Parallellseksjon 4G Hefte nr. 1 Oppgåver og utfordringar Innhald GeoGebra som talknusar... Tok Fermat feil?... Matematisk drodling... Visualisering av matematisk endring med GeoGebra... 3 Facebook... 3 Mus og ugler... 4 Utforsking, hypotesar og bevis... 5 Artig samanheng mellom areal av trekantar... 5 -bevis... 6 Vinn ein bokpremie!... 7 Har du god fantasi?... 7 1
GeoGebra som talknusar CAS står for Computer Algebra System, og er eit matematikkprogram som gjer det lett å løyse likningar eksakt, forenkle algebraiske uttrykk og å utføre andre operasjonar med matematiske symbol. CAS-delen i GeoGebra 4. er òg ein kraftig talknusar, som lett kan faktorisere store tal, og teste om desse er primtal eller samansette tal. Tok Fermat feil? Foto: Wikipedia n Tal som er bygde opp slik: 1, der n er null eller eit heilt positivt tal, blir kalla for Fermat-tal, etter den store matematikaren Pierre de Fermat (1601-1665). Dei tre første Fermat-tala er: F 0 1 0 1 1 1 1 3 1 F 1 1 4 1 5 F 4 1 1 16 1 17 Fermat hevda at alle tal som er bygde opp på denne måten er primtal. Tok han feil? Matematisk drodling Under eit foredrag der det var lite "action", sat matematikaren Stanislaw Ulam (1909-1984) og "drodla" ned nokre tal. Figuren nedanfor viser litt av systemet Ulam lagde. 80 79 78 77 76 75 74 73 53 5 51 50 49 48 47 7 54 33 3 31 30 9 46 71 55 34 1 0 19 8 45 70 56 35 17 18 7 44 69 57 36 3 4 5 6 43 68 58 37 38 39 40 41 4 67 59 60 61 6 63 64 65 66 a) Kan du sjå korleis Ulam lagde talsystemet sitt? b) Kva har tala som er i diagonalen frå nedste venstre til øvste høgre hjørne i figuren felles? (Tala er merka med feit skrift.) c) Kan du finne ein formel for tala i diagonalen, dersom 17 er tal nummer 1, 19 er tal nummer, 3 er tal nummer 3 osv.?
1 3 4 5 6 7 8 17 19 3 9 d) Vil alle tala på den forlenga diagonalen vere av same type, dersom vi utvidar tabellen etter det same systemet? Visualisering av matematisk endring med GeoGebra Dei to neste oppgåvene er utforma litt ulikt. Facebook-oppgåva kan utførast av elevar på ungdomstrinnet, og krev ikkje spesielt stor kjennskap til GeoGebra frå før. I denne oppgåva blir elevane rettleia fram steg for steg. Oppgåva om mus og ugler krev kjennskap til differensiallikningar og retningsdiagram. Dette er læreplanmål i R- kurset på vg3. Her får elevane mindre hjelp Ingen av desse oppgåvene gjev særleg rom for kreativitet og utforsking, slik dei er utforma. Poenget her er å vise korleis GeoGebra kan brukast til å visualisere endring. ("Matematikk i aksjon." ) Facebook Tabellen nedanfor viser utviklinga av talet på Facebook-brukarar i verda, frå april 009 til april 01. Tid Månader etter april 009 Millionar brukarar April 009 0 00 September 009 5 300 Februar 010 10 400 Juli 010 15 500 Januar 011 1 600 Mai 011 5 700 September 011 9 800 April 01 36 900 a) Teikn desse punkta inn i GeoGebra. Skriv (0, 00) og trykk Enter. Skriv deretter (5, 300) og trykk Enter osv. Still inn aksane slik at alle punkta viser. Kva for ei av desse likningane passar best til å beskrive utviklinga av Facebook-brukarar i verda? f(x) = 0x + 400 g(x) = -0x + 00 h(x) = 0x + 00 Svar: Likninga: passar best med punkta. 3
b) Kor mange fleire millionar Facebook-brukarar blir det kvar månad, ut frå denne modellen? Svar: Det blir millionar fleire Facebook-brukarar kvar månad. c) Kva tid blir det 1 milliard Facebook-brukarar, ut frå denne modellen? Svar: Det blir 1 milliard Facebook-brukarar i.. d) Kva tid vil talet på Facebook-brukarar passere 7 milliardar, i følgje denne modellen? Svar: Det blir 7 milliardar Facebook-b u e) Er det rimeleg å forlenge modellen heilt til talet på Facebook-brukarar blir 7 milliardar? Svar:. Mus og ugler På ei øy er det mange mus. Talet på desse aukar på grunn av hyppige fødslar, men der er òg ugler som forsyner seg av musebestanden. Uglene et 15 mus per døgn. Dersom det ikkje var ugler på øya, ville veksten kvar månad ha vore halvparten av talet på mus. (Dersom det var 00 mus og ingen ugler, ville veksten vere 100 mus den første månaden, fordi 1 00 100. Neste månad ville veksten vere på 150 mus, fordi 1 300 150.) a) Lag ei differensiallikning som viser endring i talet på mus på øya, når vi tar med både fødslar og reduksjon på grunn av dei som uglene et. b) Lag eit retningsdiagram som viser utviklinga av talet på mus på øya. c) Bruk retningsdiagrammet til å forklare korleis det vil gå med talet på mus, etter som tida går, dersom ein startar med i) 600 mus ii) 900 mus iii) 100 mus 4
d) Løys differensiallikninga. e) Er der ein samanheng mellom den generelle løysinga av differensiallikninga, og opplysningane du kan lese ut frå retningsdiagrammet? f) Er det manglar ved denne modellen? Utforsking, hypotesar og bevis George Pólya sa ofte: "First guess, then prove." No blir det etter kvart lagt større vekt på dette i kommande eksamensoppgåver. Det er fint, for det er dette matematikk eigenleg handlar om: Å teste hypotesar, løyse problem, og bevise at løysingane er rette. I desember 011 kom det eit skriv frå Utdanningsdirektoratet som understrekar at det blir lagt meir vekt på hypotesetesting, problemløysing og bevis i ein endra eksamen frå og med våren 015. Et viktig formål er også å bedre kunne ivareta læreplanens kompetansemål med krav til å argumentere, resonnere, utlede, drøfte og bevise i matematikk. Dette er kompetanser som er viktige å ivareta til eksamen, og som internasjonale undersøkelser som PISA og TIMSS Advanced viser at norske elever scorer relativt dårlig på sammenlignet med elever i andre land. GeoGebra er eit perfekt verktøy til å utforske matematiske samanhengar, og å teste hypotesar. Her nokre eksempel på det. Artig samanheng mellom areal av trekantar Lag ein vilkårleg trekant. Lag kvadrat på kvar av sidene. Trekk linjestykke mellom hjørna av kvadrata, slik figuren nedanfor viser. (Lag gjerne trekantane GHA, IDB og EFC med mangekantvektøyet. Då blir det lettare å samanlikne areala av dei ulike trekantane.) a) Kan du finne ein samanheng mellom areala av trekanten ABC i midten, og areala av trekantane GHA, IDB og EFC? b) Kan du bevise samanhengen du kjem fram til? 5
-bevis u (1913-1996) var ein svært kreativ og eksentrisk matematikar. Han kalla kvinner for "bosses" og menn for "slaves", og omtalte det å vere gift som "captured". Han hadde problem med enkle praktiske ting som å lukke eit vindauge eller knyte sine eigne sko, men var ein briljant matematikar. Han samarbeidde med fleire av dei andre største matematikarane på 1900-talet og bidrog med mange elegante bevis på ulike matematiske område. Han meinte at Gud hadde ei eiga bok med alle dei vakraste bevisa, og brukte derfor ofte orda "straight from The Book" om spesielt vakre bevis. Litteratur: Paul Hoffmann. "The man who loved only numbers". Hyperion, New York, 1998. Martin Aigner og Günter M. Ziegler. "Proofs from the book". Springer, Berlin, 010. Vi har funksjonen f ( x) k(1 x ), x [ 1,1], og k er ein positiv konstant. a) Teikn grafen til f når k = 3. b) Lag eit "tangent-rektangel" ABDE, slik figuren nedafor viser. c) Kva er forholdet mellom arealet av rektangelet og arealet som er avgrensa av grafen til f og x-aksen? Vil forholdet som du fann i oppgåve b vere det same for alle verdiar av k? d) Kan du bevise at dette stemmer for alle verdiar av k? 6
Vinn ein bokpremie! Dette beviset har eg ikkje klart å finne fram til enno. Den første som sender eit bevis som eg kan forstå til sigbjorn.hals@sfj.no, vil få tilsendt ein fin bokpremie! Start med ein rettvinkla trekant. Utvid figuren, slik illustrasjonen nedanfor viser. a) Kan du finne ein samanheng mellom areala av dei raude firkantane og arealet av trekanten i midten? b) Kan du bevise samanhengen du kjem fram til? Har du god fantasi? Lag ein likesida trekant ABC. (Bruk verktøyet Regulær mangekant.) Teikn den innskrivne sirkelen i trekanten. (Bruk kommandoen Innsirkel[A, B, C].) Lag eit punkt P på sirkelen, og trekk linjestykke frå dette punktet til kvart av hjørna A, B og C. a) Kan du finne ein samanheng mellom lengdene AP, BP og CP? b) Kan du bevise denne samanhengen? 7