NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Side 1 av 6 INSTITUTT FOR ENERGI- OG PROSESSTEKNIKK

Transkript

1 NORGES TEKNISK-NTURVITENSKPEIGE UNIVERSITET Side 1 av 6 INSTITUTT FOR ENERGI- OG PROSESSTEKNIKK Faglig kontakt unde eksamen: Reida Kistoffesen, tlf.: EKSMEN I TEP 4110 FUIDMEKNIKK Bokmål/Nynosk/English Tisdag 18. desembe 007 Tid: Hjelpemidle C: Bestemt, enkel kalkulato tillatt. F.Igens: "Fomelsamling i mekanikk" (med egne kommentae tillatt). K.Rottmann: "Matematisk fomelsamling". Vedlegg: Equations of Motion in Cylindical Coodinates. Nosk - Tysk - Engelsk odliste Sensuen falle Fo English tet see afte the Nowegian one Oppgave 1. Et stillestående ka e fylt med olje med elativ tetthet ( Specific Gavity ) SG 0.85 og med viskositet μ 0.1 Ns/m. En massiv kule med diamete d 1 mm og med SG 3.0 skal slippes ned i kaet. Tyngdens akseleasjon e g 9.81 m/s. a) Kulen henge i en sno. Finn vektfoskjellen nå kulen henge i luft og nå den henge neddykket i oljen. b) Kulen slippes og ette en kot distanse synke den med konstant hastighet U. Motstandskaften (Dag) estimees fa dagkoeffisienten C D 4/ Re d. Finn kulas hastighet U. Uttykket fo C D e gyldig hvis Re d 0.1. Kontollè at svaet ditt oveholde dette kavet. c) Motstandskaften på en kule som synke med konstant hastighet U i et væskefyllt ka kan finnes ut fa følgende opplysninge: Kaet ha konstant tvesnittsaeal. Den vetikale hastighetsfodelingen u e kjent ove et tvesnitt en høyde ove kula de tykket antas statisk. Sett opp et uttykk fo motstandskaften på kula (ingen utegninge keves). d) Kaet med olja stå oppå en vekt. Hvo stot eksta utslag vise vekta i disse te situasjonene: Kula henge stille neddykket i olja som i spøsmål a); Kula synke med konstant hastighet U som i spøsmål b); Kula ligge stille på bunnen i kaet.

2 Side av 6 Oppgave. Sett ovenifa: v Sett fa siden: p a g Ω R R En lang ett sylinde med sikulæt tvesnitt e montet i en dill. Sylindeen stikkes vetikalt ned i vann med tetthet ρ og dynamisk viskositet μ. Sylindeens lengde e mye støe enn dens adius R slik at endeeffekte kan neglisjees. Sylindeen otees om sin egen akse med konstant vinkelhastighet Ω slik at det etablees en stasjonæ stømning i hoisontalplanet som antydet i figuen. Tyngdens akseleasjon e g og atmosfæetykket e p a. Vi anta at hastighetsfeltet kan skives som v, v v 0 de e en positiv konstant. a) Veifisè at stømningsfeltet e hvivlingsfitt. Finn stømfunksjonen ψ og hastighetspotensialet φ. Hvilke SI-enhete ha støelsene ψ og φ? b) Vis at tykket i vannet kan skives som p(, ) p g 1 a ρ ρ og finn fomen på vannoveflaten. c) Vis at det oppgitte tykk- og hastighetsfelt tilfedsstille bevegelseslikningen fo et viskøst inkompessibelt fluid. Tykket antas uavhengig av på gunn av aksesymmeti. Bestem konstanten. d) Finn et uttykk fo effekten som dillen må yte fo å holde sylindeen i konstant otasjon.

3 Side 3 av 6 Oppgave 3 uft med konstant tetthet ρ og dynamisk viskositet μ stømme med konstant hastighet U 1 inn i et ø med innvendig diamete D. På gunn av fiksjon mot øveggen dannes et gensesjikt, men i denne oppgaven benyttes fotengningstykkelsen slik at øet ved snitt i figuen ha en tilsynelatende minde diamete d. vstanden mellom innløpet (snitt 1) og snitt betegnes. Se bot fa tyngdens innvikning i poblemet. 1 U 1 D U d a) Veifisè at gensesjiktstømningen e laminæ (Re < 10 6 ) ved snitt. Beegn gensesjikttykkelsen og fotengningstykkelsen ved snitt. Buk tallvediene ρ 1. kg/m 3, μ kg/ms, 3 m, D 40 cm og U 1 m/s. ag en pinsippskisse av en eell hastighetsfodeling ove snitt. b) Finn hastigheten U ved snitt, og finn tykkfoskjellen Δp p 1 - p mellom snitt 1 og nå det e gitt at tykket ove snitt 1 e p 1. c) nta at tykket p e konstant ove hele øtvesnittet. Finn et uttykk (ikke tallsva) fo fiksjonskaften som vike på innsiden av øet ove lengden. d) Oppgaven ealisees på følgende måte: Røet skyves i stillestående luft mot venste med hastigheten U 1. Betakt poblemet fa et absolutt (stillestående) koodinatsystem og vis at fiksjonskaften beegnet i spøsmål c) bli den samme. Oppgitt fo laminæ gensesjiktstømning: (symbolene foutsettes kjent) δ, Re Re * 5.0 δ 1.7 1/ 1/

4 Side 4 av 6 English tet. Poblem 1. containe is filled with oil with specific gavity SG 0.85 and with viscosity μ 0.1 Ns/m. n massive sphee with diamete d 1 mm and with SG 3.0 is dopped in the containe. The accelleation due to gavity is g 9.81 m/s. a) The sphee is hanging in a line. Find the diffeence in weight when the sphee is hanging in ai and when the sphee is hanging submeged in the oil. b) The sphee is dopped, and afte a shot distance it sinks with constant velocity U. The dag foce is estimated fom the dag coefficient C D 4/ Re d. Find the velocity U of the sphee. The epession fo C D is valid if Re d 0.1. Check that you esult does not beak this demand. c) The dag foce on a sphee sinking with constant velocity U in a containe with liquid can be found fom the following infomation: The containe has a constant cosssection aea. The vetical velocity distibution u is known ove a coss-section at a cetain height above the sphee whee the pessue is assumed static. Give an epession fo the dag foce on the sphee (no calculations ae equied). d) The containe with oil is placed on a scale measuing weight. How much moe weight is the scale showing in these thee diffeent situations: The sphee hangs still submeged in oil as in question a); The sphee is sinking with constant velocity U as in question b); The sphee is lying still at the bottom of the containe.

5 Side 5 av 6 Poblem. View fom above: v View fom the side: p a g Ω R R long staight cylinde with cicula coss-section is mounted in a dill. The cylinde is placed vetically down in wate with density ρ and dynamic viscosity μ. The length of the cylinde is much geate than its adius R so end effects can be neglected. The cylinde is otating aound its ais with constant angula velocity Ω establishing a steady flow in the hoiontal plane as indicated in the figue. The accelleation due to gavity is g and the atmospheic pessue is p a. We assume that the velocity field may be witten as v, v v 0 whee is a positive constant. a) Veify that the flow is iotational. Find the steamfunktion ψ and the velocity potensial φ. What ae the SI-units of ψ og φ? b) Show that the pessue in the wate can be witten as p(, ) p g 1 a ρ ρ and find the shape of the wate suface. c) Show that the given velocity- and pessue-fields satisfies the equations of motion fo a viscous incompessible fluid. The pessue is assumed to be independent of due to symmety. Find the constant. d) Find an epession fo the powe the dill must give to keep the cylinde in constant otation.

6 Side 6 av 6 Poblem 3. i with constant density ρ and dynamic viscosity μ is flowing with constant velocity U 1 into a pipe with inne diamete D. Due to fiction against the pipe wall a bounday laye is fomed, but in this poblem the displacement thickness is used so that the pipe at coss section has an appaent smalle diamete d. The distance between the inlet (coss section 1) and coss section is denoted. Neglect the influence of gavity in the poblem. 1 U 1 D U d a) Veify that the bounday laye flow is lamina (Re < 10 6 ) at coss section. Calculate the bounday laye thickness and the displacement thickness at coss section. Use the values ρ 1. kg/m 3, μ kg/ms, 3 m, D 40 cm and U 1 m/s. Make a pincipal sketch of a eal velocity distibution ove coss section. b) Find the velocity U at coss section, and find the pessue diffeence Δp p 1 - p between section 1 and when it is given that the pessue at section 1 is p 1. c) ssume that the pessue p is constant ove the entie coss section. Find an epession (not numeical) fo the fiction foce acting on the inside of the pipe ove the length. d) The poblem is made eal in the following way: The pipe is moved in still ai to the left with the velocity U 1. Use an absolute (still) coodinate system and show that the fiction foce found in question c) is the same. Given fo lamina bounday laye flow (the symbols is assumed known) δ, Re Re * 5.0 δ 1.7 1/ 1/

7 Vedlegg 1 av 1