Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra
Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning................................... 4 2.2 Tallet e...................................... 4 2.3 Om grensesnittet i CAS............................ 4 2.4 Potensregning................................. 5 2.5 Følger og rekker................................ 5 3 Trigonometri 5 3.1 Grader og radianer............................... 6 3.2 Omforming av uttrykk............................ 6 4 Vektorer og geometri i rommet 6 4.1 Punkter og vektorer.............................. 6 4.2 Regneoperasjoner på vektorer........................ 7 4.2.1 Skalarprodukt (prikkprodukt).................... 7 4.2.2 Vektorprodukt (kryssprodukt)................... 9 4.3 Tegne flater og kurver............................. 9 5 Regresjon 13 6 Integral 15 7 Likninger 15 7.1 Trigonometriske likninger.......................... 16 7.2 Differensiallikninger............................. 17 7.2.1 Første ordens likninger....................... 17 7.2.2 Andre ordens likninger....................... 17 7.3 Retningsdiagram................................ 18 2
Innledning Dette heftet er ment som en beskrivelse av dataprogrammet Geogebra som digitalt verktøy i undervisningen i faget «Matematikk R2», studieforberedende utdanningsprogram. Heftet er tilpasset læreverket Sigma matematikk, Gyldendal Undervisning, og inneholder referanser til framstillingen der. Henvisninger fra boka Følgende er en oversikt over de sidetallene i læreboka som har instruksjoner for lommeregnere. Lista gir deg en oversikt over hvilket avsnitt i dette heftet som omhandler det aktuelle emnet i læreboka. Henvisningene refererer til sidetall i Sigma matematikk R2, 2. utgave, Gyldendal Undervisning, 2015. I den elektroniske utgaven av heftet er referansene klikkbare. Sidetall i læreboka Emne Avsnitt i dette heftet 15 Trigonometri 3 16 Trigonometrisk likning 7.1 42 Vektorer 4.1 45 Skalarprodukt 4.2.1 49 Vektorprodukt 4.2.2 50 Tegne plan 4.3 62 Tegne kuleflate 4.3 96 Regne med radianer og grader 3.1 116 Regresjon 5 146 Integrasjon 6 211 Retningsdiagram 7.3 230 Følger og rekker 2.5 268 Differensiallikninger 7.2 3
1 Om Geogebra Dette heftet omtaler dataprogrammet Geogebra. Versjonen som er brukt er i 5.0. 2 Regning Du kan gjøre utregninger flere steder i Geogebra, blant annet i inntastingsfeltet («Skriv inn:»-feltet) og i regnearket. Mest oversiktlig er det likevel i CAS-vinduet. Beskrivelsene i dette heftet forutsetter derfor at du har valgt «CAS» ved oppstart av programmet og at du taster i CAS når du gjør utregninger. 2.1 Tallregning Du taster inn regnestykker som på en vanlig lommeregner, med for gange og «/» for dele. Svaret får du når du trykker enter (linjeskift). Merk: I mange sammenhenger er det mulig å utelate gangetegnet. Imidlertid finnes det sammenhenger hvor det gir feil. Vi anbefaler derfor å bruke gangetegn. Desimaltall: Programmet tolker punktum som desimalkomma og komma som skilletegn mellom argumenter i en kommando. Hvis du glemmer deg, og bruker komma i desimaltall, gir programmet en feil. Øverst til venstre i Geogebra-vinduet kan du velge mellom eksakt utregning, markert med en «=», og tilnærmede verdier, desimaltall, markert med en. 2.2 Tallet e Tallet e taster du inn med alt-e (Windows) eller ctrl-e (Mac). Alternativt bruker du den vesle tegn-menyen som kommer til syne når skrivemerket står i inntastingsfeltet eller CAS-feltet. NB! Dersom du skriver en vanlig «e», tolker programmet dette som en hvilken som helst annen bokstav. 2.3 Om grensesnittet i CAS Når skrivemerket står i CAS-vinduet, vil programmet tolke følgende taster spesielt: Mellomromtast: Forrige resultat blir skrevet inn. Høyreparentes: Forrige resultat blir skrevet inn med parenteser rundt. Likhetstegn: Det forrige du tastet inn blir skrevet inn. 4
Tegnet $: Kombinasjonen «$4» gir deg resultatet på linje 4 (dynamisk). Tegnet #: Kombinasjonen «#4» gir deg resultatet på linje 4 (statisk). 2.4 Potensregning Programmet bruker cirkumflex ( ) for potenser. På noen datamaskiner må man taste et mellomrom etter. Eksempel: Vi skriver inn «5 8» og får 390 625 til svar. 2.5 Følger og rekker Vi lager følger med kommandoen «Følge[ ]». Eksempel: Vi skal lage en tallfølge av de 5 første kvadrattallene, hentet fra side 230 i læreboka. Vi skriver inn «Følge[x 2, x, 1, 5]» og får {1, 4, 9, 16, 25} til svar. Vi regner ut den tilhørende rekka, vi summerer altså leddene i følgen, med kommandoen «Sum[ ]». Eksempel: Vi skal summere de 5 første kvadrattallene som i eksempelet på side 230 i læreboka. Vi lager en følge som beskrevet ovenfor. Deretter summerer vi leddene i følgen med kommandoen «Sum[$]»: 3 Trigonometri For å angi at en størrelse er oppgitt i grader, bruker vi gradtegnet, altså for eksempel 30. Dersom vi ikke angir dette, regner programmet med at vi bruker radianer. Gradtegnet finner du i tegn-menyen som kommer til syne når skrivemerket står i inntastingsfeltet eller CAS-feltet. Eksempel: Vi skal finne sinus til 225, som i eksempel 5 på side 14 i læreboka. Vi taster inn «sin(225 )» og får til svar. 2 2 5
3.1 Grader og radianer Programmet antar at det du taster inn er i radianer. Så når du bruker grader, angir du det med gradsymbolet. Svarene du får blir oppgitt i radianer. Vi oversetter fra radianer til grader ved å skrive «/». Så når vi vil ha et svar i grader, avslutter vi regnestykket med «/». Eksempel: Vi gjør om π til grader ved å taste inn «π/» og får 180 til svar. 3.2 Omforming av uttrykk Egne kommandoer tillater omforming av trigonometriske uttrykk: TrigForenkle, TrigUtvid og TrigKombiner. Eksempel: Vi skal vise at 1 2 sin 2x + 1 2 sin x cos x = 3 4 sin(2x). Vi taster inn uttrykket og prøver med «TrigUtvid[ ]» og «TrigForenkle[ ]». Til slutt bruker vi «TrigKombiner[ ]»: 4 Vektorer og geometri i rommet 4.1 Punkter og vektorer Punkter og vektorer angis ved å legge inn tre koordinater. Dersom du gir koordinatene et navn som begynner på liten bokstav, så får du en vektor. Dersom navnet 6
begynner på stor bokstav, så får du et punkt. Så punktet P(x, y, z) angis med «P = (x, y, z)» og vektoren u = [x, y, z] angis med «u = (x, y, z)». 1 Eksempel: Vi skal legge inn vektoren [3, 2, 5]. Vi velger å gi vektoren navnet «u» og taster derfor inn «u=(3, -2, 5)». Å finne vektoren mellom to punkter A og B gjør du med kommandoen «vektor[a, B]». Eksempel: Vi skal finne vektoren mellom punktene A(2, 3, 6) og B(5, 4, 3) som i eksempel 3 på side 42 i læreboka. Vi taster inn «A=(2, -3, 6)» og «B=(5, 4, 3)». Til slutt taster vi inn «vektor[a, B]». 4.2 Regneoperasjoner på vektorer Addisjon og subtraksjon med vektorer gjøres på vanlig måte. 4.2.1 Skalarprodukt (prikkprodukt) Å beregne skalarproduktet gjøres med «*». Eksempel: Vi skal regne ut skalarproduktet [5, 4, 2] [3, 2, 4]. Vi taster produktet rett inn: Når vi har oppgitt punkter og ikke regnet ut vektorene mellom punktene, kan det være praktisk å gi disse vektorene navn og referere til dem etteropå. Eksempel: Vi skal finne skalarproduktet av AB AC med A( 1, 2, 1), B(4, 6, 3) og C(2, 4, 5) som i eksempel 6 på side 45 i læreboka. Vi legger inn punktene som beskrevet ovenfor. Deretter finner vi AB og AC ved å taste henholdsvis «u:=vektor[a, B]» og «v:=vektor[a, C]». Til slutt finner vi skalarproduktet ved å taste «u*v», og får 31 til svar, se skjermbilde nedenfor. 1 Husk at du bruker bare likhetstegn i inntastingsfeltet og kolon sammen med likhetstegn i CAS. 7
Å beregne lengden av en vektor gjør vi ved å ta kvadratroten av skalarproduktet av vektoren med seg selv. Eksempel: Vi skal finne AB med A( 1, 2, 1) og B(4, 6, 3) som i eksempel 6 på side 45 i læreboka. Først legger vi inn punktene og definerer u = AB, som beskrevet ovenfor. Til slutt finner vi lengden ved å taste «sqrt(u*u)», se skjermbilde nedenfor. 8
4.2.2 Vektorprodukt (kryssprodukt) Å beregne vektorproduktet av u og v gjøres med «vektorprodukt[u, v]». I noen versjoner av programmet virker denne kommandoen kun i CAS. Eksempel: Vi skal regne ut vektorproduktet [5, 3, 2] [2, 3, 1] som i eksempel 9 på side 49 i læreboka. Vi taster inn «vektorprodukt[(5, 3, 2), (2, -3, 1)]» og får [ 3, 9, 21]. 4.3 Tegne flater og kurver Flater gitt ved likning tegnes ved at vi legger inn likningen i inntastingsfeltet. Eksempel: Vi skal tegne planet gitt ved likningen i eksempel 10 på side 50 i læreboka, nemlig 2x + 5y 3z + 20 = 0. Vi velger «Vis > Grafikkfelt 3D» og taster inn «2*x+5*y-3*z+20=0». Da får vi: 9
Eksempel: Vi skal tegne planet α gjennom de tre punktene (4, 0, 0), B(0, 3, 0) og C(0, 0, 2) fra eksempel 11, side 50 i læreboka. Vi legger inn punktene, velger verktøyet «Plan gjennom tre punkt» og klikker på de tre punktene. Algebrafeltet viser nå at likningen til planet er 3x + 4y + 6z 12 = 0. I grafikkfeltet er planet tegnet opp: 10
Parametriserte kurver legges inn med kommandoen «kurve[]». Eksempel: Vi skal tegne linja l fra eksempel 7 på side 46 i læreboka for t [ 10, 10], det vil si linja gitt ved x = 2 + t l : y = 3 + 2t x = 1 3t Vi taster inn «Kurve[2+t, -3+2t, 1-3t, t, -10, 10]» og får: 11
Kuleflater tegner vi ved å taste inn likningen for flaten. Eksempel: Vi skal tegne kuleflaten gitt ved likningen x 2 + y 2 + z 2 = 81 som i eksempel 22 på side 62 i læreboka. Vi taster inn «x 2 + y 2 + z 2 = 81» og får: 12
Kuleflater kan også legges inn med verktøyet «Kule med sentrum gjennom punkt» eller «Kule med sentrum og radius». Da finner du likningen for kuleflaten i algebrafeltet. 5 Regresjon Regresjon gjøres i Geogebra ved at vi legger datasettet (verditabellen) inn i et regneark, markerer måleverdiene og velger «Regresjonsanalyse»-verktøyet. Eksempel: Vi skal kjøre regresjon på følgende datasett, hentet fra side 116 i læreboka. t 6 9 13 17 19 H 13,5 34,0 45,8 31,2 16,9 13
Vi velger «Regneark» fra Vis-menyen og legger inn datasettet vårt. Da skal det se slik ut: Deretter markerer vi cellene A1 til B5 og velger «Regresjonsanalyse»-verktøyet. Vi klikker på «Analyser»-knappen og får opp Dataanalyse-vinduet. Vi velger «Sin» fra Regresjonsmodell-menyen i vinduet. Da skal skjermbildet vårt se slik ut: Dette betyr at en modellfunksjon for datasettet vår er f(x) = 15, 55+30, 31 sin(0, 243x 1, 531). 14
6 Integral Integrasjon i CAS utføres med kommandoen «Integral[]». Eksempel: Vi skal integrere funksjonen f(x) = x 2 + 2 fra x = 0 til x = 3, som i eksempel 7 på side 146 i læreboka. Vi skriver «Integral[x 2 + 2, 0, 3]» og får 15 til svar. Eksempel: Vi skal regne ut det ubestemte integralet 4 dx fra eksempel 7 på side x 2 146 i læreboka. Vi taster inn «Integral[4/x 2]» og får 4 x + C, se skjermbildet nedenfor. Legg merke til at for hvert ubestemte integral du taster inn, bruker Geogebra en ny konstant c 1, c 2, c 3 og så videre. Vi bruker vanligvis samme bokstav C når vi svarer. Geogebra kan utføre delbrøksoppspaltning for deg. 10 t 2 t 6 Eksempel: Vi skal spalte opp brøken fra eksempel 22 på side 159 i æreboka. 2 Vi taster inn «Delbrøkoppspaltning[10/(t 2 - t - 6)]» og får t 3 2 t+2. 7 Likninger Likninger løses i Geogebra ved at vi taster inn likningen og klikker på «Løs»- verktøyet (uten å trykke på enter først). Eksempel: Vi skal løse likningen x 2 + 3x 4 = 0. Vi taster inn likningen, klikker på «Løs»-verktøyet og får at løsningen er x = 4 eller x = 1. Arbeidsflyt: En fornuftig arbeidsmetode for å redusere feil kan være denne: 1. Tast inn likningen uten å trykke enter. 2. Klikk på «Bruk inntasting»-verktøyet, slik at programmet gjentar det uttrykket du tastet inn. Da er det lett å gjøre endringer om du tastet feil. 3. Tast likhetstegn («=»), slik at programmet skriver inn det du nettopp tastet. 4. Klikk på «Løs»-verktøyet, eventuelt «Løs numerisk»-verktøyet. 15
7.1 Trigonometriske likninger Dersom vi skal løse likninger med x i grader, skriver vi inn «x». Dersom vi skal ha svaret i radianer, skriver vi inn «x». Eksempel: Vi skal løse likningen 4 sin x = 2 i grader. Vi skriver inn «4*sin(x ) = 2» og klikker på «Løs»-verktøyet. Da får vi dette: Altså er løsnignen på likningen x = 30 + n 360 eller x = 150 + n 360. Ved mer sammensatte likninger kan vi måtte kombinere «Løs» med andre kommandoer, som for eksempel «Numerisk[]», eller verktøyet «Løs numerisk». Eksempel: Vi skal løse likningen 4(cos x) 2 + 9 cos x 9 = 0 fra eksempel 7 på side 17 i læreboka. Vi legger inn likningen med «4*(cos(x )) 2+9*cos(x )-9 = 0» og klikker på «Bruk inntasting». Vi taster et likhetstegn og klikker på «Løs». Siden løsningen ikke er på en særlig lesbar form, skriver vi inn «Numerisk[$]». Heller ikke dette er tilstrekkelig, og vi gjentar «Numerisk[$]». Da får vi: 16
7.2 Differensiallikninger 7.2.1 Første ordens likninger Differensiallikninger løser vi med kommandoen «LøsODE[ ]». Eksempel: Vi skal løse differensiallikningen y = 6 2y fra eksempel 6 på side 196 i læreboka. Vi taster inn «LøsODE[y'=6-2y]» og får: Igjen kan det være hensiktsmessig å bruke verktøyet «Bruk inntasting» for å kontrollere at du har tastet inn likningen riktig. Dersom vi skal velge ut en bestemt løsning, angir vi i tillegg hvilket punkt vi vil at løsningskurven skal gå gjennom. Eksempel: Vi skal finne den løsningen av likningen y = 0, 2 (10 y) som går gjennom punktet (0, 15). Vi taster inn «LøsODE[y'=-0.2*(10-y),(0,15)]» og får: Altså er løsningskurven y = 5 5 e x + 10 = 5e 0,2x + 10. 7.2.2 Andre ordens likninger Andre ordens differensiallikning løses på samme måte som første ordens likninger. Eksempel: Vi skal løse likningen y = cos x og finne den løsningen gjennom π 2, π som har stigningstall 0 i dette punktet. Vi taster inn «LøsODE[y = cos(x), (π/2, π), (π/2, 0)]» og får: 17
Eksempel: Vi skal løse likningen 0, 75y + 0, 6y + 3, 75y = 0 fra eksempel 13 på side 280 i læreboka. Vi taster inn «LøsODE[0.75y''+0.6y'+3.75y=0]» og får: For å finne den løsningskurven som har y(0) = 0, 5 og y (0) = 0, taster vi inn «LøsODE[0.75y''+0.6y'+3.75y=0, (0, 0.5), (0, 0)]» og får: 7.3 Retningsdiagram Retingsdiagram tegner vi med kommandoen «Retningsdiagram[ ]». Eksempel: Vi skal lage retningsdiagrammet for y = x y, fra eksempel 19 på side 210 i læreboka. I inntastingsfeltet taster vi inn «Retningsdiagram[x-y]». Vi kan også angi argumenter for å styre antallet tangenter og lengden på tangentene. Med kommandoen «Retningsdiagram[x-y,10,0.4]» får vi: 18
Dersom vi ønsker å tegne en løsningskurve (integralkurve) gjennom et av punktene i retningsdiagrammet, bruker vi kommandoen «GeometriskSted[ ]». Eksempel: Vi skal tegne den integralkurven til retningsdiagrammet for likningen y +y = x 2 2x 1 som går gjennom punktet ( 1, 4), hentet fra eksempel 20 på side 211 i læreboka. Vi lager først retningsdiagrammet med kommandoen «retningsdiagram[ y+ x 2 2x 1]». I algebravinduet har retningsdiagrammet vårt fått navnet «Retningsdiagram1». Da tegner vi kurven med kommandoen «GeometriskSted[Retningsdiagram1, (-1, 4)]». Da får vi: 19
20