Si av 9 TU ogs tknisk-natuvitnskalig univsitt Fakultt fo infomasjonstknologi, matmatikk og lktotknikk Institutt fo atatknikk og infomasjonsvitnska KOTIUASJOSEKSAE I EE TDT95/SIF83 BILDETEKIKK ADAG. AUGUST KL. 9.. LØSIGSFORSLAG - GRAFIKK OPPGAVE Gafikk Gomtisk tansfomasjon ong Plan fo tansfomasjonn:. Tansl unktt f, f, f til oigo i -kooinatsstmt. Rot slik at aksn S fall langs n av kooinataksn 3. Rot m vinkln / om aksn S slik n ligg tt otasjonn i unkt. Skal m fakton 6 langs aksn S slik n ligg tt at unkt 3 utføt 5. Rot slik at aksn S fall i sin oinnlig tning invs av unkt 6. Tansl slik av unktt f, f, f bli liggn i sin oinnlig osisjon invs av unkt Rotasjonn i unkt kan tnks utføt å minst t foskjllig måt: V hjl av kvatnion V utnttls av gnskan til otogonal matis V å bstmm vinkl fo otasjon om n og n kooinataks i tu og on slik at aksn S tt hv komm til å fall langs n av kooinataksn Dn føst mton vil ikk i no tilfll fø m sg singulaitt i løsningn. D to an mton kan fø m sg singulaitt v uhlig kombinasjon av vi av vinkln a,ß,? Eul-vinkl, gimbal lock som aksn S i utgangsunktt fall langs n av kooinataksn.
Si av 9 Dsom n føst mton kvatnion vlgs, vil t bli nøvnig å omskiv n sultn kvatnionn til n matis fo konkatning m øvig tansfomasjonsmatisn. atisn komlist, abiskvn å utl og vnts ikk huskt. å utgangsunktt fo otasjonn tningsvinkl, b t å utntt gnskan v otogonal matis sg fam som n attaktiv mto. Dnn vlgs til følgn utlning. Dlmatisn fo tansfomasjonn utls i kkfølgn gitt i ovnstån lan.. Tansl unktt f, f, f til oigo i -kooinatsstmt atisn stills o ikt: f f f. Rot slik at aksn S fall langs n av kooinataksn Ett tanslasjonn ann aksn S vinkln a,ß,? m aksn i -sstmt. Vi vlg å ot slik at aksn S komm til å fall langs -aksn. Vi tnk oss t kooinatsstm m -aksn langs aksn S. Vi vlg også å la -aksn ligg i lant. Vi vil finn uttkk fo komonntn av aksnhtsvkton fo sstmt i sstmt. Vi få utn vi komonntn av nhtsvkton langs -aksn: 3 -aksn i lant n søkt nhtsvkton langs -aksn ]. Sin og 5 6 otogonal og nhtsvkto, ha vi: [ Dtt gi oss nå vi foutstt at π / s iskusjonn av singulaitt:
Si 3 av 9 ] [ 7 I nn angaslikningn kan vi vilkålig vlg n ositiv ll ngativ løsningn. Valgt ha ingn konskvns fo sultatt. Vi vlg å buk n ositiv løsningn: 9 ] [ 8 Komonntn av n tj nhtsvkton fås av vktoouktt: 3 Dn søkt otasjonsmatisn bli:
Si av 9 3. Rot m vinkln / om aksn S slik n ligg tt otasjonn i unkt Rotasjonsmatisn kan stills o ikt: π π π π sin sin 5 3. Skal m fakton 6 langs aksn S slik n ligg tt at unkt 3 utføt Skalingsmatisn kan også stills o ikt m s 6, s og s : 6 6 s s s 5. Rot slik at aksn S fall i sin oinnlig tning atisn bli n invs av matisn fa unkt. Sin matisn otogonal, n invs matisn lik n tansont 7 5 T 6. Tansl slik av unktt f, f, f bli liggn i sin oinnlig osisjon atisn bli n invs av matisn fa unkt. Vi få n invs matisn v å skift fotgn å tanslasjonsstølsn: 8 6 f f f Dn sultn matisn få vi v å konkatn lmatisn:
Si 5 av 9 9 6 5 3 Konkatningn folangs ikk gjnnomføt. Døfting av singulaitt: Dsom vinkln π /, t vil si at aksn S ligg aalllt m lant, kan likning 7 ikk stts o. Dsom π /, kan vi i stt løs likning 5 m hnsn å, bstmm v hjl av likning 6 og n o m samm komonntn som sluttsultatn i likningn 8. Dsom også π / bt hl osn sammn. I tt tilfllt ligg aksn S aalllt m -aksn og ingn av uttkkn i likningn 8 glig. Vi ha n situasjonn som kalls gimbal lock. I nn situasjonn kan vi fotsatt lgg -aksn lang aksn S. Dt vil si at vi tt tanslasjonn ha -aksn langs -aksn. -aksn bli a liggn i lant og kan vlgs hlt fitt. Skalaouktt mllom nhtsvkton langs -aksn og n langs -aksn vil uanstt bli. Vi kan si at tningn å -aksn ufint. Dt tt som ska gimbal lock -oblmt. Dn nklst løsningn nå π / konstats, å ho ov tinnn og 5 i tansfomasjonslann og fo unkt 3 fota otasjonn om - aksn. Dn konsistnt løsningn vil væ å la tinn væ n otasjon m vinkln π / om -aksn og tinn 5 otasjonn tilbak. OPPGAVE Gafikk itunktsmton ong a Likningn må væ å imlisitt fom. Dn hnsiktsmssig fomn : f, b a a b Asmtot Stigningsfohol b/a
Si 6 av 9 b I føst kvaant ha hblbun n asmtot m stigningsfohol b/a. Dn ivt av bun ov alt stø nn tt. Sin vi foutstt a b, vil n ivt ali bli min nn. Dt ha som konskvns at vi nå vi tgn v hjl av mitunktmton, må ta nhtsskitt i -tningn. c Vi innfø n sisjonsvaabl :, b a a b Gnlt bå a og b ositiv flttall. Likningn skalba slik at vi kan gjø om koffisintn a og b til hltall v multilikasjon m n assn skalingsfakto.,, E, Pikslt, valgt og valuingsunkt fo nst valg. Kaniat iksln, og,. Vi kan avgjø valgt v å stt kooinatn, fo mitunktt inn i likningn fo sisjonsvaiabln. Av t imlisitt uttkkt f, s vi at om vi fo n gitt -vi stt inn n -vi som stø nn n som gi t unkt å kuvn, bli sisjonsvin ositiv. I så fall fall valgt å, som nst iksl. Stt vi inn n -vi som min, bli sisjonsvin ngativ og valgt fall å, som nst iksl. Dsisjonsvin fo valg å linjn bli: b, b b b a a a a a b a b
Si 7 av 9 tank å å kunn bgn sisjonsvin v inkmntasjon, s vi nå vi til linj.,,,,,, Dsom, bl valgt å linj : Kaniatiksln å linj, og,. Dsisjonsvin bli:, b a a b b b b a a a a b a 3a a 3a
Si 8 av 9 Dsom, bl valgt å linj : Kaniatiksln å linj, og,. Dsisjonsvin bli: E E 9b b 3b a b b a b 3, b b a 3a 3 a 3a a a E a b a b Igjn s vi å tilfllt at, bl valgt å linj : Vi gå vi til linjn 3. Dsom, kaniatiksln, 3 og >, 3. Inkmntt bli nå vi ta utgangsunkt i, som valuingsunkt: 3 a 3a a Dsom, kaniatiksln, 3 og, 3. I tt tilfllt < bli inkmntt nå vi ta utgangsunkt i, som valuingsunkt: E E 3 b b a 3a a Og så s vi til slutt igjn å tilfllt at, bl valgt å linj : E Også h gå vi vi til linjn 3. Dsom, kaniatiksln >, 3 og, 3. Inkmntt bli nå vi ta utgangsunkt i, som valuingsunkt: E 3 a 3a a Dsom, kaniatiksln, 3 og 3, 3. I tt tilfllt < bli inkmntt nå vi ta utgangsunkt i, som valuingsunkt: EE E 3 b b a 3a b a
Si 9 av 9 Dt stå igjn å bstmm statvi. Tgningn skal stat i unktt stat. H ha vin: stat a Vi få: stat stat E stat b a 3a b a b b b a a 3a b a b b a a 3a a V skaling av koffisintn i uttkk fo sisjonsvaiabln, må n fo å sik at oasjonn kan utføs som hltallsoasjon, ass å at koffisintn b bli llig m. I ovnstån ikk situasjonn bhanlt. Fo tt tilfllt må t gjøs t konskvnt valg om å tgn - ll E-ikslt. Algoitm fo tgning av hbln: Initi a E, og m statvin fa logav c Plott, Plott -, - Gjnta til fo ksml ha nå n gitt maksimalvi Hvis > lls E E slutt hvis Plott, Plott, - Plott -, Plott -, - slutt gjnta E E a a E a b a