2 Ax v. Tallet ad bc : detpaq kalles determinanten til matrisen A. Formelen fpxq Ax v holder også for generelle isometrier på R n. I dette tilfellet er A en n n matrise hvor detpaq 1, 1 for jamne isometrier, 1 for odde. Fra Teorem 2.10 ser vi også at den inverse funksjonen f 1 til f eksisterer og er en isometri. Husk at f 1 er definert slik at f 1 f f f 1 Id, eller om du vil f 1 pfpxqq x og fpf 1 pxqq x. Vi har f τ v ρ 0,θ ô f 1 ρ 0, θ τ v f τ v σ L ô f 1 σ L τ v. La IsopR 2 q betegne mengden av alle isometrier på R 2. Vi oppsummerer noen viktige egenskaper til denne mengden: Teorem På mengden IsopR 2 q har vi operasjonen sammensetning : IsopR 2 q IsopR 2 q Ñ IsopR 2 q, som betyr at sammensetning tar inn to isometrier f, g og returnerer en isometri f g. Sammensetning av isometrier følger disse lovene: Assosiativitet: f pg hq pf gq h for alle f, g, h P IsopR 2 q. Identitet: Det eksisterer en isometri Id P IsopR 2 q slik at Id f f Id f for alle f P IsopR 2 q. Invers: For alle f P IsopR 2 q eksisterer en invers f 1 P IsopR 2 q slik at f f 1 f 1 f Id. Bevis. Vi har vist alt unntatt assosiativitet av funksjons sammensetning. Denne assosiative loven holder for alle funksjonssammensetninger, og vi lar beviset for dette være en øvingsoppgave. 3. Introduksjon til grupper og gruppevirkninger Vi har studert mengden av alle isometrier på planet R 2. Teorem 2.13 sier at isometrier med sammensetning f, g ÞÑ f g oppfyller alle egenskapene av hva vil nå vil definere som en (abstrakt) gruppe:

11 3.1. Det abstrakte gruppebegrepet. MATTESIRKELEN Definition 3.1 (Gruppe). En gruppe er en mengde G med en gruppeoperasjon ( produkt ) : G G Ñ G slik at følgende gjelder: Assosiativitet: a pb cq pa bq c for alle a, b, c P G. Identitet: Det finnes et element e P G slik at e a a e a for alle a P G. Invers: For alle a P G eksisterer en a 1 P G slik at a a 1 a 1 a e. Merknad 3.2. Definisjonen sier ingenting om hva disse elementene i G er, og hva de kan brukes til, som f.eks. at menden av isometrier i Iso R 2 kan brukes til å avbilde R 2 på seg selv. Denne informasjonen om hva gruppen kan brukes til kalles en gruppevirkning, og diskuteres i Avsnitt 3.3. Merknad 3.3. Hva slags navn vi bruker på gruppeoperasjonen, identitetselementet og den inverse varierer fra eksempel til eksempel. Ofte skriver vi gruppeoperasjonen uten prikk, abc i stedet for a b c. Når gruppen er en samling av funksjoner skriver vi det ofte som a b, og identitetsfunksjonen Id. Et annet eksempel er gruppen som består av heltallene Z t, 2, 1, 0, 1, 2, u hvor gruppeoperasjonen er sum, a b, identitetselementet er 0 og den inverse av a er a. For denne gruppen gjelder også a b b a (kommutativ regel), og slike kalles abelske grupper. Det er vanlig å bruke, og 0 for gruppeoperasjon og identitet i abelske grupper, men og 1 kan også brukes, f.eks. pr, q, positive relle tall med multiplikasjon er en abelsk gruppe med identitet 1. Definition 3.4 (Abelsk gruppe). En abelsk gruppe er en mengde G med en gruppeoperasjon : G G Ñ G slik at følgende gjelder: Assosiativitet: a pb cq pa bq c for alle a, b, c P G. Kommutativitet: a b b a for alle a, b P G. Identitet: Det finnes et element 0 P G slik at 0 a a for alle a P G. Invers: For alle a P G eksisterer en a P G slik at a a 0. Eksempel 3.5. Eksempler på grupper: IsopR 2 q Mengden av alle isometrier på R 2 danner en gruppe under funksjonssammensetning. pz, q Heltallene med addisjon og identitetselement 0 er en abelsk gruppe. pr 2, q Punktene i planet med addisjon som gruppeoperasjon og 0 (origo) som identitetselement er abelsk. pr, q Positive reelle tall med multiplikasjon er en abelsk gruppe med 1 som identitet. Rubiks kube. Alle tillatte operasjoner på Rubiks kube danner en gruppe. Muligens vil vi se nærmere på denne. Grupper av permutasjoner, dvs. omstokkinger av en liste av objekter. Et eksempel er alle mulige måter en kan stokke en kortstokk. Dette er en gruppe med 52! elementer. Addisjon modulo n. La n være et positivt heltall. La Z n t0, 1, 2, 3,..., n 1u. Vi lar x y mod n betegne addisjon modulo n, som betyr at vi tenker på Z n som en sirkel, og når vi legger sammen og får et svar utenfor Z n så finner

12 12 HANS MUNTHE-KAAS AUGUST 29, 2017 vi divisjonsresten ved deling av svaret med n, som gir et svar i n. Eksempel, klokkeslett er i Z 12 (eller Z 24 ). F.eks. er mod 12. pz n, mod nq er en abelsk gruppe. Multiplikasjon modulo primtall p. La Z p t1, 2, 3,..., p 1u Z p zt0u være alle ikke-null elementer i Z p. Om p er et primtall, så danner Z p en abelsk gruppe med operasjonen mod p, multiplikasjon mod p. Dette er ikke opplagt! Enheten er tallet 1 og den inverse er ikke så opplagt! Ta f.eks. p 7. Her har vi at mod 7, fordi 20{7 har 6 i rest. I Z 7 har vi mod 7, så dermed har vi Denne typen grupper er viktige i kryptografi. Muligens vil vi bruke en del tid på dette senere i kurset! For å regne ut den inverse i denne gruppen har vi god bruk for en algoritme som heter Euclids utvidete algoritme som er beskrevet i Appendix B. Om p er et primtall og 0 j p finner Euclid to tall s og t slik at sj tp 1. Dermed er sj 1pmodpq, og vi har at j 1 s Homomorfier og isomorfier. Hva betyr det at to grupper er like? Eksempel 3.6. Se på gruppen pz 2, mod 2q der vi har 0 0 0, og (alt mod2). En annen gruppe er C 2 t1, 1u med multiplikasjon 1 1 1, 1 p 1q 1, p 1q p 1q 1. Multiplikasjonstabellene for disse to gruppene er: Z 2 : C 2 : Det ser ut som om disse gruppene er helt like, bortsett fra navnet på elementene og navnet på gruppeoperasjonen. Med identifikasjonen 0 Ø 1, 1 Ø 1 og Ø er de to tabellene identiske. Om vi lar funksjonen ϕ: Z 2 Ñ C 2 være gitt ved ϕp0q 1, ϕp1q 1 så ser vi at ϕ bevarer gruppeproduktet, ϕpx yq ϕpxq ϕpyq for alle x og y. Dette kalles en homomorfi. Når funksjonen i tillegg er inverterbar så kalles den en isomorfi. En isomorfi mellom to grupper betyr at de to gruppene (abstrakt sett) er like, det eneste som skiller dem er navnet på elementene og eventuelt navnet på gruppeoperasjonen. Definition 3.7 (Homomorfi). Gitt to grupper pg, q og ph, q. funksjon ϕ: G Ñ H slik at ϕpu vq ϕpuq ϕpvq for alle u, v P G. En homomorfi er en Oppgave 3.8. Vis at om ϕ: G Ñ H er en homomorfi, så må den sende identitetselement på identitetselement, ϕpe G q e H og invers på invers ϕpu 1 q ϕpuq 1, så homomorfier bevarer all gruppestruktur. Eksempel 3.9. Vis at funksjonen ϕpxq 2x er en homomorfi fra Z 3 inn i Z 6. Vis at funksjonen φpxq x mod 3 er en homomorfi fra Z 9 på Z 3. Husk at en funksjon ϕ: G Ñ H er inverterbar hvis den definerer en 1 1 (en-til-en) sammenheng mellom elementene i G og H. Dvs. hvert element h P H nås som h ϕpgq for ett og bare ett element g P G. Den inverse funksjonen er ϕ 1 : H Ñ G, slik at ϕ ϕ 1 ϕ 1 ϕ Id. Ingen av funksjonene i Eksempel 3.9 er inverterbare. Den første, ϕ: Z 3 Ñ Z 6 avbilder ikke til alle elementene i Z 6 og den andre φ: Z 9 Ñ Z 3

13 MATTESIRKELEN sender flere punkt på samme punkt. Se diskusjon om funksjoner og inverse funksjoner i Appendiks A. Definition 3.10 (Isomorfi). En homomorfi som er inverterbar kalles en isomorfi, og om en slik eksisterer sier vi at G og H er isomorfe ( lik form ), dvs. de er like bortsett fra navnet på elementene. Oppgave Vis at pr, q og pr, q er isomorfe. Hint: Bruk eksponensial og logaritme. Oppgave La pz 5, q være den multiplikative gruppen av 1,2,3,4 under multiplikasjon modulo 5. Vis at denne gruppen er isomorf med pz 4, mod 4q. Hint: Se på multiplikasjonstabellen for de to gruppene. Det er flere ulike måter å lage en isomorfi mellom disse gruppene. Oppgave La pg, q være en gruppe og g P G et utvalgt element. Vis at funksjonen φ g : G Ñ G gitt ved φ g pxq g x g 1 for alle x P G definerer en isomorfi av G på seg selv. Dette kalles konjugasjon og er en operasjon vi vil se er viktig for symmetrier i planet og i andre sammenhenger (f.eks. i løsningen av Rubik s kube) Gruppevirkninger. Som vi bemerket i Merknad 3.2, så sier den abstrakte definisjonen av en gruppe pg, q ikke noe om hva elementene i G er, og hva de kan brukes til. F.eks. isometrier f, g P IsopR 2 q kan settes sammen f g og de kan inverteres f 1. Gruppedefinisjonen forholder seg bare til disse operasjonene. I tillegg kan isometriene brukes til å avbilde punkter i planet, x ÞÑ fpxq. Dette kalles en gruppevirkning av gruppen IsopR 2 q på mengden R 2. I den abstrakte definisjonen skriver vi gruppevirkningen som en prikk nede, f.x heller enn fpxq. Dette fordi vi ikke alltid ønsker å tenke på G som en samling av funksjoner. I konkrete eksempler som IsopR n q skriver vi gjerne fpxq for gruppevirkningen. Definition La pg, q være en gruppe og M en mengde. En gruppevirkning er en funksjon : G M Ñ M, som betyr at for alle g P G og alle x P M så er g.x P M. Gruppevirkningen må tilfredstille: Enhets elementet e P G virker som identitetsavbildning på M: e.x x for alle x P M. Produktet i G representerer sammensetning av virkningen slik at pg hq.x g.ph.xq for alle g, h P G og alle x P M. Eksempel Fra definisjonen av funksjonssammensetning f g følger at f.x : f pxq er en gruppevirkning av IsopR 2 q på R 2. Eksempel Gruppen G pr 2, q virker på seg selv M R 2 ved translasjoner v.x : v x. (Dette har vi tidligere også skrevet som τ v pxq.)

14 14 HANS MUNTHE-KAAS AUGUST 29, 2017 Eksempel Enhver gruppe pg, q virker på seg selv med multiplikasjon fra venstre g.x : g x. Alle grupper virker også på seg selv ved multiplikasjon fra høyre g.x : x g 1, men hvorfor må jeg ha invers på g? (Sjekk definisjonen!) Alle grupper kan også virke på seg selv ved konjugasjon g.x : g x g 1. Eksempel La pg, q være en gruppe og M en mengde. Funksjonen g.x x for alle g P G og x P M er en gruppevirkning som ikke er så spennende. Denne kalles den trivielle virkningen, og den gjør ingenting med M. Eksempel La G pr, q, de positive reelle tallene med multiplikasjon som gruppeoperasjon. Denne gruppen virker på R 2 ved skaleringer, definert for r P R og x px 1, x 2 q P R 2 som r.x prx 1, rx 2 q Symmetrier. Vi skal bruke en del tid på å diskutere symmetrier for mønstre i planet. Definition 3.20 (Generelle symmetrier). La pg, q være en gruppe som virker på en mengde M og la X M være en delmengde. Vi sier at gruppen G er symmetrier for X dersom g.x X for alle g P G, der g.x betegner mengden g.x tg.x x P X u. Uttrykket g.x X betyr at for alle x P X så er g.x P X og alle y P X kan skrives som y g.x for en x P X, med andre ord symmetrien x ÞÑ g.x er en 1 1 (invertibel) funksjon fra mengden X på seg selv. Hovedeksemplet vårt er gruppen G IsopR 2 q som virker på R 2. For f P G og x P R 2 er gruppevirkningen en isometri x ÞÑ fpxq. Vi kan tenke på et mønster X M ved at X består av alle svarte punkter i et bilde, og de andre punktene MzX er hvite. En isometri f slik at fpx q X er da en (isometrisk) symmetri for figuren X. Isometrier er i utgangspunktet invertible funksjoner på R 2, så symmetri betyr: Definition 3.21 (Isometriske symmetrier). En isometri f P IsopR 2 q er en symmetri for en svart-hvit figur X R 2 dersom fpxq P X hvis og bare hvis x P X. Om f er en symmetri for X så er også f 1 en symmetri, og om f, g er symmetrier, så er også f g en symmetri, så mengden av alle symmetrier danner en gruppe G som vi kaller den isometriske symmetrigruppen til X. Vanligvis sier vi bare symmetrigruppen.

15 MATTESIRKELEN Klassifikasjon av isometrigrupper I dette kapittelet skal vi studere isometriske symmetrier for figurer i R 2, så når vi i dette avsnittet snakker om symmetrier mener vi en gruppe av isometrier i planet. Hva betyr det at to figurer har de samme symmetriene? Eksempel 4.1. Se på de to stjernene i denne figuren, Kall den svarte stjernen for X og den grå for X 1. Sammenhengen mellom disse er at X 1 fpx q der f τ p2,2q ρ 0,72 o (rotasjon 72 o etterfulgt av translasjon med p2, 2q). De to stjernene har klart de samme symmetriene, selv om X har symmetrier som er speilinger om linjer gjennom origo og X 1 har symmetrier som er speilinger om linjer utenfor origo. Vi kan forklare at disse symmetrigruppene er like samtidig som de ikke er identiske på to forskjellige måter. Den første forklaringen er at om vi lar G være den konkrete gruppen av isometrier som bevarer X og G 1 isometriene som bevarer X 1, så ser vi at g P G er en symmetri for X hvis og bare hvis f g f 1 P G 1 er en symmetri for X 1. Vi kan se dette geometrisk eller ved regning: Om gpx q X og fpx q X 1 så har vi at f g f 1 px 1 q fpgpx qq fpx q X 1, og tilsvarende om f g f 1 px 1 q X 1 så følger at gpx q X. Vi har vist i Øving 3 at funksjonen φ f pgq : f g f 1 : IsopR 2 q Ñ IsopR 2 q er en isomorfi. Dermed er G og G 1 er isomorfe grupper, dvs. abstrakt sett samme gruppe. Den andre forklaringen er at vi kan la symmetrigruppen være abstrakt definert, ved generatorer og relasjoner G D 5 xa, b a 5 b 2 abab ey

16 16 HANS MUNTHE-KAAS AUGUST 29, 2017 og så kan vi la denne abstrakte gruppen virke på R 2 på to ulike måter. Vi lar en gruppevirkning g.x være definert ved α.x : ρ 0,72 opxq β.x : σ y pxq (rotasjon 1/5 omdreining om origo) (speiling om y-aksen) og vi kan la en annen gruppevirkning være g x : fpg.f 1 pxqq. Da har vi at g.x X og g X 1 X 1 for alle g P G. I dette kapittelet velger vi å la gruppene våre være konkrete grupper av isometrier, og vi definerer samme symmetri ved: Definition 4.2. Vi sier at to mønstre X, X 1 R 2 har de samme symmetriene hvis de har isomorfe symmetrigrupper. Vi ønsker å klassifisere undergrupper G IsopR 2 q opp til isometrier. Vi kan begynne å stille spørsmål om hvilke translasjoner G inneholder. Translasjonen τ 0 Id kalles den trivielle, og må alltid være med, men den er ikke en skikkelig translasjon. Når vi spør om gruppen inneholder translasjoner, mener vi ikke denne trivielle. Det samme også med rotasjoner, 0 o rotasjon er ikke skikkelig. En veldig grov klassifikasjon kan vi gjøre ved å svare på disse spørsmålene: (1) Har G noen translasjoner? (2) Hvis ja på (1), finnes det en korteste translasjon i G? (3) Hvis ja på (1) og (2), finnes det translasjoner i to ulike retninger? Om vi har nei på (1) har vi rosettgruppene, som vi skal se består av rotasjoner om ett punkt og eventuelt speilinger om en linje gjennom dette punktet. Om vi svarer ja på (1) og nei på (2), så betyr dette at vi har en kontinuerlig undergruppe av translasjoner i G. Dette er f.eks. gruppen av symmetrier for en uendelig rett linje, der alle translasjoner i retningen av linjen er en symmetri. Slike kontinuerlige undergrupper av isometrier utelater vi fra den videre diskusjonen. Om vi har ja på (1) og (2) og nei på (3), så har vi en symmetrigruppe for figurer som har repeterende mønstre kun i én retning. Disse kalles frisegruppene, og tilslutt, om vi har ja på alle tre spørsmålene, så har vi en tapetgruppe (eller krystallografigruppe) som er symmetrier til et mønster som gjentar seg i to ulike retninnger Leonardos teorem og rosett-gruppene. Vi ønsker å forstå alle endelige isometrigrupper, dvs. undergrupper av IsopRq som kun inneholder et endelig antall elementer. Husk at den sykliske gruppen C n og den dihedrale gruppen D n er: C n xa a n ey D n xa, b a n b 2 abab ey. Den sykliske gruppen er gruppen generert av en enkelt rotasjon en vinkel 2π{n rundt et punkt. Den dihedrale gruppen er generert av en enkelt rotasjon en vinkel 2π{n rundt et punkt og en speiling om en linje gjennom samme punkt. Leonardo da Vinci fant ut: Teorem 4.3 (Leonardo). Alle endelige undergrupper G C n eller D n. IsopR 2 q er isomorfe med enten

17 MATTESIRKELEN I resten av dette avsnittet skal vi vise at dette er korrekt, ved å bevise en del enklere resultater ( Lemma ). Vi antar i det følgende at G IsopR 2 q er en endelig gruppe av isometrier i planet. Lemma 4.4. G kan ikke inneholde skikkelige translasjoner, τ v der v 0. G kan heller ikke inneholde skikkelige glidespelinger, τ v σ L der v 0 og v er parallell med L. Proof. En skikkelig translasjon τ v, for v 0 må generere en uendelig undergruppe av translasjoner tτ nv u npz. En glidespeiling f τ v σ L genererer også en uendelig gruppe siden f 2 τ 2v. Lemma 4.5. G kan kun inneholde rotasjoner og speilinger. Bevis. I øving 4 viser vi at de eneste isometriene som ikke er translasjon og ikke glidespeiling er de som enten er en rotasjon om et punkt og de som er en speiling om en linje. Med ordenen til et gruppeelement g P G mener vi minste heltall n slik at g n e. Speilinger har orden 2 og rotasjoner om en rasjonal vinkel 2πm{n der gcdpn, mq 1 har orden n. Rotasjoner om en irrasjonal vinkel har uendelig orden og kan ikke forekomme i G. Lemma 4.6. Om G er generert av en rotasjon av orden n, så er den også generert av en rotasjon en vinkel 2π{n om samme punkt. er forkortet mest mulig Bevis. La R n : ρ m v,2πn{m. Anta at G xr n y, der brøken n m m slik at gcdpm, nq 1. La s og t være heltall slik at sm tn 1 gcdpm, nq (se Appendix B). Siden tn 1 mod m, har vi at R t n m, dermed er fra R n m. Men vi har også at R n m Rn 1 m R tn m G xr n y xr m 1 y. m R 1 m Lemma 4.7. Alle rotasjoner i G må være rundt samme punkt., så vi kan generere R 1 m Bevis. Om det kun er en skikkelig rotasjon så er dette sant. Om den har to rotasjoner om ulike punkt ρ ρ v,θ og ρ 1 ρ 1 v 1,θ, så har vi at ρ 1 1 ρ 1 ρ 1 ρ må være en rotasjon en 1 vinkel θ θ 1 θ θ 1 0 o sammensatt med en translasjon, dvs. det er kun en translasjon. Men den eneste translasjonen i G er den trivielle Id, så vi må ha ρ 1 1 ρ 1 ρ 1 ρ Id. Vi har derfor ρ 1 1 ρ 1 ρ 1 ρpvq v som gir ρ 1 1 ρ 1 ρ 1 pvq v og dermed ρ 1 pvq ρpρ 1 pvqq. Det eneste punktet som holdes i ro av ρ er v, så vi konkluderer at ρ 1 pvq v. Dermed er de to rotasjonene om samme punkt v. Lemma 4.8. Om G er generert av to rotasoner, så er den også generert av én rotasjon. Bevis. Anta at G er generert av to rotasjoner. Fra Lemma 4.6 og Lemma 4.7 kan vi anta G xr 1, R 1 y, hvor R 1 : ρ v,2π{n. La g, s og t være tre heltall slik at n m n sm tn g gcdpm, nq. La M mn{g være minste felles multiplum av m og n. Da har vi at R 1 n t m R sm tn R 1. M s R 1 m t R s n nm

18 18 HANS MUNTHE-KAAS AUGUST 29, 2017 m g Vi har også at R 1 M og på samme måte er Dermed er R 1 M n g R g mn m g R g mn n g R 1 n R 1. m G xr 1, R 1 y xr 1 y. n m M Dermed vet vi at om G ikke inneholder odde isometrier, så kan den kun inneholde rotasjoner, og vi har fra resultatene over at G må kunne genereres av kun én rotasjon. Så en endelig isometrigruppe i planet uten odde isometrier er isomorf med den sykliske gruppen, G C n for en eller annen n. Det gjenstår å se hva som skjer om G inneholder odde isometrier. Vi lar det være en øvingsoppgave å vise at dersom w 1 0 ikke er parallel med L så er f 1 τ 1 w σ L σ L 1 (speiling om en linje L 1 som ikke går gjennom origo). Dersom w 1 0 er parallel med L kalles f 1 en glidespeiling. Gruppen G kan ikke inneholde en glidespeiling, fordi denne genererer en uendelig gruppe. Dermed må en odde isometri i G være en speiling om en linje. Lemma 4.9. Om G er generert av to speilinger så er den også generert av én speiling og en rotasjon om et punkt på speilingslinjen. Bevis. La G xσ L, σ L 1y. Dersom L og L 1 er parallelle så er σ L σ L 1 en translasjon vinkelrett på L, avstand det dobbelte av avstanden mellom L og L 1. Dette er ikke mulig, ettersom G ikke inneholder translasjoner. Så L og L 1 må ha et felles punkt v. Da er σ L σ L 1 ρ v,2θ, der θ er vinkelen mellom L og L 1. Men da har vi at σl 1 σ L ρ v,2θ, så vi konkluderer G xσ L, σly 1 xσ L, ρ v,2θ y. Lemma Om G xρ v,θ, σ L y er generert av en skikkelig rotasjon om v og en speiling om en linje L, så må v være et punkt på L. Bevis. La ρ ρ v,θ og σ σ L. Se på σ ρ σ ρ. Vi har at ρ σ σ ρ 1, der ρ 1 ρ w, θ (motsatt rotasjon om et muligens annet punkt). Vi vet dermed at σ ρ σ ρ har total rotasjon 0, og siden den har to speilinger, så må det være en translasjon. Men den eneste translasjon i G er den trivielle τ 0 e, så σ ρ σ ρ e. Men hvis θ 0 og v R L, så er det rett fram å sjekke (tegn figur) at σ ρ σ ρpvq v. Dette er en selvmotsigelse, og vi slutter at v P L. Nå har vi alt vi trenger for å fullføre beviset:

19 MATTESIRKELEN Bevis Leonardo. G er en endelig gruppe og har dermed et endelig antall generatorer. Disse må være speilinger eller rotasjoner. Om generatormengden har flere rotasjoner har vi sett at vi kan erstatte disse med én. Om generatormengden har flere speilinger har vi sett at vi kan erstatte disse med en speiling og en rotasjon. Og om den inneholder en speiling og en rotasjon vet vi at rotasjonen må være om et punkt på speil linjen. Dermed er G C n hvis den ikke inneholder odde isometrier og G D n dersom den inneholder odde isometrier. Vi har tidligere diskutert at dersom f P IsopR 2 q så er en gruppe G isomorf med en gruppe G 1 f g f 1 g P G (. Ved å velge f kan vi alltid flytte rotasjonssentrum til origo, og vi kan alltid rotere slik at speilingsaksen er y-aksen. Dermed: Korollar En endelig undergruppe G følgende: der σ y er speiling om y-aksen Frisegruppene. xρ 0,2π{n y C n xρ 0,2π{n, σ y y D n, Definition Frisegruppene er undergruppene G (1) G har translasjoner kun i én retning. (2) G inneholder en korteste skikkelig translasjon. IsopR 2 q må være isomorf med en av de IsopR 2 q som tilfredstiller: Dette betyr at et mønster som har frisegruppesymmetri har gjentakelse i én retning, og at det er en minste avstand for denne gjentakelsen. For eksempel er gruppen som består av alle translasjoner i x-retningen ikke en frisegruppe fordi det her ikke er en korteste translasjon, og et mønster som består av en samling av horisontale linjer har symmetrier som ikke er en frisegruppe. Husk at definisjonen av symmetriene til en figur er slik at similaritetstransformasjoner (dvs. translasjoner, rotasjoner forstørrelser og forminskninger) av figuren gir samme (isomorfe) symmetrigrupper. Vi vil klassifisere frisegrupper opp til similaritetstransformasjoner på R 2. At vi har lov til å skalere og rotere betyr at vi kan anta at G har kun translasjoner i x-retningen og at den korteste translasjon er translasjon en avstand 1 i x-retningen. Men vi har fortsatt ikke brukt opp ekvivalens under translasjoner, så i tillegg har vi frihet til å velge origo hvor vi vil i planet. I resten av dette avsnittet lar vi G IsopR 2 q være en undergruppe som kun har translasjoner i x-retningen, med korteste translasjon avstand 1. La τ 1 betegne denne korteste translasjonen, τ 1 ppx, yqq : px 1, yq. Lemma Alle translasjonene i G er generert av τ 1. Bevis. Anta at vi har to translasjoner τ 1 og τ 1 ppx, yqq px r, yq der r P R. Anta at r ikke er et heltall, r n r 1, der n P Z og 0 r 1 1. Da er τ 1 n τ 1 en translasjon

20 20 HANS MUNTHE-KAAS AUGUST 29, 2017 avstand r 1, dvs. kortere enn τ 1. Vi konkluderer at r må være heltall. Men om r er heltall, så er τ 1 er generert av τ 1, fordi τ 1 τ1 r. Lemma De eneste isometriene G muligens kan inneholde er Heltallige translasjoner i x-retningen, τ1 n for n P Z. σ H : Speilinger om en horisontal linje. σ V : Speilinger om en vertikal linje. γ H : Glidespeiling om en horisontal linje. ρ 2 : Rotasjoner 180 o om et punkt (2-fold rotasjon, slik at ρ 2 2 Id). Bevis. Alle odde symmetrier er enten speilinger eller glidespeilinger. Om γ er en glidespeiling langs en linje er γ 2 translasjon langs linjen, dermed må linjen være horisontal. Om σ er en speiling om en linje L som danner vinkelen θ med x-aksen, så er σ τ 1 σ translasjon avstand 1 langs en linje som danner vinkelen 2θ med x-aksen, dvs. de eneste tillatte θ er 0 o og 90 o. Om ρ θ er rotasjon vinkel θ om et punkt, så er ρ θ τ 1 ρ 1 θ en translasjon avstand 1 langs en linje som danner vinkel θ med x-aksen, så θ 180 o er de eneste tillatte skikkelige rotasjonene. La bokstavene H, V, G, R bety at G inneholder henholdsvis σ H, σ V, γ H eller ρ 2. Så HV betyr at den inneholder både en horisontal og en vertikal speiling, etc. Eksempel Under er syv ulike frise-symmetrier. Vi skal etterhvert se at disse er prototyper på de eneste frisesymmetriene vi kan ha. Lemma Om G inneholder H så inneholder den også G. Om G inneholder V R så inneholder den også G. Om G inneholder RG så inneholder den også V. Om G inneholder GV så inneholder den også R. Bevis. Om σ H P G så er γ H τ 1 σ H P G. Om σ V, ρ 2 P G, så er σ V ρ 2 σ H dersom senter i ρ 2 ligger på speilingslinja i σ V, ellers er σ V ρ 2 γ H. Om ρ 2, γ H P G så er σ V γ H ρ 2 P G. Om γ H, σ V P G så er ρ 2 γ H σ V P G. (Øving: sjekk de to siste med en figur!) Lemma Frisegruppene må tilhøre en av de syv klassene ingen, V, R, G, HG, VRG eller HVRG.

21 MATTESIRKELEN Bevis. Vi har 16 mulige kombinasjoner av disse bokstavene: ingen, H, V, R, G, HV, HR, HG, VR, VG, RG, VRG, HRG, HVG, HVR, HVRG. Om vi bruker reglene i Lemma 4.16 reduserer dette seg til kun de syv klassene. Vi må merke oss at vi nå har etablert at det er syv hovedklasser av frisegrupper, men vi vet ennå ikke at det kun er en gruppe i hver klasse, så vi må jobbe litt til! Lemma Det er nok å ha med én generator av typene σ H, σ V, γ H eller ρ 2 i symmetrigruppen, dvs. om σh 1, σ1 V, γ1 H og ρ1 2 er isometrier av samme typer har vi xτ 1, σ H, σ 1 Hy xτ 1, σ H y xτ 1, σ V, σ 1 V y xτ 1, σ V y xτ 1, γ H, γ 1 Hy xτ 1, γ H y xτ 1, ρ 2, ρ 1 2y xτ 1, ρ 2 y. Bevis. G kan ikke inneholde to ulike horisontale refleksjoner σ H σh 1, fordi da gir σ H σh 1 en translasjon i y-retningen. Dermed må σ H σh 1, og den første likningen følger trivielt. Om G inneholder to ulike vertikale refleksjoner σ V σv 1 så blir sammensetningen en horisontal translasjon σ V σv 1 τ 1 n. Følgelig er σ1 V σ V τ1 n, og vi kan utelate σv 1 fra generatorene. Nøaktig samme argument holder for to ulike glidespelinger γ H γh 1. Anta at G har 180o -rotasjoner ρ 2 og ρ 1 2 med sentre i to ulike v og v1. Da er sammensetningen en translasjon ρ 1 2 ρ 2 τ w, der w 2pv 1 vq. Vi må ha τ w τ1 n og følgelig er ρ 1 2 τ 1 n ρ 2, og vi kan utelate ρ 1 2 fra generatorsettet. La γ 1 være den spesielle glidespeilingen der forskyvningen er langs x-aksen, 1 γ 1 ppx, yqq px 2 2, yq. Om G er generert av en glidespeiling har vi to muligheter, enten at glidespeilingen kan erstattes med γ 1, eller at den kan erstattes med σ H i generatorsettet: 2 Lemma Hvis G xτ 1, γ H y så har vi en av følgende muligheter G xτ 1, σ H y G xγ 1 y. 2 Bevis. Først flytter vi origo slik at γ H har glidespeil langs x-aksen. Vi har at γh 2 må være en horisontal heltallig translasjon, som gir to muligheter, par- eller oddetallig translasjon: γh 2 τ1 2n γh 2 τ1 2n 1. I det første tilfellet er γ H τ1 n σ H. I det andre tilfellet er γ H τ1 n γ 1, men vi har 2 også at τ 1 γ 2 1, dermed er det ikke nødvendig å ta med τ 1 i generatorsettet i dette 2 tilfellet. Vi har i utgangspunktet brukt similaritet under rotasjon og skalering til å kun betrakte frisegrupper der translasjonene er generert av enhets translasjonen i x-retningen, men vi har ennå ikke brukt similaritet med translasjoner. Tar vi også med translasjonene

22 22 HANS MUNTHE-KAAS AUGUST 29, 2017 finner vi at alle de syv klassene er similære med en unik av 7 standardeksempler. La σ x betegne speiling om x-aksen, σ y speiling om y-aksen og ρ 0,2 være 2-fold (180 o ) rotasjon om origo. Teorem Opp til similaritet finnes det syv ulike frisegrupper. Klassene i Lemma 4.17 er similære med følgende syv standard frisegrupper: ingen : G 1 xτ 1 y V: G 2 xτ 1, σ y y R: G 3 xτ 1, ρ 0,2 y G: G 4 xγ 1 y 2 HG: G 5 xτ 1, σ x y VRG: G 6 xσ y, γ 1 y 2 HVRG: G 7 xτ 1, σ x, σ y y. Bevis. I klassen ingen er dette opplagt. I klassen V kan vi forskyve slik at den vertikale speilingsaksen faller sammen med y-aksen, og for H kan vi forskyve til x-aksen. Tilfellet G har glidespeiling men ikke speiling, og fra Lemma 4.19 følger at vi kan erstatte glidespeilingen og τ 1 med γ 1. Tilfellet HG har både glidespeiling og speiling, 2 og Lemma 4.19 gir at det er nok å ta med speilingen i generatorsettet. De to siste tilfellene inneholder VRG. Her følger fra Lemma 4.16 at rotasjonen kan lages fra G og V, og dermed kan rotasjonen fjernes fra generatorsettet. I tilfellet VRG kan vi erstatte τ 1 og γ H med γ 1, og vi kan flytte origo slik at generatorene blir σ y og γ 1. I tilfellet 2 2 HVRG kan vi fjerne rotasjonen og glidespeilingen fra generatorsettet og flytte origo slik at generatorene blir τ 1, σ x, σ y. Merk at G 1 og G 7 begge er generert av kun ett element som har uendelig orden, dvs. τ n Id for alle n 0. Dermed er disse isomorfe som grupper, G 1 G 4 Z, der Z er heltallene under addisjon. At vi likevel regner G 1 og G 4 som forskjellige symmetrigrupper er fordi det ikke finnes noen similaritetstransformasjon som gir en isomorfi mellom disse Tapetgruppene. Definition En tapetgruppe er en undergruppe av IsopR 2 q som inneholder translasjoner i to ulike retninger, og som har en korteste skikkelig translasjon. Tapetgruppene dukker opp i mange sammenhenger i naturen og klassiske ornamenter og mosaikker. Historien om disse mønstrene er flere tusen år gamme. Men det var først i 1891 at den fullstendige klassifikasjonen av tapetgruppene ble bevist av Evgraf Fedorov: Teorem 4.22 (Tapetgruppene). Det finnes nøyaktig 17 forskjellige (ikke-isomorfe) tapetgrupper. Figur 4.3 (fra Wikipedia) er en guide til å forstå disse 17 gruppene. Gruppene er her markert med to ulike navn. Det første, p6m p6,p4m,..., er navnet som brukes på denne typen grupper i 2D og 3D i krystallografi og heter IUC navnet, etter International Union of Crystallography. Det andre navnet *632, 632, *442,... kalles orbifold notasjon og er en ganske ny notasjon introdusert av John H. Conway (1992,2008). Under vil vi

23 MATTESIRKELEN Figure 2. Kortfattet guide til tapetgruppene. forklare disse notasjonene. Orbifold notasjonen har vist seg å være svært nyttig, så vi vil benytte dette som vår hovednotasjon. For å forstå disse 17 gruppene i mer detalj gir vi en utvidet tabell i Figur 4.3 som viser eksplisitt hvordan disse gruppene ser ut. Her er det grå området gruppens enhetscelle, som betyr at mønsteret i dette firkantede området (kvadrat, rektangel eller rombe) gjentar seg med translasjoner i to retninger. Det gule området er et fundamentalområde for symmetrigruppen. Det betyr at hele mønsteret kan reproduseres fra det gule området ved å bruke gruppeoperasjonene (rotasjoner, speilinger, translasjoner og glidespeilinger), og at om vi bruker gruppeoperasjonene på fundamentalområdet så dekker vi hele R 2 med overlapp kun på områdets kanter. Navnsetting: IUC navnet (lang form) består av 4 tall og bokstaver, som f.eks. p2mg, c4mm etc. Det begynner med en bokstav som beskriver typen av enhetscelle, i 2D er dette enten p (primitiv) eller c (sentrert), i 3D er det flere muligheter, men jeg forklarer ikke dette, fordi jeg ikke forstår helt hvordan det er tenkt(!) Så kommer et siffer n som angir høyeste orden av rotasjonssymmetri. Så kommer to bokstaver/tall som er enten g, m eller 1. Disse angir mulige glidespeilinger og speilinger, hvor 1 indikerer at det ikke er en slik (glide)-speiling. Den første bokstaven indikerer (glide)-speiling vertikalt (i forhold til angitt enhetscelle), mens den andre angir en horisontal eller skrå (glide)-speiling. F.eks. p31m har 3-fold rotasjon, ikke vertikal speiling og den har horisontal speiling. Likeledes har p2gg rotasjon orden 2, og glidespeilinger i to retninger. IUC navnet skrives vanligvis i en kortform der man utelater noen bokstaver/tall, dersom det ikke er mulig å forveksle med andre navn, f.eks. p2gg - pgg, p211 - p2. Om dette synes komplisert, kan jeg trøste med at vi vil bruke orbifold notasjonen. Orbifold navnet er et ord laget av naturlige tall (1, 2, 3, 4, 5, 6,...), stjerne, en sirkel og et kryss. Symbolet kalles hank og er et spesielt symbol som vi bruker bare for å angi gruppen som bare har translasjoner, ingen rotasjoner, speilinger eller glidespeil. Stjernen angir at vi har en speiling og kryss angir et glidespeil som ikke

24 24 HANS MUNTHE-KAAS AUGUST 29, 2017 kan lages fra et speil og en translasjon i symmetrigruppen. Heltallene angir ordenen på rotasjoner. Om et heltall staar før betyr det at rotasjonen er om et punkt som ikke ligger på en speilingslinje, og om tallet står etter så er det en rotasjon om et punkt paa en speilingslinje. Se på Figur 4.3 for å forstå systemet. Du kan legge merke til at alle leddene i orbifoldnavnet tilsvarer en operasjon på kanten (eller hjørnet) av fundamentalområdet. F.eks. 333 angir symmetrier som genereres av en speiling og tre 120 o rotasjoner som alle ligger på speilingslinjer, mens 3 3 har et speil, og to 120 o rotasjoner hvorav en ligger på speilingslinjen og den andre utenfor. Vi skal etterhvert se litt nærmere på hvorfor vi har akkurat 17 tapetgrupper. Conway forklarte dette med en orbifoldbutikk hvor du kan kjøpe et orbifoldord Studer Figur 4.3 og finn navnet på de 9 figurene (Escher tegningene) i Kapittel 1.3 (RESTEN AV DETTE KAPITTELET HENVISES TIL CONWAY SIN BOK.)

25 MATTESIRKELEN Figure 3. Tapetgruppene med enhetscelle (grå) og fundamentalområde (gul).

26 26 HANS MUNTHE-KAAS AUGUST 29, Abelske grupper I dette kapittelet skal vi se spesielt på abelske grupper og noen anvendelser av disse. Som vi så i Definisjon 3.4 sier vi at en gruppe er abelsk om gruppeoperasjonen er kommutativ, a b b a eller a b b a (avhengig av om vi skriver gruppeoperasjonen som en sum eller et produkt). I Eksempel 3.5 så vi følgende abelske grupper: Heltallene pz, q, punktene i planet pr 2, q, positive tall med multiplikasjon pr, q, n punkter på en sirkel pz n, q og for p primtall har vi gruppen pz p, q som består av tallene t1, 2,..., p 1u under multiplikasjon modulo p. Vi kan ta med noen flere eksempler: Eksempel 5.1. Flere abelske grupper: Den multiplikative gruppen av heltall mod n: For ethvert heltall n kan vi la mengden Z n bestå av alle tall 0 j n som er relativt primske med n, dvs. gcdpj, nq 1. Lar vi så være multiplikasjon modulo n blir dette en abelsk gruppe pz n, q. For eksempel for n 12 er Z 12 t1, 5, 7, 11u en gruppe under multiplikasjon mod 12, der multiplikasjonstabellen er: Sirkelen: Gruppen T er punktene i intervallet r0, 1q (alle 0 x 1) under addisjon mod 1. Vi tenker på T som en sirkel med omkrets 1. Navnet T er valgt fordi dette er en 1-dimensjonal torus (smultring), men det er jo selvsagt også en sirkel. Den sykliske gruppen: Gruppen pc n, q består av alle de komplekse røttene til likningen x n 1. Dette er de komplekse tallene x j e 2πij{n cosp2πi{nq i sinp2πi{nq, der i? 1. Gruppeoperasjonen er kompleks multiplikasjon, og vi har x j x k x j k mod n. Spesielt er C 2 den multiplikative gruppen bestående av 1 og 1. Et viktig spørsmål er alltid å forstå når to grupper er like (isomorfe), to instanser av samme abstrakte gruppe i forkledning. I eksemplene over er pz n, q og pc n, q isomorfe, med isomorfien j ÞÑ x j. Vi har også at pr, q og pr, q er isomorfe, med isomorfien x ÞÑ e x, som tar x y til e x e y og 0 til 1. Et nyttig utgangspunkt er å se på generatorer for gruppen. Husk definisjonen av generatorer. Dersom a 1, a 2,..., a k P G sier vi at disse elementene genererer G dersom alle elementer g kan lages ved å bruke gruppeoperasjonen et endelig antall ganger på generatorene. Om det finnes et endelig antall generatorer sier vi at gruppen er endeliggenerert. Vi skriver dette G xa 1, a 2,..., a k y. For abelske grupper er definisjonen:

27 MATTESIRKELEN Definition 5.2 (Endelig-generert abelsk gruppe). En abelsk gruppe G er endelig-generert dersom alle g P G kan uttrykkes som G xa 1, a 2,..., a k y g n 1 a 1 n 2 a 2 n k a k hvor n 1,..., n k P Z og na a a a (n-ganger). I eksemplene over er de endelig-genererte gruppene Z x1y, Z n x1y, C n xe 2πi{n y og pz n, q. Alle endelige grupper er også endelig generert. De reelle tallene R er ikke endelige generert som abelsk gruppe Sykliske grupper. La oss først se på en generell gruppe pg, q som er generert av kun ett element. I utgangspunktet forutsetter vi ikke at gruppen er abelsk (men vi vil snart se at det må den være). Definition 5.3 (Syklisk gruppe). En gruppe kalles syklisk dersom den er generert av ett element G xgy. I eksemplene over er Z x1y, Z n x1y og C n xe 2πi{n y sykliske, mens f.eks. Z 12 ikke er syklisk! Vi har Z 12 x5, 7y, men den kan ikke genereres av kun ett element, fordi ingen av elementene har orden høyere enn 2. Sirkelgruppen T er ikke syklisk og heller ikke endelig-generert. Om man velger et irrasjonalt tall x så vil tallene tnxu npz komme så nært vi vil til alle t P T, men de fleste punktene i T vil aldri nås helt på denne måten 2. Lemma 5.4. Alle sykliske grupper er abelske. Bevis. For G xay ta to elementer x, y P G. Fra definisjonen må x g n og y g m for noen n, m P Z. Da er x y a n a m a n m y x. Lemma 5.5. Alle uendelige sykliske grupper er isomorfe. Endelige sykliske grupper er isomorfe hvis og bare hvis de har samme antall elementer. Proof. Hvis G er uendelig er ta n u npz alle forskjellige. La φ: Z Ñ G være φpnq a n. Dette er en homomorfi fordi φpm nq a m n a m a n φpmq φpnq, og den er en isomorfi fordi den er inverterbar. Dersom G er endelig med G n elementer, så består G av elementene G te, a, a 2,..., a n 1 u. Nå er φ: Z n : G gitt ved φpjq a j en isomorfi. Abstrakt sett er dermed de endelige sykliske gruppene Z n for n P Z og den uendelige sykliske gruppen er pz, q. Noen ganger velger vi å skrive disse som multiplikative grupper C n og C 8. Hvordan skal vi tenke på de endelige sykliske gruppene? Abstrakt kan de endelige sykliske gruppene skrives som C n xa a n ey. Dette betyr at den er generert av ett element a som oppfyller relasjonen a n e. 2 Det er korrekt å si at T inneholder en syklisk undergruppe xxy T som ligger tett i T.

28 28 HANS MUNTHE-KAAS AUGUST 29, 2017 De konkrete gruppene pz n, q kan det være nyttig å betrakte på to forskjelliige måter. Vi kan enten gjøre som tidligere å se på heltallene Z n t0, 1,..., n 1u og la gruppeoperasjonen være pmod nq. En annen betraktningsmåte er å først se på pz, q, alle heltall med addisjon. Så kan vi si at to heltall j og k er ekvivalente dersom j k mn, eller med andre ord de er ekvivalente dersom de gir samme divisjonsrest om vi deler med n, om j%n k%n. Dermed deler alle heltallene seg i n ulike ekvivalensklasser, dvs delmengdene t..., n, 0, n, 2n,...u (rest 0), t..., n 1, 1, n 1, 2n 1,...u (rest 1), t..., n 2, 2, n 2, 2n 2,...u, etc. Vi lager en kort-notasjon rjs : t..., n j, j, n j, 2n j,...u tm P Z m%n ju, som betyr at rjs er delmengden av alle heltall m som gir j i rest ved divisjon med n. Så vi har at Z deler seg i n ulike ekvivalensklasser r0s, r1s,..., rn 1s. Summasjon på Z respekterer denne oppdelingen, slilk at om j og j 1 er ekvivalente, og k og k 1 er ekvivalente så er også j j 1 og k k 1 ekvivalente. Dermed gir det mening å si at Z n tr0s, r1s,..., rn 1su med gruppeoperasjonen rjs rks rj ks. Denne måten å konstruere Z n skrives kjappt som Z n : Z{nZ, som betyr at vi starter med Z n og sier at to elementer j, k P Z er ekvivalente dersom j k P nz t..., 2n, n, 0, n, 2n,...u. Vi kommer tilbake til denne viktige betraktningsmåten seinere Endelige- og endelig-genererte abelske grupper. Vi vil forstå alle endelige og endelig-genererte abelske grupper. Først definerer vi en viktig operasjon på grupper som kalles direkte produkt. Dette gir en ny gruppe pg H, q fra to tidligere grupper pg, q og ph, q. Definition 5.6 (Direkte produkt). Det direkte produktet G H av to grupper består av mengden av par elementer fra de to gruppene G H tpg, hq g P G, h P Hu. Gruppeoperasjonen er komponentvis fra produktregelen i G og H, pg, hq pg 1, h 1 q : pg g 1, h h 1 q. Lemma 5.7. Det direkte produktet av to abelske grupper er abelsk. Det direkte produktet av to endelige grupper er endelig og det direkte produktet av to endelig-genererte grupper er endelig-generert. Bevis. Sjekk selv. For den siste påstanden må du sjekke at om G xa 1, a 2,..., a k y og H xb 1, b 2,..., b l y så er G H xtpa i, eq Y pe, b j quy for 0 i k og 0 j l. Eksempel 5.8. Gruppen Z 3 Z 4 består av alle par pj, kq, der 0 j 3 og 0 k 4, der gruppeoperasjonen er Vi har generatorsettet pj, kq pj 1, k 1 q ppj j 1 q%3, pk kq 1 %4q. Z 3 Z 4 xp1, 0q, p0, 1qy.

29 MATTESIRKELEN Med direkte produkt kan vi lage alle endelige og endelig-genererte abelske grupper fra de sykliske. Vi påstår uten bevis: Teorem 5.9. Enhver endelig-generert abelsk gruppe G er isomorf med et direkte produkt av sykliske grupper, dvs. G Z n1 Z n2 Z nk Z Z Z. Eksempel Vi ser på Z n for noen ulike n. Dette er, som sagt tidligere, den multiplikative gruppen bestående av positive heltall som ikke har felles faktor med n (og er mindre enn n). Opp til isomorfi er Z 1 den eneste gruppen med ett element, og Z 2 den eneste med to elementer. Derfor har vi: Z 2 t1u Z 1, Z 3 t1, 2u Z 2, Z 4 t1, 3u Z 2 og Z 6 t1, 5u Z 2. Alle andre har mer enn to elementer. Z 5 t1, 2, 3, 4u. Under multiplikasjon modulo 5 har vi 21 2, 2 2 4, og Vi finner at gruppen er generert av 2, så Z 5 x2y Z 4. Z 7 t1, 2, 3, 4, 5, 6u. Denne gruppen er ikke generert av 2, siden 23 1 mod 7, men den er generert av 3 (sjekk!). Dermed må vi ha Z 7 x3y Z 6. Z 8 t1, 3, 5, 7u. De eneste abelske gruppene med 4 elementer er Z 4 og Z 2 Z 2, men Z 8 er ikke generert av ett element, fordi mod 8. Dermed har vi Z 8 Z 2 Z 2. VI kan være mer eksplisitt på isomorfien. Vi ser at Z 8 x3, 5y, fordi mod 8. Dermed har vi at en isomorfi φ: Z 8 Ñ Z 2 Z 2 er gitt ved φp3q p1, 0q og φp5q p0, 1q. Vi må nødvendigvis ha at φp1q p0, 0 og φp7q p1, 1q. Z 9 t1, 2, 4, 5, 7, 8u. Her sjekker vi lett at Z 9 x2y, dermed Z 9 Z 6. Hvordan dette går videre kommer vi tilbake til når vi har lært om det kinesiske rest teoremet (Chinese remainder theorem) Homomorfier og matrisenotasjon. Det er veldig nyttig å bruke vektor og matrisenotasjon for å regne med homomorfier mellom endelig genererte abelske grupper. En matrise er en rektangulær tabell med tall, om vi skriver A P R m n betyr dette at A er en tabell med reelle tall med m linjer og n kolonner. Tilsvarende er B P Z m n en tabell med heltall, med samme form. For abelske grupper er det heltallsmatriser som er viktige. F.eks. B P Z 3 2. Komponentene til B (tallene i B) betegnes med nedre indekser, som B B 1,1 B 1.2 B 2,1 B 2,2 B 3,1 B 3,2, så den første indeksen øker nedover og den andre øker mot høyre. Å transponere en matrise betyr at vi bytter om linjer og kolonner, dette betegnes B T, dvs. B T P Z 2 3.

30 30 HANS MUNTHE-KAAS AUGUST 29, 2017 En vektor er en matrise der en av dimensjonene er 1. Vi har linjevektorer Z 1 n og kolonnevektorer Z n 1. For å spare plass skriver vi ofte kolonnevektorer som transponerte linjevektorer, f.eks T 1 2 P Z 3,1. 3 Vi kan gange sammen matriser to matriser A og B hvis og bare hvis den andre dimensjonen i A er den samme som den første dimensjonen i B. Dvs. produktet C AB er definert for A P Z m,p og B P Z p,n. Resultatet er C P Z m,n, der komponentene i C er gitt ved: F.eks Wikipedia illustrerer dette slik: C i,j p k1 A i,k B k,j Matrisenotasjon og matriseproduktet er perfekt for å beskrive homomorfier mellom abelske grupper (og for lineære avbildninger mellom vektorrom). Elementene i en endelig-generert abelsk gruppe G vil vi tenke på som en kolonnevektor 3. Ta for eksempel gruppen G Z 3 Z 5 Z. Antallet komponenter kalles gruppens rank, her er rankpgq 3. Gruppeoperasjonen i G er vektorsum, f.eks mod Vi velger å definere mod ing med 0 som n%0 n. Dette er ikke unaturlig, fordi vi kan si at m npmod pq betyr at m n k p for en eller annen k, men det betyr at det eneste tallet m som tilfredstiller m npmod 0q er m n. Når vi regner i slike sykliske grupper, kan vi velge om vi vil redusere modulo periodene for hver utregning, eller vi kan regne på med vanlige heltalls regneregler og vente med 3 Vi kunne ha brukt linjevektorer i stedet, men da blir matrisemultiplikasjojen motsatt vei, fra høyre.

31 MATTESIRKELEN å redusere modulo periodene til vi skal skrive ut svaret. Notasjonen blir penere og regningen lettere om vi ikke tar med denne mod ingen hele tiden, så vi vil ofte utelate dette. La oss se nærmere på homomorfier og matrisenotasjon. Husk at en homomorfi φ: H Ñ G er definert ved at φph h 1 q φphq φph 1 q for alle h, h 1 P H. Dette betyr at homomorfien φ er bestemt fra hva den gjør med generatorene til H, som er vektorene p1, 0, 0,..., 0q T, p0, 1, 0,..., 0q T,... p0,..., 0, 1q T. La oss ta et helt konkret eksempel, la H Z Z og G Z 3 Z 5 Z. En homomorfi φ: H Ñ G virker på generatorene til H som Siden φ er en homomorfi må vi ha φpp1, 0q T q p2, 3, 4q T φpp0, 1q T q p2, 4, 1q T. φppj 1, j 2 q T q φpp1, 0q T q j 1 φpp0, 1q T q j 2 p2, 3, 4q T j 1 p2, 4, 1q T j 2, eller i matrisenotasjon Tilsvarende gjelder helt generelt: φ j1 j j 1 j 2. Lemma En homomorfi mellom to FGA φ: H Ñ G, der rankphq n og rankpgq n kan alltid skrives som et matrise-vektor produkt φpjq Aj, der matrisen A pa 1,..., a n q P Z m n har kolonner a i som består av bildet av generatorene til H, a i φpp0,..., 0, 1, 0,..., 0q T q. Matriseregning gjør det også lett å regne ut sammensetningen av to homomorfier, fordi matriseproduktet er assosiativt, dvs. ApBCq pabqc har vi: Lemma La φ: H Ñ G og ψ : G Ñ K være to homomorfier med matriser hhv. A og B. Da har den sammensatte homomorfi ψ φ: H Ñ K gitt ved matriseproduktet BA. Eksempel La H Z Z, G Z 3 Z 5 Z og K Z 6 Z 5 Z 4. La ψ : G Ñ K og φ: H Ñ G være gitt hhv. med matrisene B , A Da er ψ φ gitt ved BA mod der vi til slutt har redusert første linje mod 6, andre mod 5 og tredje linje mod 4.,

32 32 HANS MUNTHE-KAAS AUGUST 29, 2017 Merknad Alle homomorfier mellom FGA kan skrives som matriser, men det motsatte er ikke nødvendigvis tilfelle, ikke alle matriser representerer homomorfier. Ta for eksempel H Z 2 og G Z 6. Matrisen p2q repersenter ikke en homomorfi mellom disse gruppene, fordi om φpjq 2j har vi at φp1q 2 som medfører at φp2q Men i H er 2 0, dermed må φp2q φp0q 0. Det er altså ikke samsvar med hva matrisen gjør med ulike heltall som er kongruente modulo periodene i H. Det er imidlertid nok å sjekke om en matrise respekterer periodene for generatorene i H. F.eks. representerer p3q en homomorfi mellom H og G fordi mod 6. Generelt har vi: Lemma La H Z k1 Z kn og G Z l1 Z ln. En matrise A pa 1,..., a n q P Z m n representerer en homomorfi φ: H Ñ G hvis og bare hvis n j a j 0 mod l 1 l 2. l m. Eksempel La H Z 2 Z 3 og G Z 4 Z 9. Da definerer en homomorfi φ: H Ñ G fordi mens matrisen ikke gjør det fordi A B mod 4 9 mod 4 9 mod Det kinesiske rest teorem. Dette er klassisk resultat som har navnet etter den kinesiske matematikeren Sunzi Suanjing som levde på 200-tallet etter kristus. Han stilte spøsmålet: En tropp soldater stilles opp på ulike måter. Når de står 3 i bredden blir det 2 til overs, når de står 5 i bredden blir det 3 til overs, og når de stiller opp 7 i bredden blir det 2 til overs. Hvor mange soldater er det i troppen? Matematisk formulering: n%3 2, n%5 3, n%7 2. Finn n. Dette problemet har opplagt flere løsninger, for om man har funnet én n og legger til , så blir de tre divisjonsrestene uforandret, ettersom 105%3 105%5 105%7 0. Vi forsøker derfor å bestemme n mellom 0 og 104. Med litt prøving finner vi løsningen 23, eller den generelle løsningen n 23 k 105. For å systematisk finne løsningen har vi god bruk for følgende teorem:,.

33 MATTESIRKELEN Teorem Gruppene Z pq og Z p Z q er isomorfe hvis og bare hvis p og q er relativt primske, dvs. at største felles divisor er 1, gcdpp, qq 1. Da kan vi med Euklids utvidete algoritme finne a og b slik at ap bq gcdpp, qq 1, og isomorfiene φ: Z p Z q Ñ Z pg og ψ : Z pg Ñ Z p Z q er gitt ved: φppj 1, j 2 qq pbq j 1 ap j 2 q%pq ψpjq pj%p, j%qq. Eller i matrisenotasjon φ j1 j1 p bq ap q mod pq j 2 j 2 ψpjq 1 j mod p. 1 q Bevis. Vi antar at gcdpp, qq 1. Da er φ og ψ opplagt gruppe homomorfier, men vi må sjekke at de er inverse. Merk at fordi ap bq 1 har vi bq%p 1 og ap%q 1 og vi har bq%q 0 og ap%p 0. Dermed ψ φ 1 bq ap bq ap 1 0 pmod p q. 1 bq ap 0 1 q Motsatt vei φ ψ bq ap 1 1 bq ap 1. Siden det blir identitet begge veier er de inverse homomorfier, dvs. isomorfier. Dersom p og q har en felles faktor r 1, kan de ikke være isomorfe. I gruppen Z p Z q har alle elementene en orden som går opp i pq{r pq, dermed kan denne gruppen ikke genereres av kun ett element, men Z pq x1y er generert av ett element. Sjekk for eksempel Z 4 Z 6, der r 2 og alle elementer har orden som går opp i 12, mens i Z 24 har f.eks. elementet 1 orden 24. Merknad Funksjonene φ og ψ bevarer også multiplikasjon i tillegg til addisjon. Om vi definerer multiplikasjon komponentvis i Z p Z q som pj, kq pj 1, k 1 q pj j 1, k k 1 q, så har vi at φppj, kq pj 1, k 1 qq φppj, kqq φpj 1, k 1 qq ψpj kq ψpjq ψpkq. En algebraisk struktur med både addisjon og multiplikasjon kalles en ring, og φ og ψ kalles ring isomorfier. Oppgave Tallene 0,1,5 og 6 er slik at om de kvadreres får vi samme minste siffer, 0 2 0, 1 2 1, og Finn fire ulike 5-siffrede tall som er slik at kvadratet av tallet har de samme fem minste siffer. Med andre ord, vi spør etter løsningene av likningen x 2 x pmod10 5 q.

34 34 HANS MUNTHE-KAAS AUGUST 29, 2017 Teoremet over gir at Z 10 5 Z 2 5 Z 5 5. Euclid gir: I Z 2 5 og i Z 5 5 er 0 og 1 to løsninger av x 2 x. Dette gir de fire løsningene p0, 0q, p1, 0q, p0, 1q og p1, 1q i Z 2 5 Z 5 5. Isomorfien φppj 1, j 2 qq p 9375j j 2 q%10 5 sender disse fire løsningene på de fire løsningene 0, 90625, 9376 og 1. Vi sjekker at og Merk, vi har ikke vist at 0 og 1 er de eneste løsningene i Z 2 5 og Z 5 5 (men det er det). Oppgave Løs oppgaven til Sunzi Suanjing på en systematisk måte. Vi skal finne isomorfien Z 3 Z 5 Z 7 Z 105. Hvis vi kan regne ut isomorfien ved en splitting i to, kan vi bruke samme teknikk flere ganger. Vi har Z 3 Z 5 Z 7 Z 15 Z 7 Z 105. For den første av disse regner vi ut som gir isomorfien Z 3 Z 5 Z 15 pj 1, j 2 q ÞÑ 5j 1 6j 2 j. Videre er , som gir isomorfien Z 15 Z 7 Z 105 Setter vi dette sammen får vi: pj, j 3 q ÞÑ 14j 15j 3. pj 1, j 2, j 3 q ÞÑ p 5j 1 6j 2, j 3 ÞÑ p 14p 5j 1 6j 2 q 15j 3 q p70j 1 84j 2 15j 3 q. Svaret skal mod es med 105. Merk at de tre tallene p70, 84, 15q oppfyller: 70%3 1, 70%5 0, 70%7 0 84%3 0, 84%5 1, 84%7 0 15%3 0, 15%5 0, 15%7 1. På matriseform er isomorfien φ: Z 3 Z 5 Ñ Z 7 Z 105 gitt ved p70, 84, 15q, så vi har φ 1 φ p mod 3 5 q Oppgaven til Sunzi Suanjing løses nå ved φpp2, 3, 2qq pmod105q. Siden tilsynelatdende ulike grupper som Z 3 Z 4 og Z 12 er isomorfe, så er det av interesse å finne en standardform, der man kan avgjøre om to grupper er isomorfe. Det er to måter å gjøre dette, enten slår man sammen så mange ledd som mulig så man får en gruppe med lav rank, eller så splitter man opp i så mange ledd som mulig og får en gruppe med høyest mulig rank. Ved å være litt systematisk er det ikke så vanskelig å se at resultatet under følger av det kinesiske rest teoremet. Gruppen Z 1 som bare inneholder tallet 0 er litt spesiell, den kalles 0-gruppen og betegnes 0. (Tilsvarende når vi sier at alle heltall kan entydig faktoriseres i et produkt av primtall må vi se bort fra 1 som ikke er et primtall.)

35 MATTESIRKELEN Teorem 5.21 (Klassifikasjon av FGA). En endeliggenerert abelsk gruppe G forskjellig fra 0 er isomorf med en gruppe på formen som kalles primfaktor dekomposisjon (4) Z p n 1 1 ` Z p n 2 2 ` ` Z p n l l ` Z n hvor p i er primtall, p 1 p 2 p l, n i P N og n i n i 1 når p i p i 1. Dessuten er G også isomorf med en gruppe på formen som kalles invariant faktor dekomposisjon (5) Z n1 ` Z n2 ` ` Z nk ` Z n hvor n i 1 og n i n i 1, 1 i k (n i deler n i 1 ). I begge formene er representasjonen unik, så to grupper er isomorfe hvis og bare hvis de kan reduseres til den samme formen Eulers φ-funksjon og de multiplikative gruppene Z n. Vi husker at Z n er den multiplikative gruppen av alle heltall k slik at gcdpk, nq 1. Det er disse tallene k som har en multiplikativ heltalls invers modulo n. F.eks. er Z 12 t1, 5, 7, 11u. Vi skal først telle hvor mange elementer det er i Z n. Definition Eulers ϕ ( fi ) - funksjon teller hvor mange naturlige tall l n har gcdpl, nq 1, eller ϕpnq Z n Teorem Dersom gcdpm, nq 1, så er Dersom p er et primtall, så er (antall elementer i gruppen). ϕpmnq ϕpmqϕpnq. ϕpp k q p k p k 1 pp 1qp k 1. Dette betyr at vi kan regne ut ϕpnq ved å primtallsfaktorisere n. Bevis. Det kinesiske restteorem sier Z mn Z m Z n. Herav følger første del. Om gcdpl, p k q 1, så må l jp for en j, dvs. l P tp, 2p,..., p k 1 pu, dvs. det er p k 1 tall som ikke er relativt primske med p k og dermed følger andre del. Eksempel Siden har vi ϕp12q p q p q Vi kan nå beskrive strukturen til Z n for alle n. Vi gir resultatet uten bevis, siden vi ikke har bruk for dette seinere, men den første del av teoremet under følger direkte fra det kinesiske rest teorem. Husk at C n er den multiplikative sykliske gruppen med n elementer, C n xa a n ey Z n. Teorem Gitt primtallsfaktoriseringen n p k 1 1 pk 2 2 pk l, da er Z n Z p k 1 1 Z p k 2 2 Z k p l. l Dersom p er et odde primtall (primtall forskjellig fra 2), så er Z syklisk med ϕpp k q p k elementer, Z C p k φpp k q C pp 1qp k 1. l

36 36 HANS MUNTHE-KAAS AUGUST 29, 2017 For n 2 k har vi Z 2 t1u (den trivielle gruppen med kun identitetselementet) Z 4 C 2 Z 2 k C 2 C 2 k 2 for k 2. Eksempel Hva er Z 24? Siden , og ϕp3q 2 har vi Z 24 C 2 C 2 C 2. Vi får la det være en premieoppgave å finne isomorfien eksplisitt Coset og kvotientgrupper. Vi diskuterer først det viktige begrepet coset (restklasse) 4 for generelle grupper, der gruppeoperasjonen er og identitetselementet er e. Vi husker at en undergruppe H G er en delmengde H i G slik at gruppeoperasjonene sender elementer i H på elementer i H. Dermed må e P H. Coset er delmengder av G som framkommer ved å forskyve H rundt i G. Vi kan forskyve ved å gange fra venstre eller fra høyre. Dette gir begrepene venstre og høyre coset. Definition For en undergruppe H for et venstre coset til H og gh : tg h h P Hu Hg : th g h P Hu G og et element g P G så kalles delmengden kalles et høyre coset. H er i seg selv både et venstre og et høyre coset, H eh He. Eksempel Vi har sett den dihedrale gruppen D 4, definert som D 4 xa, b a 4 b 2 abab ey. Vi betegner elementene som D 4 te, a, a 2, a 3, b, ba, ba 2, ba 3 u. La H te, a, a 2, a 3 u. Denne undergruppen har to venstre coset, H og bh tb, ba, ba 2, ba 3 u. Alle andre venstre coset er lik med en av disse, f.eks. abh tab, aba, aba 2, aba 3 u tba 3, b, ba, ba 2 u bh. (Coset er mengder der rekkefølgen av elementene i listen ikke spiller noen rolle.) Greuppen H har også to høyre coset, H og Hb tb, ab, a 2 b, a 3 bu tb, ba 3, ba 2, bau bh. Så i dette eksemplet er det ingen forskjell på venstre og høyre coset. Om vi i stedet ser på underguppen H 1 te, bu så får vi fire venstre og fire høyre coset. De venstre er: H 1 te, bu ah 1 ta, abu ta, ba 3 u a 2 H 1 ta 2, a 2 bu ta 2, ba 2 u a 3 H 1 ta 3, a 3 bu ta 3, bau. 4 Det kan kalles restklasse på norsk. Vi bruker mest det engelske begrepet, men for sykliske grupper er restklasse veldig betegnende, så vi vil også bruke dette navnet.

37 MATTESIRKELEN Alle andre venstre coset er lik med en av disse, sjekk f.eks. at bah 1 a 3 H 1. De høyre cosetene til H 1 er H 1 te, bu H 1 a ta, bau H 1 a 2 ta 2, ba 2 u H 1 a 3 ta 3, ba 3 u. Legg merke til at for H 1 så er venstre og høyre coset ikke de samme delmengdene! Eksempelet over illustrerer en del egenskaper ved coset som gjelder generelt: Lemma La H G og la g, g 1 P G være to ulike elementer. Da er enten gh g 1 H (samme delmengde) eller så er gh X g 1 H H (disjunkte delmengder). Det samme gjelder for høyre coset. Bevis. (Venstre tilfellet). Om gh X g 1 H H så er vi i ett av de to tilfellene. Anta derfor at gh X g 1 H H, dvs. vi har et element x P G slik at x P gh og x P g 1 H. Da er x gh og x g 1 h 1 for noen h, h 1 P H. Følgelig må g 1 ghh 1 1. Men da er g 1 H ghh 1 1 H gh, og vi er i det andre tilfellet. Lemma Alle coset er like store, de har like mange elementer som H. Bevis. (Venstre tilfellet.) La gh være et venstre coset. For enhver gh P gh har vi det tilsvarende elementet h P H, dvs. vi har en 1 1 sammenheng mellom elementene i H og i gh, og delmengdene er dermed like store. Lemma En undergruppe H delmenger G gir alltid en oppdeling av G i disjunkte like store G gpi gh der I G er en delmengde som inneholder ett element fra hvert coset. Definition 5.32 (Coset repersentanter). Gitt H G. En delmengde I G som inneholder ett element for hvert coset kalles en mengde av coset repersentanter 5. Eksempel For H te, bu D 4 er I te, a, a 2, a 3 u venstre coset representanter, ettersom D 4 H Y ah Y a 2 H Y a 3 H er en disjunkt union. Vi kan velge andre coset representanter, f.eks. I 1 te, a, a 2, bau gir samme venstre oppdeling av D 4 fordi bah a 3 H. Det finnes ofte ikke en entydig naturlig måte å velge coset representanter, men her må gjøres et vilkårlig valg. Det er forskjell på høyre og venstre coset representanter. I dette eksemplet er I 1 ikke høyre coset representanter, ettersom Hba Ha. Teorem 5.34 (Lagrange). Om H betegner antall elementer i H har vi at H går opp i (dividerer) G og G { H er antall coset. Korollar En gruppe med et primtall antall elementer G p er alltid isomorf med den sykliske gruppen G Z p. 5 I kodeteori kalles I for coset leaders.

38 38 HANS MUNTHE-KAAS AUGUST 29, 2017 Bevis. La g P G slik at g e. La H xgy. Da er H teu, følgelig må H G. Dermed er G generert av g, og dette er definisjonen av den sykliske gruppen (generert av ett element). Vi har sett at høyre og venstre coset ikke alltid er det samme. Undergrupper der venstre og høyre coset er de samme delmengene er speielt viktige: Definition 5.36 (Normalunderguppe). Hvis H gh Hg for alle g P G så kalles H en normalundergruppe, betegnes H G. G er en undergruppe slik at Merknad Vi mener med dette at gh Hg som mengder. F.eks. H te, a, a 2, a 3 u D 4 er en normalundergruppe ettersom D 4 H Y bh og bh Hb. Men komponentvis har vi f.eks. ba a 3 b, så det blir ikke samme element om vi ganger fra venstre og høyre. Lemma Alle undergrupper til abelske grupper er normalundergrupper. Bevis. Om gg 1 g 1 g for alle g og g 1, så må opplagt gh Hg for alle g og alle H G. Definition 5.39 (Kvotientgruppe). Dersom H G så kan vi lage en ny gruppe G{H der elementene i G{H er cosetene gh og gruppeoperasjonen er gh g 1 H : gg 1 H. Identitetselementet er e H og den inverse er pghq 1 g 1 H. Eksempel For H te, a, a 2, a 3 u D 4 har vi to coset H og bh Hb, og kvotientgruppen G{H th, bhu har to elementer med multiplikasjon H H H, H bh bh, bh H bh og bh bh b 2 H H. Kvotientgruppen er isomorf med Z 2, med isomorfien φphq 0, φpbhq 1. Eksempel La G Z og H 2Z t..., 4, 2, 0, 2, 4,...u. Da består G{H av de to cosetene H og H 1, som vi kan kalle partall og oddetall. Regnereglene for G{H er partall partall = partall, partall oddetall = oddetall, oddetall oddetall = partall. Vi har en isomorfi Z{2Z Z 2 med partallþñ 0, oddetallþñ 1. Eksempel La G Z og H nz t..., 2n, n, 0, n, 2n,...u. Som cosetrepresentanter kan vi velge I t0, 1,..., n 1u. Da får vi addisjonsregelen pi Hq pj Hq pi jq%n H, og vi har en isomorfi Z{nZ Z n. Betegnelsen restklasse for coset er her veldig naturlig, j H består av alle tall p P Z slik at p%n j. Mange bruker notasjonen rjs : j H for disse restklassene. Vi har rps rp%ns og rjs rks rj ks Undergrupper og kvotientgrupper for FGA. For endeliggenererte abelske grupper har vi spesielt pen matematikk for undergrupper og kvotientgrupper. Alle undergrupper er normale, så vi kan alltid danne kvotientgruppen. Videre kan alle homomorfier representeres med heltallsmatriser. Vi skal se at en undergruppe av H G og kvotientgruppen K G{H henger nært sammen med et to homomorfier φ ψ H G K,

39 MATTESIRKELEN hvor φ er en homomorfi som identifiserer en gruppe H med en undergruppe i G, og ψ identifiserer G{H med en gruppe K. La oss se på et eksempel før vi diskuterer mer generelt. Eksempel Det første eksemplet forklarer Z 4 Z{4Z. La φpjq 4j : Z Ñ Z og ψpjq j%4: Z Ñ Z 4, 4 %4 Z Z Z 4 Vi har to homomorfier; φ som identifiserer Z med undergruppen bestående av tallene 4Z Z, og ψ som projiserer restklassene på gruppen K. Her er restklassene (cosetene) til undergruppen rjs j 4Z og funksjonen ψ sender alle tallene i restklassen rjs på det ene tallet j%4 som representerer restklassen i gruppen Z 4 pt0, 1, 2, 3u, p mod 4q). De to homomorfiene har tre egenskaper som alltid vil gjelde: Funksjonen φ er injektiv, dvs. dersom x y så er også φpxq φpyq. Dette er viktig fordi da er det en én-til-én sammenheng mellom elementene i gruppen H og bildet av denne gruppen i G. Funksjonen ψ sender alle elementene i undergruppen på 0, og bare disse sendes på 0. dvs. ψpjq 0 hvis og bare hvis j φphq for en h P H. Funksjonen ψ har verdimengde som er hele K, så hvert element i K representerer en unik restklasse i G. Eksempel La G Z 6 Z 4 og se på undergruppen generert av p2, 2q T H xp2, 2q T y tp0, 0q T, p2, 2q T, p4, 0q T, p0, 2q T, p2, 0q T, p4, 2q T u G. La φ: Z 6 Ñ G, φpjq 2j. Vi kan sjekke at φ er injektiv, fordi φpjq 0 ñ j 0 har vi at φpjq φpj 1 q bare hvis j j 1. Verdimengden til φ er H, og dermed så må φ være en isomorfi og vi har Z 6 H. Vi ser så på kvotienten G{H. Undergruppen H har 4 coset (restklasser), og vi kan bruke tp0, 0q T, p1, 0q T, p0, 1q T, p1, 1q T u som coset representanter. Vi har vel nå en mistanke om at G{H Z 2 Z 2. Om vi lar homomorfien ψ : G Ñ Z 2 Z 2 være gitt som ψppj 1, j 2 q T q pj 1 %2, j 2 %2q, finner vi ψphq p0, 0q T, ψpp1, 0q T Hq p1, 0q T, ψpp0, 1q T Hq p0, 1q T og ψpp1, 1q T Hq p1, 1q T. Det viktige her er at ψphq 0, at ψ gir forskjellige svar på alle restklasser og at ψ har en verdimengde som er hele K. Derfor idenfiseres entydig hver restklasse med ett element i K, og alle elementer i K representerer en restklasse. Vi har derfor at G{H K Z 2 Z 2. Eksempel La G Z 6 Z 3 og H xp2, 2q T y. Om G tegnes med p0, 0q T i nederste venstre hjørne, så ser de 6 restklassene slik ut: der tallene 0 angir H og tallene 1 til 5 de øvrige restklassene, dvs. tallet i representerer H pi, 0q T. Vi lar nå φ: Z 3 Ñ G og ψ : G Ñ Z 6 være gitt ved matrisene φ 2 2, ψ 1 2.,.

40 40 HANS MUNTHE-KAAS AUGUST 29, 2017 Vi sjekker at ψ φ så vi har ψphq 0 og ψph pi, 0q T q i P Z 6. Vi ser nå på dette helt generelt. 6 0 pmod6q, Definition 5.46 (Kjerne). For en homomorfi ψ : G Ñ K kalles de elementene som sendes på 0 for kjernen (eng. kernel) til ψ, kerpψq : tg P G ψpxq 0 P Ku. Definition 5.47 (Rekkevidde, verdimengde). For en homomorfi ψ : G Ñ K kalles de elementene som nås i K for rekkevidden eller verdimengden til ψ Rpψq : tk P K k ψpxq for en x P Gu. Teorem For ψ : G Ñ K så er kerpψq G en undergruppe og Rpψq K en undergruppe. Bevis. Om x, y P kerpψq har vi ψpx yq ψpxq ψpyq 0, dermed er x y P kerpψq og ψp xq ψpxq 0. Tilsvarende regning for å vise at rekkevidden (verdimengden) er en undergruppe. Per definisjon er homomorfien ψ : G Ñ K surjektiv hvis Rpψq K. Husk at injektiv betyr at ψpxq ψpyq bare hvis x y, eller med andre ord at x y Ñ ψpxq ψpyq. Teorem En homomorfi ψ : G Ñ K er injektiv hvis og bare hvis kerpψq 0. Bevis. Om kerpψq 0, så finnes en z 0 slik at ψpzq 0 ψp0q, og den er dermed ikke injektiv. Om kerpψq 0 har vi og dermed er ψ injektiv. ψpxq ψpyq ñ ψpx yq 0 ñ x y 0 ñ x y, Teorem Gitt en homomorfi φ: H Ñ G slik at kerpφq 0. Da er Rpφq H. Bevis. Om kerpφq 0 så er den injektiv, og dermed er den en isomorfi mellom H og verdimengden i G. Teorem Gitt en surjektiv homomorfi ψ : G Ñ K, dvs Rpψq K. Da er G{ kerpψq K. Bevis. La H kerpψq G, så ψphq 0. Derfor er ψpg Hq ψpgq ψphq ψpgq, så alle elementer i samme coset sendes på samme element i K. Om ψpg Hq ψpg 1 Hq, så er ψpgq ψpg 1 q som medfører ψpg g 1 q 0, og dermed g g 1 P H, og derfor er g H g 1 H, dvs. ulike coset sendes på ulike elementer i K. Så om ψ er surjektiv, så representerer elementene i K på en entydig måte de ulike cosetene til H i G. Vi oppsummerer den generelle situasjonen.

41 Teorem Gitt to homomorfier MATTESIRKELEN φ ψ H G K slik at kerpφq 0, Rpψq K og Rpφq kerpψq. K G{ kerpψq. Da er H Rpφq kerpψq og Ofte leser vi figuren over (litt upresist) som H G og K G{H. Denne typen situasjon er veldig vanlig i mange sammenhenger og kalles en kort eksakt sekvens av homomorfier 6. Definition 5.53 (Kort eksakt sekvens). Gitt to homomorfier mellom tre grupper φ ψ H G K Dersom kerpφq 0, Rpψq K og Rpφq kerpψq så sier vi at φ og ψ danner en kort eksakt sekvens av gruppehomomorfier Anvendelse: Kodeteori. Endelig kan vi diskutere eksempler på anvendelser der både undergrupper og coset spiller en viktig rolle. (Det finnes også gode eksempler i signalbehandling, men de eksemplene krever mer tid å forklare.) Kodeteori er teorien for feilfri overføring av informasjon på en linje med støy. Det finnes koder der man detekterer at det er skjedd feil under overføring, og det finnes koder der man dessuten kan korrigere feil man finner når man mottar en beskjed. Mange ulike matematiske ideer inngår i kode-design. Kodene vi skal se på benytter grunnleggende ideer fra gruppeteori. Den enkleste feildeteksjon er metoden som involverer en paritetsbit. Her er beskjeden som skal sendes en streng av 0 og 1. Om ordlengden f.eks. er n 3, så er ordene som skal sendes strenger av lengde 3, dvs. de tillatte ord er m P Z 3 2 tp000q, p001q, p010q, p011q, p100q, p101q, p110q, p111qu. La m i betegne bit-ene i ordet, f.eks. om m p100q, så er m 1 1, m 2 0 og m 3 0. Paritetsbit metoden består i at man i stedet for å sende m P Z n 2, så legger man på en ekstra bit og sender kodeordet c P Z n 2 1 n, der c i m i, i 1,..., n og c n 1 i1 m i pmod2q. F.eks. for n 3 har vi p000q ÞÑ p0000q, p001q ÞÑ p0011q, p010q ÞÑ p0101q, p011q ÞÑ p0110q, etc. Legg merke til at kodeordet som skal sendes alltid har et partall antall 1-bit, så vi kan sjekke om det er skjedd en feil ved å summere alle bit i mottatt ord og redusere mod 2. Om svaret er 0, regner vi med at det ikke er skjedd noen feil, om den er 1 vet vi at det er skjedd en feil. Merk at om to bit forandres vil vi ikke detektere dette. La H Z n 2, G Zn 2 1 og K Z 2. Definer homomorfiene φ: Z n 2 Ñ Zn 2 1 og ψ : Z n 1 2 Ñ Z 2 som φ m 1. m n m1. m n n i1 m i mod 2. 6 Om noen er veldig nysgjerrige på hvor dette navnet kommer fra, kan dere slå opp homological algebra på wikipedia.

42 42 HANS MUNTHE-KAAS AUGUST 29, 2017 og ψ r 1. r n 1 n 1 i1 r i mod 2. Vi kan sjekke at φ og ψ er to homomorfier som tilfredstiller: φ er injektiv. ψ er surjektiv. Rpφq kerpψq, dvs. en kort eksakt sekvens. Dette er utgangspunktet for gruppe-koder. Gruppekode med feildeteksjon: Gitt en kort eksakt sekvens φ ψ H G K Et meldingsord m P H kodes som ordet c φpmq P G. Kodeordet c sendes og mottas som c 1 c ɛ, der ɛ P G er feil under overføring. Fra mottatt kodeord rener vi ut syndromet s ψpc 1 q P K. Dersom s 0 P K har vi detektert en feil i overføring. Dersom s 0, så stoler vi på at mottatt kodeord er korrekt, og fra dette regner vi ut mottatt meldingsord m 1 φ 1 pc 1 q P H. Merk: feilene ɛ P Rpφqzt0u (ikke-null ord i undergruppen) vil ikke bli detektert.. Dette virker fordi ψ φ 0, og dermed har alle korrekte ord syndrom 0 P K. For feil 0 ɛ P Rpφq får vi ψpc 1 q ψpc ɛq ψpcq ψpɛq 0 0 0, som ikke blir detektert. La v betegne et mål for lengden av en vektor v P G. For G Z m 2 brukes hamminglengden v som betyr at ɛ teller antall bitfeil i det overførte ord. VI konkluderer: Teorem Den feildetekterende koden over detekterer alle feil ɛ P G slik at der d m i1 ɛ d, v i, min φphq. 0gPRpφq Dvs. d er lengden av det element i undergruppen Rpφq som er nærmest 0.

43 MATTESIRKELEN For å korrigere feil må vi basere oss på det syndromet vi observerer, og bruke dette til å finne en sannsynlig forklaring på feilen vi observerer. Hamminglengden av en feilvektor ɛ måler sannsynligheten for at feilen skal oppstå. Det er mye mindre sannsynlig å få feil i to bit i forhold til kun feil i én bit. Av alle mulige feilvektorer som gir samme syndrom bør vi derfor velge den feilforklaringen som er kortest mulig. Et slikt valg av forklaring på en observert feil kalles i kodeteori for valg av coset leder. Definition 5.55 (Coset leder). Gitt en kort eksakt sekvens og en funksjon σ : K Ñ G slik at ψpσpkqq k for alle k P K og φ ψ H G K σpkq σpkq φphq for alle h P H, dvs. for hver k P K velger den en minste representant fra det aktuelle coset. Vi sier da at σ velger coset ledere. Vi bør kanskje bemerke at φ og ψ er homomorfier, men σ er bare en funkjsjon, dvs. vi forlanger ikke at σpk k 1 q er det samme som σpkq σpk 1 q. σ Feilkorrigerende gruppekode: Gitt en kort eksakt sekvens med coset ledere φ ψ H G K Et meldingsord m P H kodes som c φpmq P G. Kodeordet c sendes og mottas som c 1 c ɛ, der ɛ P G er feil under overføring. Fra mottatt kodeord rener vi ut syndromet σ s ψpc 1 q P K. Dersom s 0 P K har vi detektert en feil i overføring. Regn ut feilrettet kodeord c 2 c 1 σpsq, og finn fra dette mottatt meldingsord e 1 φ 1 pc 2 q.. Vi ser at syndromet til det korrigerte kodeordet er null, ψpc 2 q ψpc 1 σpsqq ψpc 1 q ψpσpsqq s s 0. Den feilkorrigerende koden plukker ut en feilvektor som er så liten som mulig. Dette betyr at om feilen har flyttet oss mindre enn halveis til nærmeste kodeord vekk fra det korrekte kodeordet, så finner vi tilbake til det riktige kodeordet.

44 44 HANS MUNTHE-KAAS AUGUST 29, 2017 Teorem Den feilkorrigerende koden over korrigerer korrekt alle feil ɛ P G slik at der d ɛ d{2, min φphq. 0gPRpφq Dvs. d er lengden av det element i undergruppen Rpφq som er nærmest Hammingkoder. La oss se på noen konkrete eksempler. Hammingkoder er generaliseringer av teknikken med paritetsbit. Vi har meldingsord som er binærvektorer av lengde n, og legger til r paritetsbiter, dvs. H Z n 2, G Zn r 2 og K Z r 2, Z n 2 Vi koder et meldingsord m P H som (6) c φpmq : m A m og vi regner ut syndromet som (7) s ψ c 1 m c 1 p φ Z2 n r ψ Z r 2., A P Z2 r n, : A c 1 m c 1 p. Her er c 1 mottatt kodeord, hvor c 1 m er de første n bitene som utgjør meldingen, og c 1 p er de r mottatte paritetsbitene. Om vi skriver ut φ og ψ i matrisenotasjon får vi (8) φ In A der A P Z r n, ψ A I r, 2 og I n og I r er identitetsmatriser av størrelse n og r, f.eks. I P Z Eksempel For r 1 og A p1, 1,..., 1q P Z 1 n 2 får vi paritetsbit koding. Eksempel For n 3 og r kan vi la A Dette gir en kode som vi skal se kan korrigere alle 1-bit feil og detektere alle 2-bit feil. La oss sjekke at generelt for denne typen koder danner φ og ψ kort eksakt sekvens. Lemma La φ og ψ være gitt ved (8). Da er. en kort eksakt sekvens. Z n 2 φ Z2 n r ψ Z r 2

45 MATTESIRKELEN Bevis. Siden φpmq 0 bare for m 0, har vi kerpφq 0. Videre er og fra ser vi og Rpψq Z r 2. Rpφq " m A m * m P Zn 2 ψ c 1 m c 1 A c 1 m c 1 p p kerpψq " c 1 m * c 1 p c1 p A c 1 m, Rpφq Det gjenstår å finne avstanden fra 0 til nærmeste ikke-null kodeord. Eksempel Om A er som i Eksempel 5.58, så er φ så vi har hamminglengdene φpp100q T q φpp010q T q φpp001q T q 3, φpp110q T q φpp101q T q φpp011q T q 4 og φpp111q T q 3. Dermed er, min φphq 3. 0gPRpφq Vi konkluderer at denne koden detekterer alle 2-bit feil, og kan korrigere alle 1-bit feil. For å korrigere feil ser vi på syndrom funksjonen ψ gitt ved matrisen ψ A I og fra denne kan vi finne coset leaders ved tabellen: s σpsq som betyr at f.eks. σpp110q T q p100000q T. Den føste kolonnen er feilfritt syndrom. De neste 6 kolonnene forklarer observert syndrom forårsaket av 1-bit feil. Den siste kolonnen, med syndrom p111q T må forklares med 2-bit feil. Her er flere mulige forklaringer, i stedet for p100001q T kunne det like gjerne vært p010010q T. Det er ikke opplagt at man,

46 46 HANS MUNTHE-KAAS AUGUST 29, 2017 bør korrigere for denne. Kanskje burde syndromvektoren p111q gi en feilmelding, siden det er flere ulike forklaringer på feilen, som har samme sannsynlighet. Eksempel Vi kan fortsette eksemplet over, og legge til en ekstra kolonne i A, slik at vi får n 4 og r 3. Med A får vi n 4, r 3 og kodefunksjonen og syndromfunksjonen ψ A φ I4 A I Det er fortsatt mulig å korrigere alle 1-bit feil, og detektere alle 2-bit feil. Eksempel 5.62 (Generell Hamming kode). For et generelt antall paritetsbit r kan vi gjøre som over og lage matrisen ψ ved å ta alle mulige binære r-vektorer, unntatt p q T, så putter man disse i en rekkefølge der I r kommer i de siste r kolonnene, dvs. ψ P Z r 2r 1 2, som gir n 2 r 1 r. For r 4 har vi n 11 med syndrom-matrisen ψ Uten bevis refererer vi hovedresultatet om Hammingkoder laget som i eksemplet over. Resultatet bevises ved å regne ut avstanden fra minste ikke-null kodeord til 0, som generelt er 3 for disse kodene. Teorem En Hammingkode laget som i Eksempel 5.62 med r paritetsbit og ordlengde 2 r 1 r kan detektere alle 2-bit feil og korrigere alle 1-bit feil. Merk at andelen av paritetsbit i forhold til meldingsinnholdet kan gjøres så lite vi vil med å bruke lang ordlengde. Men jo lengre ordlengde, dess større sannsynlighet for 2-bit feil, eller verre 3-bit feil..

47 MATTESIRKELEN CRC koder. Vi diskuterer litt om CRC-koder, siden dette gir en fin unnskyldning til å si noe om polynomer. CRC betyr Cyclic Redundancy Check. Dette er en kodeteknikk som henger sammen med regning med polynomer, så vi varmer opp med å diskutere polynomer. Det er interessant å merke seg at de fleste av regneoperasjonene som vi gjør med heltall også kan gjøres med polynomer. Dette inkluderer operasjonene addisjon, multiplikasjon, divisjon, divisjonsrest og å regne ut største felles divisor (GCD) med Euclids algoritme. Vi definerer et polynom av grad n som en funksjon P pxq p n x n p n 1 x n 1 p 1 x p 0, der koeffisientene p n,..., p 0 er tall, i første omgang reelle tall, p i P R. Jeg regner med at dere kan legge sammen, gange og dele polynomer. Som eksempel på divisjon, ta P pxq x 4 4x 3 6x 2 4x 1 og Gpxq x 3 x 2. Med polynomdivisjon finner vi at P pxq{gpxq x 3, med rest Rpxq 3x 2 4x 1, som gir P pxq px Dette illustrerer det generelle prinsippet: 3qGpxq Rpxq. Lemma For et polynom P pxq av grad n og et polynom Gpxq av grad r n finnes et entydig polynom Qpxq av grad n r og et polynom Rpxq av grad mindre enn r slik at P pxq QpxqGpxq Rpxq. Definition 5.65 (Polynomisk divisjonsrest og kongruens). Polynomet Rpxq kalles divisjonsresten, og vi skriver Rpxq P pxq%qpxq. Om vi skriver P pxq Mpxq pmod Gpxqq, så betyr dette at P pxq%gpxq Mpxq%Gpxq, og vi sier at P og M er kongruente modulo G. Det er kult å bemerke at Euclids algoritme for å finne største felles divisor fungerer utmerket også for polynomer! La oss si at vi skal forenkle den rasjonale funksjonen P pxq{gpxq x 4 4x 3 6x 2 4x 1{px 3 x 2 q. I VGS lærer vi at vi faktoriserer teller og nevner, og forkorter, dvs. P pxq{gpxq px 1q 4 {x 2 px 1q px 1q 3 {x 2. Men det er generelt vanskelig å faktorisere polynom. (Abel viste at det ikke finnes formler for dette for 5. grad polynom.) Ved Euclids algoritme kan vi finne største felles divisor, px 1q, uten å faktorisere. Vi har: px 4 4x 3 6x 2 4x 1q%px 3 x 2 q 3x 2 4x 1 px 3 x 2 q%p3x 2 4x 1q 1 px 1q 9 p3x 2 4x 1q% 1 9 px 1q 0. Herfra konkluderer vi at gcdpx 4 4x 3 6x 2 4x 1, x 3 x 2 q 1 9px 1q. (Hvor faktoren kan sløyfes.) 1 9

48 48 HANS MUNTHE-KAAS AUGUST 29, 2017 I kodeteori er vi interessert i å bruke polynomer til å representere informasjon. Det er da viktig å undersøke om det er nødvendig at koeffisientene er reelle tall for at alle regneoperasjonene skal gi mening. Det viser seg at dette ikke er nødvendig, det er nok at p i tilhører en tallkropp (eng. field). Kort fortalt er en tallkropp en algebraisk struktur (en samling tall ) som inneholder 0 og 1 og regneoperasjonene (addisjon) og (multiplikasjon) som oppfyller de vanlige reglene vi er vant med fra reelle tall, dvs. og er kommutative og assosiative, og vi har den distributive lov a pb cq a b a c. Dessuten gjelder at for alle tall x må vi ha et tilsvarende negativt tall x slik at x p xq 0 og alle x 0 skal også ha en multiplikativ invers x 1 slik at x x 1 1. Vi viser til wikipedia field (mathematics) for detaljer. Vi nøyer oss med å gi noen viktige eksempler på tallkropper. Det er tre velkjente uendelige tallkropper: R - de reelle tallene. C - de komplekse tallene. Q - de rasjonale tallene. I tillegg er det noen få, spesielle endelige tallkropper. For et hvert primtall p finnes det én tallkropp med p elementer: Definition 5.66 (Galois kropp). For p primtall danner tallene t0, 1, 2,..., p 1u en tallkropp, der og er addisjon og multiplikajson modulo p. Dette kalles for en Galois kropp (Galois Field) og betegnes GF ppq. Mer generelt finnes det én tallkropp GF pp k q med p k elementer for alle primtall p og positive heltall k, men vi diskuterer ikke tilfellene k 1. Dette er de eneste endelige tallkroppene, og de har stor betydning i kodeteori og kryptografi. Hvorfor er ikke tallene t0,..., n 1u med og modulo n en tallkropp når n ikke er et primtall? Svar: da har ikke alle ikke-null tall en multiplikativ invers, f.eks. under regning modulo 4 har 2 ingen multiplikativ invers. Det vanligste i kodeteori er tallkroppen GF p2q, som er veldig enkel. Den består av kun 0 og 1 med regneregler modulo 2. Bortsett fra er regnereglene i GF p2q som vi er vant med i R. Polynomer med binære koeffisienter kalles GF p2qrxs. CRC feildetekterende kode likner mye på hva vi diskuterte med Hammingkoder. Idéen er at vi koder meldingen med et binært polynom Mpxq P GF p2qrxs, og så har vi gitt et kode-polynom Gpxq. Kodeordene er de som er multiplum av Gpxq, dvs. de polynomene Cpxq slik at Cpxq%Gpxq 0. Vi kan så sjekke om feil er oppstått ved å regne ut C 1 pxq%gpxq for det mottatte kodeordet C 1 pxq. Her er metoden: CRC-kode med feildeteksjon: Gitt en melding representert som et binært polynom Mpxq P GF p2qrxs og et binært kodepolynom Gpxq P GF p2qrxs av grad r. Meldingsordet, polynomet M pxq kodes som kodeordet polynomet Cpxq Mpxqx r Rpxq, der Rpxq Mpxqx r % Gpxq. Polynomet Cpxq sendes og mottas som C 1 pxq Cpxq ɛpxq, der ɛpxq er feil under overføring.

49 Fra mottatt kodeord rener vi ut syndromet MATTESIRKELEN Spxq C 1 pxq%gpxq. Dersom Spxq 0 har vi detektert en feil i overføring. Dersom Spxq 0, så stoler vi på at mottatt kodeord er korrekt, og fra dette regner vi ut mottatt meldingsord M 1 pxq C 1 pxq{x r, dvs. M 1 pxq består av bit r 1, r 2,... i C 1 pxq. Merknad 5.67 (Hvorfor gruppe-koder?). Det finnes mange andre måter å lage koder enn det vi har diskutert her. Ikke alle metoder er basert på at kodeordene danner en undergruppe og syndromene den tilsvarende kvotientgruppen. En fordel med å bruke undergrupper som kodeord, er at det er veldig lett å vise egenskaper til koden, slikt som lengden av minste feil som ikke kan detekteres eller korrigeres. Det at vi har strukturen av en gruppe betyr at alt ser likt ut rundt alle kodeord, så det er nok å se på hva som skjer rundt 0, og derfra konkludedre hvordan det er generelt. Strukturen av en gruppe gjør også presentasjonen av koding, feilkorrigering og dekoding enkelt, det er stort sett regning med binære matriser, eller mer generelt andre typer matriser Anvendelse: Kryptografi. 6. Introduksjon til Fourieranalyse Fourieranalyse er arbeidshesten i nær sagt all digital signal og bildeanalyse. Kort fortalt er dette teknikker for å dekomponere signaler i enklere harmoniske bølger. Et eksempel er differensiallikningen for en svingende streng, som løses ved å dele opp i harmoniske svningninger, dvs. de naturlige svingningene som gir grunntonen og overtonene. Mange bøker i Fourieranayse starter med å bevise følgende resulat (som vi vil forklare seinere): Teorem 6.1. En kontinuerlig funksjon fpxq som er 2π-periodisk, dvs. fpx 2πq fpxq for alle x, kan dekomponeres som en fourierrekke på formen fpxq a 0 8 k1 a k cospkxq 8 k1 b k sinpkxq. Tallene a 0, a k, b k P R sier hvor stor del av signalet som fordeler seg på de ulike bølgene. Disse regnes ut som a 0 1 2π» 2π 0 fpxqdx, a k 1 π» 2π 0 fpxq cospkxqdx, b k 1 π» 2π 0 fpxq sinpkxqdx, k 1. Formlene for tallene a k og b k kommer fra vektorregning, og vi skal se at dette er omtrent samme formel som å dekomponere en vektor i ortogonale vektorer. Vi kommer tilbake til dette under. For oss er det et hovedpoeng å forklare hvordan disse spesielle funksjonene cospkxq og sinpkxq henger sammen med grupper, og vi vil også si litt om hva denne sammenhengen

50 50 HANS MUNTHE-KAAS AUGUST 29, 2017 betyr for beregning av fouriertransformasjoner og for symmetrier i matematisk fysikk. Men, for å forklare dette er vi nødt til å bruke komplekse tall og sammenhengen mellom cosinus, sinus og eksponensialfunksjonen gitt ved Eulers formel e ix cos x i sin x Komplekse tall. Jeg forutsetter at dere har sett komplekse tall tidligere, men oppsummerer de viktigste egenskapene vi har bruk for. De komplekse tall betegnes C og består av alle tall-par z a ib, der a, b P R og i? 1. Å gange sammen og legge sammen komplekse tall gjøres akkurat som reelle tall, men vi må huske på at i 2 1, f.eks. pa ibq pc idq a c ipb dq pa ibq pc idq ac bd ipad bcq. Operasjonen komplekskonjugering betegnes z (noen skriver z), og dette betyr at vi erstatter i med i, eller at z framkommer ved å speile z om den reelle aksen: z a ib ñ z a ib. Komplekskonjugering er viktig når vi skal regne ut lengder. Merk: z z pa ibq pa ibq a 2 pibq 2 a 2 b 2 z 2, der z? a 2 b 2 betegner lengden av tallet z. Konjugering brukes også til å ta bort imaginæredelen av et tall som står under brøkstreken. Deling av komplekse tall gjør vi ved å gange med den komplekskonjugerte av nevner over og under brøkstreken,

51 MATTESIRKELEN z{w zw {pww q zw { w 2, som skrevet ut detaljert blir z w a ib c id pa ibqpc idq ac bd ipbc adq pc idqpc idq c 2 d 2. Vi kan også skrive et komplekst tall i polarkoordinater atallet z x iy kan skrives i polarkoordinater z rpcospθq i sinpθqq, der r z x 2 y 2 og tanpθq y{x. Eulers formel e ix cos x i sin x kan vi ta som definisjon av den komplekse eksponensialfunksjonen, som gir polar formen z x iy re iθ. Det er viktig å merke seg at den komplekse eksponensialfunksjonen oppfører seg akkurat som den reelle, dvs. e z e w e z w d dz eaz ae az. På polarform er det enkelt å gange sammen tall. Om z re iθ og w se iφ får vi zw re iθ se iφ rse ipθ φq, dvs. vi ganger sammen lengdene og legger sammen vinklene. Og opphøying blir også lett: Spesielt har vi bruk for: z n pre iθ q n r n e inθ. Lemma 6.2. Likningen z n 1 har n komplekse løsninger z P t1, e 2πi{n, e 2πi2{n, e 2πi3{n,..., e 2πipn 1q{n u te 2πik{n u n 1 k0. Om vi fortsetter, kommer vi rundt sirkelen, e 2πipk nq{n e 2πik{n.

52 52 HANS MUNTHE-KAAS AUGUST 29, 2017 Legg merke til at disse løsningene danner en gruppe under multiplikasjon, den multiplikative sykliske gruppen C n Ortogonale vektorer. Ortogonalitet (vinkelretthet) av vektorer kan defineres fra prikkproduktet. La v pv 1, v 2,..., v n q og w pw 1, w 2,..., w n q. Da er v w x v, wy : ņ j1 v j w j. Prikk-notasjonen v w er gymnasnotasjon (intet negativt i det). Notasjonen x v, wy kalles vektor indreprodukt, og vil senere bli definert litt mer generelt, men for nå er de to det samme. To vektorer v 1 og v 2 sies å være ortogonale dersom x v 1, v 2 y 0. En samling av n vektorer t v k u n k1 er ortogonale dersom x v i, v j y 0 dersom i j. Dersom vi har et n-dimensjonalt vektorrom og n ortogonale vektorer t v k u n k1, så sier vi at disse danner en ortogonal basis. Det er da lett å dekomponere en vektor f som en sum av disse, f a 1 v 1 a 2 v 2 a n v n. La oss se på n 3 for å forstå hvordan vi kan finne tallene a k P R. Vi har tre ortogonale vektorer v 1, v 2 og v 3, og forsøker å skrive f a 1 v 1 a 2 v 2 a 3 v 3. For å finne f.eks. a 2, tar vi indreprodukt mellom f og vektoren v 2. Dette gir: x v 2, fy x v 2, a 1 v 1 a 2 v 2 a 3 v 3 y a 1 x v 1, v 2 y a 2 x v 2, v 2 y a 3 x v 3, v 2 y a 2 x v 2, v 2 y, som gir a 2 x v 2, fy x v 2, v 2 y. Det var ikke noe spesielt med tallene 2 og 3 i denne regningen. Vi kan erstatte 2 med k og 3 med n, som gir:

53 MATTESIRKELEN Lemma 6.3. Hvis t v k u n k1 er en ortogonal basis for et n-dimensjonalt vektorrom V, kan alle vektorer f P V skrives der f ņ k1 a k v k, a k x v k, fy x v k, v k y. Det generelle begrepet indreprodukt hjelper oss å snakke om ortogonale dekomposisjoner mer generelt. Ut fra hva vi er vant med fra prikkproduktet, definerer vi et reellt indreprodukt: Definition 6.4. Et indreprodukt på et reelt vektorrom V er en funksjon x, y: V V Ñ R som oppfyller regnereglene: (1) Symmetri: (2) Linearitet: (3) Positivitet: x v, wy x w, vy. x v, w w 1 y x v, wy x v, w 1 y x v, a wy ax v, wy. x v, vy 0 x v, vy 0 ô v 0. Disse regnereglene er det som behøves for å diskutere ortogonalitet og ortogonale dekomposisjoner med hensyn på generelle indreprodukt. Med litt leap of faith er det kanskje ikke så vanskelig å forstå følgende eksempel: Eksempel 6.5. Alle kontinuerlige 2π periodiske funksjoner danner et vektorrom med indreproduktet xf, gy :» 2π 0 f pxqgpxqdx. Vi tenker på funksjonen f som en vektor som har en komponent f pxq i punktet x. Indreproduktet er dermed essensielt det samme som for endelige vektorer, der summen er erstattet av et integral. Funksjonene t1, cospxq, cosp2xq, cosp3xq,..., sinpxq, sinp2xq, sinp3xq,...u (der 1 betegner funksjonen som er konstant lik 1) danner en ortogonal basis, dvs. indreproduktet mellom to forskjellige funksjoner i denne mengden er alltid 0, vi har f.eks.» 2π» 2π 0 cospkxq sinplxqdx 0, 0 cospkxq cosplxqdx 0 for k l

54 54 HANS MUNTHE-KAAS AUGUST 29, 2017 etc. (Dette bør verifiseres.) For to like funksjoner fra listen har vi x1, 1y 2π xcospkxq, cospkxqy π for k 0 xsinpkxq, sinpkxqy π. Om vi tror på disse formlene følger det fra Lemma 6.3 at dersom fpxq a 0 8 k1 a k cospkxq så må x1, fy a 0 x1, 1y, a xcospkxq, f y k xcospkxq, cospkxqy, som gir de samme formlene som i Teorem k1 b k sinpkxq, b k xsinpkxq, f y xsinpkxq, sinpkxqy, For komplekse vektorrom (der koeffisientene til vektorene er i C i stedet for R) må vi endre definisjonen av et indreprodukt litt. Som for vanlig prikkprodukt tolker vi x v, vy som lengden av v kvadrert. For et gitt indreprodukt definerer vi lende som v 2 : x v, vy. Vi vil at dette også skal gjelde for det komplekse tilfellet, og dermed vil vi at x v, vy skal være et reellt tall. Det vanlige prikkproduktet for komplekse vektorer har derfor en komplekskonjugering v w : v 1 w 1 v 2 w 2 v nw n, slik at v v P R, akkurat som vi så for komplekse tall der z 2 z z. Definisjonen av et komplekst indreprodukt er: Definition 6.6. Et indreprodukt på et komplekst vektorrom V er en funksjon x, y: V V Ñ C som oppfyller regnereglene: (1) Konjugert symmetri: (2) Linearitet i andre komponent: x v, wy x w, vy. x v, w w 1 y x v, wy x v, w 1 y x v, a wy ax v, wy. (I første komponent har vi konjugert linearitet (3) Positivitet: x v v 1, wy x v, wy xa v, wy a x v, wy.q 0 x v, vy P R x v 1, wy x v, vy 0 ô v 0. Med denne definisjonen gjelder Lemma 6.3 også for et komplekst vektorrom med et generelt indreprodukt.

55 MATTESIRKELEN Komplekse fourierrekker. Vi diskuterer periodiske funksjoner en gang til, denne gangen komplekse funksjoner, som gir en enklere formel enn det reelle tilfellet. Vi lar Cr0, 2πs være vektorrommet av alle kontinuerlige komplekse funksjoner f : R Ñ C slik at fpx 2πq fpxq for alle x. Her kan vi bemerke at vi kan tenke på x som et punkt på en sirkel med omkrets 2π, dvs. x er et punkt i den abelske gruppen R{2πZ. Denne informasjonen om at definisjonsmengden er en abelsk gruppe skal vi diskutere mer i neste avsnitt. Først skal vi se på ortogonale dekomposisjoner. På Cr0, 2πs definerer vi det komplekse indreproduktet xf, gy :» 2π 0 fpxq gpxqdx. Lemma 6.7. For alle k P Z er funksjonene χ k pxq e ikx P Cr0, 2πs ortogonale, xe ikx, e ilx y " 0 hvis k l 2π hvis k l. Bevis. Vi sjekker først at funksjonene χ k er 2π periodiske. Dette følger av at χ k px For indreproduktet har vi når k l at Når k l får vi xe ikx, e ilx y 2πq e ikpx 2πq e ikx e 2πi e ikx χ k pxq. xe ikx, e ikx y» 2π 0» 2π 0 e ikx e ilx dx ettersom e ipl kqx er 2π periodisk. e ikx e ikx dx» 2π 0» 2π 0 e ipl kqx dx 1dx 2π. 1 ipl kq 2π eipl kqx Et resultat som vi ikke vil bevise er at funksjonene te ikx u kpz danner en fullstendig basis for rommet Cr0, 2πs, dvs. alle funksjoner f P Cr0, 2πs kan uttrykkes som en uendelig sum fpxq ķpz p fpkqe ikx, der de komplekse tallene p fpkq P C kalles funksjonens fourierkoeffisienter. Fra dette får vi formelen for fourierkoeffisientene ved vanlig formel for ortogonal utvikling: 0 0, Teorem 6.8. En kompleks funksjon f P Cr0, 2πs kan uttrykkes som en fourierrekke fpxq ķpz p fpkqe ikx, der fpkq p P C er gitt ved fpkq p» 1 2π e ikx fpxqdx. 2π 0 Bevis. Vi viser bare formelen for p fpkq. Siden funksjonene e ikx er ortogonale har vi pfpkq xeikx, fpxqy xe ikx, e ikx y 1 2π» 2π 0 e ikx fpxqdx.

56 56 HANS MUNTHE-KAAS AUGUST 29, 2017 Det er en nær sammenheng mellom denne komplekse fourierrekken og den reelle versjonen i Teorem 6.1. Fra Eulers formel e ikx cospxq i sinpxq følger at cospxq 1 e ikx ikx e 2 ikx sinpxq 1 e ikx e, 2i og om vi legger sammen k og k leddene i den komplekse fourierrekken finner vi ved Eulers formel pfpkqe ikx p fp kqe ikx pfpkq p fp kq cospkxq i pfpkq p fp kq sinpkxq, som gir sammenhengen mellom kompleks og reell fourierrekke: a 0 p fp0q a k p fpkq b k i p fp kq pfpkq p fp kq. Dersom f pxq er en reell funksjon kan det vises at de komplekse fourierkoeffisientene tilfredstiller p fpkq p fp kq, som betyr at ak og b k blir reelle tall Fourieranalyse på abelske grupper. Nå nærmer vi oss hovedpoenget med dette kapittelet, sammenhengen mellom fourieranalyse og gruppeteori. Vi har diskutert periodiske funksjoner, dvs. funksjoner f : G Ñ C, hvor G er en abelsk gruppe (R{2πZ i eksemplet over). Settingen for fourieranalyse på grupper er generelt funksjoner fra en abelsk gruppe G til de komplekse tall, som kalles gruppealgebraen. Definition 6.9 (Gruppealgebra). For en abelsk gruppe G er CrGs gruppealgebraen definert som funksjonene fra G til de komplekse tall C, CrGs tf : G Ñ Cu. Jeg må kanskje bemerke at her kommer også inn en del adjektiver som jeg hopper lett over (sjekk opp Group Algebra på Wikipedia om du tør... ). For det første så kreves at f er en kontinuerlig funksjon, og så kreves at gruppen G er lokalt kompakt (noe som er tilfellet for alle endelige G, for R og for sirkelen R{2πZ, men ikke for de rasjonale tallene Q). Alle disse tekniske detaljene virker forstyrrende på oss, og vi sløyfer alle slike tekniske detaljer i diskusjonen som følger. Dersom G er en endelig abelsk gruppe slipper vi unna alle de tekniske vanskelighetene, og alt jeg sier er helt korrekt! For kontinuerlige grupper som sirkelen og R må alt jeg sier tas med en liten klype salt Karakterer og den duale gruppen. Hva er det spesielle med fourier basis funksjonene e ikx i eksempelet G R{2πZ? De er funksjoner i CrGs og de er ortogonale i det naturlige indreproduktet på CrGs. I tillegg har de en annen egenskap som er enda viktigere, de tilfredstiller e ikpx yq e ikx e iky, dvs. de er gruppe homomorfier, inn i den multiplikative gruppen av komplekse tall med lengde z 1. Vi lar T tz P C z 1u være den abelske gruppen som består av komplekse tall med lengde 1, under multiplikasjon.

57 MATTESIRKELEN Definition 6.10 (Gruppe karakter). En karakter på en abelsk gruppe G er en homomorfi χ: G Ñ T. Mengden av alle karakterene på G betegnes p G. En annen måte å si det samme er at en karakter er en funksjon χ P CrGs slik at χpxq 1 og χpx yq χpxq χpyq. Karakterne er nettopp de spesielle basis funksjonene som gir oss en ortogonal basis for fourieranalyse på CrGs. Vi begynner med å finne alle karakterene på CrZ n s. Eksempel 6.11 (Karakterene på den sykliske gruppen). La G Z n, vi skal finne alle karakterer. Først ser vi at om χ er en karakter, så er χp0q χpjq χp0 jq χpjq, så χp0q 1. Så ser vi at χp0q χpnq χp1q n 1, så dermed må χp1q z for z n 1. Dette gir n ulike løsninger, for hver av de n rottene av z n 1. Vi lar χ k pjq være karakteren der χ k p1q e 2πik{n. Da får vi χ k pjq χ k p1q j e 2πikj{n. Gruppen Z n har n karakterer, tχ k u n 1 k0 der χ kpjq e 2πikj{n. Teorem Produktet av to karakterer er en karakter. Om χ er en karakter, så er χ karakteren definert ved χ pjq χpjq. Vi har at χ χ 1, så for en abelsk gruppe G er p G en abelsk gruppe med multiplikasjon som gruppe operasjon og komplekskonjugering som invers. Dette kalles den duale gruppen til G. Bevis. For to karakterer χ, χ 1 P G p definerer vi χ 2 pjq χpjq χ 1 pjq. Med litt regning ser vi lett at χ 2 pj lq χ 2 pjq χ 2 plq. Vi har også at χ pj lq pχpjq χplqq χ pjq χ plq, så χ er en karakter. Og vi har at χ pjq χpjq χpjq 2 1. Et resultat som letter arbeidet med å finne karakterene, er at alle karakterene på G H er gitt som produktet av en karakter på G med en karakter på H. For endelige abelske grupper ser det slik ut: Sats La G og H være to endelige abelske grupper der produktet G H har elementer pg, hq. Da er karakterene χ GH P { G H gitt som χ GH pg, hq χ G pgq χ H phq for alle χ G P p G og χh P p H. Vi kan oppsummere dette resultatet som { G H p G p H Indreprodukt og ortogonalitet. På alle abelske grupper er det et naturlig integral (eller sum), og et naturlig ³ indreprodukt som kommer fra dette integralet ³ (summen). For 8 CrRs har vi xf, gy 8 fpxq 2π gpxqdx. For CrR{2πZs har vi xf, gy 0 fpxq gpxqdx og for alle endelige G er indreproduktet gitt ved summen xf, gy jpg fpjq gpjq. Vi skal vise at karakterene alltid må være ortogonale. Før vi viser dette trenger vi et hjelperesultat. Lemma For χ P p G har vi at jpg χpjq " G hvis χ 1 0 ellers.

58 58 HANS MUNTHE-KAAS AUGUST 29, 2017 Bevis. Dersom χ 1 er dette opplagt, i motsatt fall må det finnes et punkt l P G slik at χplq 1. La s jpg χpjq. Da gjelder χplqs χplq jpg χpjq jpg χpl jq χpj 1 q s. Hvorav følger s 0. j 1 l jpg Merk tricket i nest siste likhet, der vi byttet summasjonsindeks til j 1 j l. Dette gir ingen forandring av summen, ettersom både j og j 1 løper over hele gruppen, et trick som brukes i mange ulike sammenhenger. Sats Karakterene på en gruppe er alltid ortogonale. For endelige grupper: xχ k, χ l y " G hvis k l 0 hvis k l. Bevis. xχ k, χ l y jpg pχ k χ lqpjq. Karakteren χ k χ l 1 når k l, ellers er dette en karakter som ikke er 1, og da må summen være 0. På grunn av ortogonaliteten følger formelen for fourier dekomposisjon av en funksjon i karakterene. Vi skriver ut dette for endelige grupper, men det er nesten likt også for kontinuerlige uendelige grupper, der summene blir integraler. Teorem La G være en endelig abelsk gruppe. En funksjon f P CrGs kan uttrykkes som en fourierrekke fpjq pfpkqχ k pjq, der fourierkoeffisientene p fpkq er gitt som χ k P p G pfpkq xχ k, fy xχ k, χ k y 1 G jpg χ k pjq fpjq. Eksempel For G Z n får vi ved å bruke karakterene regnet ut i Eksempel 6.11 formlene: fpjq pfpkq 1 n n 1 pfpkqe 2πikj{n k0 n 1 j0 som heter den Diskrete Fourier Transform. e 2πikj{n fpjq, I Teorem 6.8 så vi at tilfellet G R{2πZ faller inn i samme mønster, der karakterene danner gruppen pg!e ikx k P Z). Eksempel Det siste av de klassiske eksemplene er G R. Her er karakterene pg!e iξx ξ P R).

59 MATTESIRKELEN Siden både G og p G er kontinuerlige får vi her integraler begge veier, som heter Fourier Integralet. fpxq pfpξq 1 2π» 8 ξ 8» 8 x 8 pfpξqe iξx dξ 6.5. Konvolusjonsteoremet med anvendelser Avsluttende kommentarer og perspektiv. e iξx fpxqdx,

60 60 HANS MUNTHE-KAAS AUGUST 29, 2017 Appendix A. Mengder og funksjoner Vi vil kortfattet oppsummere bakgrunnsstoff og notasjon om mengder og funksjoner. Jeg forventer at dere kjenner nogenlunde til dette stoffet, og forklarer ting forholdsvis raskt. Si fra om det er noe dere ikke forstår! A.1. Mengder. En mengde er en samling elementer. Vi bruker krøll parenteser for å liste opp elementene i en mengde. F.eks. M t1, 1u betegner mengden som består av de to tallene. Det spiller ingen rolle hvilken rekkefølge elementene listes, så M t 1, 1u er den samme mengden. Den tomme mengden H tu inneholder ingen elementer. For uendelige mengder kan vi bruke prikker for å angi hvilke elementer som inngår i mengden, f.eks. N t1, 2, 3,...u Naturlige tall (positive heltall). Z t..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...u Heltall Den uendelige mengden bestående av alle reelle tall betegner vi R. Elementer i en mengde betegnes med P, som b P ta, b, cu (b er med i mengden som består av a, b, og c). Hvis vi vil si at et element ikke er med i en mengde skriver vi d R ta, b, cu. Delmengder skrives, f.eks. N Z. Merk at en delmengde kan ære hele mengden M M, eller den tomme mengden H M. Om vi skriver en horisontal strek i en mengdeangivelse betyr det at det som kommer på høyre side av streken er en betingelse, f.eks. N tj P Z j 0u. Som betyr at de naturlige tallene N består av alle heltall j slik at j er positiv. Et kryss mellom to mengder kalles en produktmengde. Denne består av alle par av elementer fra de to mengdene, F.eks. M N tpm, nq m P M, n P N u. R Z tpr, jq r P R, j P Zu. Da gjelder f.eks. pπ, 2q P R Z men p2, πq R R Z siden det andre argumentet ikke er heltall. Om det er samme mengde kan vi også skrive produktet slik: Snitt og union av mengder X og Y er (symbolet : betyr definert som ). R 2 : R R tpx, yq x, y P Ru. M X N : tx x P M og x P N u M Y N : tx x P M eller x P N u

61 MATTESIRKELEN A.2. Funksjoner. En funksjon er en regel (oppskrift) som for hvert element i en mengde returnerer elementer et element i en mengde. Vi angir en funksjon slik: f : M Ñ N, som betyr at f er en funksjon som tar inn elementer fra mengden M og returnerer elementer i mengden N. Vi kan kaller M fra-mengden eller definisjonsmengden og N til-menden (betegnelsene domene og kodomene brukes også mye i matematisk litteratur). Merknad A.1. Om vi skriver f : M Ñ N betyr dette at funksjonen fpxq er definert for alle x P M, men det betyr ikke nødvendigvis at alle y P N kan skrives som y fpxq. Mengden av alle elementer i N som kan nås med å bruke f kalles verdimengden eller rekkevidden til f. Wikipedia (artikkel: codomain ) illustrerer dette slik: Her er fra-mendgen (definisjonsmengden) rød, til-mengden er blå mens verdimengden er gul. F.eks. kan vi skrive x 2 : R Ñ R, selv om funksjonen x 2 ikke kan returnere negative tall. Verdimengden til denne funksjonen er tr P R r 0u. Definition A.2 (Surjektiv funksjon). En funksjon f : M Ñ N kalles surjektiv ( på N ) dersom verdimengden er hele N. Med andre ord f er surjektiv hvis det for alle y P N eksisterer en x P M slik at fpxq y. Definition A.3 (Injektiv funksjon). En funksjon f : M Ñ N kalles injektiv dersom ulike elementer i M alltid avbildes på ulike elementer i N. Vi kan skrive dette på to ulike måter som betyr akkurat det samme: x y ñ fpxq fpyq fpxq fpyq ñ x y. Definition A.4 (Bijektiv funksjon). En funksjon f : M Ñ N kalles bijektiv dersom den er både surjektiv og injektiv. Merknad A.5. En funksjon f : M Ñ N er inverterbar hvis og bare hvis den er bijektiv. Vi skriver den inverse funksjonen f 1 : N Ñ M. Denne er definert slik at f 1 pfpxqq x for alle x P M og fpf 1 pyq y for alle y P N. Definition A.6 (Funksjonssammensetning). Dersom g : M Ñ N og f : P så betegner f g : M Ñ P funksjonen som er gitt ved å først benytte g og deretter f, f gpxq : fpgpxqq. eller Funksjonssammensetning er assosiativ, dvs. pf gq h f pg hq.