STK00 våre 07 Kofdestevaller Svarer tl avstt 8. læreboka Ørulf Borga Matematsk sttutt Uverstetet Oslo Eksempel E kjemker er teressert å bestemme kosetrasjoe µ av et stoff e løsg Hu måler kosetrasjoe fem gager med et bestemt apparat og får resultatee ( mg per lter):..49.6.4.6 V atar målgee hu får med apparatet er ormalfordelte med forvetgsverd lk de sae kosetrasjoe µ (så det er ge systematske målefel) og stadardavvk = 0.0 Et puktestmat for µ er x=.3 Ka v g et tervall som med stor skkerhet eholder de vrkelge kosetrasjoe? Geerelt har v følgede stuasjo: Observasjoee x, x,..., x er observerte verder av stokastske varabler X, X,..., X som er uavhegge og Nµ (, )- fordelte, der er kjet V vl bestemme et tervall som med stor skkerhet eholder µ V har at Det følger at X N ~ ( µ, / ) X µ Z= / ~ N(0,) 3 V har at (.96 Z.96) = 0.9 dvs X µ.96.96 = 0.9 / Ved å omforme ulkhetee gr dette at X.96 µ X+.96 = 0.9 Så det stokastske tervallet X.96, X+.96 eholder µ med 9% sasylghet 4
Når v setter de observerte verdee x, x,..., x av de stokastske varablee X, X,..., X får v tervallet x.96, x+.96 Dette er et 9% kofdestervall for µ I eksempel får v tervallet 0.0.3±.96 dvs.3± 0.09 Smulerg av 0 kofdestervaller m=.0; s=0.0; =; axs([m-0.,m+0.,0,0]) hold o plot([m,m],[0,0],'r') for k=:0 x=ormrd(m,s,,); low=mea(x)-.96*s/sqrt(); up= mea(x)+.96*s/sqrt(); plot([low,up],[k,k],'b') ed V ka s at 0.09 er e felmarg for estmatet Atall tervaller som eholder de sae verde av µ er bomsk fordelt med p = 0.9 6 Bredde av kofdestervallet 0.0 Kofdestervallet tl kjemkere var.3±.96 0.0 Bredde av tervallet er.96 = 0.7 Hvor mage målger må kjemkere gjøre hvs hu øsker at kofdestervallet skal ha bredde 0.? Med observasjoer blr bredde 0.0 Altså.96 = 0. 0.0.96 Det gr.96 0.0 = = 0.67, dvs målger 0. Det er valg å se på kofdestervall med kofdeskoeffset 90%, 9% eller 99% Geerelt er et 00( α)% kofdestervall for µ gtt ved x zα /, x+ z α/ eller kort x± z / / α 8
Eksempel E ae kjemker er teressert å bestemme pressjoe tl et apparat Ha bruker e stadardløsg med kjet kosetrasjo µ = 4.00 og måler kosetrasjoe av dee seks gager med apparatet og får resultatee 3.86 4.7 3.77 3.99 4.04 4.0 V atar som før at måleresultatee er ormalfordelte, me å er det som er ukjet mes µ er kjet Ka v g et estmat for? Ka v g et tervall som med stor skkerhet eholder de vrkelge pressjoe? 9 Geerelt har v følgede stuasjo: Observasjoee x, x,..., x er observerte verder av stokastske varabler X som, X,..., X er uavhegge og Nµ (, )- fordelte, der µ er kjet V har at E{( X µ ) } = V( X ) = E forvetgsrett estmator for er ˆ µ = ( X ) = Estmator for : ˆ= ( X µ ) = I eksempel får v estmatet ˆ= 0.37 0 For å fe et kofdestervall, merker v oss først at X µ Z= ~ N(0,) ( ) X µ Det følger at Z = er kj-kvadratfordelt med frhetsgrad, dvs. gamma-fordelt med α= / og β= (se sdee 00 og 4) Det følger at ˆ = ( µ ) = = = Z X ~ gamma( /,) dvs. kj-kvadratfordelt med frhetsgrader αν La, være 00( α)% persetle kj-kvadratfordelge med ν frhetsgrader Hvs U og V er uavhegge og U ~ gammaα (, β) V ~ gammaα (, β) så er (se oppgave 6.44) U V gammaα α β Da har v at ˆ = 0.9 0.97, 0.0, + ~ ( +, )
Det gr ˆ ˆ = 0.9 0.0, 0.97, ˆ ˆ 0.9 = 0.0, 0.97, 9% kofdesterval ˆ, 0.0, 0.97, ˆ I eksempel får v: 6 6 0.37, 0.37 = (0.088, 0.30) 4.44.37 3 Geerelt framgagsmåte for kofdestervall V har stokastske varabler X, X,..., X V vl bestemme et 00(-α)% kofdestervall for e parameter θ Ata at v har e observator h( X, X,..., X, θ) og at fordelge tl observatore kke avheger av θ eller oe adre parametere Hvs v lar a og b være 00 ( α / )%-persetle og 00 ( α / )%-persetle fordelge tl h( X, X,..., X, θ) så har v at ( θ ) a h( X, X,..., X, ) b = α 4 Ata å at v ka omforme ulkhetee: a h( X, X,..., X, θ) b L( X, X,..., X ) θ U( X, X,..., X ) Da har v at: ( θ ) L( X, X,..., X ) U( X, X,..., X ) = α Eksempel: E har målt tde mellom 800 mpulser e ervefber (http://www.statsc.org/data/geeral/erve.html) V ka modellere ervempulsee som e ossoprosess (jf. sdee 49-). Tde mellom to mpulser er da ekspotalfordelt (jf. sde 99) Når v setter de observerte verdee x, x,..., x av de stokastske varablee X, X,..., X får v et 00(-α)% kofdestervall for θ : [ L( x, x,..., x ), U( x, x,..., x )] x =.9 (ehet /00 sekud) V vl fe et 9% kofdestervall for forvetet td mellom to ervempulser 6
Geerelt har v følgede stuasjo: Observasjoee x, x,..., x er observerte verder av stokastske varabler X, X,..., X som er uavhegge og ekspoetalfordelt, dvs de har tetthete (jf. sde 98) λx λ e for x 0 f ( x, λ) = 0 for x< 0 V vl fe et kofdestervall for forvetgsverde µ=/λ V fer først et kofdestervall for λ V ka vse at Y= λ X er kj-kvadratfordelt med frhetsgrader, dvs gamma-fordelt med α= / = og β= (detaljer på forelesge) Det følger at Y= λ X = λx = = er kj-kvadratfordelt med frhetsgrader, dvs. gamma-fordelt med α= / = og β= 7 8 αν La, være 00( α)% persetle kj-kvadratfordelge med ν frhetsgrader Da har v at Det gr ( 0.97, λx 0.0,) = 0.9 0.97, 0.0, λ = 0.9 X X Av dette får v et 9% kofdestervall for λ 9 Forvetgsverde er gtt ved Derfor er λ = / µ og v har at 0.97, 0.0, = 0.9 X µ X µ = / λ Dette gr X X µ 0.9 = 0.0, 0.97, Et 9% kofdestervall for forvetgsverde er x x, 0.0, 0.97, 0
For ervempulsee har v at =799 og Av MATLAB fer v at = x=.9 0.97,98 489. kommado: chv(0.0, 98) 0.0,98= 70.7 kommado: chv(0.97, 98) Et 9% kofdestervall for forvetet td mellom to ervempulser er (målt /00 sekuder) dvs 799.9 799.9, 70.7 489. [ 0., 3.]