BESTEMMELSE AV TYNGDENS AKSELERASJON VED FYSISK PENDEL

Transkript

1 Labratorieøvelse i FYSIKK Høst 1994 Institutt for fysisk, NTH BESTEMMELSE AV TYNGDENS AKSELERASJON VED FYSISK PENDEL av Ola Olsen En lett revidert og anonymisert versjon til eksempel for skriving av lab.-rapport i TFY4102/TFY4106/TFY4120/TFY4180 Fysikk (051006)

2 - I - Forord Denne rapporten er skrevet som et ledd i Laboratorium i FYSIKK høsten Jeg vil takke min samarbeidspartner Nils Nilsen for samarbeidet om utførelsen av selve oppgaven på laboratoriet. Jeg vil også takke forsker dr. ing. Hans Hansen for at han har skaffet til veie en laboratorie-oppgavetekst (om bruk av pendel til å måle g) fra 1978 som han selv hadde hatt da han var fysikkstudent. Denne oppgaveteksten har jeg hatt stor nytte av i arbeidet med denne rapporten. (Den er henvist til som referanse 5.) Jeg vil takke Hans Hansen også for den hjelp han personlig har gitt meg i arbeidet med denne rapporten. NTH 24/ Ola Olsen

3 - II - Sammendrag Vi har i dette arbeidet bestemt tyngdens akselerasjon g ved å gjøre 25 målinger av svingetiden for en pendel. Vi valgte opphengningsaksen slik at svingetiden ble minimal og derfor kunne bestemmes med best mulig nøyaktighet. Resultatet vårt ble g = (9,832 ± 0,002) m/s 2. Det er ikke innenfor usikkerhet i overensstemmelse med den verdien vi har funnet i referanse 5. Vi har ikke funnet forklaringen på uoverensstemmelsen.

4 - III - Innholdsfortegnelse Forord...s. I Sammendrag...s. II Innholdsfortegnelse...s. III 1. Innledning...s Teoretisk grunnlag...s Eksperimentell framgangsmåte og oppgitte data...s Resultater og diskusjon...s Måling av svingetid T som funksjon av h...s Beskrivelse av tyngdens akselrasjon g basert på måling av T min...s Konklusjon...s Litteraturhenvisninger...s. 13 Vedlegg 1...s. 14

5 Innledning I den laboratorieoppgaven som denne rapporten omhandler, har vi på 2 forskjellige måter bestemt tyngdens akselerasjon g, begge ved å måle svingetider for en pendel. Jeg har valgt å legge hovedarbeidet i rapporten på den metoden jeg mener er mest nøyaktig, dvs den som går ut på å måle svingetiden for en slik opphengningsakse at svingetiden blir minimal. Der har jeg drøftet usikkerhet nøye. I den andre metoden (som omtales først i kap. 4) der g bestemmes ved å måle svingetid for forskjellige opphengningsakser, har jeg helt utelatt usikkerhetsdrøfting.

6 Teoretisk grunnlag I læreboka i FYSIKK 1 er det vist at svingetida T for en fysisk pendel er gitt ved: T = 2π (I A /mgh) 1/2 (2.1) der m er pendelens masse, g er tyngdens akselrasjon, h er avstanden fra pendelens tyngdepunkt til svingaksen A og IA er treghetsmomentet til pendelen om svingaksen A, som vist i figur 1. Figur 1. Skisse av pendel med opphengningspunkt h fra tyngdepunktet. En forutsetning for (2.1) er at utslagene er tilstrekkelig små. Fra samme lærebok i et annet kapittel har vi 2 : I A = I 0 + mh 2 (2.2) der I 0 er treghetsmomentet om tyngdepunktet. Fra referanse 2 har vi også under forutsetning av at tykkelsen av pendelen kan neglisjeres: I 0 = m (l 2 +b 2 )/12 (2.3) der l er pendelens lengde og b er dens bredde.

7 - 3 - Treghetsradien defineres ved: I 0 mr 2 (2.4) og for dette tilfellet får vi da for treghetsradien r: r = [(l 2 +b 2 )/12] 1/2 (2.5) Lign. (2.2) og (2.4) innsatt i lign. (2.1) gir: T = 2π [(I 0 + mh 2 )/ mgh] 1/2 =2π [(r 2 +h 2 )/(gh)] 1/2 (2.6) som er i samsvar med en unummerert ligning i oppgaveteksten 3 på s. 2. Merk at r i lign. (2.6) er gitt ved lign. (2.5). (2.6) kan omskrives til T = 2π (1/g) 1/2 {[(r-h) 2 + 2rh] / h} 1/2 (2.7) som viser at T har et minimum for h nær eller lik r. I oppgaveteksten 3 er det vist ved derivasjon at dette minimum er for h = r. For den minimale svingetiden T min får vi da fra lign. (2.7): T min = 2π (2r/g) 1/2 (2.8) som altså er gyldig for h = r. Vi merker oss her at T altså har et minimum for h = r, og at derfor en gitt usikkerhet i h her fører til minst mulig usikkerhet i T. Skal en derfor bestemme g ved å måle T bør en velge h = r. Vi kan omforme ligning (2.6) til: ht 2 = (4π 2 /g)r 2 + (4π 2 /g)h 2 (2.9) Sammenligner vi dette uttrykket med det generelle utrykket: y = y 0 + kx (2.10) for en rett linje, ser vi følgende: Fremstiller vi verdier for ht 2 som funksjon av h 2, kan vi når vi til disse verdiene har tilpasset en rett linje, finne fra henholdsvis vinkelkoeffisient og skjæringspunkt med y-aksen: og: 4π 2 /g = k (2.11) (4π 2 /g)r 2 = y 0 (2.12)

8 - 4 - (2.11) og (2.12) kan omformes til: og: g = 4π 2 /k (2.13) r = (y 0 g) 1/2 / 2π = (y 0 /k) 1/2 (2.14) Både tyngdens akselerasjon g og treghetsradien r for pendelen kan altså finnes på denne måten. Mitt fysiske skjønn tyder imidlertid på at vi får bedre nøyaktighet i bestemmelse av g ved å bruke vår tid på beregning av g ut fra måling av T min i ligning (2.8) og verdi for r beregnet fra oppgitte data for l og b. Omforming av ligning (2.8) for beregning av g fra målte verdier av T min og r gir: g = (8π 2 r)/ T min 2 (2.15)

9 Eksperimentell framgangsmåte og oppgitte data Vi målte svingetiden for pendelen ved hjelp av en lysstråle, fotodiode og en frekvensteller som anvist i oppgaveteksten 3. En skisse av oppsettet hentet fra oppgaveteksten er vist i figur 2 nedenfor. Frekvensteller Fotodiode Motstand Lyskilde Fysisk pendel Spenningskilde Jord Figur 2. Skisse av oppsett for måling av svingetid for fysisk pendel. Vi målte avstanden h mellom opphengningsaksen A og tyngdepunktet ved hjelp av en linjal. Usikkerhet Jeg har valgt å anta at systematisk usikkerhet i T er neglisjerbar og at jeg derfor kan regne usikkerheten i T som kun den statistiske vi har funnet ved gjentatte målinger. Usikkerheten i h anslår jeg er ± 0,5 mm. Oppgitte data Lengde: l = (100,00 ± 0,02) cm Bredde: b = (2,540 ± 0,005) cm som gir: r = 28,877 cm Vi kaller usikkerheten i r for r, i l for l og i b for b. Vi har da siden b << l og b < l : r /r l /l = 0,02/100 = (3.1)

10 - 6 - og: r = 28,9 cm ,006 cm (3.2) For r med usikkerhet har vi da: r = (28,877 ± 0,006) cm (28,88 ± 0,01) cm (3.3) som innenfor usikkerhet ikke er i overensstemmelse med den tilnærmelsen som ble brukt i oppgaveteksten 3 på s. 2.

11 Resultater og diskusjon 4.1 Måling av svingetid T som funksjon av h Vi målte T som funksjon av h (avstand mellom tyngdepunkt og opphengningsakse). Vi tok 5 målinger for hver verdi av h og beregnet middelverdi for T for hver verdi av h. Vi beregnet h 2 og ht 2 for hver middelverdi. Alle disse resultatene er gitt i tabellform som Vedlegg 1. I figur 3 nedenfor har vi vist T som funksjon av h. I figur 4 har vi framstilt ht 2 som funksjon av h 2 og tilpasset en rett linje med resutat: y = 0,0404x + 33,309 (4.1) Ved hjelp av ligning (2.13) og (2.14) får vi da for henholdsvis tyngdens akselerasjon g og treghetsradien r: g = 4π 2 /k = 4π 2 /0,0404 cm/s 2 = 9,77 m/s 2 (4.2) og: r = (y 0 /k) 1/2 = (33,31 / 0,0404) 1/2 cm = 28,7 cm (4.3) Vi har ikke beregnet usikkerhet for y 0 og k og kan derfor heller ikke beregne usikkerhet for g og r. Vi merker oss likevel at avviket for r fra det beregnet i kap. 3 er ca. 0,5%. For g vil vi komme med en usikkerhetsbetraktning i kap. 4.2 der vi har målt g mer nøyaktig Svingetiden T [s] h [cm] Figur 3. Svingetiden T som funksjon av h.

12 - 8 - ht 2 [cm s 2 ] y = x h 2 [cm 2 ] Figur 4. ht 2 framstilt som funksjon av h Bestemmelse av tyngdens akselerasjon g basert på måling av T min Vi gjorde 25 målinger av svingetiden T ved den innstilling av h som gjør at T = T min, dvs h = r. Det betyr at h var innstilt lik (28,88 ± 0,05) cm. Middelverdien for alle 25 målingene ble: < T min > = (1,52280 ± 0,00004) s (4.4) der s er usikkerheten for middelverdien. Dette gir for g ved lign. (2.15) og verdi for r fra (3.3): g = 8π 2 r/t min 2 = 9,8323 m/s 2 (4.5) For usikkerheten i g har vi fra s. 7 i oppgaveteksten 3 (som kan utledes fra ligning på s. 5 i referanse 4): g/g = (( r/r) ( T min /T min ) 2 ) 1/2 (4.6) som gir med innsatte verdier fra (3.1) og (4.4): g/g = (( ) 2 +4 ( /1,5) 2 ) 1/2 = 2, (4.7)

13 - 9 - Resultatet (4.7) vil si at det er usikkerheten i r som dominerer fullstendig usikkerheten i g og at statistisk usikkerhet i < T min > altså er neglisjerbar. For g med usikkerhet har vi da: g = (9,832 ± 0,002) m/s 2 (4.8) Dette resultatet for g stemmer ikke innenfor usikkerheten med den verdien jeg har fra referanse 5 for målinger i kjelleren på Fysisk institutt, NTH i Der fant en som et ledd i et internasjonalt måleprogram: g = (9, ± ) m/s 2 (4.9) Jeg har ikke vært i stand til å finne ut hva denne uoverensstemmelsen skyldes. Men den kan ikke skyldes at vi har vært på et litt høyere nivå enn kjelleren på Fysisk institutt (dvs kjelleren på gamle fysikk ) fordi det skulle påvirke g i motsatt retning. Dersom det skal skyldes tidsmålingen må denne ha en systematisk feil som gjør at g/g = (9,832-9,822)/9, (4.10) som ved ligning (4.6) gir: Dvs at: 2( T min /T min ) (4.11) T min systematisk = ,5 s s s Jeg kjenner ikke nok til apparaturen til å kunne bedømme om dette er rimelig systematisk feil for det oppsettet vi har nyttet, men jeg hadde trodd en slik tidsmåling kunne gjøres mer nøyaktig. (Her burde jeg ha sjekket databladet for periodetelleren, men det har jeg dessverre ikke fått gjort innen fristen for innlevering.) To mulige feilkilder til har jeg kommet på, dvs jeg har funnet dem i referanse 5. Den første er en eventuell feilstilling av h = r. Jeg er overbevist om at feilstillingen har vært maksimalt 1 mm. Det gir i følge referanse 6 en relativ feil i svingetiden T min gitt ved: T min feilstilling / T min = (T h = r + h T h = r )/T h = r ¼( h/r) 2 ¼(1/289) Denne feilen er ca en faktor 10 mindre enn den statistiske usikkerheten og altså helt uvesentlig.

14 Den andre mulige feilkilden er at pendelutslaget har vært så stort at lign. (2.8) og dermed lign. (2.15) ikke er gyldig. Fra referanse 5 har vi følgende første-ordens korreksjon for stort utslag av pendelen: (T stort - T min )/T min = 2 x 4( / 2 ) l + r (4.12) der x er horisontalt utsving av nedre ende av pendelen. Jeg merket meg dessverre ikke under forsøket hvor stort utslag pendelen hadde, men vil regne ut hvor stor x må være for å forklare det avviket i g vi har målt. Ved hjelp av samme argumentasjon som den som ga lign. (4.11) har vi: som gir: 2(T stort - T min )/T min = 2{x/[4(l /2 + r)]} (4.13) x {1/ [4(l /2 + r)] 2 } 1/2 7 cm (4.14) Jeg er overbevist om at utslaget var vesentlig mindre enn 7 cm. Jeg mener å huske at pendelen skygget for fotodioden når den hang i likevektsposisjon. Dvs at utslaget maksimalt har vært noe mindre enn: 3/2 b = 3,75 cm (4.15) Jeg vil se hvilken korreksjon et utslag på 3,5 cm (som jeg mener var det maksimale) fører til for T min og g: Fra lign. (4.13) har vi: som gir: (T stort - T min )/T min = {x/[4(l /2 + r)]} 2 = (3,5/(4 78,9)) 2 (4.16) T stort T min + T min (3,5/4 78,9) 2 = 1, s (1 + 0,00012) = 1,52307 s (4.17) som ved hjelp av lign. (2.15) gir: g = 9,8289 m/s 2 (4.18) og med usikkerhet: g = (9,829± 0,002) m/s 2 (4.19) som heller ikke stemmer med verdien for g fra referanse 5. Jeg har imidlertid fått korrigert for ca 30 % av aviket med det jeg tror har vært maksimalt utslag.

15 Jeg må altså konkludere dette avsnittet med at jeg ikke har funnet noen feilkilde som kan forklare hele avviket mellom vår målte verdi for g og den fra referanse 5, men jeg har funnet en feilkilde som alene kanskje kan forklare 30 % av avviket. Nye målinger der en kontrollerte at utslaget x var minde enn 2 cm og dermed uvesentlig innenfor den usikkerheten r fører til, burde vært foretatt, men det rekker jeg dessverre ikke innenfor leveringsfristen. De andre usikkerhetene jeg har drøftet i dette avsnittet, er hver for seg og også til sammen uvesentlige (bortsett fra r/r som er omregnet til usikkerhet for g og tatt med når g er angitt).

16 Konklusjon Vi har i dette arbeidet gjort følgende: 1. Vi har bestemt tyngdens akselerasjon g og treghetsradien r for en pendel ved å måle svingetiden T som funskjon av avstanden h fra pendelens tyngdepunkt til opphengningsaksen. Vi fikk verdier både for r og g som hadde ca 0,5 % avvik fra verdier målt på mer nøyaktig vis. 2. Vi gjorde 25 målinger av svingetiden T min der T hadde minimum og brukte middelverdien av disse til å bestemme g med usikkerhet. Vi fant for g: g = (9,832 ± 0,002) m/s 2 som avviker utover sikkerhet fra verdien fra referanse 5: g = (9, ± ) m/s 2 Vi forsøkte å finne en årsak til dette avviket uten å lykkes. Konklusjonen for dette punktet som etter min mening er det mest interessante, er at forsøket burde gjentas og at vi da burde være mer observante på mulige feilkilder enn vi var da forsøket ble utført. (Jeg mener ikke med dette at jeg ønsker å bli pålagt å gjøre dette på nytt.) Jeg er imidlertid ikke sikker på at vi ville lykkes med å finne en forklaring da heller fordi det avviket vi har målt fra verdien gitt i referanse 5, kun er på ca 1 o / oo. Jeg vil og legge til at jeg vet tyngdens akselerasjon på et gitt sted forandres litt med tiden, men jeg ville bli svært overrasket om det skulle være så meget som 1 o / oo siden 1964, så jeg tror avviket skyldes et eller annet ved våre målinger.

17 Litteraturhenvisninger 1. P. M. Fishbane, S. Gasiorowicz, S. T. Thornton: PHYSICS FOR SCIENTISTS AND ENGINEERS, Prentice Hall, New Jersey 1990, kapittel P. M. Fishbane et al., op. cit., kapittel Ukjent forfatter: Laboratorieøvelse i FYSIKK, BESTEMMELSE AV TYNGDENS AKSELERASJON VED FYSISK PENDEL. 4. Ukjent forfatter: Måleusikkerhet og Usikkerhetsberegning. 5. Magne Kringlebotn: FYSISK PENDEL, Oppgave 401, Laboratorium i generell fysikk, NTH, revidert 1973/ Forsker dr. ing. Hans Hansen, personlig kommunikasjon 12/

18 Vedlegg 1. Resultater for svingetid T som funksjon av h for 5 måleserier M1-M5. h [cm] T [s] M1 M2 M3 M4 M5 < T > [s] St.avvik [s] h 2 [cm 2 ] h< T > 2 [cm s 2 ] 10 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,69621