HG Aprl 14 Løsgsksse semaroppgaver uke 17 (.-5. aprl) Oppg. 5.6 (begge utgaver) La X = atall bar utvalget som har lærevasker. Adel bar med lærevasker populasjoe av bar atas å være p.15. Utvalgsstørrelse er 9. Utvalget atas å være et ret tlfeldg utvalg trukket fra populasjoe. I så fall er X egetlg hypergeometrsk fordelt, me sde populasjoe er stor, ka v ute vesetlg tap av realsme ata e bomsk modell for X: Modell: X ~ b(, p) b(9;.15) V skal fe P(115 X 15). Betgelsee regel 5. er opplagt oppfylt, og v ka utytte at X er tlærmet ormalfordelt: tlærmet ~ ( ), var( ), (1 ) 135; 1.7114 X N E X X N p p p N Sde X bare ka ata hele verder, er begvehete ( X 115) ekvvalet med ( X 114), og v får (ved hjelp av G( z) P( Z z) der Z ~ N (,1) ): P(115 X 15) P(114 X 15) P( X 15) P( X 114) tabell E.3 (D.3) 15 135 114 135 G G G(1.4) G( 1.96).919.5 1.7114 1.7114.894 Oppg. 6. (6.18 utg. ) X er % fett kjøttprøve. Modell: X, X,, X, der 9, er ud og ormalfordelte, X ~ N(, ). 1 3 atas kjet, mes er ukjet.
Skal teste H: 14 mot H1: 14. Valgt sgfkasvå.5. Testobservator: X X 14 Z X 14, som er N(,1) hvs (og bare hvs) de sae er lk 14. 9 3 9 Hvs 14, vl Z ha tedes tl å få større verder e det som er valg N(,1)- fordelge. Skal derfor (åpebart) forkaste H hvs Z blr tlstrekkelg stor, dvs. hvs Z k, der k er e krtsk verd som bestemmes av lgge P (forkast H ) P ( Z k) k z 1.645 14 14.5 sde Z ~ N(,1) hvs =14. Testkrterum for e test med vå 5%: Forkast H hvs X 14 1.645 - dvs. hvs X 15.645 Data gr Xobs 15.444. Koklusjo: Ikke forkast H - (dvs., det er kke sterk ok evdes data for å hevde at 14 ). Styrkefuksjoe: ( ) P (forkast H) P ( X z.5 14) P ( X 15.465) For vlkårlg er 3 X ~ N, N(,1) X ~ N(,1) uasett. 9 kotuerlg fordelg ( ) P ( X 15.645) P( X 15.645 ) 1 G(15.645 ) Med NORM.DIST fuksjoe Excel fat jeg: 15.645 - ( ) 13.645.41 14 1.645.5 15.645.595 16 -.355.6387 17-1.355.913
3 Oppg. 6.1 (6.19 utg. ) X er støyvå for rockekosert. Modell: X, X,, X, der 9, er ud og ormalfordelte, X ~ N(, ). 1 Både og er ukjete. Skal teste H: 1 mot H1: 1. Valgt sgfkasvå.5. (Oppgave atyder kke oe vå så da velger v selv.) La 1 1 X X og S ( X X ) 1 1 1 X Teore ser at W ~ t( 1) fordelt, uasett hva og er. S X 1 Testobservator: T ~ t ( 1) hvs (og bare hvs) de sae er lk 1. S 1 Sde T W, ser v at, hvs 1, så har T tedes tl å få store verder S forhold tl det som er valg t ( 1) fordelge. E -vå test blr dermed å forkaste H hvs T ( -kvatle t ( 1)-fordelge) t (De krtske verde t er løsge av lgge P 1 (forkast H ) P 1 ( T k) mhp. k.) Krtsk verd:.5 og 1 8 t.5 1.86 E 5% test: Forkast H hvst 1.86. Observert: Data gr (med Excel): X obs 1 X obs 13.78, Sobs.9486 og Tobs = =3.85 S 9 obs Koklusjo: Forkast H. (Det er sterk (vå 5%) evdes data for å hevde 1.)
4 Oppg. 1 fra utsatt eksame 13v. (Tatt fra sesorveledge.) Oppgave 1 Tabell 1 vser atall talegebesøk løpet av et år for et utvalg av persoer. Tabelle vser for eksempel at 444 persoer kke hadde oe besøk hos talege mes 67 hadde mer e 4 besøk. Utvalget besto av 118 persoer alt. (Tallee stammer fra e udersøkelse fra Nederlad fra 1988.) Tabell 1 Atall besøk Atall persoer ett år 444 1 1719 3337 3 461 4 19 > 4 67 Sum 118 A. Sksser et hstogram for fordelge av atall talegebesøk basert på tallee tabell 1. For ekelthets skyld ka du ata at de 67 persoee som hadde mer e 4 besøk, fordelte seg jevt på 5, 6 og 7 besøk, dvs. med lke mage på hver. Svar: Frekvestabelle blr Atall besøk ett år Atall persoer Relatv frekves 444.4 1 1719.17 3337.33 3 461.5 4 19. 5 89.1 6 89.1 7 89.1 Sum 118 Hstogram =. >>
5 B. La X betege atall talegebesøk løpet av et år for e tlfeldg valgt perso. Ata at sasylghetsfordelge for X er gtt ved f( x ) tabell. (Merk at tallee tabell kke ødvedgvs er de samme som hstogrammet pukt A.) Tabell x 1 3 4 5 6 7 f( x ).4.15.35.5..1.1.1 Bereg sasylghetee ) PX ( 4) ) PX ( 4) ) P( X ) ( X 4) v) P( X 4) ( X 4) ) PX ( 4). ) PX ( 4).5 ) v) P ( X ) ( X 4) P( X ) P( X 4).58 P ( X 4) ( X 4) P( X 4) P( X 4).4 >> C. Bereg forvetge og varase tl X. E( X ) xf ( x) 1.6 >> ( ) x f ( x) 3.4 x E X x var( X ) 3.4 (1.6) 1.834 D. Ata at atall talegebesøk året, X, for e tlfeldg perso har forvetg 1.6 og stadardavvk 1.35. Tek deg at v observerer X for et tlfeldg utvalg på 1 persoer. Hva er sasylghete, tlærmet, for at gjeomsttet av dsse observasjoee skal falle mellom 1.5 og 1.7?
6 Regel 5.18 (setralgreseteoremet) medfører at X er tlærmet ~ 1.35 X 1.6 N 1.6, N(1.6,.135) Z ~ N(,1) 1.135 Hvorav >>.1.1 P(1.5 X 1.7) P Z P(.74 Z.74).135.135 1 PZ (.74) 1 (.96).548 E. La X og Y betege atall talegebesøk løpet av et år for to tlfeldg valgte persoer. Ata at begge følger fordelge tabell. Sde populasjoe er stor ka v ata at X og Y er stokastsk uavhegge. F sasylghetee ) P( X ) ( Y ) ) P( X Y) Ht: Begvehete ( X Y) ka skje ved at både X og Y blr lk eller ved at begge blr lk 1 eller ved at begge blr lk eller osv. ) X og Y uavhegge og detsk fordelte mplserer Dermed P( X ) P( Y ) og P ( X ) ( Y ) P( X ) P( Y ) P( X ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P X P X Y P X P Y P X Y P( X ) ( ) (.55) (.55).7975 ) P( X j) ( Y j) P( X j) P( Y j) P( X j) medfører >> 7 7 ( ) ( ) ( ) ( ).38 P X Y P X j Y j f j j j