Eksamen i FY3452 GRAVITASJON OG KOSMOLOGI Fredag 24. mai :00 13:00

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "Eksamen i FY3452 GRAVITASJON OG KOSMOLOGI Fredag 24. mai :00 13:00"

Ingrid Håland
7 år siden
Visninger:

NTNU Side 1 av 2 Institutt fo fysikk Faglig kontakt unde eksamen: Pofesso Kåe Olaussen Telefon: 45 43 71 70 Eksamen i FY3452 GRAVITASJON OG KOSMOLOGI Fedag 24.

1 NTNU Side 1 av 2 Institutt fo fysikk Faglig kontakt unde eksamen: Pofesso Kåe Olaussen Telefon: Eksamen i FY3452 GRAVITASJON OG KOSMOLOGI Fedag 24. mai :00 13:00 Tillatte hjelpemidle: Altenativ C Standad kalkulato (ifølge NTNU s liste. K. Rottman: Matematisk fomelsamling (alle spåkutgave. Banett & Conin: Mathematical Fomulae Thee is also an english vesion of this exam set. Dette oppgavesettet e på 2 side. Oppgave 1. Bevegelse utenfo et oteende legeme Til laveste ikke-tivielle oden i M / e linjeelementet utenfo et oteende legeme med masse M og deieimpuls J av fomen ( c 2 dτ 2 = He e 1 M c 2 dt 2 2 ( M + 2K J 2 sin2 θ c dt dφ 1 + M d 2 2 ( dθ 2 + sin 2 θ dφ 2. (1 M = 2G NM J c 2, K J =, (2 Mc M de G N e Newton s gavitasjonskonstant. Bevegelsen til en punktpatikkel utenfo dette legemet e bestemt av Lagangefunksjonen L = 1 2 g µνẋ µ ẋ ν, (3 via Hamiltons pinsipp. He bety deivasjon med hensyn til egentid τ. Du kan velge å buke enhete de c = 1. a Lagangefunksjonen L avhenge ikke eksplisitt av t. Hvilken konsevet støelse gi dette opphav til? b Lagangefunksjonen L avhenge ikke eksplisitt av φ. Hvilken konsevet støelse gi dette opphav til? c Lagangefunksjonen L avhenge ikke eksplisitt av τ. Hvilken konsevet støelse gi dette opphav til? d Anta at θ = 1 2 π, θ = 0, dvs. bevegelse i ekvatoplanet, e en løsning av bevegelsesligningene. Sett defo sin 2 θ = 1, θ = 0, og finn bevegelsesligningen fo (τ.

2 Eksamen i FY3452 Gavitasjon og kosmologi, Side 2 av 2 Oppgave 2. Estimat av støelsesoden Buk din geneelle kunnskap om fysiske fenomene og fysiske sammenhenge til å anslå støelsene nedenfo. Fokla hvodan du kom fam til anslagene. a Paameteen M /, de M e massen til joda og e jodas adius. b Paameteen M /, de M e massen til sola og e solas adius. c Paameteen K J = J M c d Paameteen K J = J M c fo joda, de J e deieimpulsen til joda. fo sola, de J e deieimpulsen til sola. Oppgave 3. Einstein s gavitasjonsteoi til laveste oden I denne oppgaven skal du se litt på Einstein gavitasjonsteoi til føste oden i avviket fa flatt om. Dvs. at vi skive linjeelementet på fomen c 2 dτ 2 = {η µν + ε h µν (x} dx µ dx ν, (4 de η µν = diag (1, 1, 1, 1, og bae egne til føste oden i paameteen ε. Dette e tilstekkelig til å elativt enkelt kunne finne linjeelemente som f.eks. det i ligning (1. a Anta at vi gjø en (liten tansfomasjon av koodinate, x µ = x µ + ε Λ µ ( x, (5 og egn ut den tilhøende tansfomasjonen, h µν (x h µν ( x. (6 b Vis at det e mulig å velge Λ µ ( x slik at V ν ( h µ ( h µ ν 1 2 δµ h ν λ λ = 0. (7 I det følgende kan du anta at denne betingelsen alleede e oppfylt fo h µν, dvs. at V ν (h = 0. c Bestem konneksjonskoeffisientene Γ µ νλ til føste oden i ε. d Vis at Riemann-tensoen kan uttykkes på fomen R µνλσ = 1 ( hµσ,νλ + h 2 νλ,µσ h νσµλ h µλ,νσ ε + O(ε 2. (8 e Hve av de fie indeksene til R µνλσ kan ta fie vedie (0, 1, 2, 3. Hvo mange uavhengige komponente ha R µνλσ fo en geneell symmetisk h µν? f Beegn Ricci-tensoen R µν = R λ µλν. Buk betingelsen V ν(h = 0 til å foenkle uttykket. Beegn Einstein-tensoen G µν = R µν η µν R λ λ unde den samme betingelsen.

3 Some expessions which may be of use Eule-Lagange equations The Eule-Lagange equations fo a field theoy descibed by the Lagangian L = L(ϕ a, µ ϕ a, x ae ( L µ = L. (9 ( µ ϕ a ϕ a The coesponding equations fo point paticle mechanics is obtained by esticting µ to only a time deivative d/dt. Nöthe s theoem Assume the action is invaiant unde the continuous tansfomations ϕ a ϕ a + ε δϕ a + O(ε 2, moe pecisely that L L + ε µ Λ µ + O(ɛ 2 unde this tansfomation. Then thee is an associated conseved cuent, J µ = L ( µ ϕ a δϕ a Λ µ. (10 I.e., µ J µ = 0. The coesponding expession fo point paticle mechanics is obtained by esticting µ to only a time deivative d/dt.

4 NTNU Page 1 of 2 Institutt fo fysikk Contact duing the exam: Pofesso Kåe Olaussen Telephone: Exam in FY3452 GRAVITATION AND COSMOLOGY Fiday May 24, :00 13:00 Allowed help: Altenativ C Standad calculato (accoding to list by NTNU. K. Rottman: Matematisk fomelsamling (all language editions. Banett & Conin: Mathematical Fomulae Det e også en nosk vesjon av dette eksamenssettet. This poblemset consists of 2 pages. Poblem 1. Motion outside a otating body The line element outside a otating body with mass M and angula momentum J is to lowest non-tivial ode in M / of the fom ( c 2 dτ 2 = Hee 1 M c 2 dt 2 2 ( M + 2K J 2 sin2 θ c dt dφ 1 + M d 2 2 ( dθ 2 + sin 2 θ dφ 2. (1 M = 2G NM J c 2, K J =, (2 Mc M whee G N is the Newton constant of gavity. The motion of a point paticle outside this body is govened by the Lagange function, L = 1 2 g µνẋ µ ẋ ν, (3 though Hamilton s pinciple. Hee means diffeentiation with espect to eigentime τ. You may choose to use units whee c = 1. a The Lagange function L does not depend explicitly on t. Which conseved quantity does this give ise to? b The Lagange function L does not depend explicitly on φ. Which conseved quantity does this give ise to? c The Lagange function L does not depend explicitly on τ. Which conseved quantity does this give ise to? d Assume that θ = 1 2 π, θ = 0, i.e. motion in the equatoial plane, is a solution of the equations of motion. Thus set sin 2 θ = 1, θ = 0, and find the equation of motion fo (τ.

5 Exam in FY3452 Gavitation og cosmology, Page 2 of 2 Poblem 2. Estimating odes of magnitude Use you geneal knowledge of physical phenomena and physical elations to estimate the quantities below. Explain how you aive at the estimates. a The paamete M /, whee M is the mass of the eath, and is the adius of the eath. b The paamete M /, whee M is the mass of the sun, and is the adius of the sun. c The paamete K J = J M c d The paamete K J = J M c Poblem 3. Einstein gavity to lowest ode fo the eath, whee J is the angula momentum of the eath. fo the sun, whee J is the angula momentum of the sun. In this poblem you shall investigate the Einstein theoy of gavity to fist ode in the deviation fom flat space. I.e., we wite the line element in the fom c 2 dτ 2 = {η µν + ε h µν (x} dx µ dx ν, (4 whee η µν = diag (1, 1, 1, 1, and calculate only to fist ode in the paamete ε. This is sufficient to elatively easy be able to detemine line elements like f.i. the one in equation (1. a Assume we make a (small tansfomation of coodinates, and calculate the coesponding tansfomation, x µ = x µ + ε Λ µ ( x, (5 h µν (x h µν ( x. (6 b Show that it is possible to choose Λ µ ( x such that V ν ( h µ ( h µ ν 1 2 δµ h ν λ λ = 0. (7 In the following you may assume that this condition is aleady fulfilled fo h µν, i.e. that V ν (h = 0. c Detemine the connection coefficients Γ µ νλ to fist ode in ε. d Show that the Riemann tenso can be expessed in the fom R µνλσ = 1 2 ( hµσ,νλ + h νλ,µσ h νσµλ h µλ,νσ ε + O(ε 2. (8 e Each of the fou indices of R µνλσ may take fou values (0, 1, 2, 3. How many independent components does R µνλσ have fo a geneal symmetic h µν? f Calculate the Ricci tenso R µν = R λ µλν. Use the condition V ν(h = 0 to simplify the expession. Calculate the Einstein tenso G µν = R µν η µν R λ λ unde the same condition.

6 Some expessions which may be of use Eule-Lagange equations The Eule-Lagange equations fo a field theoy descibed by the Lagangian L = L(ϕ a, µ ϕ a, x ae ( L µ = L. (9 ( µ ϕ a ϕ a The coesponding equations fo point paticle mechanics is obtained by esticting µ to only a time deivative d/dt. Nöthe s theoem Assume the action is invaiant unde the continuous tansfomations ϕ a ϕ a + ε δϕ a + O(ε 2, moe pecisely that L L + ε µ Λ µ + O(ɛ 2 unde this tansfomation. Then thee is an associated conseved cuent, J µ = L ( µ ϕ a δϕ a Λ µ. (10 I.e., µ J µ = 0. The coesponding expession fo point paticle mechanics is obtained by esticting µ to only a time deivative d/dt.

Like dokumenter

Løsningsforslag til eksamen i FY3452 GRAVITASJON OG KOSMOLOGI Fredag 24. mai 2013

Løsningsforslag til eksamen i FY3452 GRAVITASJON OG KOSMOLOGI Fredag 24. mai 2013 NTNU Side 1 av 4 Institutt fo fysikk Fakultet fo fysikk, infomatikk og matematikk Løsningsfoslag til eksamen i FY3452 GRAVITASJON OG KOSMOLOGI Fedag 24. mai 2013 Dette løsningsfoslaget e på 4 side. Oppgave