Tid og Frekvens. Nicolai Kristen Solheim

Transkript

1 Tid og Frekvens Nicolai Kristen Solheim Abstract I denne oppgaven har vi målt tid på forskjellige måter for å få et bevisst forhold til tid og forskjellige målemetoder. Vi har startet fra helt grunnleggende målinger av et timeglass med pendel, for så å gå over til stoppeklokke og senere mer avanserte metoder med en fotodiode. Et annet aspekt ved denne oppgaven er usikkerhet og hvordan dette kan minimeres. Fra målingene og ser vi at en fotodiode gir de mest nøyaktige og presise målingene, mens lengder og annet målt med unøyaktig utstyr bidrar til det meste av usikkerheten i resultatene. 1 Introduksjon Denne oppgaven skal i hovedsak gi oss bedre forståelse av usikkerhet, presisjon og nøyaktighet. Samtidig skal vi bli mer klar over hvilke faktorer som kan ha innvirkninger i dette gjennom bevisstgjøring av systematiske og tilfeldige feil. Med dette vil vi ha større mulighet til å kunne skille mellom tilfeldige og systematiske feil, og dermed minske usikkerheten så mye som mulig. Vi kan også lettere gjenkjenne lignende feil ved senere praktiske øvelser. Vi ønsker også å bidra til økt forståelse av tid og målemetoder. Dette er viktig for å gi et grunnleggende utgangspunkt for senere oppgaver hvor vi vil støte på lignende situasjoner. Ved å starte så grunnleggende som å måle et timeglass i antall pendelsvingninger får vi en bedre forståelse for hvor viktig nøyaktig utstyr er. Samtidig ser vi også hvor mye utslag forskjellige målemetoder gir resultatmessig. Oppgaven introduserer oss også til normalfordeling og standaravvik, som igjen gir oss en bedre forståelse av presisjonen målingene som vi har foretatt oss har. Vi lærer også hvordan vi kan tilpasse dataen vår så bra som mulig i henhold til f. eks. antall målinger som blir foretatt. Oppgaven er delt i tre deler. Den første delen ser på måling av tid ved hjelp av en pendel og beregner teoretisk svingetiden for pendelen. Den andre delen tar for seg måling av tid med en stoppeklokke. I den siste målingen vi foretar oss, ser vi på en pendel med en fotodiode og sammenligner resultatene med de to foregående deloppgavene. 2 Teori Selvom det meste i denne oppgaven er praktiske øvelser, bruker vi noen formler. Blant disse finner vi svingetiden til en pendel som er gitt ved Side 1 av 12

2 2 1 hvor er lengden fra pendelens massesenter til opphengspunktet og er gravitasjonskonstanten. Vi bruker her at I denne oppgaven bruker vi også forholdet 2 for å finne usikkerheten for et uttrykk. Tilsvarende har vi 3 for et uttrykk. Dette er de formlene vi bruker for å beregne perioden og usikkerheten. 3 Eksperimentelt 3.1 Del A: Timeglass og pendel Vi begynte med å måle perioden til timeglasset i antall pendelsvingninger. Dette ble gjort med øyemål slik at man altså talte hver pendelperiode frem til timeglassets var tomt. Dette ble gjort flere ganger, og vi satte også en strek for hver periode i et program og talte antall streker for å få mer data. Ut fra dette anslo vi også en usikkerhet lik 3 og en unøyaktighet 0.5. det kan være av interesse å notere at vi slapp pendelen fra 20 og lot den stabilisere seg før vi foretok målingene. Vi bruker også denne vinkelen for del B og del C. Deretter målte vi avstanden fra massesenteret til opphengspunktet. Dette ble gjort med en meterstokk, som hadde store usikkerheter. Massesenteret ble deretter beregnet med øyemål, og enkelte deler av pendelen ble oversett for å gjøre dette enklere. Vi anvendte så formel 1 og fikk at Deretter regnet vi ut usikkerheten ved å anvende 3. Vi brukte 5 hvor 0.5 slik at Med denne informasjonen kan vi beregne perioden som vi anser den tiden det tar for timeglasset å tømme seg. Dette ble løst på følgende måte hvor er antall svinginger for timeglassets periode. På tilsvarende måte løser vi nå for, men vi anvender her 2 da dette er et uttrykk. Vi skriver om 2 og løser slik at 7 Side 2 av 12

3 Oppsummert har vi følgende: Vi diskuterte videre innad i gruppen hva som kunne være sannsynlige feil og kilder til usikkerhet i de målingene vi hadde gjort. 3.2 Del B: Pendel og stoppeklokke I denne delen så vi på pendelen i forhold til en stoppeklokke. I del A beregnet vi den teoretiske svingetiden, men her måler vi den ved help av en stoppeklokke med mellomtidsfunksjon. Målingene skjer fortsatt med øyemål. Denne dataen laster vi inn i MATLAB og finner så gjennomsnittet 1.62 og standardavviket Med dette finner vi Vi anvender igjen 2 slik at Deretter måler vi perioden til timeglasset 4 ganger med en stoppeklokke og diskuterer innad i gruppen hvordan presisjonen er her i forhold til del A. Vi ser da også på i forhold til - altså det vi fant i del B i henhold til det vi fant teoretisk i del A. 3.3 Del C: Pendel, fotodiode og 20MHz klokke I denne siste delen skal vi gjøre omtrent samme målingene som i del B, men her skal vi bruke en fotodiode til å måle når pendelen passerer bunnen av banen sin altså når KE er på sitt høyeste. Vi kan kort forklare at fotodioden består av en lysdiode som sender ut IR-lys og en lysfølsom diode som gir ut 5 når den mottar reflektert lys fra lysdioden. Altså mottar den 0 ellers. Vi starter med å tape fotodioden fast sånn at den befinner seg i bunnen av pendelbanen. Videre kobler vi fotodioden til en spenningskilde og tester med et multimeter for å sjekke at alt virker som det skal. Deretter setter vi opp akvisisjonsboksen NI USB-6211 før vi laster ned "svingeperiode.m" til lab-pc-en. Vi kobler måleledningene fra akvisisjonsboksen(koblet til AI0 og AI GND) til utgangen på fotodioden, og kjører scriptet. Da dette scriptet lagrer dataen, kan en lett finne og.. Når dette er kjent kan vi igjen anvende 2 og finne. finner vi ved Side 3 av 12

4 hvor del A , 1.62 og Resten kjenner vi fra Vi tester også for hvilke utslag ulik samplingsfrekvens gir, hvor i pendelbanen fotodioden plasseres og hvordan vinkelen pendelen slippes fra virker inn på perioden. Presisjon, nøyaktighet og feil diskuteres så innad i gruppen. Vi sammenligner også med del A og del B. 4 Resultater 4.1 Del A For måling av perioden til timeglasset i pendelsvinginger har vi følgende data. Disse målingene er basert på øyemål har har en usikkerhet. Målinger: For denne dataen fant vi Vi observerte også at ble mindre over tid, som kan ha gitt en mindre feil. Vi fant uansett følgende for del A: Se 4 7 for mer om hvordan vi kom frem til dette Del B denne. I denne delen målt vi med stoppeklokke. Rådataen fra målingene la grunnlaget for # Tid Side 4 av 12

5 Videre ble det brukt MATLAB for å finne og.vi brukte også dette til å generere en normalfordeling av dataen. Figur 1: Fordeling av forsøk. -aksen representerer her pendelperioden, mens -aksen er antall hendelser for hver enkelt -verdi. Resultatene gir en tilnærmet normalfordeling. Vedlagt ligger MATLAB-programmet som ble brukt for å lage dette. Videre ble det brukt 8 og 9 for å komme fram til. Resultatene vi har for del B er dermed følgende Del C I denne mer avanserte delen, ble målingene foretatt med forskjellige samplingsrater. Vi brukte også her en lab-pc, slik at all data ble lest og behandlet. Nedenfor finner du en tabell med forskjellige samplingsrater. For de forskjellige avlesningene ble de sluppet fra samme vinkler og gitt tid til å stabilisere seg. Eneste forskjellen er at noen av samplingsratene er målt over et lenger tidsintervall for å se om det gir noen markante utslag. # Samplingsrate Side 5 av 12

6 For den første samplingsraten ser vi de forskjellige pendelperiodene målt over 250 sekunder. Vi viser her bare denne figure fordi den andre figuren ble for vanskelig å lese noe ut av. Figur 2: Målte pendelperioder med en samplingsrate lik 25. Fra figuren over kan vi også observere hvordan pendelperioden avtar over lenger tid, og vi ser også at den er mest nøyaktig i begynnelsen når pendelen har størst hastighet. For den neste samplingsrate kan vi se en lignende utvikling. Vi har også her valgt å presentere en normalfordeling av dataene. Side 6 av 12

7 Figur 3: Målte pendelperioder med en samplingsrate lik 50. Figur 4: Fordeling av innlest data ved en samplingsrate lik 25 over 100. Den neste samplingsraten, 10, andre resultater som det er verdt å legge merke til. Side 7 av 12

8 Figur 5: Målte pendelperioder med en samplingsrate lik 10. Figur 6: Registrert spenning over tid. Side 8 av 12

9 Figur 7: Fordeling av verdier ved 10. Fra figurene ovenfor ser vi at lav samplingsrate gir upresise og unøyaktige målinger. Vi ser dette spesielt fra figur 7 hvor en normalfordelingen ikke eksisterer. For neste samplingsrate 25, målt over mindre tid, får vi omtrent samme resultatet som for den første samplingsraten, men vi ser ikke at svingetiden blir mindre. Figur 8: Målte pendelperioder med en samplingsrate lik 25, men målt over mindre tid enn i første forsøk. Side 9 av 12

10 Vi velger nå en høyere samplingsrate, 250, og får en bedre normalfordeling enn det vi tidligere har hatt. Figur 9: Normalfordeling av pendelperioder med en samplingsrate lik 250. Dette betyr blant annet at høyere samplingsrater gir mer presise målinger. Vi ønsker derfor å måle med denne samplingsraten over 400, og se hva som skjer. Resulatene vi fikk var mye av det samme som den første målingen vi foretok oss på 250. Figur 10: Målte pendelperioder ved en samplingsrate lik 250 over 400. Side 10 av 12

11 Figur 11: Normalfordeling av pendelperioder med en samplingsrate lik 250 over et større tidsintervall. Fra figur 10 og 11 observerer vi at fordelingen blir forskjøvet over tid. Altså avtar svingetiden med respekt til tiden. Dette forekommer mest sannsynlig av luftmotstand og friksjon. Vi anvender videre data fra nest siste måling. Altså første måling ved 250. Matlab gir oss , noe som er en veldig høy presisjon. Vi finner også 1.62 og. Med dette kan med dette anvende 2 for å finne. Dette gir følgende resultater for del C Vi ser her at usikkerheten for er veldig liten, slik at det meste av usikkerhetsbidraget må komme fra. 5 Diskusjon Fra avsnittene over kan vi diskutere hvorvidt resulatene er nøyaktig, og hvor presise målingene våre egentlig er. Starter vi med aspektene ved del A i oppgaven vil vi se at det er visse aspekter som vil bidra med tilfeldige feil. Her finner vi blant annet øyemål som den største faktoren. Dette gjelder både ved avlesning lengder og periodemål. Blant systematiske feil finner vi usikkerheten i måling av lengden da vi slurvete brukte meterstokken, og eventuelt at vi ikke har tatt hensyn til luftmotstanden. Sistnevnte vil nok gi en veldig liten forskjell i resultatene. Dette utgjør de viktigste kildene til usikkerhet. Når det gjelder måling av timeglassets periode i antall pendelsvingninger, er neppe dette så veldig nøyaktig. Vi har ihvertfall anslått en unøyaktighet lik en halv pendelperiode, samtidig som vi har en presisjon på 3 pendelperioder. Side 11 av 12

12 Med utgangspunkt i den teoretiske pendelperioden og antall svingninger, har timeglasset en presisjon på cirka 5.1. Utover dette blir det vanskelig å si noe om nøyaktigheten da vi ikke kjenner til timeglassets faktiske periode i sekunder. I del ser vi fra figur 1 at mellomtidene har en normalfordeling. Dette gir en presisjon på Også her kjenner vi ikke til nøyaktigheten, men ser vi bort fra systematiske feil, kan vi anta at er ganske nøyaktig da de målte mellomtidenene er normalfordelt. Vi har for disse målingene også samme usikkerhetskilde som i del A øyemål. Dette har litt å si for presisjonen. Basert på den målte svingetiden til pendelen, vil nå timeglasset ha en presisjon 6.16 (se 9 for utregning av dette). Denne presisjonen er noe høyere enn den forrige presisjonen målt med de teoretiske verdiene for. Dette kan komme av den teoretiske modellen for periode er mer presis enn de målingene vi har foretatt oss. Likevel kan vi se at størsteparten av usikkerheten er et resultat av usikkerheten i. For del ser vi at svingetiden er mye mer presis da den har en usikkerhet Til sammenlikning ser vi at Videre kan vi se på timeglasset som tidsmåler. Vi ser her at presisjonen nå er 4.86 fra 10. Dette utgjør den mest presise målingen. Likevel er hoveddelen av usikkerheten fortsatt et resultat av. Derfor ville det vært bedre å måle dette mer presist hvis en ønsket å minimere usikkerheten. Vi ser også at for, noe som betyr at målingene våre er veldig nøyaktig dersom den faktiske verdien befinner seg her Vi ser fra figur 9 at målingene våre er normalfordelt rundt dette punktet. Vi har også sett litt på samplingsfrekvens, og kommet fram til at jo høyere frekvensen er, jo bedre blir målingene. Lav frekvens, altså svært få avlesninger per sekund, kan overse viktig data. Det vi også fant ut, var at å plassere fotodioden i bunnen av banen ga best resultater. Her var farten størst, så avlesningene ble mer presise. Det var også upraktisk å plassere den på toppen av banen da pendelenbanen ble mindre og til slutt ikke ble registrert av sensoren. Dette kan være typiske feilkilder, sammen med at viktig data forsvinner grunnet lav samplingsfrekvens. Fra figur 10 kan vi også se at utslaget av pendelen har litt å si. Dersom vi slipper den fra en høyere vinkel avtar pendelutslaget raskere enn om vi slipper pendelen fra en mindre vinkel. Vi får også større for større. Dette stemmer overens med det som var forventet. Likevel kom det overraskende at usikkerheten ble så stor grunnet. Dersom man skal gjøre noe liknende senere kan det lønne seg å finne mer nøyaktige måter å måle på, og også måle lengden på en annen måte. Det vil redusere usikkerheten kraftig. 6 Konklusjon Gjennom denne oppgaven har vi sett hvordan forskjellige instrumenter kan gi forskjellige utslag innen usikkerhet, nøyaktighet og presisjon. Gjennom sammenlikning har vi sett at den teoretiske modellen for pendelperiode er nøyaktig og kun påvirkes av usikkerheten i konstantene og. Fra målinger gjort med pendel, stoppeklokke og fotodiode har vi også observert at øyemål gir en betydelig usikkerhet, som kan minimeres ved å bruke mer avanserte instrumenter. Da vi har brukt pendelsvingingene målt med øyemål gjennom hele oppgaven, har vi også merket hvor stor del av usikkerheten dette utgjør. Vi får med andre ord ikke redusert usikkerheten for timeglasset som en tidsmåler markant da det fortsatt er stor usikkerhet i en av dataene vi bruker. Det vil derfor være nødvendig å finne en bedre metode dersom en ønsker mer nøyaktig data for lignende praktiske oppgaver. Fotodioden er det mest nøyaktige og presise instrumentet vi har brukt i denne oppgaven, og vi har også observert at for best mulig resultat bør denne legges i bunnen av pendelbanen. Side 12 av 12

13 :40 C:\Users\Nicolai Solheim\Desktop\Uni\FYS2150\lab01\delB.m 1 of 1 data=[ ]; x = 1.25:0.01:1.85; hist(data,x) sigma_m = std(data)/sqrt(length(data))

14 :44 C:\Users\NICOLA~1\AppData\Local\Temp\svingeperiode.m 1 of 2 % Program for å lese inn pulser fra fotodiode og måle perioden til signalet %Få info om hvilke kort som er installert daqinfo=daqhwinfo('nidaq'); devicename=cell2mat(getfield(daqinfo,'installedboardids')); %(Dev1 eller Dev2) % Initialisere DAQ-objekt AI AI = analoginput('nidaq',devicename); % nytt DAQ-objekt, med adresse til USB-6122 addchannel(ai,0); % setter kanal AI0 % Sette kanalegenskapene set(ai,'inputtype','singleended') % måler med SingleEnded kobling AI.Channel.InputRange = [-10 10]; % siden forventet signal er 0-5V må vi bruke +/- 10V måleområde % Sette innlesningsfrekvens, måleperiode og trigger samplerate=25e3; % vil lese inn data med 25kHz set(ai,'samplerate',samplerate) % forteller kanalen hvor ofte den skal lese inn duration = 10; % antall sekunder vi skal måle set(ai,'samplespertrigger',duration*samplerate) % hvor mange ganger det skal leses inn i løpet av målingen set(ai,'triggertype','manual') % dette betyr at målingen begynner når vi sier fra % Gjør målingen start(ai) % gjør kanalen aktiv trigger(ai) % forteller kanalen at den skal begynne å lese wait(ai,duration + 1) % Matlab venter til målingen er ferdig % Last ned data [data time] = getdata(ai); % få data med tilhørende tidsverdier fra ai % Rydd opp delete(ai) % sletter DAQ-objektet clear AI % fjerner objektet fra workspace % Plott data. figure(1),plot(time, data) xlabel('tid (s)'),ylabel('spenning (V)') % Sett threshold to 3.5 V. threshold = 3.5; % Finn rising edge (der verdiene stiger) ved å sammenligne hvert datapunkt % med det etterfølgende datapunktet risingedge = find(data(1:end-1) < threshold & data(2:end) > threshold); hold on plot(time(risingedge(2:end-1)),threshold*ones(1,... length(risingedge(2:end-1))),'o') hold off % Finn falling edge på samme måte (kan brukes til en ekstra sjekk) fallingedge = find(data(1:end-1) > threshold & data(2:end) < threshold); % Finn perioden til signalet periods=diff(time(risingedge(2:2:end))); figure(2), plot(time(risingedge(2:2:end-2)),periods,'*')

15 :44 C:\Users\NICOLA~1\AppData\Local\Temp\svingeperiode.m 2 of 2 xlabel('tid (s)'),ylabel('periode (s)') meanperiod=mean(periods) stdofmeanperiod=std(periods)/sqrt(length(periods)) filename = input('hvilket filnavn vil du bruke for å lagre dataene?','s'); save(filename,'data','risingedge','periods','meanperiod','stdofmeanperiod')