Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser [ ] a b Determinanten til en 2 2-matrise A = er c d det(a) = a b c d = ad bc. 1
Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser [ ] a b Determinanten til en 2 2-matrise A = er c d det(a) = a c Determinanten til en 3 3-matrise a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 b d = ad bc. a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 er = a 1 b 2 b 3 c 2 c 3 a 2 b 1 b 3 c 1 c 3 + a 3 b 1 b 2 c 1 c 2. 1
Determinanter La A = [ a ij ] være en n n matrise. 2
Determinanter La A = [ a ij ] være en n n matrise. Matrise A ij er (n 1) (n 1)-undermatrisen i A som vi får ved å stryke i-te rad og j-te kolonne i A. 2
Determinanter La A = [ a ij ] være en n n matrise. Matrise A ij er (n 1) (n 1)-undermatrisen i A som vi får ved å stryke i-te rad og j-te kolonne i A. Kofaktoren C ij er definert ved A ij = ( 1) i+j det A ij. 2
Determinanter La A = [ a ij ] være en n n matrise. Matrise A ij er (n 1) (n 1)-undermatrisen i A som vi får ved å stryke i-te rad og j-te kolonne i A. Kofaktoren C ij er definert ved A ij = ( 1) i+j det A ij. Determinanten til A er definert ved det(a) = a 11 det A 11 a 12 det A 12 +... + ( 1) n+1 a 1n det A 1n. 2
Determinanter La A = [ a ij ] være en n n matrise. Matrise A ij er (n 1) (n 1)-undermatrisen i A som vi får ved å stryke i-te rad og j-te kolonne i A. Kofaktoren C ij er definert ved A ij = ( 1) i+j det A ij. Determinanten til A er definert ved det(a) = a 11 det A 11 a 12 det A 12 +... + ( 1) n+1 a 1n det A 1n. Teorem Determinanten til en n n-matrise kan beregnes ved kofaktorutvikling langs enhver rad eller kolonne: det(a) = a i1 C i1 + a i2 C i2 +... + a in C in, det(a) = a 1j C 1j + a 2j C 2j +... + a nj C nj. 2
Regneregler for determinanter Regneregler 1. Hvis B fås fra A ved å multiplisere én enkelt rad (eller kolonne) i A med en konstant c så er det(b) = c det(a). 3
Regneregler for determinanter Regneregler 1. Hvis B fås fra A ved å multiplisere én enkelt rad (eller kolonne) i A med en konstant c så er det(b) = c det(a). 2. Hvis B fås fra A ved å bytte om to rader (eller kolonner) i A, så er det(b) = det(a). 3
Regneregler for determinanter Regneregler 1. Hvis B fås fra A ved å multiplisere én enkelt rad (eller kolonne) i A med en konstant c så er det(b) = c det(a). 2. Hvis B fås fra A ved å bytte om to rader (eller kolonner) i A, så er det(b) = det(a). 3. Hvis to rader (eller to kolonner) i A er like så er det(a) = 0. 3
Regneregler for determinanter Regneregler 1. Hvis B fås fra A ved å multiplisere én enkelt rad (eller kolonne) i A med en konstant c så er det(b) = c det(a). 2. Hvis B fås fra A ved å bytte om to rader (eller kolonner) i A, så er det(b) = det(a). 3. Hvis to rader (eller to kolonner) i A er like så er det(a) = 0. 4. Hvis B fås fra A ved å addere et konstant multiplum av én rad i A til en annen rad i A så er det(b) = det(a). 3
Regneregler for determinanter Regneregler 1. Hvis B fås fra A ved å multiplisere én enkelt rad (eller kolonne) i A med en konstant c så er det(b) = c det(a). 2. Hvis B fås fra A ved å bytte om to rader (eller kolonner) i A, så er det(b) = det(a). 3. Hvis to rader (eller to kolonner) i A er like så er det(a) = 0. 4. Hvis B fås fra A ved å addere et konstant multiplum av én rad i A til en annen rad i A så er det(b) = det(a). 5. Determinanten til en triangulær matrise er lik produktet av diagonalelementene. 3
Regneregler for determinanter Regneregler 1. Hvis B fås fra A ved å multiplisere én enkelt rad (eller kolonne) i A med en konstant c så er det(b) = c det(a). 2. Hvis B fås fra A ved å bytte om to rader (eller kolonner) i A, så er det(b) = det(a). 3. Hvis to rader (eller to kolonner) i A er like så er det(a) = 0. 4. Hvis B fås fra A ved å addere et konstant multiplum av én rad i A til en annen rad i A så er det(b) = det(a). 5. Determinanten til en triangulær matrise er lik produktet av diagonalelementene. 6. det(a T ) = det(a) 3
Determinanter og elementære radoperasjoner For å regne ut determinanten kan man omforme matrisen til en triangulæmatrise ved hjelp av elementære radoperasjoner. 4
Determinanter og elementære radoperasjoner For å regne ut determinanten kan man omforme matrisen til en triangulæmatrise ved hjelp av elementære radoperasjoner. Teorem det(ab) = det(a) det(b). 4
Determinanter og elementære radoperasjoner For å regne ut determinanten kan man omforme matrisen til en triangulæmatrise ved hjelp av elementære radoperasjoner. Teorem det(ab) = det(a) det(b). Teorem A er inverterbar hvis og bare hvis det(a) 0. 4
Flervalgsoppgaver Oppgave Hvilke(t) utsagn er generelt riktig for en 2 2 matrise? (1) Hvis A 2 = 0 så er det(a) = 0. (2) Hvis det(a) = 1 så er det(2a) = 2. A: verken (1) eller (2) B: bare (1) C: bare (2) D: både (1) og (2) 5
Flervalgsoppgaver Oppgave Hvilke(t) utsagn er generelt riktig for en 2 2 matrise? (1) Hvis A 2 = 0 så er det(a) = 0. (2) Hvis det(a) = 1 så er det(2a) = 2. A: verken (1) eller (2) B: bare (1) C: bare (2) D: både (1) og (2) Oppgave For hvilke(n) k er matrisen 2 3 5 4 3 1 2 1 k inverterbar? A: k 3 B: k = 1 C: k 1 D: k > 3 5
Eksamensoppgave La A = 0 1 2 3 2 3 4 0 1 2 3 4 5 0 0 6. Finn det(a) og løs det homogene ligningssystemet Ax = 0. 6
Oppsummering Vi har lært: Determinanter Lærebok: 3.1, 3.2 Nest gang Vektorrom og underrom Lærebok: 4.1 7