Kompendium i. Monovariable systemer og signaler. Trond Andresen

Transkript

1 95-56-X Kompendium i Monovariable systemer og signaler Trond Andresen Institutt for teknisk kybernetikk NTNU høst 998 (leses sammen med Signals and Systems av Oppenheim, Willsky, Young)

2 I Residueregning, invers Laplace- og Fouriertransformasjon.... Residueregning.... Invers Laplacetransformasjon..... Invers Laplacetransformasjon - et eksempel Invers Fouriertransformasjon Bemerkning om notasjon... 7 Diskrete signaler og systemer Innledning Representasjon av diskrete systemer Merknad om folding for kontinuerlige signaler..... Merknad om frekvens for diskrete signaler....3 Den diskrete Fouriertransformasjon Eksempel: Utregning av en diskret Fourier-transform Z-transformasjonen Bemerkning om notasjon Invers Z-transformasjon - utledning Eksempel: Utregning av en invers Z-transform Z-transformen som transferfunksjon. Differensligning Diskretisering av kontinuerlig system Innledning Diskretisering via tilstandsromform Om poler i det diskrete og kontinuerlige system Polenes plassering og diskret tidsrespons Polenes plassering når et kontinuerlig system diskretiseres Diskretisering og regulering av kontinuerlig system Innledning To diskretiseringsmetoder Metode : Diskretisering via tilstandsromform Metode : Diskretisering via impulsresponsen h[k] Blokkdiagram for diskrete systemer Balchens Q-transformasjon ARMAX-modell Regulering v.h.a. polplassering Definisjoner, notasjon... 35

3 II 5. Den hurtigste utgangssignal-dead-beat-regulator To betydninger av symbolet z Polene til det lukkede system Eksempel : Dead-beat-regulator Eksempel : En dead-beat-regulator som skaper problemer Robusthet er lav med den hurtigste dead-beat-regulatoren Robust utgangssignal-dead-beat-regulator Følgeegenskaper for den robuste regulatoren Om graden på F- og G-polynomet En generell lineær regulator Stabilitet og frekvensanalyse Nyquists stabilitetskriterium for diskrete systemer Eksempel: Stabilitet i kontinuerlig og diskret. ordens system Bode(AFF) - diagram Nyquists stabilitetskriterium for åpent ustabile systemer Frekvensanalyse av systemer med dead-beat-regulator Kildehenvisning Stokastiske prosesser Innledning Matematisk grunnlag i sannsynlighetsregning Tetthetsfunksjon og fordelingsfunksjon Betinget sannsynlighet og betinget tetthetsfunksjon Forventningsverdi, kovarians og korrelasjon Et eksempel på korrelasjon Statistisk uavhengighet og korrelasjon Normalfordelingen Simultant normalfordelte variable Stokastiske prosesser beskrevet i tidsplanet Beskrivelse ved middelverdi og korrelasjonsfunksjon Signaler som er en sum av stokastiske og deterministiske komponenter Bruk av autokorrelasjonsfunksjoner og krysskorrelasjonsfunksjoner Autokorrelasjon direkte fra simultan tetthetsfunksjon: et eksempel Oppsummering av egenskaper til korrelasjonsfunksjoner Stokastiske prosesser, effektspektra Innledning Sammenhengen mellom autoeffektspektrum og autokorrelasjon Krysseffektspektrum og krysskorrelasjon Hvit støy Integralet av hvit støy...

4 III 7.4. Rullebevegelsen for skip - bruk av støy i modellering... 8 Stokastiske prosesser i lineære dynamiske systemer Grunnleggende sammenhenger Estimering av transferfunksjoner i systemer som er utsatt for støy Pådragsstøy, prosess-støy Målestøy Støy i tilbakekoplede systemer Diskrete stokastiske prosesser og diskrete systemer Diskret prosess, korrelasjon, effektspektrum Diskret hvit støy Diskretisering når kontinuerlig hvit støy påvirker et kontinuerlig lineært system Diskrete tilstandsrommodeller av monovariable stokastiske dynamiske systemer Estimering av spektra, korrelasjons- og transferfunksjoner Diskret Fourier-transform ( DFT ) av endelig måleserie Estimering av spektra Om forventningsfeilen til estimatet av effektspektret Varians kontra forventningsfeil Varians kontra forventningsfeil: Et eksempel Krysseffektspektra Estimering av korrelasjonsfunksjoner Estimering av transferfunksjoner Signalbehandling: Tilpassing, filtrering Analog til digital omsetting Tasting av signaler Kvantisering av signaler Digitale filtre Overgang fra analogt til digitalt filter Syntese av analogt Butterworth lavpassfilter Flere lav-ordens filtre eller et med høy orden? Syntese av diskret (digitalt) lavpassfilter Realisering av andre typer filtre fra lavpassfilter "Wild-point"- utplukking Regulering av stokastiske systemer - optimale regulatorer med gitt struktur Godhetskriterier for regulatorer... 55

5 IV. Optimalisering av regulatorer med fast struktur Regulering av stokastiske systemer - optimale regulatorer med optimal struktur Regulatoralgoritme Optimal m-skritts prediktor Sammenheng MV- og dead-beat-regulering Minimum-energi-regulator Robust MV-regulator Lagerstyringseksemplet... 75

6 Kapittel : Residueregning, invers Laplace- og Fouriertransformasjon. Residueregning Det skal vises hvordan man kan finne den inverse Laplace- og Fouriertransform for funksjoner som er kontinuerlige i tidsplanet (tilsvarende for tidsdiskrete funksjoner i et seinere kapittel). Vi skal først konsentrere oss om Laplacetransformen, og etterpå se hvordan man kan betrakte Fourier-transformen som en Laplacetransform, og dermed bruke samme løsningsmetode for å finne den inverse Fouriertransformen. (I et seinere kapittel skal vi se hvordan metoden som presenteres i dette kapittelet også kan brukes for å finne invers z-transform og invers diskret Fouriertransform, som vi bruker for å beskrive diskrete signaler.) Den inverse Laplacetransformasjon ht () av en funksjon H( s) er ht () σ + j H( s)e πj ts ds σ j (.) Merk at vi i dette kurset bruker små bokstaver for funksjoner i t-planet, og store i s-planet. σ er slik at den loddrette linjen Re( s) σ i det komplekse plan ligger innafor konvergensområdet til Laplacetransformen. Integralet (.) er vanskelig å løse direkte. Vi skal nå forklare hvordan man kan benytte residueregning for å løse (.). Denne metoden baserer seg på resultater fra kompleks funksjonsteori. Der dreier det seg om å finne integralet av en funksjon Fs ( ) i en kompleks variabel s, når integrasjonsbanen Γ er en lukket kontur mot urviseren i det komplekse plan som vist på figur.. Im s-planet kontur Γ Re Figur.

7 . RESIDUEREGNING, INVERS LAPLACE- OG FOURIERTRANSFORMASJON Det kan da vises at hvis Fs ( ) er analytisk innafor konturen ( analytisk Fs ( ) og alle deriverte av Fs ( ), eksisterer overalt innafor konturen), så er konturintegralet Fs ( )ds Γ (.) Hvis Fs ( ) derimot har en pol a av orden m innafor konturen Γ, slik at Fs ( ) kan skrives som Fs ( ) Gs ( ) , der ikke har pol(er) i, (.3) ( s a) m Gs ( ) s a så sier den såkalte residuesatsen at Fs ( )ds Res[ Fs ( )] πj s a Γ ( m )! d m ds m [( s a) m Fs ( )] s a (.4) der Res[ Fs ( )] (uttales residuet til Fs ( ) i a ). For m blir (.4) atskillig enklere Fs ( )ds Res[ Fs ( )] [( s a)fs ( )] πj s a s a Γ (.5) Hvis det er flere poler innafor konturen Γ har vi a i Fs ( )ds Res[ Fs ( )] πj s Γ i a i (.6) I (.6) anvender vi (.5) eller (.4) avhengig om polen er enkel eller av høyere orden. a i. Invers Laplacetransformasjon Hvordan kan så dette brukes for å finne en invers Laplacetransform? Venstresida i (.6) ligner på (.), med Fs ( ) H( s)e ts. Problemet er integrasjonsbanen til (.), som ikke er lukket. Vi må derfor bruke et knep for å lukke integrasjonsbanen. Betrakt figur.: d. I det generelle tilfelle skal høyresida i (.4) være lim m, ( m )! ds m [( s a) m Fs ( )] s a men for de funksjoner vi vil komme borti, trenger vi ikke foreta grenseovergang.

8 .. INVERS LAPLACETRANSFORMASJON 3 σ + j Im Re σ j Figur. Gitt integranden H( s)e ts i (.). Et sett poler i denne integranden er antydet i figur.. Et mulig konvergensområde er angitt ved skravering. De oppgitte poler og det angitte konvergensområde forteller at Laplace-transformen svarer til et høyresidig tidsforløp (se notat ). Polenes beliggenhet forteller at dette høyresidige tidsforløp er stabilt. Som det framgår av figur. har vi modifisert integrasjonsbanen. Vi har føyd til en uendelig stor halvsirkel inn i venstre halvplan, for å få til en lukket kontur. Dette kan vi tillate oss uten å endre verdien av integralet (.), så lenge H( s)e ts når s. Hvis integranden er null så lenge vi befinner oss på den uendelig store halvsirkelen, gir den intet bidrag til integralet. Hvis H( s) er et rasjonalt uttrykk, så er dette oppfylt (dette er ikke helt trivielt og må bevises, det gjøres ikke her) når graden av nevneren er minst en høyere enn graden av telleren. Vi kaller da H( s) strengt proper. H( s) vil alltid være strengt proper for de kontinuerlige signaler og systemer vi skal arbeide med. Vi kan altså konkludere med at den loddrette integrasjonsbanen i (.) uten videre kan lukkes med en uendelig stor halvsirkel, uten at dette berører verdien av integralet. Dermed kan vi bruke residuesatsen ved invers Laplacetransformasjon. Hvis vi har dobbeltsidige eller venstresidige tidsforløp, blir det litt annerledes. I figur.3 har vi poler i begge halvplan. Siden konvergensområdet i figur.3 er ei stripe, svarer dette til et dobbeltsidig tidsforløp (se læreboka ). Den høyresidige delen av tidsforløpet er i dette eksemplet ustabilt, siden en av polene som svarer til det høyresidige tidsforløpet. Når det her og seinere henvises til læreboka, menes Signals and Systems av Oppenheim, Willsky, Young.

9 4. RESIDUEREGNING, INVERS LAPLACE- OG FOURIERTRANSFORMASJON σ + j Im Re σ j Figur.3 ligger i høyre halvplan. (Dette medfører at den imaginære akse ligger utafor konvergensstripa; vårt tidsforløp er i dette tilfelle ikke Fouriertransformerbart). Vi samler residuene i to grupper, de som svarer til poler til venstre for den loddrette linja s σ (som må ligge et sted i konvergensområdet), og de som svarer til poler til høyre for den. Konturintegralet som skal omslutte poler til høyre for s σ må nå dannes ved hjelp av en uendelig stor halvsirkel inn i høyre halvplan. Denne konturen får da motsatt dreieretning av den forrige, med urviseren. Dette fører til den enkle endring i (.4) og (.5) at vi må bytte fortegn. Dermed er vi nå i stand til angi den endelige formel for invers Laplacetransformasjon ved hjelp av residueregning: ht () σ + j H( s)e πj ts ds σ j µ () t Res[ H( s)e ts ] i s a i µ ( t) Res[ H( s)e ts ] i s a i (.7) der a i svarer til poler til venstre for den loddrette linja s σ, og a i poler til høyre for den.

10 .. INVERS LAPLACETRANSFORMASJON 5.. Invers Laplacetransformasjon - et eksempel Nå skal vi demonstrere metoden med et eksempel. Vi bruker symbolene ht () og H( s), siden tidsfunksjonen svært ofte er en impulsrespons og den tilsvarende funksjon av s er en transferfunksjon. Men dette gjelder sjølsagt for et vilkårlig Laplacetransform-par L xt () X( s) Gitt H( s) (.8) ( s ) (.5s) Dette må vi først bringe på formen H( s) ( s ) ( s ) (.9) For at inverstransformen skal bli entydig (se læreboka), må også konvergensområdet være oppgitt. Det er i dette tilfelle som vist i figur.4. Im Re Figur.4 Vi ser av konvergensområdet og polenes plassering at vi har et dobbeltsidig tidsforløp ht (), og at den høyresidige delen av det er ustabilt. Nå kan vi finne ht () ved hjelp av (.7): ht () πj σ + j σ j µ () t d ( s ) ( s ) ( s ) e tsds! ds ( s ) ( s ) e ts µ ( t) ( s ) ( s ) ( s ) e ts s s (.)

11 6. RESIDUEREGNING, INVERS LAPLACE- OG FOURIERTRANSFORMASJON Det høyresidige tidsforløpet blir da h h () t µ () t---- d ds e ( s ) ts s (.) dvs. h h () t µ () t ( s ) tets + ( s ) e ts s Det venstresidige tidsforløpet blir: h v () t µ ( t) ( s ) e ts µ ( t)e t s µ ()te t ( t + e t ) (.) (.3) Vi kan da skrive ht () som ht () µ ( t)e t + µ ()te t ( t + e t ) (.4) Der µ () t er enhetssprangfunksjonen. Så langt den inverse Laplacetransformasjon..3 Invers Fouriertransformasjon Hvis vi foretar et skifte av integrasjonsvariabel i (.) ved å forutsette σ og så sette s jω, dvs. ds jdω, blir (.) etter litt mellomregning: ht () H( jω)e π jωt dω (.5) Vi gjenkjenner (.5) som den inverse Fouriertransformasjonen. Dermed kan Fourier-transformasjonen betraktes som et spesialtilfelle av Laplacetransformasjonen, hvor den imaginære akse er integrasjonsbanen, dvs. konvergensområdet iinbefatter den imaginære akse. La oss vise metoden med et eksempel. Vi tar utgangspunkt i Fouriertransformen i eksempel (4.8) i læreboka: X( ω) a a + ω (.6) Vi har s jω, dvs. ω s j js. Vi setter inn for ω og faktoriserer nevneren: X( ω) a a a ( js) a s ( s+ a) ( s a) H ( s ) a (.7)

12 .4. BEMERKNING OM NOTASJON 7 Polene og konvergensområdet er vist i figur.5: Im Re a a Figur.5 Residueregning gir da (dette gjør du sjøl) xt () µ ( t)e at + µ ()e t at e at (.8).4 Bemerkning om notasjon I dette kurset vil vi av bekvemmelighetsgrunner ikke være helt stringente når det gjelder notasjon for uttrykk i frekvens- og s-plan. Et kontinuerlig signal med impulsrespons ht () har en Laplacetransform betegnet med H( s), mens Fouriertransformen vil bli betegnet med H( ω). Dette er strengt tatt noe tvilsomt.. Ta transferfunksjonen H( s) Ts (.9) Fouriertransformen vet vi at vi får når vi setter inn s jω. Vi får H( jω) Tjω (.) som egentlig ikke burde skrives H ( ω ), fordi H( ω) Tω Man skulle altså egentlig ha skrevet H( s) og H( jω), slik som man finner det i mye av litteraturen.. Vær derfor klar over at når vi for lettvinthets skyld skriver H( jω). H( ω) mener vi egentlig

13 8. RESIDUEREGNING, INVERS LAPLACE- OG FOURIERTRANSFORMASJON

14 Kapittel : Diskrete signaler og systemer. Innledning Vi vet at vi med utgangspunkt i Fourierrekka for periodiske kontinuerlige signaler, kan definere Fouriertransformasjonen for ikke-periodiske kontinuerlige signaler. Vi vet at hvis signalet er en impulsrespons for et LTI-system, så er Fouriertransformen til dette signalet frekvensresponsen for det samme systemet. Vi vet at vi kan betrakte Fouriertransformasjonen som et spesialtilfelle av Laplacetransformasjonen. Vi kunne gått fram på akkurat samme måte for diskrete signaler og systemer: Fra diskret Fourierrekke til -transformasjon, til frekvensrespons, så til Z-transformasjon (som vi skal se er en parallell til Laplace-transformasjonen for kontinuerlige signaler). For å utnytte tida litt bedre, velger jeg imidlertid å gjøre dette på en litt annen måte. Dette medfører bl.a. at diskret Fourierrekke utsettes noe (men for de som ønsker en helt tilsvarende gjennomgang for diskrete signaler og systemer som vi gjorde for kontinuerlige, henvises til læreboka).. Representasjon av diskrete systemer På samme måte som et kontinuerlig lineært system kan karakteriseres ved impulsresponsen h(t), skal vi nå karakterisere et diskret lineært system ved den diskrete impulsrespons hn [ ]. Merk at vi bruker hakeparentes [ ] for å markere tidsdiskrete signaler. Først definerer vi den diskrete analogi til diracpulsen δ() t for det kontinuerlig tilfelle, nemlig den diskrete enhetspuls δn [ ] : δ[ n], n, n (.) δ[ n] n Figur. Når inngangssignalet xn [ ] δ[ n], blir utgangen en diskret impulsrespons hn [ ] som f.eks. kan se ut som skissert i figur..

15 . DISKRETE SIGNALER OG SYSTEMER.5 hn [ ] Figur. Anta nå at inngangsignalet er et vilkårlig tisforløp xk [ ]. Siden hn [ ] er impulsresponsen til et diskret LTI-system, gjelder superposisjonsprinsippet. Det betyr at utgangen yn [ ] kan betraktes som en sum av en rekke impulsresponser, hvor hver impuls som fører til en tilsvarende respons inntreffer ved tida k, og har amplituden xk [ ] ved denne tida. Vi kan altså skrive yn [ ] som n yn [ ] x[ ]hn [ ] + x[ ]hn [ ] + + xn [ ]h[ ] + xn [ ]h[ ] hn [ k]xk [ ] n k (.) I (.) er xk [ ] for k <. Det er også antatt at systemet er kausalt, fordi det i (.) ikke er noen bidrag til yn [ ] fra xk [ ] når k > n. Den generelle versjon av (.) blir yn [ ] hn [ k]xk [ ] hn [ ]*xn [ ] hk [ ]xn [ k] k k (.3) (.) og (.3) kaller vi diskret folding. Den er som antydet i (.3), kommutativ, akkurat som i det kontinuerlige tilfellet. Den er også asossiativ og distributiv. (Som vi vil oppdage etterhvert, gjelder det generelt at de egenskaper vi kjenner fra kontinuerlige signaler og systemer, har sin parallell i det diskrete tilfelle)... Merknad om folding for kontinuerlige signaler Formelen (.3) er analog med foldingsintegralet yt () ht ( τ)x( τ)dτ for det kontinuerlige tilfellet. ht ()*xt (.4)

16 .3. DEN DISKRETE FOURIERTRANSFORMASJON Faktisk kan kontinuerlig folding gis en fysisk, intuitiv tolkning nettopp ved å betrakte (.4) slik som vi betraktet (.3): Kontinuerlig folding kan betraktes som en uendelig sum av små impulsresponser, hvor hver impuls (deltafunksjon) inntreffer ved tida τ i, og har arealet x( τ i ) τ ved denne tida: yt () ht ( τ i )x( τ i ) τ, her er τ τ i τ i (.5) i.. Merknad om frekvens for diskrete signaler Pr. definisjon setter vi avstand i diskret tid mellom xn [ ] og xn [ + ] (dimensjonsløs tid). Anta at det diskrete signalet framkommer ved tasting ( sampling på engelsk) av et kontinuerlig fysisk signal. M.a.o.: Det diskrete signalet representerer punktprøver ( samples ) av det kontinuerlige, fysiske signal. Man har dermed en fysisk tidsavstand T mellom to samples ( T kalles tastetid, samplingstid ). Anta at et signal med fysisk frekvens ω tastes med tastetid T. Når vi beskriver det tastede, diskrete signalet med dimensjonsløs tidsavstand (vi skalerer det i tid) må det lede til en tilsvarende skalering i frekvens: ω svarer til en dimensjonsløs frekvens Ω ωt. Eksempel: Er T.s ms, og ω 3 rad/s (dette svarer til 3 π 477 Hz), så blir den dimensjonsløse frekvens Ω Vi vil i dette kurset bruke stor Ω for å markere dimensjonsløs frekvens, som altså gjelder for diskrete signaler med tastetid (dimensjonsløs tid). Se også læreboka side 3. Vi skal nå finne et uttrykk for (dimensjonsløs) frekvensrespons, når impulsresponsen hn [ ] er gitt. Denne frekvensresponsen er den diskrete Fouriertransform av tidsforløpet hn [ ]..3 Den diskrete Fouriertransformasjon Gitt et stabilt diskret system med impulsresponsen hn [ ]. Vi eksiterer det med det diskrete inngangssignalet xn [ ] sin( Ω[ n] ), n. Siden signalet har vært påsatt siden n og systemet er stabilt, er alle transienter dødd ut, og vi sitter igjen med den stasjonære responsen yn [ ]. Vi kan skrive sin( Ω[ n] ) Im( e jω[ n] ). Vi bruker diskret folding (.3), høyre del, og får yn [ ] hk [ ]xn [ k] k k hk [ ]Im( e jω[ n k] ) (.6)

17 . DISKRETE SIGNALER OG SYSTEMER Dette kan omformes til yn [ ] Im hk [ ]e j k Ω[ k] e jω[ n] (.7) Hvis vi nå definerer H( Ω) hk [ ]e j k Ω[ k] (.8) kan vi skrive (.7) som yn [ ] Im{ H( Ω)e jω[ n] } Im( H( Ω) e j H( Ω) e jω[ n] ) H( Ω) sin( Ω[ n] + H( Ω) ) (.9) (.9) viser at yn [ ] svinger med en amplitude og en faseforskyvning gitt av hhv. H og H.. (Merk at fre- H( Ω) er derfor frekvensresponsen til systemet med impulsrespons hn [ ] kvensen Ω er kontinuerlig, sjøl om tida n er diskret). Dermed er den diskrete Fouriertransformasjon H( Ω) hn [ ]e j n Ωn, (.) Vi symboliserer denne med H( Ω) F ( hn [ ]), altså som i det kontinuerlige tilfellet. Det gjenstår nå å finne inverstransformasjonen. Dette gjøres via følgende knep : Vi merker oss at e jω[ n] er periodisk i Ω med periode π. Da framgår det av (.) at også H( Ω) må bli periodisk i Ω med periode π. Dermed kan H( Ω) representeres ved en Fourierrekke. Men merk at periodisiteten nå er i frekvens- og ikke i tidsplanet. Matematisk sett har denne forskjellen ingen betydning. Vi betrakter formlene for Fourierrekka (læreboka ligning (4.34)-(4.35)): xt () ak [ ]e jkω t, eller xt () ak [ ]e jkω t, der ak [ ] a[ k] (.) k k ak [ ] xt ()e kω j t dt, eller ak [ ] xt ()e jkωt dt (.) T T T T

18 .3. DEN DISKRETE FOURIERTRANSFORMASJON 3 Sammenligner vi (.) og høyre versjon av (.), samtidig som vi benytter at H( Ω) er periodisk i Ω med periode π, kan vi lage en tabell som viser hvilke størrelser som svarer til hverandre rent matematisk: Fourierrekke Diskret F.-transform xt () HΩ ( ) ak [ ] hn [ ] T ω π Tabellen og høyre del av (.) gir oss da den inverse diskrete Fouriertransformasjonen: hn [ ] H ( Ω )e π jωn dω π (.3) Dermed kan vi oppsummere de to ligningene for diskret Fouriertransformasjon. For sammenligningas skyld har jeg også tatt med de tilsvarende ligninger når tidsforløpet er kontinuerlig: H( Ω) hn [ ]e jωn H( ω) ht ()e jω hn [ ] n H ( Ω )e π jωn dω ht () π t t dt H ( ω )e π jωt dω ω (.4).3. Eksempel: Utregning av en diskret Fourier-transform Betrakt det stabile diskrete systemet med impulsrespons hn [ ] µ [ n]a n, < a< (.5).8 hn [ ] Figur.3 n

19 4. DISKRETE SIGNALER OG SYSTEMER µ [ n] er den diskrete enhetssprangfunksjonen. Responsen er vist i figur.3. Vi bruker (.) til å finne den diskrete Fouriertransformen til (.5) H( Ω) a n e jωn a e jω a n n e jω n ae jω e jω, eller (.6) e jω a Her har vi brukt formelen for summen av en geometrisk rekke for å finne (.6): + β + β , når β < (.7) β Betingelsen β < er oppfylt i (.6), fordi vi har forutsatt a < samtidig som e j Ω. Hvis derimot a >, så hadde ikke (.6) konvergert, og H ( Ω ) hadde ikke eksistert. Dette er som forventet, fordi a > i (.5) ville ha betydd ustabilt system, dvs. en eksponensielt økende tallfølge hn [ ] µ [ n]a n, og et slikt system er ustabilt og har dermed ingen frekvensrespons. Vi trenger forøvrig ikke begrense oss til systemers impulsrespons; vi kan sjølsagt betrakte hn [ ] som et vilkårlig signal. Betingelsen for at vilkårlig signal er diskret Fouriertransformerbart er enten at det er absolutt summérbart eller at det har endelig energi, n hn [ ] < eller hn [ ] < n (.8) Vi ser at (.5) oppfyller (.8), begge varianter. (.8) er som forventet nokså lik betingelser for eksistens for Fouriertransformasjonen for kontinuerlige tidsforløp. Vi får bekreftet perioden π for H( Ω) i (.6), fordi Ω bare opptrer i ledd av typen e jω. Dette vil alltid være tilfelle for diskrete Fouriertransformer. For flere eksempler på diskrete Fouriertransform-par, se læreboka s Den diskrete Fouriertransformasjonen har de samme egenskaper som den kontinuerlige m.h.p. linearitet, folding (convolution), dualitet m.m. Se læreboka. Når det gjelder hvordan regne ut den inverse diskrete Fouriertransform, dvs. (.3), kan dette gjøres via invers z-transformasjon (beskrevet seinere i dette kapittelet). Vi skal nå gå over til z-transformasjonen for diskrete systemer, som spiller samme rolle for diskrete systemer som Laplacetransformasjonen spiller for kontinuerlige.

20 .4. Z-TRANSFORMASJONEN 5.4 Z-transformasjonen Vi husker at Laplacetransformasjonen kunne betraktes som en generalisering av den kontinuerlige Fouriertransformasjonen, ved å erstatte jω med s σ + jω, der σ var en konstant, valgt slik at Laplacetransformasjonen eksisterte, også for en rekke signaler som ikke kunne Fourier-transformeres. Vi skal nå se at z-transformasjonen løser samme problem for diskrete signaler. Dette forklares enklest med et eksempel. Betrakt det ustabile systemet i figur.4 med impulsrespons hn [ ] µ [ n]a n, a > (.9) 4 3 hn [ ] n Figur.4 Dette er ikke diskret-fourier-transformerbart, siden a >. Vi løser problemet slik: Vi velger en reell positiv konstant r slik at r > a, dvs. a r <. Vi definerer en modifisert versjon av hn [ ], ĥ[ n] µ [ n]a n -- n r µ [ n] a -- n r Da vil Fouriertransformen til ĥ[ n] eksistere: Ĥ( Ω) a -- r n e jωn a a n ( re jω ) n n -- e r j Ω n n hn [ ]( re jω ) n (.) Vi innfører nå en variabel z re jω (dette er analogien til s σ + jω i det kontinuerlige tilfelle). Da blir (.): H( z) hn [ ]z n n n a n z n az z, eller (.) z a

21 6. DISKRETE SIGNALER OG SYSTEMER H( z) kalles z-transformen til hn [ ] µ ( n)a n, og eksisterer da for az < z > a. Vi kan nå innføre begrepet konvergensområde i z-planet på samme måte som vi for Laplacetransformasjonen snakker om konvergensområde i s-planet. Konvergensområdet er vist skravert på figur.5. Im z - planet Re z a Figur.5 For signalet gitt i (.5) blir det tilsvarende konvergensområde som vist i figur.6: Im z - planet z a Re Figur.6

22 .4. Z-TRANSFORMASJONEN 7 Dette signalet er stabilt. Vi ser at sirkelen gitt av z nå er inne i konvergensområdet. Men z svarer til re jωn r, dvs. z e jω. Med andre ord: Hvis z befinner seg på sirkelen gitt av z, så er z-transformen H( z) H( Ω) den diskrete Fouriertransform. Denne eksisterer i dette tilfelle fordi enhetssirkelen ligger inne i konvergensområdet. Dette er en nøyaktig parallell til følgende forhold for kontinuerlige signaler: Hvis den imaginære akse ligger i konvergensområdet i s-planet, så eksisterer Fouriertransformen for det tilsvarende kontinuerlige signal, og man får den ved å substituere s jω i Laplacetransformen. Med andre ord spiller enhetssirkelen i z-planet samme rolle som den imaginære akse i s- planet. Det henvises forøvrig til læreboka, som gir en rekke eksempler på konvergensområder for z- transformen til forskjellige typer diskrete signaler. For tosidige diskrete signaler blir konvergensområdet en sirkelformet stripe med sentrum i origo (igjen i pen analogi med det vi kjenner fra s-planet). Den generelle formelen for z-transformasjonen blir: H( z) hn [ ]z n (.) n.4. Bemerkning om notasjon Vi har nevnt i avsnitt.4 for kontinuerlige systemer at læreboka i dette kurset ikke er helt konsekvent når det gjelder notasjon for uttrykk i frekvens- og s-plan. For diskrete systemer/signaler med tidsforløp hn [ ] og z-transform H( z) gjelder tilsvarende: Frekvensresponsen burde skrives som H( e jω ), ikke H( Ω). Av praktiske hensyn vil vi likevel - med unntak av i utledninga i neste avsnitt - bruke notasjonen H( Ω)..4. Invers Z-transformasjon - utledning For å finne inverstransformasjonsformelen har vi bruk for F( hn [ ]r n ), som blir F( hn [ ]r n ) hn [ ]( re Ω ) n H( re jω ) H( z) z re jω n (.3) Da er hn [ ]r n F [ H( re jω )], dvs. hn [ ] r n F [ H( re jω )]. (.3) gir da hn [ ] r n H re π ( jω )e jωn dω π (.4)

23 8. DISKRETE SIGNALER OG SYSTEMER Vi substituerer z re jω. Dette gir dz jre jω dω jzdω dω dz jz. Videre blir e jω z r. Vi setter inn i (.4), som da blir hn [ ] H( z)z (.5) π n r dz n ---- jz r n π Dette gir den inverse z-transformasjon: hn [ ] H( z)z πj n dz z r, (.6) der r er slik at sirkelen med radius r er inne i konvergensområdet. Integrasjonsintervallet for Ω i (.3) er π. Dette svarer til at z beveger seg en omdreining langs en sirkel mot urviseren, og innafor konvergensområdet (se sirkler med tynn strek i figur.5 og.6). Integranden er et rasjonalt uttrykk med poler i nevner. Dermed kan vi bruke konturintegrasjon og residueregning (se kapittel ) for å finne den inverse z-transform..4.3 Eksempel: Utregning av en invers Z-transform Vi tar for oss det stabile høyresidige signalet (.5), som har z-transform H( z) z z a (.7) Konvergensområdet og den ene polens plassering er som vist i figur.6. Enhetssirkelen omslutter den ene polen. Dermed kan vi bruke (.6): hn [ ] z n πj z a dz Res[ f( z) ] µ [ n]z n z z a z r i a i µ [ n]a n (.8) som ventet. Merk at polen i z a gir stabilt tidsforløp fordi den ligger innafor enhetssirkelen. Igjen: Enhetssirkelen spiller samme rolle m.h.p. stabilitet for diskrete signaler og systemer som den imaginære akse spiller i s-planet (kontinuerlige systemer). Hvis vi skulle invers-z-transformere et venstresidig signal, får vi et problem med invers z- transformasjon, fordi ingen integrasjonsbane som omslutter polen er i konvergensområdet. Et slikt signal er vist i eksempel. i læreboka, s. 63. Vi må bruke et knep : Egenskap.5.4 (tabell. s.654 i læreboka) sier at h[ n] Z H --, eller h[ n] H (.9) z πj -- z n z dz z r

24 .5. Z-TRANSFORMEN SOM TRANSFERFUNKSJON. DIFFERENSLIGNING 9 Mens konvergensområdet for H( z) for et venstresidig signal er på innsida av en sirkel med radius a min, der a min er den polen i H( z) som har minst tallverdi, blir konvergensområdet for H( z) nå på utsida av en sirkel med radius a min. Dermed kan vi bruke (.9) og residuesatsen. Prosedyren blir som følger: Dann H( z) Omform H( z) til et uttrykk Gz ( ), med polynomer i z i teller og nevner, slik at nevneren får faktorer av typen z α i. (Du vil oppdage at α i a i ). Inverstransformering av Gz ( ) ved residuesatsen gir da h[ n], men vær oppmerksom på følgende viktige poeng: Hvis graden i telleren til Gz ( ) er m lavere enn graden i nevneren, så vil h[ n] bli på formen h[ n] µ [ n m], og hn [ ] vil tilsvarende få formen hn [ ] µ [ n m]. Med andre ord: Både venstre- og høyresidige signaler vil være i m tidsskritt målt fra og med origo, bakover for venstresidig signal, forover for høyresidig. Dette kan du om ønskelig utlede ved å bruke definisjonen (.) på z-transformasjon. Når det gjelder dobbeltsidige signaler, kan de betraktes som summen av et venstre- og et høyresidig signal, og disse kan beregnes hver for seg som forklart..5 Z-transformen som transferfunksjon. Differensligning Vi har sett at hvis hn [ ] er en impulsrespons, vil H( z) med z e jω, gi oss frekvensresponsen H( Ω) for det lineære diskrete systemet. Vi har videre linearitets- og foldingsegenskaper for z-transformasjonen (læreboka s. 649 og 65), slik at den med hensyn på å beregne utgangssignal hvis man kjenner inngangssignalet og impulsresponsen, kan brukes på samme måte som Laplacetransformasjonen i det kontinuerlige tilfellet. Derfor kaller vi også H( z) for transferfunksjonen for diskrete systemer. z-transformasjonen har også en annen uhyre nyttig egenskap, tidsforskyvingsegenskapen. Denne finner du oppsummert på side 65 i læreboka (prøv å utlede den, det er ganske enkelt): hn [ m] Z z m H( z), eller hn [ + m] Z z m H( z) (.3) Denne egenskapen kan brukes på en uhyre enkel måte til å finne en rekursiv formel (som også kalles ei differensligning) for et utgangssignal yn [ ] fra et system som eksiteres med et inngangssignal xn [ ].

25 . DISKRETE SIGNALER OG SYSTEMER Dette vises enklest med et eksempel. Gitt transferfunksjonen H( z) z z a az yz ( ) xz ( ) (.3) Dette betyr at yz ( )( az ) xz ( ) (.3) Vi kan nå invers-z-transformere på begge sider av (.3). Leddene på venstresida kan inverstransformeres hver for seg, siden (invers) z-transformasjon er lineær. Når vi også benytter tidsforskyvingsegenskapen (.3), får vi differensligninga: yn [ ] ay[ n ] xn [ ], eller yn [ ] ay[ n ] + xn [ ] (.33) Ved hjelp av differensligninger - som jo er rekursive, dvs. vi beregner neste utgangsverdi som en funksjon av tidligere utganger og nåværende og tidligere inngangsverdier - kan vi umiddelbart beregne responsen når inngangssignalet er kjent. I den forstand er det enklere for diskrete systemer, for i det kontinuerlige tilfellet må vi løse en differensialligning for å finne tidsresponsen. Oppsummeringsvis kan vi nå merke oss disse parallellene mellom diskret og kontinuerlig beskrivelse: Differensligning svarer til differensialligning. Vi finner differensligninga fra H( z) ved å bruke tidsforskyving som følger av multiplikasjon med z. Vi finner differensialligninga fra H( s) ved å bruke differensiering som følger av multiplikasjon med s.

26 Kapittel 3: Diskretisering av kontinuerlig system 3. Innledning Det skal vises hvordan man kan finne en diskret ekvivalent for et kontinuerlig system med holdeelement foran og taster etter. Figur 3. viser strukturen. Holdeelementet omgjør det diskrete signalet uk [ ] - som kommer fra en datamaskin - til et kontinuerlig trappeformet signal slik som vist. Dette signalet påvirker det kontinuerlige systemet, og gir en kontinuerlig respons yt (), som tastes, og vi får et diskret utgangssignal yk [ ]. Impulsresponsen ht () eller transferfunksjonen H( s) for det kontinuerlige system er gitt, og man må velge en tastetid ( samplingstid ) T. Da er en ekvivalent diskret transferfunksjon H( z) entydig bestemt. Å finne H( z) kalles diskretisering. Den ekvivalente H( z) er symbolisert med skravering i figur 3., og omfatter det kontinuerlige system med holdeelement foran og tasting etter. uk [ ] ut () yt () yk [ ] 5 k 5 t 5 t 5 k uk [ ] ut () yt () Hold H( s) Figur 3. T yk [ ] H( z) Vi skal i dette kapittelet først utlede diskretisering ved hjelp av en tilstandsrom-basert metode. I kapittel 4 vil vi lære en annen metode som vil være raskere enn denne i de fleste tilfeller. 3. Diskretisering via tilstandsromform Det monovariable kontinuerlige system bringes på tilstandsromformen ẋ Ax + Bu y Dx (3.)

27 3. DISKRETISERING AV KONTINUERLIG SYSTEM Hvis utgangspunktet er transferfunksjonen H( s), kan dette gjøres f.eks. ved hjelp av fasevariabel form (Balchen: Reguleringsteknikk, s. 69). Vi kan da umiddelbart finne transisjonsmatrisa φ e AT. Denne bruker vi i foldingsintegralet (Balchen: s. 6), mellom tidspunkt kt og ( k + )T : ( k + )T x( ( k + )T) e AT xkt ( ) + e A( ( k + )T τ) B u( τ)dτ kt (3.) På grunn av trappe-effekten til holdeelementet i figur 3. har vi ut () uk [ ] konstant for kt t < ( k + )T. Vi foretar også et skifte av integrasjonsvariabel, α τ kt. Dermed kan vi skrive (3.) som xk [ + ] φxk [ ] e AT ( α) + Bdα uk [ ] T (3.3) Her bruker vi notasjonen xk [ + ] x( ( k + )T). Integralet i parentes i (3.3) kan regnes ut slik at vi får : xk [ + ] φxk [ ] + uk [ ] yk [ ] Dx[ k], som før (3.4) der integralet blir A ( e AT I)B (3.5) (Jeg har for enkelhets skyld antatt A inverterbar, det er forøvrig ikke noe problem å beregne integralet i (3.3) uansett). Nå kan vi z-transformere begge sider av (3.4) ved hjelp av tidsforskyvingsregelen (.3): zx( z) φxz ( ) + uz ( ) (3.6) Merk at mens φ er en n n- matrise av reelle tall, så er xz ( ) en z-transformert vektor, og uz ( ) en z-transformert skalar. (3.4) kan omformes til ( zi φ)xz ( ) uz ( ) xz ( ) ( zi φ) uz ( ) (3.7) Da blir yz ( ) DzI ( φ) uz adj zi φ ( ) H( z)uz ( ) D ( ) (3.8) zi φ uz ( ). (3.4) er den diskrete parallellen til den kontinuerlige tilstandsrommodellen (3.).

28 3.3. OM POLER I DET DISKRETE OG KONTINUERLIGE SYSTEM 3 Transferfunksjonen for det diskretiserte system er altså adj zi φ H( z) D ( ) zi φ (3.9) (I kapittel 4 vil vi vise et eksempel på anvendelse av denne metoden.) H( z) er et skalart (husk systemet er monovariabelt, sjekk gjerne dimensjonene på matrisene for å konstatere at telleren blir skalar. Nevneren er sjølsagt skalar fordi den er en determinant), rasjonalt uttrykk i z. H( z) er strengt proper, dvs. graden i telleren er minst en lavere enn i nevneren. Dette gjelder ikke generelt, men vil være tilfelle når H( z) er en diskretisert versjon av et kontinuerlig strengt propert system, og systemet(3.) er strengt propert. Hvorfor? Bz ( ) b H( z) kan skrives som H( z) z n + b z n + + b n (3.) Az ( ) z n + a z n + a z n + + a n z n Ved å dividere med over og under brøkstreken, får vi et ekvivalent uttrykk H * ( z ) B * ( z ) A * ( z ) b z + b z + + b n z n a z + a z + + a n z n (3.) (3.) er den vanligste måten å skrive transferfunksjonen på (vi vil i andre sammenhenger, når misforståelser ikke kan oppstå, droppe superskript *, og skrive bare H( z ) ). Vi har A * ( z )yz ( ) B * ( z )uz ( ). Ved å inverstransformere på begge sider, bruke tidsforskyvingsegenskapen til z, og løse m.h.p. yk [ ], får vi et rekursivt uttrykk (en differensligning) for det diskretiserte systemets utgang som funksjon av tidligere utgangssignaler og inngangssignaler: yk [ ] a yk [ ] a yk [ ] a n yk [ n] + b uk [ ] + b uk [ ] + + b n uk [ n] (3.) 3.3 Om poler i det diskrete og kontinuerlige system 3.3. Polenes plassering og diskret tidsrespons Vi kan diagonalisere φ (vi forutsetter for enkelhets skyld bare distinkte poler): φ MPM (3.3) adj si A. (3.9) er den diskrete parallell til H( s) D ( ), og utledes som vi ser på identisk vis. si A B

29 4 3. DISKRETISERING AV KONTINUERLIG SYSTEM der M er en modalmatrise (en matrise av egenvektorer), og P er diagonal. Vi har P diag( ρ i ), der ρ i er egenverdiene til φ. Ved å bruke (3.3) i (3.4), får vi xk [ + ] PM xk [ ] + M uk [ ] M yk [ ] DMM xk [ ] (3.4) Ved å innføre qk [ ] M xk [ ], M og D DM, kan (3.4) skrives som qk [ + ] Pq[ k] + uk [ ] yk [ ] D qk [ ] (3.5) Impulsresponsen for systemet blir (vis det!) hk [ ] µ [ k ]D P k, (3.6) som er en lineærkombinasjon av ledd av typen µ [ k ]ρk i. (Dette er en parallell til at impulsresponsen for kontinuerlige systemer vil være en lineærkombinasjon av ledd av typen µ ) ()e t λ it. Dette gjelder også for en generell respons yk [ ] : Ved hjelp av diskret folding (.3) og (3.6), får vi at yk [ ] blir yk [ ] D P k q[ ] + d i ρk m i δ ium [ ] k m δ, her er er : (3.7) δ n og D d d n. På ikke-dekoplet ( ikke-diagonalisert) form gir (.3) og (3.4) oss yk [ ] Dφ k x[ ] + D φ k m um [ ] k m (3.8) ρ i i (3.7) kan være komplekse. Da vil ρk i sammen med den konjugerte pol ( ρ i ) k representere eksponensielt dempede ( ρ i < ) eller økende ( ρ i > ) sinusformede diskrete tidsforløp (læreboka, s. ). ρ i < svarer til at ρ i ligger innafor enhetssirkelen. Hvis alle ρ i ligger innafor enhetssirkelen er systemet stabilt.. Hvis p av polene er sammenfallende, får vi ledd av typen µ [ k ]k p ρi k, hhv. µ ()t t p e λ i t

30 3.3. OM POLER I DET DISKRETE OG KONTINUERLIGE SYSTEM Polenes plassering når et kontinuerlig system diskretiseres Sammenhengen mellom polenes plassering for det kontinuerlige system, og den tilsvarende plassering for det diskretiserte system, finner vi slik: Polene til det diskretiserte system er nullpunktene til nevneren i (3.7) eller (3.9): zi φ zi e AT zimm Me ΛT M M M zi e ΛT ( z e λ T) ( z e λ T) ( z e λ nt) ( z ρ )( z ρ ) ( z ρ n ) (3.9) mens polene i det kontinuerlige system er nullpunktene til nevneren i H( s) si A simm MΛM M ( si Λ) M ( s λ )( s λ ) ( s λ n ) (3.) Vi ser altså at polene ved diskretisering transformeres slik at poler i v.h.p. havner på innsiden av enhetssirkelen, og poler i h.h.p havner på utsiden av enhetssirkelen. Se eksempel i figur 3.. Vi kan si det slik at v.h.p. avbildes inne i enhetssirkelen, h.h.p. utenfor. Linjer parallelle med den imaginære akse i s-planet svarer til konsentriske sirkler om origo i z-planet, linjer parallelle med den reelle akse svarer til stråler ut fra origo. Merk at linjene i rutenettet fortsatt krysser hverandre med 9 vinkel untatt i det singulære punkt origo. Dette er en såkalt konform avbildning, hvor vinkler forblir de samme ved avbildninga. I eksemplet i figur 3. er T. Hvis T økes, vil stabile poler bevege seg mot origo, ustabile vekk fra origo. Videre vil øvre stråle, hvis T økes helt til 4, svinge mot urviseren til vinkel π og nedre stråle med urviseren til π. Vi får vansker hvis T økes over dette: Egenfrekvensen π 4, gitt av imaginærdelen til polene for det kontinuerlige system, blir da større enn ω s π T. Vi gjenkjenner π T som halve tastefrekvensen. Samplingsteoremet sier da at vi ikke kan gjengi det gitte systemets svingemodi entydig.. Når det gjelder nullpunkter i telleren til transferfunksjonen H(s) gjelder ikke noen entydig regel for hvordan de transformeres ved diskretisering; dette er generelt meget komplisert.. Tastefrekvensen π T kalles også Nyquistfrekvensen

31 6 3. DISKRETISERING AV KONTINUERLIG SYSTEM + j π j π s - plan e T e j π 4 -- T e T e jπ -- 4 T e.5t z - plan Figur 3.

32 Kapittel 4: Diskretisering og regulering av kontinuerlig system 4. Innledning Vi fortsetter der vi slapp i kapittel 3. I figur 4. under er vist reguleringsstrukturen: Et kontinuerlig system gitt ved impulsresponsen ht () eller transferfunksjonen H( s) skal reguleres med en diskret regulator H R ( z). Vi har i avsnitt 3. lært en metode for hvordan man kan finne en ekvivalent diskret transferfunksjon H( z) for det kontinuerlige system med holdeelement foran og tasting etter. Dette kalles diskretisering. Den ekvivalente H( z) er vist skravert i figur 4.. H( z) rk [ ] ek [ ] H R ( z) uk [ ] ut () yt () Hold H( s) T yk [ ] Figur 4. Før vi går inn på tilbakekopling og regulering, skal vi vise et eksempel på diskretisering ved hjelp av den tilstandsrom-baserte metoden som ble presentert i 3.. Så skal vi lære en annen metode som vil være raskere enn denne i de fleste tilfeller. Det samme eksemplet løses ved denne andre metoden. Deretter skal vi se på blokkdiagrammer, og komme med noen innledende betraktninger om regulatorsyntese ved diskret regulering av kontinuerlige systemer. 4. To diskretiseringsmetoder 4.. Metode : Diskretisering via tilstandsromform Vi skal nå gi et eksempel på metoden beskrevet i avsnitt 3. Det monovariable kontinuerlige system er gitt ved H( s) ss ( + ) (4.)

33 8 4. DISKRETISERING OG REGULERING AV KONTINUERLIG SYSTEM Ved å bruke fasevariabel form (Balchen: Reguleringsteknikk, side og side, eller Finn Haugen: Anvendt Reguleringsteknikk, 99-utgaven, side 6-64) får vi tilstandsrommodellen ẋ Ax + Bu, der A, B, D (4.) y Dx Vi søker nå den diskretiserte tilstandsrommodellen xk [ + ] φ( T)xk [ ] + ( T)uk [ ] yk [ ] Dx[ k], (4.3) dvs. vi trenger matrisene φ og. φ kan finnes på flere måter. Jeg velger her å bruke at φ() t L {( si A) }, eller skrevet på en annen måte: φ() t L ( si A) (4.4) Vi har for systemet (4.) at ( si A) adj( si A) si A ss s + ( + ) s -- s ss ( + ) s + (4.5) Fra (4.5) får vi (residueregning eller tabell over Laplace-transform-par): {( si A) } φ() t ( e t ) φ( T) e t L ( e T ) e T (4.6) når vi setter t T, der T tastetida. Vi må også finne et uttrykk for matrisa i (4.3): finnes enklest ved å bruke leddet i parentes i formel (3.3) i kapittel 3: T ( T) e AT ( τ) Bdτ e Aβ Bdβ e β dβ T T e β T + e T e T (4.7)

34 4.. TO DISKRETISERINGSMETODER 9 Fra (4.6) finner vi ( zi φ) z e T z e T z e T e T ( z ) ( z e T ) z (4.8) (4.8) og (3.7) gir H( z) : H( z) DzI ( φ) ( z e T e T z ) ( z e T ) z T + e T e T (4.9) H( z) ( T + e T )z +( e T ( + T) ) z ( + e T )z+ e T b z + b z + a z+ a (4.) Vi skriver (4.) på formen H * ( z ) b z + b z a z + a z (4.) Dette gir, jfr. (3.)-(3.), den rekursive formelen yk [ ] ( + e T )yk [ ] e T yk [ ] + ( T + e T )uk [ ] + ( e T ( + T) )uk [ ] (4.) 4.. Metode : Diskretisering via impulsresponsen h[k] Denne er noe raskere enn metoden basert på tilstandsrombeskrivelse. Første trinn er å finne impulsresponsen til det diskretiserte system, hk [ ]. Den kan finnes slik: Hvis vi sender en diskret enhetspuls δ[ k] inn på holdeelementet, vil dette igjen sende en firkantpuls δ P () t inn på det kontinuerlige system som vist på figur 4.: δ P () t δk [ ] Hold δ P () t H( s) h P () t T hk [ ] T t Figur 4.

35 3 4. DISKRETISERING OG REGULERING AV KONTINUERLIG SYSTEM Denne pulsen kan oppfattes som summen av den kontinuerlige enhetssprangfunksjonen og en negativ, forsinket enhetssprangfunksjon: δ P () t µ () t µ ( t T), dermed er L{ δ P () t } -- ( e (4.3) s Ts ) Responsen til utgangssignalet blir da h P () t L -- ( e s Ts )H( s) (4.4) Da har vi hk [ ] h P ( kt) (4.5) Nå kunne vi ha funnet H( z) som z-transformen til hk [ ], gjerne via tabell. Men følgende framgangsmåte er raskere: Polene i H( z) Bz ( ) Az ( ) er allerede kjent. Vi finner nevnerpolynomet Az ( ) i følge (3.9): Az ( ) ( z e λ T) ( z e λ T) ( z e λ nt) z n + a z n + a z n + + a n (4.6) Dermed gjenstår bare å finne koeffisientene i tellerpolynomet Bz ( ). Dette kan gjøres ved å sette opp et ligningssystem basert på inngangssignalet δ[ k] (diskret enhetspuls), og den tilsvarende respons hk [ ], som vi allerede har funnet som (4.5). Fra (3.) får vi h[ ] b δ[ ] b b h[ ] h[ ] a h[ ] + b δ[ ] + b δ[ ] a h[ ] + b b h[ ] + a h[ ] : b n hn [ ] + a hn [ ] + + a n h[ ] (4.7) Transferfunksjonen H( z) Bz ( ) Az ( ) er nå funnet. Prosedyren skal nå demonstreres på samme system som i eksemplet i 4... Gitt det kontinuerlige system H( s) ss ( + ) (4.8)

36 4.3. BLOKKDIAGRAM FOR DISKRETE SYSTEMER 3 Først finner vi firkantpuls-responsen i følge (4.4), gjerne ved å bruke en Laplacetransformtabell: h P () t L e Ts s µ ( s + ) ()t t ( + e t ) µ ( t T) ( t T + e ( t T) ) (4.9) Dette gir h[ ] T + e T h[ ] T + e T ( T + e T ) T + e T e T (4.) Nevnerpolynomet Az ( ) blir i følge (4.6): Az ( ) ( z e T )( z e T ) z ( + e T ) z+ e T (4.) Vi bruker nå (4.) og (4.7): b h[ ] T + e T b h[ ] + a h[ ] T + e T e T ( + e T )( T + e T ) e T ( + T) (4.) Dermed er også tellerpolynomet Bz ( ) funnet. Vi oppsummerer resultatet: H( z) ( T + e T )z +( e T ( + T) ) z ( + e T )z+ e T b z + b z + a z+ a (4.3) som er identisk med (4.), som forventet. 4.3 Blokkdiagram for diskrete systemer Det ekvivalente diskrete system svarende til figur 4. er vist i figur 4.3. Begge blokker H R ( z) og H( z) er rasjonale uttrykk i z. Dermed kan vi bruke de samme regler for reduksjon av blokkdiagram som vi kjenner fra Laplacetransformerte kontinuerlige systemer. Vi har fra før definert notasjonen H( z) Bz ( ) Az ( ) (4.4)

37 3 4. DISKRETISERING OG REGULERING AV KONTINUERLIG SYSTEM rk [ ] ek [ ] H R ( z) uk [ ] H( z) yk [ ] Figur 4.3 Nå definerer vi i tillegg H R ( z) Gz ( ) Dz ( ) (4.5) Transferfunksjonen fra rk [ ] til yk [ ] blir H ry ( z) H R ( z)h( z) H R ( z)h( z) Bz ( )Gz ( ) Az ( )Dz ( ) + Bz ( )Gz ( ) BG, eller kompakt: (4.6) AD + BG Vi ser at H ry ( z) blir et rasjonalt uttrykk. Vi kan dermed finne tidsresponsen fra rk [ ] til yk [ ] ved invers z-transformasjon. Og vi kan finne frekvensresponsen H ry ( Ω) ved å sette z e jω. 4.4 Balchens Q-transformasjon I Balchen: Reguleringsteknikk bind I, s. 397, er denne metoden beskrevet. Ved å substituere z T + -- q T -- q (4.7) i z-transformerte transferfunksjoner, vil de transformerte transferfunksjoner H R ( q ), H( q), H ry ( q) osv. forbli rasjonale. Poenget er at enhetssirkelen z < blir avbildet i halvplanet Re( q) <. dette svarer til situasjonen i s-planet for kontinuerlige systemer. Dermed kan Bode-diagram, Nichols-diagram etc., som brukes for Laplacetransformerte kontinuerlige systemer, også anvendes på diskrete systemer som er q-transformert. Man kan bl.a. lage regulatorer v.h.a. seriekompensasjon i Bodediagram. Det henvises til Balchen: Reguleringsteknikk bind I. I dette kurset skal vi imidlertid syntetisere regulatorer ved hjelp av en annen metode en seriekompensasjon, såkalt polplassering, og vi skal bruke z-plan-beskrivelse.

38 4.5. ARMAX-MODELL ARMAX-modell Betrakt reguleringsstrukturen i figur 4.4 H( z) vt () wt () rk [ ] ek [ ] H R ( z) uk [ ] yt () Hold H( s) ut () T yk [ ] Figur 4.4 De kontinuerlige forstyrrelsene vt () og wt () vil fra nå av bli kalt henholdsvis prosess-støy og målestøy. Vi ønsker nå å lage regulatorer som både får utgangen til best mulig å følge referansen rk [ ], og samtidig motvirker effekten av vt () og wt (). For å kunne gjøre det må vi lage et ekvivalent diskretisert skjema, vist på figur 4.5: vk [ ] wk [ ] rk [ ] ek [ ] H R ( z) uk [ ] H( z) yk [ ] Figur 4.5 Hvis vi nå studerer det diskrete system innafor det skraverte området, kan vi definere en såkalt ARMAX-modell A * ( z )yk [ ] B * ( z )uk [ ] + C * ( z )ε[ k] (4.8) For diskretiserte kontinuerlige systemer blir innholdet i (4.8) i følge (3.) A * ( z ) + a z + a z + + a n z n B * ( z ) b z + b z + + b n z n (4.9)

39 34 4. DISKRETISERING OG REGULERING AV KONTINUERLIG SYSTEM Hvis vi bare har prosess-støy og ikke målestøy, får vi C * ( z ) B * ( z ), ε[ k] vk [ ] (4.3) og hvis vi bare har målestøy og ikke prosess-støy, får vi C * ( z ) A * ( z ), fordi ε[ k] wk [ ] (4.3) Hvis vi har begge deler, blir C * ( z ) mer komplisert. Dette kommer vi tilbake til seinere når vi skal behandle regulering av systemer som utsettes for støy som er stokastiske prosesser. I kapittel 5 skal vi derimot forklare hvordan vi ved hjelp av polplasserings-metodikk kan lage regulatorer som motvirker støy som er deterministisk, dvs. impulser, sprangfunksjoner, etc. Slike regulatorer bygger på en modell av det diskretiserte system på formen (4.8).

40 Kapittel 5: Regulering v.h.a. polplassering I avsnitt 4.5 definerte vi en såkalt ARMAX-modell. Vi skal i dette kapittelet utlede to regulatorer som kan anvendes på et system beskrevet av en ARMAX-modell. Regulatorene har det til felles at de bringer det lukkede systems utgang til ro etter et endelig antall tidsskritt. En slik egenskap ved en regulator gjør at den kalles en dead-beat-regulator, dvs. utgangen legges død. Dead-beat-regulatorer er en av flere klasser av regulatorer som syntetiseres ved hjelp av polplassering. Polplassering betyr at man spesifiserer hvor man vil at det lukkede systems poler skal ligge, og så velger man regulatoren slik at dette oppnås. Vi skal se at hvis man velger regulatoren slik at alle poler i det lukkede diskrete system havner i origo i z-planet, så vil regulatoren være en dead-beat-regulator. Polplasseringsmetoder er radikalt forskjellige fra den klassiske frekvensanalytiske metoden med seriekompensasjon i Bode-diagram. Begge er nyttige å kunne. 5. Definisjoner, notasjon Gitt det åpne diskrete system (som kan være den diskretiserte representasjon av et kontinuerlig system) ved ARMAX-modellen Az ( )yk [ ] z m Bz ( )uk [ ] + Cz ( )ε[ k] (5.) der m er et positivt heltall og Az ( ) + a z + a z + + a n z n Bz ( ) b + b z + b z + + b n z n Cz ( ) + c z + c z + + c n z n (5.) Denne modellen er litt forskjellig fra (4.8)-(4.3) i kapittel 4: Polynomet Bz ( ) begynner nå med et konstantledd, mens vi i (4.8) forutsatte at første ledd inneholdt z. Dette var en konsekvens av diskretiseringen av et kontinuerlig strengt propert system. Men dette er ikke noe problem: Ved å sette m i (5.) så oppnår vi strukturen i (4.8) som et spesialtilfelle. Hensikten med å innføre m er å kunne ivareta effekten av en eventuell transportforsinkelse i pådraget eller målingen. Dette ivaretas med m >. Mer om det seinere. Videre: De tre polynomene kan godt ha har forskjellig grad, dvs. n A, n B, n C, men vi har da uansett n B, n C n A. For enkelhets skyld setter vi stort sett n A, n B, n C n i det følgende. Merk også at vi nå bruker notasjonen Az ( ) osv., ikke A * ( z ) osv. Vi kan sløyfe * når det går fram av sammenhengen at vi betrakter polynomer i z, ikke polynomer i z. Vi vil også, for å spare plass, svært ofte skrive uttrykk av typen (5.) som