TMA400 Høst 06 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsforslag Øvig 0 9.3.30 Me vil fia det miste itervallet som me ka vera sikker på at summe s k k + 4 ligg i. Om ei skriv de -te delsumme som s k /k + 4) har ei ifølgje boka side 53 at summe må liggja i itervallet [s + A +, s + A ], der A : /x + 4). Me fi at A lim R x + 4 R lim R x + 4 arcta x π 4 arcta ) R og dermed har me at [ s s + π 4 ) + arcta, s + π 4 ) ] arcta. Om me o vel midtpuktet på dette itervallet, s, til å tilærma s har me feilestimatet s s A A + ) + ) ) arcta arcta. 4 Ved isetjig av ulike verdiar for i uttrykket ovafor og litt prøvig og feilig fi ei at for er s s 0.00098, altså treg ei mist ledd i delsumme for at feile skal vera midre e 0.00. ), 9.3.3 Me vil fia ei øvre skrake for feile s s, der s k k )!, s k k )!. Dette mier om Example 7, side 58 i boka så me vil prøva same framgagsmåte. oktober 06 Side av 6
Løsigsforslag Øvig 0 her. Me ser at 0 < s s < + )! + + )! k+ + k )! + )! + + 3)! + + 5)! +... + ) + ) + ) ) + ) + ) + ) + ) + ) + ) +... ) + + )) + + )) 4 +..., der me har brukt at +) < +)+ < +) <... Me har o ei geometrisk sum ii paratese og dermed ka me estimera feile med 0 < s s < + )! +)) 4 + ) + )! 4 + ). Me prøver oss fram med å setja i for i uttrykket til høgre, og fi at for er s s < 3/350 0.009 > 0.00, meda for 3 er s s < 4/9845 0.000 < 0.00. Altså treg ei berre tre ledd for at feile skal vera midre e 0.00. Dette er ei kosekves av at! veks såpass raskt, og ei ser at det este leddet i rekkja, /7! /5040, allereie er mykje midre e 0.00. 9.3.36 Me vil først visa at rekkja M+ 3 l l l ) p kovergerer viss og berre viss p >. Det er då ok å sjå på restleddet til de edelege delsumme opp til M, som me ka estimera med eit itegral på følgjade vis, l l l ) p < M x l xl l x) p. ) Lat oss i itegralet gjera substitusjoe v l x, dv /x: M x l xl l x) p l M du vl v) p. Her ka me igje bruka ei l-substitusjo, u l v, du dv/v, og me får l M dv vl v) p l l M Dette hadde ei òg komme fram til om ei direkte hadde gjort substitusjoe u l l x, du /x l x). Itegralet til høgre kjeer me att som eit p-itegral frå side 364 i boka som me veit at kovergerer berre for p >. du u p. No vil me geeralisera dette resultatet for rekkjer på forma N l )l l )...l j )l j+ ) p,. oktober 06 Side av 6
Løsigsforslag Øvig 0 der l j } l l {{... l}. Igje ser me på estimatet j l -ar l )l l )...l j )l j+ ) p < M+ M xl x)l l x)...l j x)l j+ x) p. ) I førre tilfelle såg me at det fugerte å gjera substitusjoe u l l x, så me prøver på same vis her med å setja u l j+ x. Ved å derivera u får me gjeom gjetatt bruk av kjereregele at du l j x l j x... l x x, og dermed får ei xl x)l l x)...l j x)l j+ x) p du l j+ M u p, M som er øyaktig same situasjo som tidlegare. 9.4.4 Me skal avgjera om rekkja ) ) ) er kovergerer eller divergerer. Me ser at rekkja er geometrisk med sum. Her ser me at alle ledd i rekkja er positive, så rekkja kovergerer òg absolutt. 9.4.6 Me skal avgjera om rekkja ) kovergerer eller divergerer. Sida absolutt koverges impliserer koverges er det aturleg å starta med å sjå på rekkja Me bruker forholdsteste og fi at! )!!. + / + )! /! 0, og dermed har ei at rekkja er absolutt koverget.. oktober 06 Side 3 av 6
Løsigsforslag Øvig 0 9.4.0 Vi er gitt rekke a, a 00 cosπ). + 3 Legg merke til at cosπ) {, for like,, for odde. Vi har altså e altererede rekke. Derfor prøver vi med de altererede rekke teste The alteratig series test, side 5 i boka). Vi har at 00 cos + )π) a + + ) + 3 00 + 5, 00 cosπ) a + 3 00 + 3. Altså er a + a for alle. Det vil si at leddee er sykede i størrelse absolutt verdi). I grese har vi at lim a 00 cosπ) lim 0. + 3 Alle betigelsee for de altererede rekke teste er derfor oppfylt, og vi kokluderer med at rekke kovergerer. Vi udersøker så om rekke er absolutt koverget ved å se på rekke a 00 + 3. Vi bruker gresesammeligigsteste A limit compariso test, side 55 i boka) og sammeliger med de divergete rekke b, der b. Både a og b er positive for alle, og dessute er a lim lim b 00 +3 00 lim + 3 50. Det følger at rekke a divergerer. Rekke a er derfor betiget koverget. 9.4.6 Vi er gitt rekke a, a ) 3!. Teorem 5, side 53 i boka, gir e øvre grese på absoluttverdie av feile, s s a +.. oktober 06 Side 4 av 6
Løsigsforslag Øvig 0 For å kue bruke dee må betigelsee i de altererede rekke teste være oppfylt, slik at rekke faktisk kovergerer. Vi ser at a er altererede side faktore ) altererer mellom og, mes faktore 3! er positiv for alle. Videre er a + 3+ + )! 3 3 + )! 3 + a. Det vil si at a + a for. Til slutt ka vi vise at lim a 3 lim )! 0. Vi har her brukt at! vokser raskere e x for alle reele tall x se Teorem 3 side 50 i boka). Vi øsker å å fie de miste verdie av slik at s s 0, 00. Fra ulikhete over er dette oppfylt år a + 0, 00 3 + 0, 00. + )! Ved å sette i for stigede verdier av, ser vi at dette er oppfylt år. Vi må altså ta med miimum 3 ledd husk å telle med 0) for å approksimere summe s med e feil midre e 0, 00. 9.4.9 Me skal fia dei verdiae for x som gjer at rekkja x ) ) + 3 kovergerer absolutt, kovergerer betiga eller divergerer. Det er alltid aturleg å starta med de absolutte kovergese, så me ser på Forholdsteste gjev oss a + a x ) ) + 3 x + 3. x + + 3 + 3 x + ) + 3 x + 5 x. Frå dette ser me at rekkja kovergerer absolutt for x <, det vil seia 0 < x <. Me ser òg at rekkja divergerer for x >, altså for x < 0 og x >. Då gjestår det å sjekka om rekkja kovergerer betiga i pukta x 0 og x. Om ei set x 0 får ei ) ) + 3 + 3 > Dette ble også demostrert i oppgave 9.3. i forrige øvig. 3 + ) 3,. oktober 06 Side 5 av 6
Løsigsforslag Øvig 0 så rekkja er diverget i dette puktet. Om ei i stade set x får ei ) + 3, som er ei altererade rekkje. Dermed ka me bruka altererade rekkje-teste på side 5 i boka, og me sjekkar om kvart av dei tre pukta er oppfylt. For det første ser me at a a + ) ) + + 3 + 5 + 3) + 5) < 0 for alle 0, for det adre er for 0, og for det tredje er a + + 5 < + 3 a lim a ) lim + 3 0. Alle pukta er dermed oppfylte og me ka slå fast at rekkja er betiga koverget i x 0. 9.4.4 Me skal fia dei verdiae for x som gjer at rekkja + ) x kovergerer absolutt, kovergerer betiga eller divergerer. Som valeg startar me med å sjå om rekkja kovergerer absolutt, + x) Me bruker forholdsteste på dee rekkja, a + x + a + x + x. x +, x og fi at rekkja kovergerer absolutt for x + < x. Det vil seia år avstade frå x til - er midre e avstade frå x til 0, som igje betyr at x < /. Me har då òg at rekkja divergerer for x > /. Det gjestår dermed å sjekka om rekkja kovergerer betiga i x /, og ved isetjig av dee verdie får me at rekkja vert + ) / ). Dette er ikkje oko aa e de altererade harmoiske rekkja som me veit at kovergerer, og dermed er rekkja betiga koverget i x /.. oktober 06 Side 6 av 6