Eksamen i fag FY2450 Astrofysikk Lørdag 21. mai 2011 Tid:

Transkript

1 Side 1 av 6 Noges teknisk-natuvitenskapelige univesitet Institutt fo fysikk Faglig kontakt unde eksamen: Navn: Jan Myheim Telefon: , mobil Sensufist: Lødag 11. juni 2011 Eksamen i fag FY2450 Astofysikk Lødag 21. mai 2011 Tid: Tillatte hjelpemidle: Kalkulato, matematiske og fysiske tabelle. En tabell ove fysiske konstante finnes sist i dette oppgavesettet. Alle deloppgave telle likt ved sensuen. Oppgave 1: a) I vå galakse, Melkeveien, obsevees galaktiske (også kalt åpne) stjenehope og kulefomete stjenehope. Fokla kot hva som kjennetegne de to typene stjenehope. Hvo i Melkeveien e de å finne? b) Figu 1 og figu 2 vise Hetzspung Russell-diagam fo to galaktiske stjenehope og en kulefomet stjenehop. Hoisontalaksen i hvet diagam vise fageindeksen B V, mens vetikalaksen vise den absolutte støelsesklassen (absolutte magnituden) til hve stjene. Hvodan måles fageindeks og absolutt støelsesklasse til en stjene? Fokla hvofo fageindeksen e et mål på oveflatetempeatuen til stjenen. Må vi kjenne avstanden fo å kunne måle fageindeksen? Begunn svaet. c) Figuene 1 og 2 tyde på at alle stjenene i en stjenehop e omtent like gamle, og at de te stjenehopene ha foskjellig alde. Fokla kot hvodan vi kan esonnee oss fam til de to konklusjonene. Hvilken av de te stjenehopene e yngst, og hvilken e eldst? Begunn svaene. d) Hva e en hovedseiestjene? Me pesist e det to spøsmål å svae på: Nå vi obsevee en stjene, hvodan kan vi vite at den e en hovedseiestjene? Og hva e den viktigste antagelsen vi må gjøe fo å lage en teoetisk modell av en hovedseiestjene? En empiisk sammenheng mellom massen M og luminositeten L til en hovedseiestjene e potensloven L = konstant M α. Eksponenten α vaiee litt, fo de mest massive hovedseiestjenene e α = 3. Buk denne elasjonen sammen med figu 1 til å beegne foholdet mellom aldeen til de to galaktiske stjenehopene Pleiadene (Sjustjenen) og M67.

2 Eksamen i fag FY2450 Side 2 av 6 Figu 1: Hetzspung Russell-diagam fo to åpne (galaktiske) stjenehope, Pleiadene (Sjustjenen) og M67 (n. 67 i Messies katalog). Hoisontalaksen vise fageindeksen B V, vetikalaksen vise den absolutte støelsesklassen (magnituden) M V målt med et V-filte som slippe gjennom synlig lys. Figuene e tegnet av Jeome James Bained.

3 Eksamen i fag FY2450 Side 3 av 6 Figu 2: Hetzspung Russell-diagam fo en kulefomet stjenehop, NGC 104, også kjent som 47 Tucanae. Stjenebildet Tukanen e oppkalt ette en søameikansk fugl. Mek at de mest lyssvake stjenene mangle i diagammet, fodi avstanden e så sto som lyså. Oppgave 2: a) Stjenen ESO e den mest lyssvake hvite dvegstjenen som e kjent. Avstanden e 140 lyså, og den ha visuell støelsesklasse (magnitude) m V = Hva e den absolutte visuelle støelsesklassen M V? Hva e den maksimale avstanden de den ville væe synlig med bae øyet? Utegningen av den absolutte støelsesklassen gi selvfølglig mening bae desom avstanden e målt med en uavhengig metode. Beskiv kot hvodan en kan måle avstanden uten å kjenne den absolutte støelsesklassen. b) Oveflatetempeatuen til den hvite dvegen ESO e estimet til 4560 K. Hva e da adien R? Sammenlign med Sola, som ha absolutt visuell støelsesklasse 4,8 og oveflatetempeatu 5780 K. Hva e massen M til denne hvite dvegstjenen, gitt den teoetiske sammenhengen ( ) Z 5 MR 3 = 4, kg m 3? (1) A Anta f.eks. at stjenen inneholde mest kabon, med atomnumme Z = 6 og massetall A = 12, elle mest jen, med Z = 26 og A = 56. Sammenlign med solmassen. Ligning (1) foutsette at den degeneete elektongassen e ikke-elativistisk. E den foutsetningen gyldig he? Hvodan foandes sammenhengen mellom masse og adius nå vi ta hensyn til at elektonene bli elativistiske ette hvet som tettheten øke?

4 Eksamen i fag FY2450 Side 4 av 6 Oppgave 3: I denne oppgaven buke vi føst Newtons gavitasjonsteoi. a) En planet (elle stjene) ha masse M, kulesymmetisk massefodeling og adius R. Hva e tyngdens akseleasjon g på oveflaten av planeten? En liten masse m som falle fitt i tyngdefeltet utenfo planeten, ha konstant enegi E = 1 2 mv2 GMm, de v e hastigheten og e avstanden til sentum av planeten. Vis at unnslipningshastigheten fa oveflaten av planeten e v e = 2GM R. (2) Avhenge unnslipningshastigheten av bevegelsesetningen? Begunn svaet. Anta at massen m holdes i o ved adius = R+h, fø den slippes og falle loddett ned på oveflaten. Vis at nå fallhøyden h e liten, så teffe den oveflaten med hastigheten v = 2gh. (3) Kal Schwazschild fant den eksakte løsningen av Einsteins gavitasjonsligning i tomt om utenfo en kulesymmetisk massefodeling med total masse M. Den se ut som følge, i polakoodinate, θ, ϕ: c 2 dτ 2 = Den avhenge av lengdepaameteen ( 1 R M )c 2 dt 2 d2 1 R 2 dθ 2 2 sin 2 θ dϕ 2. (4) M som kalles Schwazschild-adien til massen M. R M = 2GM c 2, Den fysiske tolkningen av tidsvaiablene τ og t e at dτ e et lite intevall av egentid, målt med en klokke som bevege seg, mens dt e et lite tidsintevall målt med en klokke som e i o uendelig langt bote. Tolkningen av adialkoodinaten e at en sikel = R med sentum i oigo ha omkets 2πR, og kuleflaten = R med sentum i oigo ha aeal 4πR 2. Den fysiske avstanden i adiell etning som svae til det lille koodinatintevallet d e ds = d 1 R M. Alt dette kan leses ut av Schwazschild-metikken i ligning (4).

5 Eksamen i fag FY2450 Side 5 av 6 b) En liten masse (en stein) som e i o ved adius = 0, fø den slippes og falle loddett ned på oveflaten, teffe oveflaten med hastighet v = c R MR R M 0 1 R M 0. (5) Denne fomelen kan også utledes fa Schwazschild-metikken i ligning (4). Hva bli hastigheten v nå vi holde 0 konstant, samtidig som vi gjø adien R minde så den til slutt næme seg Schwazschild-adien R M? Buk ligning (5) til å finne en fomel fo unnslipningshastigheten. Den fomelen du finne, e da gyldig i geneell elativitetsteoi. Sammenlign med den ikke-elativistiske fomelen, ligning (2). Kommenta? c) Anta nå at 0 R e liten i ligning (5), det vil si mye minde enn adien R. I følge Schwazschild-metikken e fallhøyden h, altså den fysiske avstanden som steinen falle, da gitt ved fomelen h = 0 R 1 R M R. (6) Beegn hastigheten som en kaffekopp teffe golvet med hvis den falle ned fa et bod med høyde h = 1 m. Ta fie eksemple på vedie fo masse M og adius R: 1) Joda, 2) Sola, 3) en hvit dveg med samme masse som Sola og samme adius som Joda, og 4) en nøytonstjene med samme masse som Sola og adius 15 km. d) Hvis 0 R e liten nok, bli hastigheten v i ligning (5) mye minde enn c, og da vil den ikke-elativistiske fomelen i ligning (3) væe gyldig. Buk ligningene (3), (5) og (6) til å utlede en geneell-elativistisk fomel fo tyngdens akseleasjon g på oveflaten av planeten. Hva skje med tyngdens akseleasjon hvis adien R bli så liten at den næme seg Schwazschild-adien R M?

6 Eksamen i fag FY2450 Side 6 av 6 Noen fysiske konstante og fomle Newtons gavitasjonskonstant: G = 6, m 3 kg 1 s 2 Lyshastigheten i vakuum: c = m/s Pemeabiliteten i vakuum: µ 0 = 4π 10 7 N/A 2 Pemittiviteten i vakuum: ǫ 0 = 1/(µ 0 c 2 ) = 8, F/m Den edusete Plancks konstant: h = h/(2π) = 1, J s Elementæladningen: e = 1, C Finstuktukonstanten: α = e 2 /(4πǫ 0 hc) = 1/137,036 Boltzmanns konstant: k = k B = 1, J/K Stefan Boltzmanns konstant: σ = 5, W/(m 2 K 4 ) Elektonmassen: m e = 9, kg = 0,511MeV/c 2 Potonmassen: m p = 1, kg = 938,28MeV/c 2 Nøytonmassen: m n = 1, kg = 939,57MeV/c 2 Atommasseenheten: u = 1, kg = 931,46MeV/c 2 Jodmassen: M = 5, kg Jodadien: R = 6, km Solmassen: M = 1, kg Soladien: R = 6, km Avstanden til Sola (en astonomisk enhet): 1AU = 1, km Hubble-konstanten: H 0 = 70(km/s)/Mpc 1 pc = 1 pasec = 3,26 lyså 1 lyså = 9, m Stefan Boltzmanns lov (fluks F av svat ståling med tempeatu T): F = σt 4. Relasjon mellom tilsynelatende støelsesklasse (tilsynelatende magnitude) m og absolutt støelsesklasse (absolutt magnitude) M fo en stjene i avstand d: ( ) d m M = 5 log pasec Fo to stjene 1 og 2 gjelde følgende elasjone: ( ) b1 m 2 m 1 = 2,5 log 10 b 2 M 2 M 1 = 2,5 log 10 ( L1 L 2 De b e tilsynelatende lysstyke (engelsk: bightness) og L e luminositet (absolutt lysstyke)., ).

7 Page 1 of 6 The Nowegian Univesity of Science and Technology Depatment of Physics Contact peson: Name: Jan Myheim Telephone: , mobile Examination, couse FY2450 Astophysics Satuday May 21, 2011 Time: Gades made public: Satuday June 11, 2011 Allowed to use: Calculato, mathematical and physical tables. A table of physical constants is found at the end of this poblem set. All subpoblems ae given the same weight in the gading. Poblem 1: a) Ou galaxy, the Milky Way, contains galactic (also called open) sta clustes and globula sta clustes. Descibe biefly the main chaacteistics of the two types of sta clustes. Whee in the Milky Way ae they found? b) Figue 1 and Figue 2 show Hetzspung Russell diagams of two galactic sta clustes and one globula sta cluste. The hoizontal axis in each diagam shows the colou index B V, wheeas the vetical axis shows the absolute magnitude of each sta. How ae the colou index and the absolute magnitude of a sta measued? Explain why the colou index is a measue of the suface tempeatue of a sta. Is it necessay to know the distance to measue the colou index? Explain you easoning. c) The Figues 1 and 2 indicate that all the stas in one cluste have appoximately the same age, and that the thee sta clustes have diffeent ages. Explain biefly how we may aive at these two conclusions, and list the thee sta clustes in ode of inceasing age. d) What is a main sequence sta? Moe pecisely, thee ae two questions to be answeed: When we obseve a sta, how can we know that it is a main sequence sta? And what is the most impotant assumption we have to make in ode to compute a theoetical model of a main sequence sta? An empiical elation between the mass M and luminosity L of a main sequence sta is the powe law L = constant M α. The exponent α may vay, fo the most massive main sequence stas we have α = 3. Use this elation togethe with Figue 1 in ode to compute the atio between the ages of the two galactic sta clustes the Pleiades (the Seven Sistes) and M67.

8 Examination, couse FY2450 Page 2 of 6 Figu 1: Hetzspung Russell diagams of two open (galactic) sta clustes, the Pleiades (Seven Sistes) and M67 (no. 67 in Messie s catalogue). The hoizontal axis shows the colou index B V, the vetical axis shows the absolute magnitude M V measued with a V filte admitting visible light. The figues ae plotted by Jeome James Bained.

9 Examination, couse FY2450 Page 3 of 6 Figu 2: Hetzspung Russell diagam of a globula sta cluste, NGC 104, also known as 47 Tucanae. The constellation Tucana is named afte a South Ameican bid. The least luminous stas ae missing in the diagam because the distance is lage, light yeas. Poblem 2: a) The sta ESO is the least luminous white dwaf sta known. Its distance is 140 light yeas, and its visual magnitude is m V = What is its absolute visual magnitue M V? What is the maximal distance whee it would be visible with the unaided eye? The computation of the absolute magnitude is of couse meaningful only if the distance is measued by some independent method. Descibe biefly how to measue distance without knowing befoehand the absolute magnitude. b) The suface tempeatue of the white dwaf ESO has been estimated at 4560 K. What is then its adius R? Compae with the Sun, which has absolute visual magnitude 4.8 and suface tempeatue 5780 K. What is the mass M of this white dwaf, given the theoetical elation ( ) Z 5 MR 3 = kg m 3? (1) A Assume e.g. that the sta contains mostly cabon, with atomic numbe Z = 6 and mass numbe A = 12, o mostly ion, with Z = 26 and A = 56. Compae with the sola mass. Equation (1) is valid only if the degeneate electon gas is non-elativistic. Is that assumption valid hee? How is the elation between mass and adius changed when we take into account that the electons become elativistic as the density inceases?

10 Examination, couse FY2450 Page 4 of 6 Poblem 3: In this poblem we use fist Newton s theoy of gavitation. a) A planet (o sta) has mass M, a spheically symmetic mass distibution and adius R. What is the acceleation of gavity g on the suface of the planet? A small mass m falling feely in the gavitational field outside the planet has constant enegy E = 1 2 mv2 GMm, whee v is the velocity and is the distance to the cente of the planet. Show that the escape velocity fom the suface of the planet is 2GM v e = R. (2) Does the escape velocity depend on the diection of motion? Explain you eaoning. Assume that the mass m is kept at est at the adius = R+h, befoe it is elased and falls vetically onto the suface. Show that when its height of fall h is small, it hits the suface with the velocity v = 2gh. (3) Kal Schwazschild found the exact solution of Einstein s gavitational equation in empty space outside a spheically symmetic mass distibution of total mass M. It looks like this, in pola coodinates,θ,ϕ: c 2 dτ 2 = ( 1 R M It depends on the length paamete )c 2 dt 2 d2 1 R M 2 dθ 2 2 sin 2 θ dϕ 2. (4) R M = 2GM c 2, which is called the Schwazschild adius of the mass M. The physical intepetation of the time vaiables τ and t is that dτ is a small inteval of pope time, as measued on a moving clock, wheeas dt is a small time inteval measued on a stationay clock infinitely fa away. The intepetation of the adial coodinate is that the cicumfeence of a cicle = R with its cente at the oigin is 2πR, and the aea of the sphee = R with cente at the oigin is 4πR 2. The physical distance in the adial diection coesponding to the small coodinate inteval d is ds = d 1 R M. All of this can be ead out of the Schwazschild metic in Equation (4).

11 Examination, couse FY2450 Page 5 of 6 b) A small mass (a stone) at est at the adius = 0, which is eleased and falls vetically onto the suface, hits the suface with velocity v = c R MR R M 0 1 R M 0. (5) This fomula can also be deived fom the Schwazschild metic in Equation (4). What will the velocity v become when we hold 0 constant, at the same time as we make the adius R smalle until it appoaches the Schwazschild adius R M? Use Equation (5) to find a fomula fo the escape velocity. The fomula you find in this way is then valid in the geneal theoy of elativity. Compae with the non-elativistic fomula, Equation (2). Comment? c) Assume now that 0 R is small in Equation (5), that is, much smalle than the adius R. Accoding to the Schwazschild metic the height of fall h, i.e. the physical distance the stone is falling, is then given by the fomula h = 0 R 1 R M R. (6) Compute the velocity with which a cup of coffee hits the floo if it falls down fom a table of height h = 1 m. Take fou examples of values fo the mass M and adius R: 1) the Eath, 2) the Sun, 3) a white dwaf of the same mass as the Sun and the same adius as the Eath, and 4) a neuton sta of the same mass as the Sun and adius 15 km. d) If 0 R is small enough, the velocity v in Equation (5) will be much smalle than c, and then the non-elativistic fomula in Equation (3) will be valid. Use the Equations (3), (5) and (6) to deive a geneal elativistic fomula fo the acceleation of gavity g on the suface of the planet. What happens to the acceleation of gavity if the adius R becomes so small that it appoaches the Schwazschild adius R M?

12 Examination, couse FY2450 Page 6 of 6 Some physical constants and fomulae Newton s gavitational constant: G = m 3 kg 1 s 2 The speed of light in vacuum: c = m/s The pemeability of vacuum: µ 0 = 4π 10 7 N/A 2 The pemittivity of vacuum: ǫ 0 = 1/(µ 0 c 2 ) = F/m The educed Planck s constant: h = h/(2π) = J s The elementay chage: e = C The fine stuctue constant: α = e 2 /(4πǫ 0 hc) = 1/ Boltzmann s constant: k = k B = J/K The Stefan Boltzmann constant: σ = W/(m 2 K 4 ) The electon mass: m e = kg = 0.511MeV/c 2 The poton mass: m p = kg = MeV/c 2 The neuton mass: m n = kg = MeV/c 2 The atomic mass unit: u = kg = MeV/c 2 The mass of the Eath: M = kg The adius of the Eath: R = km The sola mass: M = kg The sola adius: R = km The distance to the Sun (one astonomical unit): 1AU = km The Hubble constant: H 0 = 70(km/s)/Mpc 1 pc = 1 pasec = 3.26 lightyeas 1 lightyea = m Stefan Boltzmann s law (flux F of blackbody adiation of tempeatue T): F = σt 4. Relation between appaent magnitude m and absolute magnitude M of a sta at distance d: ( ) d m M = 5 log pasec Fo two stas 1 and 2 the following elations hold: ( ) b1 m 2 m 1 = 2.5 log 10 b 2 M 2 M 1 = 2.5 log 10 ( L1 L 2, ). Whee b is (appaent) bightness and L is (absolute) luminosity.