Brownske bevegelser. Nicolai Kristen Solheim

Transkript

1 Brownske bevegelser Nicolai Kristen Solheim Abstract Med denne oppgaven ønsker vi å lære grunnleggende statistisk fysikk, mikroskopi, avbilding og billedanalyse. Vi blir her introdusert til den mikroskopiske varmeteorien og ser denne i praksis. 1 Introduksjon I denne oppgaven ser vi på på grunnleggende statistisk fysikk, mikroskopi, avbilding og billedanalyse. Brownske bevegelser er uregelmessige og ustanselige bevegelser av svært små, faste partikler i en væske. Bevegelsene skyldes stadige støt mot partiklene fra molekylene i væsken og kan observeres med et mikroskop. Videre kan vi også understreke at disse bevegelsene er tilfeldige, og således at bevegelsesretningen til en enkelt partikkel også er tilfeldig. Dette skyldes kraften partiklene blir utsatt for fra kolliderende molekyler i væsken. På begynnelsen av 1900-tallet ble det stadig klarere for fysikere at den molekylær-kinetiske varmeteorien måtte vinne frem. En av de endelige spikerne i kisten til dem som strittet imot var en av Einstein sine 1905-artikler: Investigations on the theory ofthe Brownian movement. Einstein hadde blitt gjort oppmerksom på mikroskopobservasjoner av biologen Brown der små pollenpartikler i en væske bevegde seg rundt omkring på en tilfeldig måte. Einstein tok utgangspunkt i dette og lagde en kvantitativ modell der man kunne sammenligne målbare størrelser. Det gikk ikke så mange år før eksperimentalistene klarte å måle de forskjellige størrelsene på uavhengig vis og dermed bekrefte modellen til Einstein og derigjennom den mikroskopiske varmeteorien som vi i dag tar for gitt. Disse bevegelsene ble oppdaget av engelskmannen Robert Brown i 1827 da han studerte en vanndråpe med fint pollen. Brown påviste at bevegelsene av partikler inne i pollencellene ikke skyldes liv, og dette ble senere en av de mest overbevisende observasjonen for å støtte teorien om den molekylær-kinetiske varmeteorien. Vi antar i denne praktiske øvelsen at væsken er i ro, slik at det ikke finnes noen strømninger. Fra termodynamikken vet vi også at den gjennomsnittlige energien til partiklene avhenger av temperaturen, men at energien de enkelte partiklene er normalfordelt rundt gjennomsnittet. 2 Teori I denne praktiske øvelsen bruker vi Langevins utledning av modellen for virrevandring. Hans angrepsmåte er blitt en gjenganger i statistisk fysikk. Helt grunnleggende for den mikroskopiske varmeteorien finner vi molekylbevegelser og ekvipartisjonsprinsippet. Fra dette vet vi at den kinetiske energien i likevekt til hver frihetsgrad av bevegelse til molekylene i væsken og partikler som flyter Side 1 av 11

2 i væsken er /2 der er Boltzmanns konstant og er temperaturen. I -retningen er da og videre 1 der betegner middelverdien. Videre kan vi så for partikler som er større enn den midlere avstanden mellom væskemolekylene behandle væsken som et kontinuum og se på den hydrodynamiske dempingen av partikkelbevegelsen. Dette betyr at vi kan bruke strømningsteori for å finne dempningskraften som virker på partiklene. Ved lave Reynoldstall bruker vi derfor Stokes tilnærming for en kule som gir 6 2 der er radiusen til kulen vi betrakter og er viskositeten til væsken. I tillegg til dempningskraften er også partiklene utsatt for tilfeldige krefter fra kollisjoner med molekyler. Fra dette får vi at bevegelsesligningen for partiklene gitt ved: 6 3 den såkalte Langevinligningen. Dersom vi nå multipliserer med på begge sider, og bruker kjerneregelen i derivasjon kan vi skrive om uttrykket 3 til Videre kan vi ta ensemblemiddelet av 4 slik at det direkte bidraget fra forsvinner da 0. Dette skjer fordi retningen til denne kraften er tilfeldig. Samtidig kan vi også sette inn for 1. Dette gir 3 Denne ligningen kan løses analytisk, hvor løsningen er gitt ved. 5 / 6 der leddet / forsvinner når /6 ~10. Dette betyr at dersom vi kan spore posisjonene til mange partikler og beregne forflytningen med hensyn på tid kan vi finne Boltzmanns konstant. Denne kan vi igjen kan sammenligne med andre verdier. Det må her påpekes at vi kjenner radien og viskositeten. 3 Eksperimentelt 3.1 Avbildningskvalitet Aller først ønsker vi å kartlegge avbildningskvaliteten. Dette gjøres ved å bruke et teststykke som vi tar bilde av. I hele denne øvelsen bruker vi et mikroskop med et kamera tilknyttet en datamaskin. All behandling av data skjer med MATLAB. Vi bruker først et 20X-objektiv. Med dette finner vi et felt med firkantgitter og fokuserer på dette. Deretter stiller vi intensiteten, lukkertid og kontrast som skjermbildet på figur 1 viser. Side 2 av 11

3 Figur 1: Skjermbilde som viser hvordan vi stiller inn intensitet, lukkertid og kontrast. Når dette er gjort tar vi et stillbilde av gitteret, lagrer det og åpner det i MATLAB. Her finner vi forstørrelsene og. Tilsvarende gjør vi for er 40X-objektiv, for så å sammenligne disse. Deretter beregner vi Modulation Transfer Function (MTF). Vi begynner først med 20Xobjektivet, og fokuserer på feltet på teststykket med 60 / (linjepar per millimeter). Igjen stiller vi intensiteten, lukkertid og fokus for best mulig kontrast, før vi tar et stillbilde. Med MATLAB plotter vi intensitetsprofilen normalt på stripene, og beregner og. Dette gjentar vi for 380 /, 500 / og 600 /. Dette gjøres også med 40X-objektivet. Med denne dataen plotter vi så 7 for de to objektivene, hvor er frekvensen for linjene ( / ). Vi vil fra dette få full kontrast når 60 da Når nærmer seg null får vi mindre kontrast, noe som vil si at vi ikke vil kunne skille strekene like godt fra hverandre. 3.2 Brownske bevegelser I denne andre og siste delen av den praktiske øvelsen, ser vi på et kapillærrør med en suspensjon av destillert vann med små silica-partikler. Vi begynner med å fylle og forsegle dette, og bruker så 20X-objektivet og vanlig belysning til å fokusere på partiklene. Deretter bytter vi til mørkefeltbelysning og finner så partiklene ved å justere innstillingene på kameraet og mikroskopet. Vi tar så ett bilde av partiklene med vanlig belysning og ett med mørkefeltbelysning. Her må vi passe på så vi får så god kontrast som mulig. Deretter beskriver vi hva som er forskjellen på disse to bildene. Disse bildene bruker vi så til å bestemme midlere partikkelstørrelse i piksler og i mikrometer. Videre ser vi på intensitetsverdiene i bildet vha. imagesc(i), colorbar og velger en grenseverdi (threshold) for å skille partikler fra bakgrunnen. Vi betraker så det det binære bildet ved noen forskjellige grenseverdier: Ibw=im2bw(I,threshold/255), imagesc(ibw). Side 3 av 11

4 Til slutt tar vi en 30 sekunders film med 15fps med best mulig kontrast og fokus i mørkefelt. Vi bruker skriptene finn_spor.m og anal_spor.m for å analysere bevegelsene til partiklene, og justerer parameterne for et best mulig resultat. Til slutt kan det diskuteres hvordan resultatene stemmer med teorien og verdien av de andre fysiske størrelsene i modellen for Brownske bevegelser. 4 Resultater 4.1 Oppgave 1 I første delen som stort sett går ut på å kartlegge avbildingskvaliteten, finner vi aller først forstørrelsene og. Denne er gitt ved der er en lengde i (her ) og samme lengde i piksler. Fremgangsmåten som ble brukt her, var å plotte intensitetsprofilen. Da vi ser på et gitter med kvadrater vil, vil vi kun trenge å finne for en av disse. Fra hhv.figur 4 og 5 leser vi av verdier som gir / for 20X-objektivet og / for 40X-objektivet. Figur 2 og 3 viser hvordan gitteret ser ut med forskjellige objektiver som er dataen intensitetsprofilene baserer seg på. Figur 2: Stillbilde av et gitter med 20X-objektivet. Side 4 av 11

5 Figur 3: Stillbilde av samme gitter som i figur 2, men her tatt med 40X-objektivet. Figur 4: Vertikal Intensitetsprofil for stillbildet i figur 2. Side 5 av 11

6 Figur 5: Vertikal intensitetsprofil for stillbildet i figur 3. Videre ønsker vi å karakterisere avbildingssystemet bedre ved å beregne Modulation Transfer Function (MTF). Vi tar her utgangspunkt i samme fremgangsmåte som for intensitetsprofilene vi har laget over, slik at vi kan lese av intensitetene. Eksempelvis ser vi i figur 7 en horisontal intensitetsprofil for linjeparet med 60 / som vist i figur 6. Figur 6: Stillbilde av 60 / tatt med 20X-objektivet. Side 6 av 11

7 Figur 7: Dette er den horisontale intensitetsprofilen til stillbildetvist i figur 6. Dette gjøres med begge objektivene for de forskjellige stripene, og med dette kan vi plotte for de to objektivene. Resultatene av dette er vist i figur 8. Verdiene er funnet ved 7. Figur 8: Modulation Transfer Function (MTF). Denne figuren viser kontrasten som funksjon av linjeavstand relativt til kontrasten ved 60 /. Side 7 av 11

8 4.2 Oppgave 2 I denne delen ser vi på silica-partikler i et kapillærrør. Aller først ble det tatt bilde av partiklene med vanlig belysning og med mørkefeltbelysning. Disse er vist i hhv. figur 9 og 10. Figur 9: Stillbilde av silica-partikler tatt med et 20X-objektiv. Side 8 av 11

9 Figur 10: Stillbilde av silica-partikler tatt med et 20X-objektiv, men her med mørkefeltbelysning. Fra bildene har vi målt den midlere partikkelstørrelse til å være cirka 10, noe som tilsvarer 2.79, Deretter ble det tatt opp en 30 sekunders film med 15 bilder i sekundet. Her brukte vi programmene _. og _. for å analysere bevegelsene til partiklene. På grunn av problemer med filmen når den ble kjørt med _., velger vi her å bruke filmen som ble brukt under forhåndsoppgaven til denne øvingen. Filmen vi tok opp burde gi lignende resultater, men programmene klarer ikke å behandle denne. Resultatene av dette er vist i figur 11 og 12. I figur 11 ser vi den midlere kvadratiske forflytningen til partiklene, og. Her er partikler som er stasjonære eller har klumpet seg sammen ikke tatt med i beregningen. Videre ser vi hvordan partiklene har forflyttet seg over 30 sekunder i figur 12. Side 9 av 11

10 Figur 11: Den midlere kvadratiske forflytningen til partiklene, og. Figur 12: Forflytning av partiklene i -planet. Side 10 av 11

11 5 Diskusjon I denne øvelsen er det gjort noen forenklinger. Et aspekt som kanskje kan påpekes er at vi kun har sett på bevegelser i -planet. Det er ikke tatt høyde for at det finnes bevegelser i -planet, noe som det mest sannsylig vil være, selvom disse bevegelsene vil være relativt begrenset på grunn av kapilærrøret. Videre baserer det hele seg på energibevaring. Det at energien nødvendigvis ikke er bevart under kollisjonene er det ikke tatt hensyn til. Dersom dette var blitt tatt i betraktning,ville vi nok fått andre men fortsatt lignende resultater. Når det kommer til oppløsningen til avbildningen, ser vi fra verdiene vi har funnet for og for de forskjellige objektivene at oppløsningen hovedsaklig er begrenset av diffraksjon. Dette da Et problem vi støtte på når vi skulle analysere filmen som ble tatt opp, var at filmen ikke ble lest. Hvor feilen ligger er ukjent, men det kan kanskje ha noe med parameterene. Riktignok kan det påpekes at vi klarte å kjøre det første programmet for filen, men da vi skulle kjøre anal_spor.m ble dataene nullstilt hver gang. Dette skjedde ikke dersom vi tok det manuelt, men det var nærmest umulig å gjennomføre på denne måten. I samråd med veilederne som var til stede ble vi anbefalt å bruke filmen som ble brukt under forhåndsøvingen, da disse demonstrerer det samme. Riktignok kunne det vært ønskelig å feilsøke mer for å finne feilen. 6 Konklusjon Fra denne praktiske øvelsen har vi oppnådd kunnskap om grunnleggende statistisk fysikk, mikroskopi, avbilding og billedanalyse. Vi har også gjennom denne praktiske øvelsen gjort oss kjent med den mikroskopiske varmeteorien. Side 11 av 11