ECON3: EKSAMEN VÅR - UTSATT PRØVE Oppgave Ata er possofordelt med parameter λ = 5 (skrevet kort, ~ pos(5), jfr. defsjo 5.8 Løvås med t = ). A. () F P= ( 5) og P ( 5), for eksempel basert på tabell D. Løvås. () Ata v vet om e observasjo av at de kke er større e 5. Hva er da sasylghete for at de er lk 5? (Ht: F P ( = 5 5) ). B. Bereg P= ( 5) tlærmet ved bruk av ormaltlærmelse tl posso-fordelge med heltallskorreksjo. C. Ata at stokastske varable,,,,, er uavhegge og detsk possofordelte, alle med parameter λ = 5. Bereg () sasylghete for at ge av dsse () sasylghete for at akkurat av de () forvetet atall av de -ee som blr 5. -ee får verde 5, -ee blr 5, Oppgave (Som oppgave.9 Løvås - reprodusert og modfsert her:) La x, x,, x være observasjoer av e varabel. De valge formele for (emprsk) varas som er gtt defsjo.3 Løvås, er S = ( x x) der x = x. Dee = = formele ka være tugvt å bruke hvs du skal rege for håd. Vs at varase, S, også ka bereges med formele
S = x x ( ) Ht: Start med defsjoe (jamfør def..3 Løvås), og bruk regeregler for sum (for eksempel regel. Løvås). Tek på x som e kostat du ka kalle b. Oppgave 3 Det er mye tlfeldgheter som spller fotballkamper mellom lkeverdge lag. Det ka for eksempel vrke som at atall mål som et lag klarer å skåre e slk kamp er posso-fordelt. V skal dee oppgave se ltt ærmere på dee mulghete ved å studere resultatee fra gruppespllet uder VM fotball Frakrke 998 (der også Norge var med og slo Brasl - ). I gruppespllet var det 3 lag som alle splte 3 kamper - altså alt 96 forsøk der forsøk vser tl det at et lag deltar e kamp. Hver kamp omfatter således to forsøk, et for hvert lag. I hvert forsøk regstreres atall mål som det aktuelle laget skårer. Tabell vser resultatee for de 96 forsøkee. For eksempel, 6 forsøk resulterte mål. (Et av dsse forsøkee var Brasls kamp mot Norge som ga mål. Norge samme kamp represeterte et aet forsøk som ga mål.) Tabell Atall mål 3 4 5 6 Sum Frekves 6 34 4 8 96 A. La x, x,, x, der = 96, være observasjoee fra de 96 forsøkee oppsummert tabell. Forklar hvorda du vlle rege for å komme fram tl 96 x = 6 og = 96 = x = 34 B. La betege atall mål skåret -te forsøk, =,,, = 96, tolket som e stokastsk varabel. Som modell atar v at,,,, er uavhegge og detsk posso-fordelte, ~ pos( λ ), der λ = E ( ) er e ukjet parameter. () Vs at ˆ λ = = = er e forvetgsrett estmator for λ.
3 () F varase tl ˆλ uttrykt ved λ. () Bereg estmatet basert på ˆλ og data tabell. C. Det ka vses (som du kke treger å gjøre) at ˆ λ λ er tlærmet stadard ˆ λ ormalfordelt, N (, ), år er stor ( = 96 burde være tlstrekkelg). Bruk dette tl å utlede et (tlærmet) 95% kofdestervall for λ. Bereg tervallet ut fra data tabell. D. Tatt betraktg at ferdghetee tl de forskjellge lagee tross alt er forskjellge, ka forutsetge pukt B om uavhegge og detsk posso-fordelte varable syes tvlsom. V skal derfor se på om data ka g oe dkasjoer som taler mot dee atakelse. Ata ~ pos(,3), der parameterverde λ =,3 lgger ær de estmerte verde pukt B. Bereg sasylghetee P ( = x) for x =,,,3, samt P ( 4). Sammelg dsse 5 sasylghetee med tlsvarede relatve frekveser bereget ut fra tabell og kommeter. E. Iledg. V ka også sette opp e formell statstsk test for atakelse pukt B. La ull-hypotese, H, være at,,, er uavhegge og detsk possofordelte med parameter λ. Hvs H er rktg, vl -ee ha samme forvetg og varas, λ. Nå er S = ( ), geerelt e forvetgsrett estmator for = var( ) = σ. Sde σ = λ uder H, vl både ˆ λ = og S estmere samme parameter hvs H er sa. Dette mplserer at, hvs H er sa, så vl varabele S V = varere ærhete av. V ka derfor beytte V som testobservator og forkaste H hvs V får e verd tlstrekkelg lagt vekk fra. Med adre ord, forkast H hvs V c eller V c, der c, c er passede krtske verder. Oppgave. () Bestem de krtske verdee c, c slk at teste får sgfkasvå (tlærmet) 5%. [Ht. Det ka vses (som du kke treger å gjøre), at, hvs H er sa, så er V tlærmet ormalfordelt med forvetg og varas + λ, år er stor,
4 der de ukjete λ varase ka erstattes med estmatet, ˆλ, eller,3 om du vl. Bruk dette tl å bestemme de krtske verdee. ] () Gjeomfør teste ut fra data tabell og formuler e koklusjo.
ECON3: EKSAMEN VÅR - UTSATT PRØVE ENGLISH VERSION Problem Suppose that s posso dstrbuted wth parameter λ = 5 ( short, ~ pos(5), cf. defto 5.8 Løvås wth t = ). A. () Fd P= ( 5) ad P ( 5), for example based o table D. Løvås. () Suppose that we kow of a observato of that t s ot larger tha 5. What s the the probablty that t s equal to 5? (Ht: Fd P ( = 5 5) ). B. Calculate P= ( 5) approxmately usg the ormal approxmato to the posso dstrbuto wth cotuty correcto ( heltallskorreksjo ). C. Suppose that radom varables,,,,, are depedet ad detcally posso dstrbuted, all wth parameter λ = 5. Calculate () the probablty that oe of these () the probablty that exactly of the () the expected umber of the s get the value 5, s get the value 5, s that get the value 5. Problem (As exercse.9 Løvås reproduced ad modfed here:) Let x, x,, x be observatos of some varable. The usual formula for the sample varace, gve defto.3 Løvås, s S = ( x x) where x = x. Ths = =
formula may be cumbersome to calculate by had. Show that the varace, calculated by the smpler formula S = ( x x ) S, also ca be Ht: Start wth the defto (cf. def..3 Løvås), ad use rules vald for sums (for example regel. Løvås). Thk of x as a costat you may call b. Problem 3 There s a lot of radomess at play durg soccer matches betwee teams of smlar stregth. For example, t may look as f the umber of goals a partcular team maages to score durg such a match s posso dstrbuted. We wll look a lttle closer at ths possblty by studyg the results from the group plays from the World Cup soccer competto Frace 998 (where Norway partcpated ad eve maaged to beat Brazl ) Durg the group play there were 3 teams, each playg 3 games, gvg a total of 96 trals where tral refers to a partcular team partcpatg a game. Therefore, every match comprses two trals, oe for each team. I each tral the umber of goals the team questo maages to score s regstered. Table summarzes the results for the 96 trals. For example, 6 trals resulted goals. (Oe of these trals was Brazl s game agast Norway that resulted goals. Norway the same match represets aother tral resultg goals.) Table Number of goals 3 4 5 6 Sum Frequecy 6 34 4 8 96 A. Let x, x,, x, where = 96, be the observatos from the 96 trals summarzed table. Expla how you would calculate to arrve at 96 x = 6 ad = 96 = x = 34 B. Let deote the umber of goals scored the -th tral, =,,, = 96, terpreted as a radom varable. As our model we assume that,,,, are depedet ad detcally posso dstrbuted, ~ pos( λ ), where λ = E ( ) s a ukow parameter. () Show that ˆ λ = = =
3 s a ubased estmator for λ. () Fd the varace of ˆλ expressed by λ. () Calculate the estmate based o ˆλ ad the data table. C. It ca be show (whch you do ot eed to do) that ˆ λ λ s approxmately ˆ λ stadard ormally dstrbuted, N (, ), whe s large ( = 96 should be suffcet). Use ths result to derve a (approxmately) 95% cofdece terval for λ. Calculate the terval based o the data table. D. Cosderg that the stregth of the dfferet teams hardly ca be sad to be the same, the assumpto secto B about depedet ad detcally dstrbuted varables, may ot seem realstc. We wll, therefore, vestgate f the data cota ay dcatos agast ths assumpto. Suppose that ~ pos(,3), where the parameter value λ =,3 s ear the estmated value secto B. Calculate the probabltes P ( = x) for x =,,,3, as well as P ( 4). Compare these 5 probabltes wth the correspodg relatve frequeces based o table, ad commet o the results. E. Itroducto. We ca also costruct a formal statstcal test for the assumpto secto B. Let the ull hypothess, H, be that,,, are depedet ad detcally posso dstrbuted wth parameter λ. If H s true, the s must all have the same expectato ad varace, λ. Now the geeral theory says that S = ( ) =, s a ubased estmator for var( ) = σ uder these crcumstaces. Sce σ = λ uder H, both ˆ λ = ad S wll estmate the same S parameter f H s true. Ths mples that, f H s true, the varable V = wll vary somewhere ear. We may therefore use V as a test statstc ad reject H f V gets a value suffcetly far away from. I other words, reject H f V c or V c, where c, c are sutably chose crtcal values. Questos. () Determe c, c so that the test gets the level of sgfcace (approxmately) 5%.
4 [Ht. It ca be show (whch you do ot eed to do), that, f H s true, the V s approxmately ormally dstrbuted wth expectato ad varace + λ, whe s large, ad where the ukow λ the varace ca be replaced by the estmate, ˆλ, or by,3 f you wsh. Use ths to determe the crtcal values.] () Perform the test based o the data table ad formulate a cocluso.