Lengde, hastighet og aksellerasjon

Transkript

1 Lengde, hastighet og aksellerasjon Nicolai Kristen Solheim Abstract I denne oppgaven har vi målt lengde, hastighet og akselerasjon for å få et bedre forhold til sammenhengen mellom disse. Et annet fokus har vært å beregne usikkerhet i sammensatte størrelser og å tilpasse teoretiske modeller til måledata. Fra oppgavene ser vi at unøvendige målinger gir større usikkerhet, og at det ofte er flere faktorer som påvirker et system. 1 Introduksjon Måling av lengde er like dagligdags som å se på klokka. Kan man måle lengde og tid kan man også i prinsippet måle hastighet og aksellerasjon. Denne oppgaven skal i hovedsak gi oss bedre forståelse av hvordan lengde, hastighet og akselerasjon henger sammen. Samtidig skal vi beregne usikkerhet i sammensatte størrelser, tilpasse teoretiske modeller til måledata og sammenligne målte data med det teoretiske. Oppgaven tar også opp et fåtall aspekter ved tidligere praktiske øvelser. Blant annet er presisjon og nøyaktighet et tema. Vi møter også på problemer i denne oppgavene som kan kobles til sammenhenger hvor målet var å se hvordan usikkerheten ble påvirket av forskjellige faktorer, og hvordan dette kunne minimeres. Denne oppgaven er delt inn i tre deler. I den første delen ser vi på lengde og tid. Riktignok inngår aksellerasjon i noe av teorien som brukes, men i all hovedsak ligger fokuset på lengde og utregning av feilestimater. Vi begynner allerede her å se på usikkerhet i sammensatte størrelser. De to neste delene er har mer med hverandre å gjøre enn det den første delen har. I den første delen så vi kun på lengderelaterte øvelser. I de to neste ser vi på hastighet og aksellerasjon. I del to betrakter vi en bilbane der bilenene kan settes i en relativt jevn hastighet eller aksellerere langs en langside. Bilen er utstyrt med en lydkilde, og vi har koblet en mikrofon til en PC med lydkort som vi skal bruke for å beregne hastigheten til bilen. Vi bruker det medfølgende skriptet FFThastighet.m til å måle data og beregne frekvens som funksjon av tid. Vi må i denne delen kjenne til Doppler-effekten for å kunne beregne hastigheten. Hovedpoenget med denne delen er å sette opp og forstå systemet før vi skal anvende dette videre i den siste delen. I den siste delen av oppgaven gjør vi en Lego-variant av Gallileo Gallilei sitt klassiske eksperiment. Vi bruker her det modifiserte programmet fra forrige del, og ser igjen på en bil med lydkilde. Denne gangen en bil som aksellererer ned et skråplan med. Her er fokuset på forholdet mellom aksellerasjon og hastighet sammenlignet med den teoretiske. Kjennskap til Newtonsk mekanikk er nødvendig her. Et annet aspekt ved denne delen er å tilpasse teoretiske modeller til måledata, og videre sammenligne og kommentere disse. Side 1 av 26

2 2 Teori Selvom det meste i denne oppgaven er praktiske øvelser, bruker vi noen formler. Blant disse finner vi svingetiden til en pendel som er gitt ved 2 1 hvor er lengden fra pendelens massesenter til opphengspunktet og er gravitasjonskonstanten. Vi bruker her at I de to siste delene vil vi også få bruk for Newtonsk mekanikk. 2 Med utgangspunkt i 2 kan vi så finne ned et skråplan. er gitt ved sin 3 hvor er komponentet med hensyn på og hvor er vinkelen til skråplanet gitt i grader. Vi trenger også å relatere dette til hastighet. 4 Tilsvarende har vi for sammenhengen mellom og, hvor er posisjon som for vårt tilfelle vil være lineært. 5 Vi trenger også kjennskap til Doppler-effekten. Denne er gitt ved 6 hvor er grunnfrekvensen, er farten til kilden og (for denne oppgaven) er lydhastighet. Formlene 1 6 utgjør grunnlaget for fysikken i denne oppgaven, men vi skal også beregne usikkerhet i data. For addisjon eller subtraksjon har vi forholdet 7 for et uttrykk eller hvor usikkerheten er uttrykt ved. Her er usikkerheten i, tilsvarende er usikkerheten i. Videre har vi for multiplikasjon og divisjon 8 Hvor usikkerheten er gitt definert ved. Dette var for et uttrykk eller. For en eksponentfunksjon har vi usikkerheten uttrykt ved forholdet 9 for et uttrykk. Side 2 av 26

3 3 Eksperimentelt 3.1 Del A: Lengde Måling av aluminiumsstenger Vi begynte med å måle to aluminiumsstenger med lengder og. Disse målingene ble foretatt med både meterstokk og lasermåler og ble henholdsvis og for meterstokken og og for laseren. Deretter beregnet vi med. Usikkerheten i metermåler er gitt ved , mens lasermålet har en usikkeret Usikkerheten i fant vi ved å anvende 7. Setter vi inn får vi 10 som gir at for laseren mens målingen med metermålet gir en usikkerhet Deretter målte vi direkte. Vi gjorde dette med meterstokken da det ville vært upraktisk å gjennomføre samme måling med lasermålet. Ut fra dette fikk vi at Vi anvendte igjen 7, men på en slik måte at usikkerheten i var gitt med den ene målingen som var gjort for. 11 Fra dette har vi at , hvor utgjør usikkerheten ved øyemål. Vi bruker denne usikkerheten da er en størrelse tilnærmet , som er det minste vi kan lese av på meterstokken. Usikkerheten er derfor Til slutt samlet vi sammen data fra alle gruppene for så å finne gjennomsnittet og feilestimatet. Vi brukte MATLAB for å løse dette (programmet ligger vedlagt som vedlegg1). Vi fikk for meterstokken at og Lengden målt med laseren ble og 1.197, og den direkte lengden målt med meterstokk ble De største usikkerhetene i hver gruppe ga utgangspunktet for usikkerheten slik at , , , og Beregning av lengde Deretter betraktet vi et mer komplisert system, nemlig Foucault-pendelen som henger i taket i fysikkfoajéen. Systemet er visualisert i figuren 1, og vi ønsker å finne ved hjelp av en stoppeklokke, en meterstokk og et lasermål. Side 3 av 26

4 Figur 1: Oppsettet for måling av, hvor pendelen beveger seg med en periode. Det første som ble gjort var å samle dataen vi trengte. Vi måtte ha data for, og ble målt med lasermålet, mens ble funnet på en litt mer komplisert måte. Det vi gjorde var å bygge opp laseren fra gulvet, slik at den merket massesenteret på pendelen. Deretter målte vi hvor høyt vi hadde bygd den opp, som ga lengden. og er gitt hhv og ut fra usikkerheten angitt i manualene. Deretter målte vi perioden flere ganger, og tok gjennomsnittet. Gjennomsnittet er hva vi her betegner Usikkerheten (se programmet merket vedlegg2). Med denne dataen kan vi finne. Likningen vi må løse for er gitt ved 12 hvor er gitt fra 1. Altså. 13 Fra 13 fant vi at Setter vi dette inn i 12 får vi Videre beregnet vi og. For å beregne bruker vi 9 slik at For ser vi bare på den eksperimentelle usikkerheten i. Nå som vi har de usikkerhetene vi trenger for å finne kan vi anvende 7, da riktignok med et ekstra ledd Vi sammenligner igjen data med de andre gruppene som har gjort tilsvarende, og fra MATLAB (vedlegg3) får vi og da dette er den største usikkerheten. Side 4 av 26

5 3.2 Del B: Hastighet I denne delen brukte vi en bilbane og skriptet FFThastighet.m til å måle og beregne frekvens som en funksjon av tid. Dette skriptet må kjøres på en maskin med lydkort og en mikrofon for at lyd skal kunne registreres. Vi kjørte først programmet en gang, for å se hvordan det virket og hvordan bakgrunnstøy ble registrert. Deretter kjørte vi det en gang til mens det ble sunget en ren tone. Vi prøvde så å lese av grunntonen på lydkilden til bilen, noe som var tilnærmet 3980 (merk: vi ble nødt til å bytte bil da den første brøt sammen. Halve dataen i denne oppgaven er derfor gjort med den gamle bilen. Grunntonen på den nye er ). Deretter kjørte vi programmet et par ganger, med mikrofonen plassert på langsiden av bilbanen som vist i figur 2. Figur 2: Oversikt over bilbanen som beskriver plassering av mikrofonen. Videre betrakter vi Doppler-effekten 6 og modifiserer programmet slik at det plotter hastigheten med hensyn på tid. Formelen vi legger til i programmet er på formen. 16 Vi plasserer mikrofonen på enden av langsiden og kjører deretter programmet noen ganger. Vi kommenterer på grafene underveis. Figur 3 under beskriver plasseringen av mikrofonen. Figur 3: Oversikt over bilbanen som beskriver ny plassering av mikrofonen. 3.3 Del C: Aksellerasjon I denne siste delen gjør vi legovarianten av Gallileo Gallileis klassiske eksperiment, men vi skal her bruke en legobil. Legobilen er utstyrt med den samme lydkilden som den første bilen vi hadde, altså med en grunnfrekvens Vi setter så mikrofonen ved enden av skråplanet, og slipper legobilen fra forskellige vinkler med lydkilden på. Vinklene vi har brukt er 5, 12 og 23. Vi kjører det samme programmet som i Side 5 av 26

6 forrige del, og lagrer dataene for senere bruk. Med andre ord måler vi hastigheten som en funksjon av tiden,, ved help av Doppler-forskyvning. Figur 4: Oversikt over skråplanet med en vinkel. Deretter målte vi opp fem intervaller på skråplanet med 0.20 mellomrom. Vi tok så passeringstiden for hvert intervall med stoppeklokke. Fra MATLAB (vedlegg4) fant vi gjennomsnittet for hver passeringstid. Disse er 0.74, 0.48, 0.42, 0.34 og Usikkerheten gitt ved for disse er hhv , 0.032, og Vi plotter dette i MATLAB og tilpasser en teoretisk modell. Vi anvender så 5 og finner for alle intervallene. Fra dette kan vi også finne og plotte begge uttrykkene for med feilestimat. er gitt ved 8, vi ser mer til dette i del 4.3 i rapporten. Deretter bruker vi igjen MATLAB til å plotte begge kurvene og tilpasse en teoretisk modell i samme figur. Det siste vi gjorde i denne oppgavene var å se på aksellerasjonen. Med utgangspunkt i 4 bruker vi igjen MATLAB til å beregne med hensyn på en vinkel. Vi kombinerte også 2 og 3 slik at vi også kunne beregne teoretisk og sammenligne dette med det eksperimentelle. Dette ble plottet mot hverandre i MATLAB og diskutert innad i gruppen. 4 Resultater 4.1 Del A For måling av og har vi følgende data målt med meterstokk og lasermål. Avlesning er gjort med øyemål for meterstokken, men digitalt ved lasermålet. Tabell 1 Måleobjekt Meterstokk Lasermål Vi har videre beregnet både fra de målte verdiene og direkte. Resultatet er vist i tabell 2. Tabell 2 Måleobjekt Meterstokk Lasermål Direkte Den samlede dataen for alle gruppene finnes i tabell 3 og 4. Tabell 3 har målingene funnet ved meterstokk, mens tabell 4 har målingene funnet ved lasermål. Side 6 av 26

7 Tabell 3 (målinger med meterstokk) gruppe direkte Gruppe Gruppe Gruppe Gruppe Gruppe Gruppe Tabell 4 (målinger med lasermål) gruppe Gruppe Gruppe Gruppe Med denne dataen finner vi gjennomsnittet og beholder den største usikkerheten. Tabell 5 Mål Meterstokk Lasermål Videre ser vi på pendelen. Den eksperimentelle dataen for takhøyde er gitt ved De målte pendelperiodene er gitt i tabell 6, hvor Tabell 6 Periodenr. Tid Side 7 av 26

8 Fra MATLAB har vi slik at Vi har også målt høyden til pendelens massesenter Fra punktene har vi så at Videre kan vi se hvor nøyaktig vi må bestemme usikkerheten i pendelperioden for å ha å. Vi kan neglisjere usikkereten i pendelperioden da denne er minimal. Det samme gjelder. For å løse dette setter vi opp en likning Fra løsningen av 17 har vi at hvis vi skal få å. Vi samler igjen data fra alle gruppene, for så å finne. Den innsamlede dataen er å finne i tabell 7. Tabell 7 gruppe Gruppe 1 Gruppe 2 Gruppe Fra denne dataen har vi at Del B Før vi betrakter bilbanen, skal vi først kommentere på data av rent bakgrunnsstøy. Side 8 av 26

9 Figur 5: Lest innsignal for bakgrunnsstøy. Fra figur 5 ser vi hvordan signalet for bakgrunnsstøy er lest. Amplituden ( -retningen) angir hvor sterkt signalet er. Vi kan fra figur 6 og 7 se for hvilke frekvenser energien er størst. Både energien og amplituden sier noe om styrken på signalet. Figur 6: Energispekteret for bakgrunnsstøy. Side 9 av 26

10 Figur 7: Utsnitt av energispekteret for bakgrunnsstøy. Fra disse figurene (5-7) har vi sett sett hvordan energien og amplituden på signalet beskriver styrken på signalet med hensyn på og tid. Programmet gir også en figur for gjennomsnittsfrekvensen med hensyn på tid. Figur 8: Gjennomsnittsfrekvens med hensyn på tid. Side 10 av 26

11 Fra figur 8 ser vi gjennomsnittsfrekvensen for bakgrunnsstøy. Gjennomsnittene er mer eller mindre tilfeldige, mens sentrert rundt cirka Deretter genererer vi data for noen som synger en ren tone. I figur 9 ser du det leste signalet for dette. Figur 9: Lest signal for en ren tone. Figur 10: Utsnitt fra energispekteret. Side 11 av 26

12 Fra figur 10 ser vi også et utsnitt fra energispekteret for denne tonen. Fra dette kan vi lese av at grunntonen ligger i underkant av 400. Figur 9 forteller oss også at denne tonen er mer eller mindre kontinuerlig og er et relativt sterkt signal sammenlignet med signalet i figur 5. Videre skal vi bruke bilbanene. Merk at vi har brukt to biler med forskjellige grunntoner. Uansett bør ikke dette ha så mye å si da den grunnleggende teorien er det samme, og den genererte dataen har tatt hensyn til dette. Parameteret fin er også stillt inn med hensyn til de forskjellige bilene. For den første målingen har vi plassert mikrofonen midt på den ene langsiden som vist i figur 2. Fra programmet fikk vi tre figurer. Disse figurene gjelder den første bilen. Figur 11: Registrert signal for en bil med lydkilde. Fra figur 11 ser vi hvordan signalet varierer med tid. Der hvor amplituden er størst, cirka 0.2, passeres mikrofonen av lydkilden. Vi kan også se på gjennomsnittsfrekvensen for denne dataen fra den andre figuren generert med dataen. Side 12 av 26

13 Figur 12: Registrert gjennomsnittsfrekvens for lydkilden. Figur 13: Energispekter for lydkilden. Side 13 av 26

14 Vi ser fra figur 12 og 13 at gjennomsnittet vist i figur 12 er sekundærtonen til lydkilden. Grunntonen er fra figur 13 gitt ved Med denne informasjonen skal vi nå beregne hastigheten som en funksjon av tid. Vi bruker her den andre bilen, da den andre sluttet å virke. Vi modifiserer skriptet til å plotte hastighet mot tid, samtidig som vi stiller parameteret fin og grunntonen (13666 ). Denne informasjonen finner vi ved å følge prosedyren ovenfor. Mikrofonen plasseres også som vist på figur 3, altså i enden av langsiden. Figur 14: Lest signal for bil med lydkilde. Fra figur 14 ser vi at bilen treffer mikrofonen omtrent rundt 1.5 sekunder. Det vil si at all data etter dette punktet kan neglisjeres. Dette gjelder også for figur 15. Side 14 av 26

15 Figur 15: Beregnet hastighet med hensyn på tid for bil med lydkilde. Vi kan fra figur 15 se at bilen aksellererer til cirka 2 før data kan oversees. Likevel kan det antas at usikkerheten i er ganske stor. Dette kan komme som et resultat av bakgrunnsstøy og feil i valg av grunntone. For en bedre nøyaktighet kan det være smart å bruke en lydkilde som skiller seg ut fra bakgrunnsstøyet, altså en lydkilde med høyere frekvens. Denne kilden må likevel ikke være så høy at mikrofonen får problemer med å lese signalet. Når det kommer til nøyaktigheten i disse målingene, er det lite vi kan si da vi ikke har noe sammenligningsgrunnlag med. Presisjonen er også lav da dette kun ble gjort én gang. Hadde samme eksperiment vært gjort flere ganger og sammenlignet ville vi hatt en mye høyere presisjon. En ekstra detalj som det kan være verdt å kommentere på er et noe tilfeldig resultat i en av dataene våre. På den ene langsiden hadde vi to turtellere etter hverandre som hver ga fra seg et lite klikk når bilen kjørte over. Dette ble fanget opp i en av målingene, og med 5 kan vi beregne for denne strekningen. Avtanden mellom disse punktene ble målt som Tiden kan leses av fra figur 16. Figur 16: Utsnitt som viser registrerte lydsignal fra turteller. Side 15 av 26

16 Figur 17: Data hvor lydsignal fra turteller vises. Dersom vi nå tar utgangspunkt i 5 og bestemmer , får vi at Del C I den siste delen betrakter vi et oppsett som vist i figur 4.Vi begynner med å måle hastigheten ned skråplanet med samme program som i del B. Dette gjøres med forskjellige vinkler. Side 16 av 26

17 Figur 18: Registrert signal fra lydkilde i bevegelse ned et skråplan med vinkel 5. Figur 19: Beregnet hastighet for lydkilde i bevegelse ned et skråplan med vinkel 5. Fra figur 19 ser vi hastigheten som en funksjon av tid ved hjelp av Doppler-forskyvning. Denne hastigheten er beregnet fra signalet vist i figur 19. Vi har tilsvarende figurer for andre. Side 17 av 26

18 Figur 20: Beregnet hastighet for lydkilde i bevegelse ned et skråplan med vinkel 12. Figur 21: Registrert signal for lydkilde i bevegelse ned et skråplan med vinkel 12. Figurene 20 og 21 viser signal og hastighet for en vinkel 12. En siste måling er gjort for 23. Dette er vist i figur 22 og 23. Side 18 av 26

19 Figur 22: Registrert signal for lydkilde i bevegelse ned et skråplan med vinkel 23. Figur 23: Beregnet hastighet for lydkilde i bevegelse ned et skråplan med vinkel 23. Side 19 av 26

20 Videre er passeringstiden for forskjellige målinger gitt i tabell 8. Disse verdiene er målt for 5. Feilestimatet for hvert intervall av er gitt i tabell 9 ved. Tabell 8 Målingnr. : Tabell 9 Målingnr. : Vi bruker deretter MATLAB for å tilpasse en teoretisk modell for. Programmet som gjør dette ligger vedlagt som vedlegg5. Figur 24: Linjetilpasning for data (merket med røde kryss) med feilestimatet til linjen. Vi ser fra figur 24 en tilpasning til dataen. Vi har her vist feilestimatet til den tilpassede linjen for å se at alle verdier ligger innenfor disse. I figur 25 er feilestimatet for eksperimentell data vist. Side 20 av 26

21 Figur 25: Linjetilpasning for data og eksperimentell data plottet sammen. Feilestimatene som vises er for eksperimentelle data. For feilestimatet til den tilpassede linjen, se figur 24. Videre ønsker vi å beregne og med tilhørende feilestimat hver for seg. Vi har igjen brukt MATLAB, og programmene ligger vedlagt som vedlegg6 og vedlegg7. For har vi følgende beregninger. Figur 26 og 27 viser, mens figur 28 og 29 viser. Side 21 av 26

22 Figur 26: Data med linjetilpasning. Feilestimatet til eksperimentell data er også lagt ved. Figur 27: Linjetilpasning for data (merket med røde kryss) med feilestimatet til linjen. Side 22 av 26

23 Figur 28: Data med linjetilpasning. Feilestimatet til eksperimentell data er også lagt ved. Figur 29: Linjetilpasning for data (merket med røde kryss) med feilestimatet til linjen. Side 23 av 26

24 Vi ønsker nå å plotte begge kurvene med feilestimat i en og samme figur (figur 30). Figur 30: Begge er plottet sammen med feilestimatet til linjetilpasingen. Videre ønsker vi å beregne aksellerasjonen og plotte denne mot den teoretiske uten hensyn til friksjon, luftmotstand eller kinetisk energi i hjul. Den teoretiske aksellerasjonen er gitt ved 2 3. Side 24 av 26

25 Figur 31: og teoretisk for komponent ned skråplan. Vi ser fra figur 31 at det er et avvik fra den teoretiske og den målte aksellerasjonen. Likevel ser vi at ligger i nærheten av. En faktor som kan gi betyding for denne forskjellen er at den eksperimentelle dataen er påvirket av friksjon, luftmotstand o.l. mens ikke tar hensyn til dette. 5 Diskusjon Fra del A kan vi diskutere hvorvidt forskjellige måter å måle på bidrar til feil. Vi har her sett på to måter å måle en lengde på, den ene var å måle direkte mens den andre var å måle lengdene hver for seg. Det vi ser fra resultatene er at det å måle lengdene hver for seg gir større usikkerhet enn om vi måler lengden direkte. Vi kan også her kommentere på aspekter ved tilfeldige og systematiske feil. For systematiske feil vil vi for direkte avlesning bare ha aspektet hvis eller ikke står normalt på bakken. Det samme gjelder for måling av lengdene hver for seg. Når det kommer til tilfeldige feil er øyemål en stor faktor. Dette gjelder da kun for meterstokken da lasermålet viser målingen digitalt. Når det kommer til beregning av har vi brukt en rekke forskjellige målinger. Dette har på en måte bidratt til en større usikkerhet enn nødvendig. Dersom noe lignende skulle vært gjort igjen, kunne det vært gunstig å stoppe pendelen, og plassere lasermålet på gulvet. På den måten slipper man usikkerheten i pendelperioden som har en relativt stor usikkerhet da vi kun bruker øyemål for å beregne den. I del B målte vi hastighet med utgangspunkt i Doppler-forskyvning. Da mye av avlesningen som la grunnlag for beregninger var gjort med øyemål ble resultatene upresise og nøyaktige. Det kunne vært nødvendig å for eksempel legge til noen linjer i programmet som ga den korrekte grunntonen ut fra eksperimentell data. Dette kunne nok hjulper på resultatene. Utover dette så virket resultatene akseptable, og realistiske. Når det kommer til feilkilder i denne delen kunne det vært gjort noen forbedringer. Blant annet kan bakgrunnsstøy og lignende lydkilder fra andre grupper hatt innvirkning i resultatene våre. Det Side 25 av 26

26 kunne kanskje vært nyttig å kjøre samme eksperiment i et lydisolert rom for å se om det faktisk er noe avvik fra de andre resultatene. Forskjellig plassering av mikrofonen har også hatt noe å si. Det ser vi turtellerklikkene bare ble registrert i noen forsøk. Hva som er den optimale måten å plassere denne på i denne øvelsen uklart. Det er klart at en optimal posisjon kanskje vil gi bedre resultater. En annen feilkilde er at bilen ikke kan stilles inn på noen bestemt fart. Det vil si at alle forsøkene i teorien vil gi forskjellige resulater, og derfor vil være vanskelige å bruke sammen. I del C ser vi på omtrent samme system, men i et skråplan. Programmet er det samme og eneste forskjellen er at vi nå bruker en legobil som kan aksellerere ned skråplanet. En usikkerhet her lå i passeringstidene. Vi brukte her stoppeklokke på 0.20 intervaller, noe som ble ganske usikkert da det ble gjort med øyemål. En forbedring tror jeg kan være å måle intervallene med fotodioder, heller enn med en stoppeklokke. Det kan også være interessant og se på bevegelse over et større tidsintervall og lengde. Spesielt siden vi skulle sammenligne med en teoretisk aksellereasjon uten hensyn til friksjon og luftmotstand. Videre var dataen vår litt vag, og det ville vært ønskelig å gjøre flere forsøk for å få et bedre feilestimat. Når det kommer til sammenligning av den teoretiske aksellerasjonen med utgangspunkt i Newtonsk mekanikk, ble det som forventet. langs komponentet ned skråplanet forble lineært og konstant, mens den eksperimentelle ikke var det. Dette kommer naturlignok av at vi ikke tok hensyn til andre krefter som påvirket systemet da vi beregnet den teoretiske. Det kunne vært interessant å se utviklingen av forholdene, og med hensyn til for et lenger tidsrom. 6 Konklusjon Gjennom denne praktiske oppgaven har vi fått et bedre forhold til posisjon, hastighet og aksellerasjon. Vi har også lært å beregne usikkerhet i sammensatte størrelser og tilpasse teoretiske modeller til måledata. Blant annet så vi i del A to forskjellige måter å måle en lengde på, og hvordan dette påvirket usikkerheten vår. Det kan oppsummeres med at ferre målinger gir mindre usikkerhet og vica versa. Altså er det ingen vits å gjøre unødvendige målinger. Vi har også måttet bruke praksis og teori for å beregne en ukjent lengde med feilestimat. På den måten har vi gjort oss kjent med sammensatte størrelser. Fra del B har vi vist at Doppler-forskyvning gir akseptable svar, men at heller ikke denne metoden er helt nøyaktig. Det kan også være et resultat av dårlig utstyr og omgivelser. Likevel kan dette anvendes på flere forskjellige måter. Blant annet ved turtellerene som ble fanget opp av mikrofonen. I denne delen ble vi også introdusert til forholdet mellom hastighet og posisjon. I den siste delen sto forholdet mellom aksellereasjon og hastighet i fokus.vi ser blant annet her på forholdet mellom teori og praksis. En viktig ting vi kan påpeke fra sammenligningen vi gjorde helt til slutt i del C er at friksjon, luftmotstand, kinetisk energi i hjul o.l. påvirker systemet i større grad enn det vi kanskje tror. Side 26 av 26

27 :29 C:\Users\Nicolai Solheim\Desktop\Uni\FYS2150\Ra...\vedlegg1.m 1 of 1 % meterstokk fprintf('meterstokk:') la = [ ]; lb = [ ]; lau = [ ]; lbu = [ ]; lam = sum(la)/length(la) lbm = sum(lb)/length(lb) laum = max(lau) lbum = max(lbu) % laser fprintf('laser:') la = [ ]; lb = [ ]; lau = [ ]; lbu = [ ]; lam = sum(la)/length(la) lbm = sum(lb)/length(lb) laum = max(lau) lbum = max(lbu) % lest direkte fprintf('meterstokk (direkte):') la = [ ]; lau = [ ]; lam = sum(la)/length(la) laum = max(lau)

28 :05 C:\Users\Nicolai Solheim\Desktop\Uni\FYS2150\Ra...\vedlegg2.m 1 of 1 % usikkerhet i T_p fprintf('dt_p') data = [ ]+7.0; s = std(data)/sqrt(length(data))

29 :00 C:\Users\Nicolai Solheim\Desktop\Uni\FYS2150\Ra...\vedlegg3.m 1 of 1 % Behandling av data (l_p) lp = [ ]; dlp = [ ]; lpm = sum(lp)/length(lp) dlpu = max(dlp)

30 :56 C:\Users\Nicolai Solheim\Desktop\Uni\FYS2150\Ra...\vedlegg4.m 1 of 1 a = [ ]; b = [ ]; c = [ ]; d = [ ]; e = [ ]; ma = sum(a)/length(a) mb = sum(b)/length(b) mc = sum(c)/length(c) md = sum(d)/length(d) me = sum(e)/length(e) sma = std(a)/sqrt(length(a)) smb = std(b)/sqrt(length(b)) smc = std(c)/sqrt(length(c)) smd = std(d)/sqrt(length(d)) sme = std(e)/sqrt(length(e))

31 :14 C:\Users\Nicolai Solheim\Desktop\Uni\FYS2150\Ra...\vedlegg5.m 1 of 1 % Linjetilpassing og feilestimat av konstanter. x=[ ]*10^-2; y=[ ]; n=length(x); D = sum(x.^2)-(1/n)*(sum(x))^2; E = sum(x.*y)-(1/n)*sum(x)*sum(y); F = sum(y.^2)-(1/n)*(sum(y))^2; avx = (1/n)*sum(x); avy = (1/n)*sum(y); m = E/D; c = avy-m*avx; % plotter for å sjekke at det ser greit ut d = m.*x+c; % her beregnes feilestimatene dm = sqrt((1/(n-2))*(d*f-e^2)/d^2); dc = sqrt((1/(n-2))*(d/n+avx.^2)*(d*f-e^2)/d^2); % usikkerhet i d dd = sqrt(dm.^2+dc.^2); dd = zeros(1,length(x))+dd; % plot linje figure(1) plot(x,y, 'r*'); hold('on') plot(x,d, 'k-') errorbar(x,d,dd,'.') hold('off') legend('data','linjetilpassing','feilestimat') xlabel('posisjon (m)'); ylabel('tid (s)'); figure(2) plot(x,y, 'r-*'); delta = [ ]; hold('on') plot(x,d, 'k-'); errorbar(x,y,delta, '.') hold('off') legend( 'Data','Linjetilpassing','Feilestimat') xlabel('posisjon (m)'); ylabel('tid (s)');

32 :15 C:\Users\Nicolai Solheim\Desktop\Uni\FYS2150\Ra...\vedlegg6.m 1 of 1 % Linjetilpassing og feilestimat av konstanter datal=[ ].*10^-2; datat=[ ]; y=datal./datat; x=[ ]; n=length(x); D = sum(x.^2)-(1/n)*(sum(x))^2; E = sum(x.*y)-(1/n)*sum(x)*sum(y); F = sum(y.^2)-(1/n)*(sum(y))^2; avx = (1/n)*sum(x); avy = (1/n)*sum(y); m = E/D; c = avy-m*avx; % linje d = m.*x+c; % her beregnes feilestimatene dm = sqrt((1/(n-2))*(d*f-e^2)/d^2) dc = sqrt((1/(n-2))*(d/n+avx.^2)*(d*f-e^2)/d^2) % usikkerhet i d dd = sqrt(dm.^2+dc.^2); dd = zeros(1,length(x))+dd; % usikkerhet dl = [ ]; dt = [ ]; delta = y.*sqrt((dl./datal).^2+(dt./datat).^2) % plot linje figure(1) plot(x,d,'k-') hold('on') plot(x,y, 'r*-') errorbar(x,y,delta, '.') hold('off') legend('linjetilpassing', 'Data','Feilestimat') xlabel('tid (s)'); ylabel('hastighet (ms^-1)'); % plot linje figure(2) plot(x,d,'k-') hold('on') plot(x,y, 'r*') errorbar(x,d,dd, '.') hold('off') legend('linjetilpassing', 'Data','Feilestimat') xlabel('tid (s)'); ylabel('hastighet (ms^-1)');

33 :16 C:\Users\Nicolai Solheim\Desktop\Uni\FYS2150\Ra...\vedlegg7.m 1 of 1 % Linjetilpassing og feilestimat av konstanter datal=[ ].*10^-2; datat=[ ]; y=datal./datat; x=[ ].*10^-2; n=length(x); D = sum(x.^2)-(1/n)*(sum(x))^2; E = sum(x.*y)-(1/n)*sum(x)*sum(y); F = sum(y.^2)-(1/n)*(sum(y))^2; avx = (1/n)*sum(x); avy = (1/n)*sum(y); m = E/D; c = avy-m*avx; % her beregnes feilestimatene dm = sqrt((1/(n-2))*(d*f-e^2)/d^2); dc = sqrt((1/(n-2))*(d/n+avx.^2)*(d*f-e^2)/d^2); % usikkerhet i d dd = sqrt(dm.^2+dc.^2); dd = zeros(1,length(x))+dd; % linje d = m.*x+c; % usikkerhet dl = [ ]; dt = [ ]; delta = y.*sqrt((dl./datal).^2+(dt./datat).^2) % plot linje figure(1) plot(x,d,'k-') hold('on') plot(x,y, 'r*-') errorbar(x,y,delta, '.') hold('off') legend('linjetilpassing', 'Data','Feilestimat') xlabel('posisjon (m)'); ylabel('hastighet (ms^-1)'); % plot linje figure(2) plot(x,d,'k-') hold('on') plot(x,y, 'r*') errorbar(x,d,dd, '.') hold('off') legend('linjetilpassing', 'Data','Feilestimat') xlabel('posisjon (m)'); ylabel('hastighet (ms^-1)');

34 :41 C:\Users\Nicolai Solheim\Desktop\Uni\FYS2150\Ra...\vedlegg8.m 1 of 1 m = 0.23; c = 0.12; x = 0:0.1:2.5; dm = 0.02; dc = 0.03; d = m.*x+c; dd = zeros(1,length(x))+sqrt((dm/m).^2+(dc/c).^2); plot(x,d,'k-') hold('on') errorbar(x,d,dd,'k.') load('c1'); f0 = ; c = 343.2; v = c.*(1-f0./fw); plot(tw,v) legend('v(tilpasning)','feilestimat','v(doppler)') xlabel('t, s') ylabel('v(t), ms^-1') hold('off')

35 :20 C:\Users\Nicolai Solheim\Desktop\Uni\FYS2150\Ra...\vedlegg9.m 1 of 1 % Linjetilpassing og feilestimat av konstanter datal=[ ].*10^-2; datat=[ ]; v=(datal./datat); a=v./datat; y=a; x=[ ]; n=length(x); D = sum(x.^2)-(1/n)*(sum(x))^2; E = sum(x.*y)-(1/n)*sum(x)*sum(y); F = sum(y.^2)-(1/n)*(sum(y))^2; avx = (1/n)*sum(x); avy = (1/n)*sum(y); m = E/D; c = avy-m*avx; % linje d = m.*x+c; % her beregnes feilestimatene dm = sqrt((1/(n-2))*(d*f-e^2)/d^2) dc = sqrt((1/(n-2))*(d/n+avx.^2)*(d*f-e^2)/d^2) % usikkerhet i d dd = sqrt(dm.^2+dc.^2); dd = zeros(1,length(x))+dd; % plot linje plot(x,d,'r-') hold('on') errorbar(x,d,dd, '.'); xlabel('tid (s)'); ylabel('aksellereasjon (ms^-2)'); % teoretisk a theta = 5; g=9.81; a = g*sind(theta); x=0:0.1:2.5; y=zeros(length(x))+a; plot(x,y, 'k-'); legend('a_i(t_i)', 'Feilestimat','a(theta)') hold('off')