Institutt for fysikk, NTNU FY100 Elektrisitet og mgnetisme TFY4155 Elektromgnetisme Vår 2009 Løsningsforslg, Midtsemesterprøve fredg 1. mrs 2009 kl 1415 1615. Fsit side 10. Oppgvene med kort løsningsforslg (Versjon ) 1) Hvilken påstnd er feil? Hlvering v ldningen på ei metllkule hlverer dens potensielle energi. Ettersom U 2, vil hlvering v resultere i t potensiell energi U reduseres til fjerdeprten v den opprinnelige verdien. De ndre påstndene er lle riktige. (ndel riktige svr: 52 %) 2) To punktldninger ±q er plssert på z-ksen i z = ±. Hv blir netto elektrisk fluks gjennom xy-plnet? q/ε 0 lle feltlinjer strter på q i z = og ender på q i z =, så netto fluks gjennom xy-plnet blir q/ε 0. lterntivt: Fluks q/2ε 0 fr hver v de to punktldningene krysser xy-plnet, fr høyre mot venstre. (ndel riktige svr: 27 %) ) Figuren viser en metllkule med netto negtiv ldning 2 omgitt v et luftlg, etterfulgt v et metllisk kuleskll med netto positiv ldning. Hvilken figur ngir d korrekt feltlinjene for E? (Tips: Guss lov.) 1 2 4 2 2 2 2 2 ruk v Guss lov gir ldning 2 på overflten v kul i midten, ldning 2 på indre overflte v kuleskllet, og ldning på ytre overflte v kuleskllet. Dermed blir elektrisk felt E(r) = 2/4πε 0 r 2 i luftrommet mellom de to lederne og E(r) = /4πε 0 r 2 utenfor kuleskllet. (Dvs, begge steder rettet innover.) (ndel riktige svr: 90 %) 1
4) Figuren viser tre elektriske ledere og feltlinjer for det elektriske feltet i området omkring disse. Rnger potensilene V j i de fire ngitte posisjonene j = 1, 2,, 4. 1 2 V 4 > V > V 1 > V 2 4 Det elektriske feltet peker i retning fr høyt mot lvere potensil. (ndel riktige svr: 77 %) 5) Ei metllkule med ldning er omgitt v et luftlg, fulgt v et metllisk kuleskll med ldning. Hvor mye ldning befinner seg på kuleskllets ytre overflte? metll luft 0 metll Guss lov gir ldning på kuleskllets indre overflte, og dermed null ldning på ytre overflte. (ndel riktige svr: 85 %) 6) Hvilken grf viser log E som funksjon v log r i stor vstnd r fr en elektrisk dipol? log E 4 2 1 1 2 D 1 2 4 log r Den elektriske feltstyrken vtr med vstnden opphøyd i. potens i stor vstnd fr en elektrisk dipol, dvs E(r) = /r. Dermed blir log E = log log r, dvs stigningstll dersom vi plotter log E som funksjon v log r. (ndel riktige svr: 55 %) 2
7) Omtrent hvor mye ldning hr lle elektronene i kroppen din til smmen? (nt t kroppen din inneholder omtrent like mnge nøytroner som protoner.) D noen G Siden elektronmssen er mye mindre enn proton- og nøytronmssen, kn vi se bort fr elektronmssen når ntll protoner bestemmes. Med kroppsmsse M hr vi M = N e (m p + m n ) = 2N e m p N e = M/2m p = 75/2 1.67 10 27 2 10 28 Her må lle likhetstegn oppfttes som omtrent lik, og hvorvidt vi bruker en kroppsmsse på 75, 50 eller 100 kg spiller liten rolle for konklusjonen. Ldningen til smtlige elektroner blir e N e e 2 10 28 1.6 10 19 10 9 dvs noen gigcoulomb (G). (ndel riktige svr: 64 %) 8) Ei metllkule med ldning er omgitt v et luftlg, deretter et metllisk kuleskll med ldning 2, deretter et luftlg, og endelig et metllisk kuleskll med null netto ldning. Hvor mye ldning befinner seg på det ytterste kuleskllets ytre overflte? metll luft metll 1 luft 4 2 metll 2 Guss lov gir ldning på ytre kulesklls indre overflte, og dermed ldning på ytre kulesklls ytre overflte. (ndel riktige svr: 68 %) 9) I figuren i forrige oppgve er det ngitt fire posisjoner (1, 2, og 4). Rnger potensilet i disse fire punktene. V 1 = V 4 > V 2 > V I det innerste luftlget er det elektriske feltet rettet innover. Dermed er V < V 2 < V 1. Dessuten er 1 og 4 på smme kuleskll, dvs på smme ekvipotensil, og dermed er V 4 = V 1. (ndel riktige svr: 8 %)
10) Figuren viser en smmenkobling v fem kpsitnser med verdier i pf som ngitt i figuren. Hv blir totl kpsitns for hele smmenkoblingen, i enheten pf? 0.6 1.0 1.0 1.0 5.0 1.0 Formler for serie- og prllellkobling v kpsitnser gir (ndel riktige svr: 85 %) = ( ) 1 1.0 + 1 1.0 + 5.0 + 1 1 = 0.6 pf 1.0 + 1.0 11) nt t det mellom endepunktene og i forrige oppgve er en potensilforskjell på 100 V. Hvor mye ldning (±), i enheten p, befinner seg d på kondenstoren med kpsitns 5.0 pf? D = 50 Totl kpsitns 0.6 pf betyr ldning ± 0 = ±0.6 100 = ±60 p på kondenstoren til venstre. Denne ldningen må videre fordele seg i forholdet 1:5 mellom øvre og nedre kondenstor i prllellkoblingen i midten, dvs med 10 p oppe og 50 p nede. (ndel riktige svr: 54 %) 12) Tre punktldninger, en positiv (2q) og to negtive ( q), er plssert i hvert sitt hjørne v en likesidet treknt med sideknter. Hv er systemets dipolmoment? 2q q q q.. ruker p = i r i q i med origo for eksempel midt på linjen mellom de to ldningene q. D blir p = 2q h, der h er høyden fr grunnlinjen opp til ldningen 2q. Ser fr figuren t h = cos 0 = /2, slik t p = q. (ndel riktige svr: 61 %) 1) Hv er den potensielle energien til de tre ldningene i oppgve 12? (Dvs i forhold til om de tre ldningene vr uendelig lngt fr hverndre.) q 2 /4πε 0 U = i<j (ndel riktige svr: 7 %) q i q j 4πε 0 r ij = q2 q2 (( 1) ( 1) + ( 1) 2 + ( 1) 2) = 4πε 0 4πε 0 4
14) Hv er den elektriske feltstyrken i sentrum v treknten i oppgve 12? D 9q/4πε 0 2 Ser t feltet må peke nedover. lle tre ldninger bidrr med vertiklkomponent nedover. Kn derfor se på bidrgene fr 2q og (to gnger) q. Trenger vstnden d fr hjørnene til midten: Dermed blir bidrget fr ldningen 2q: cos 0 = /2 d d = /2 /2 = 2q 4πε 0 (/ ) 2 = 6q 4πε 0 2 Må multiplisere med fktor cos 60 for å få vertiklkomponenten v bidrget fr q: Totlt: (ndel riktige svr: 60 %) q 4πε 0 (/ q/2 cos 60 = ) 2 4πε 0 2 6q + 2 q/2 4πε 0 2 = 9q 4πε 0 2 15) To tynne konsentriske ledende kuleskll hr rdius hhv R og 4R, og ldning hhv og. Hvor mye energi er lgret i det elektriske feltet i volumet mellom de to kuleskllene? 2 /2πε 0 R Elektrisk feltstyrke mellom R og 4R er /4πε 0 r 2. Dermed er energitettheten i dette området Totl energi lgret blir dermed (ndel riktige svr: 52 %) U E = u E = 1 2 ε 0E 2 = = = 4R u E dv 2 2 2π 2 ε 0 r 4 R 2π 2 ε 0 r 4 4πr2 dr 2 2πε 0 R 5
16) Hv er kpsitnsen til kulekondenstoren i forrige oppgve? D 16πε 0 R/ Potensilforskjell mellom R og 4R: slik t kpsitnsen blir (ndel riktige svr: 61 %) V = V (R) V (4R) = R 4R E(r)dr = = / V = 16πε 0 R/ 16πε 0 R 17) En koksilkbel består v en indre leder med rdius og en ytre rørformet leder med indre rdius 10 og ytre rdius 11. Figuren viser et tverrsnitt gjennom kbelen, som kn nts å være rett og tilnærmet uendelig lng. Rommet mellom de to lederne ( < r < 10) består v et dielektrikum med reltiv permittivitet 2.5. nt t indre og ytre leder hr ldning hhv λ 0 og λ 0 pr lengdeenhet. Hvor er ldningen på indre og ytre leder loklisert? 11 10 ε r =2.5 Ved r = og r = 10. λ 0 λ 0 Guss lov gir t ldningen λ 0 må ligge på senterlederens overflte (og v symmetrigrunner, jevnt fordelt der), dvs ved r =, og videre t ldningen λ 0 må ligge jevnt fordelt på ytre leders indre overflte, dvs ved r = 10. (ndel riktige svr: 67 %) 18) Hv er den elektriske feltstyrken E(r) i området < r < 10 for koksilkbelen i oppgve 17? λ 0 /5πε 0 r Guss lov med sylinder med rdius r og lengde L som gussflte gir dvs D(r) 2πr L = λ 0 L D(r) = λ 0 2πr i området mellom de to lederne. Her betyr minustegnet t feltene peker innover. Dermed, siden D = εe, hr vi E(r) = D(r)/ε = λ 0 5πε 0 r Feltstyrken definerer vi som vnlig uten fortegn, dermed lterntiv. (ndel riktige svr: 4 %) 6
19) Hvor stor er kpsitnsen pr lengdeenhet for koksilkbelen i oppgve 17? D 60 pf/m Potensilforskjell mellom de to lederne: 10 V = V (10) V () = E(r)dr = λ 10 0 dr 5πε 0 r = λ 0 ln 10 5πε 0 Ettersom λ 0 nettopp er ldning pr lengdeenhet, blir kpsitnsen pr lengdeenhet (ndel riktige svr: 8 %) λ 0 V = 5πε 0 ln10 60 pf/m 20) En lng tynn tråd ligger lngs x-ksen og hr ldning λ(x) = λ 0 e α x pr lengdeenhet. Her er λ 0 og α konstnter. nt t tråden kn regnes som uendelig lng. Hv blir d trådens dipolmoment? αx D 2λ 0 /α 2 Ser t p må peke i x-retning. Dermed: p = xλ(x) dx = λ 0 α e α x dx = 2λ 0 α 0 ( 1 ) e αx = 2λ 0 α α 2 (ndel riktige svr: 55 %) 7
21) Tre store prllelle pln hr innbyrdes vstnd som vist i figuren nedenfor, til venstre. Plnene hr ldning pr flteenhet σ, σ, og 2σ (fr venstre mot høyre, og σ > 0). Det elektriske feltet kn skrives på formen E(z) = E(z) ẑ. Hvilken figur (nedenfor, til høyre) viser korrekt E(z)? E(z) E(z) 2 z 2 z 1 2 4 E(z) σ σ 2σ z 0 2 2 z D E(z) 2 z Pln med ldning σ pr flteenhet gir elektrisk felt E = σ/2ε 0 til venstre for plnet og +σ/2ε 0 til høyre for plnet, mens pln med ldning 2σ pr flteenhet gir elektrisk felt E = +2σ/2ε 0 til venstre for plnet og 2σ/2ε 0 til høyre for plnet. Dermed er det bre å legge smmen bidrgene fr de tre plnene. Det gir E = 0 for z < 0 og for z > 2, E = σ/ε 0 for 0 < z < og E = 2σ/ε 0 for < z < 2. Dermed grf. (ndel riktige svr: 69 %) 22) Rnger det elektriske potensilet i de fire punktene merket med 1, 2, og 4 i figuren til venstre i forrige oppgve. V 1 > V 2 > V > V 4 Fr forrige oppgve hr vi t V er konstnt for z < 0, t V vtr lineært mellom z = 0 og z =, t V vtr (rskere...!) lineært mellom z = og z = 2, og t V er konstnt for z > 2. Dermed: V 1 > V 2 > V > V 4. (ndel riktige svr: 45 %) 2) Ei skive med uniform ldning ρ 0 pr volumenhet hr uendelig utstrekning i x- og z-retning og fyller rommet mellom y = d og y = d. Hvilken grf viser korrekt potensil V (y)? V V y y V D V y y Guss lov gir E(y) = ρ 0 y/ε 0 inne i skiv, E = ρ 0 d/ε 0 til venstre for skiv, og E = ρ 0 d/ε 0 til høyre for skiv. Her er E = E ŷ. Dermed hr vi t potensilet øker lineært for y < d, vtr lineært for y > d, og er proporsjonlt med y 2 for y < d. Dette psser fint med grf. (Mens grf psser med E(y).) (ndel riktige svr: 28 %) 8
24) Ei tilnærmet uendelig stor dielektrisk skive plsseres på tvers i et uniformt ytre elektrisk felt E 0. Skiv er produsert i et mterile med elektrisk susceptibilitet χ e. Hv blir indusert ldning ±σ i pr flteenhet på overfltene til den dielektriske skiv? ε 0 E 0 /(1 + χ 1 e ) χ e E 0 (ndel riktige svr: 10 %) σ i D E 0 = P = χ e ε 0 E = χ e ε 0 = χ e ε 0 ε r ε 0 ε r χ e = χ e + 1 ε 0E 0 = ε 0E 0 1 + χ 1 e 25) To tilnærmet uendelig store prllelle metllplter og er plssert i henholdsvis x = 1.0 m og x = 1.0 m som vist i figuren nedenfor. Et uniformt elektrisk felt mellom pltene på 20 kv/m (i negtiv x-retning) er generert v ldning på metllpltene. Et oksygenion med msse M = 16m p og ldning = 2e strter i x = 0 med hstighet v 0 = 5.0 10 4 m/s i negtiv x-retning. Hv blir dette ionets skjebne? E Det treffer høyre plte med hstighet 6.9 10 5 m/s. v 0 M Kinetisk energi i strten: T 0 = 1 2 Mv2 0 = 208.75 ev 0.2 kev Forskjell i potensiell energi for ionet ved x = 1 m og ved x = 0: U( 1) U(0) = ( 2e) ( 20 kv) = 40 kev x= 1.0m x=0 x=1.0m Dette betyr t ionet snur lenge før det treffer venstre plte. Når det igjen psserer ved x = 0, vil det pg energibevrelse fortstt h kinetisk energi T 0. Fr x = 0 til x = 1 m endres ionets potensielle energi med -40 kev. Pg energibevrelse hr det derfor en kinetisk energi T 1 = 40.2 kev når det treffer høyre plte. Dette tilsvrer en hstighet v 1 = 2T 1 /M 6.9 10 5 m/s (ndel riktige svr: 55 %) 9
Institutt for fysikk, NTNU FY100/TFY4155 Elektrisitet og mgnetisme/elektromgnetisme Midtsemesterprøve fredg 1. mrs 2009 kl 1415 1615. Fsit (Versjon ) Oppgve D Oppgve D 1 X 14 X 2 X 15 X X 16 X 4 X 17 X 5 X 18 X 6 X 19 X 7 X 20 X 8 X 21 X 9 X 22 X 10 X 2 X 11 X 24 X 12 X 25 X 1 X 10